TOPOGRAPHIE DE QUELQUES ÉCOULEMENTS

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1 PSI Bizeux h. DF2 : Étude cinématique des fluides 14 HAPITRE DF2 D ÉTUDE INÉMATIQUE DES FLUIDES TOPOGRAPHIE DE QUELQUES ÉOULEMENTS Nous avons vu dans le chapite pécédent que la desciption du mouvement d un fluide pouvait ête «lagangienne» ou «euléienne». A pioi le point de vue euléien, pivilégiant la notion de champ d une gandeu au point M à la date t sea systématiquement utilisé. Dans la deuxième patie de ce chapite nous veons notamment comment les popiétés du champ des vitesses v (M, t) nous donnent des enseignements su la natue de l écoulement lui-même. Le point de vue lagangien ne peut cependant ête totalement abandonné. Nous allons voi à pésent comment le etouve dans la notion de déivation paticulaie : 1. DERIVATION PARTIULAIRE 1.1 Déivation locale Patons de l exemple d un champ scalaie euléien tel que le champ de pession P(M, t) ou de masse volumique ρ(m, t). On peut d abod envisage sa vaiation dans le temps en estant fixé su le point M de l espace : il s agit là d un point de vue euléien : les valeus de ρ(m, t + dt) et ρ(m, t) ne conceneont pas la même paticule de fluide. On pale alos de vaiation locale de la gandeu. Du point de vue mathématique on écit alos : dρ(m, t) = "#(M,t) d" dt ou = "#(M,t) dt La vaiation de la masse volumique en un même point M est due uniquement due ici à la vaiable tempoelle. 1.2 Déivation paticulaie On peut eveni à une conception lagangienne en emaquant que la valeu de la masse volumique au point M à la date t est aussi celle de la paticule qui s y touve. On peut alos s intéesse à la vaiation de cette masse volumique quand on suit la paticule. Pendant le temps dt, celle-ci se déplace du point M (x, y, z) au point M (x + dx, y + dy, z + dz) avec dx = v x dt, dy = v y dt, dz = v z dt où v x, v y, v z epésentent les composantes du vecteu v (M, t) qui est bien aussi la vitesse de la paticule en M. Détemine la vaiation coespondante de la masse volumique, c est calcule la difféence : ρ(x + dx, y + dy, z + dz, t + dt ) ρ(x, y, z, t)

2 PSI Bizeux h. DF2 : Étude cinématique des fluides 15 D un point de vue mathématique, on écia alos : dρ = "# "x dx + "# "y "# "# dy + dz + "z dt La vaiation de la masse volumique, calculée à pati du champ euléien, mais en suivant la paticule, c est-à-die du point de vue lagangien, est due ici à la fois à la vaiable tempoelle et aux vaiables de déplacement. En emplaçant dx, dy, dz alos eux-mêmes eliés à dt, il vient : dρ = "# "x v x dt + "# "y v y dt + "# "z v z dt + "# dt d" dt = "# "x v x + "# "y v y + "# "z v z + "# On voit bien la difféence d écitue avec la vaiation locale de ρ. Pou souligne cette difféence et insiste su le fait que ce n est pas le même «d"» dans les deux cas, on note pafois D" la quantité : dt D" = "# "x v x + "# "y v y + "# "z v z + "# appelée alos vaiation paticulaie de la masse volumique.. Retenons que la signification de la déivation paticulaie est foncièement attachée à l idée d une vaiation tempoelle d une gandeu associée à une paticule en mouvement mais a pioi décite sous la fome d un champ spatio-tempoel. On peut enfin emaque que l écitue pécédente se simplifie à l aide de l opéateu gadient et qu on peut écie : D" = v.gadρ + "# Rappelons que le deuxième teme est associé à une vaiation locale qui n existe pa définition qu'en égime vaiable. Le pemie teme quant à lui indique une vaiation convective indiquant que ρ a aussi vaié pace qu on s est déplacé. ette fomule se généalise à tout champ scalaie g(m, t) associé au fluide : D g = v.gadg + "g ette déivée paticulaie se décompose en : v.gadg déivée convective et "g déivée locale

3 PSI Bizeux h. DF2 : Étude cinématique des fluides Accéléation paticulaie Pami les gandeus attachées à une paticule de fluide se touve la vitesse elle-même. Suive la vaiation de cette vitesse quand on se déplace avec la paticule, c est tout simplement considée son accéléation. elle-ci peut donc ête diectement calculée à pati du champ euléien des vitesses gâce à la notion de déivation paticulaie pécédemment intoduite. La difficulté povient du caactèe vectoiel de la vitesse, difficulté qu on peut leve en considéant ses tois composantes scalaies en coodonnées catésiennes pa exemple. Pou chacune de celles-ci, on écia : a x = Dv x = v.gadv x + "v x a y = Dv y = v. gadv y + "v y a z = Dv z = v.gadv z + "v z Pou gade une elation vectoielle donnant l accéléation a en fonction de la vitesse v, nous intoduisons l opéateu v. gad dont l expession symbolique, en coodonnées catésiennes est : ( v.gad) = v x " "x + v y " "y + v z " "z de sote qu on peut l applique à un vecteu A selon la définition : ( v.gad) A "A = (v x x "x + v "A x y "y + v "A x ) "A z e x + (v y x "z "x + v "A y y "y + v "A y ) z "z Nous etiendons finalement l expession de l accéléation paticulaie : L accéléation d une paticule de fluide s obtient à pati du champ euléien des vitesses du fluide en écivant : a = D v = ( v.gad) v + " v e y + (v x "A z "x + v y "A z "y +v z Pou bien illuste le teme convectif de l accéléation, penons l exemple d un apide de ivièe : "A z "z ) e z A B

4 PSI Bizeux h. DF2 : Étude cinématique des fluides 17 Nous nous plaçons en égime stationnaie, où la vitesse du fluide en chaque point de la ivièe gade une valeu constante au cous du temps : v (M). Les lignes de couant s identifient alos aux tajectoies des paticules. Nous savons, pou l instant «intuitivement», que la vitesse en B est supéieue à la vitesse en A, le lit de la ivièe ayant une section plus faible au niveau du point B. Une paticule de fluide suivie de A en B, voit sa vitesse augmente : elle a nécessaiement accéléé, alos que le champ des vitesses du fluide ne dépend pas du temps. En égime stationnaie l accéléation est puement convective, c est à die liée au mouvement ou convection du fluide. On vu que pou un écoulement pemanent, l accéléation locale est nulle. Dans quel cas l accéléation convective est-elle elle-même nulle? est évident pou un écoulement unifome. Mais, plus généalement le teme convectif sea nul chaque fois que, dans l écoulement, toute paticule de fluide se déplace su une tajectoie fomée de points où la vitesse ne vaie pas spatialement. De tels écoulements sont dits laminaies. Un écoulement laminaie est donc caactéisé pa un champ de vitesses tel que ( v.gad) v = 0 itons l exemple déjà enconté du champ : v = v(y) e x pou lequel, l accéléation est identiquement nulle, puisque ce champ est aussi pemanent. 2 ARATERISTIQUES DU HAMP DES VITESSES D'UN FLUIDE 2.1 Flux et divegence incompessibilité Isolons au sein d un fluide en écoulement une masse M de fluide contenue à l instant t dans un volume T. ette même masse M, du fait de son déplacement, occupe à l instant t + dt, le volume T : T T elui-ci est engendé à pati du volume initial pa le déplacement des paois. Un élément de paoi ds engende dans son déplacement le volume élémentaie dτ = v. n ds dt.

5 PSI Bizeux h. DF2 : Étude cinématique des fluides 18 Globalement la vaiation dt du volume occupé pa M s écit donc : dt = "" v. n ds dt S soit dt dt = "" v. n ds S Le flux du champ des vitesses à taves la suface femée limitant un volume T associé à une masse donnée de fluide est donc diectement lié à la vaiation de ce volume. Nous avons déjà vu la coespondance ente le flux intégal et la divegence locale : le même aisonnement nous conduit à affime que la vaiation du volume élémentaie dτ d une paticule donnée de fluide de masse invaiable dm est liée à la divegence des vitesses au point où se touve la paticule à l instant t selon la fomule : d("#) dt = div v O, cette vaiation, si elle est non nulle, implique que la masse a été compimée ou dilatée. Donc en un point où est non nulle, on peut affime que la paticule qui s y touve vea une vaiation de masse volumique O, D" epésente aussi la vaiation de masse volumique quand nous suivons la paticule de fluide dans son déplacement. D apès la fomule de déivation paticulaie cette vaiation s écit : D" = v.gadρ + "# = v.gadρ - div(ρ v ) = - ρ div v ette denièe expession, touvée en utilisant l équation de consevation de la masse, nous pemet bien de etouve le ôle de div v dans la vaiation de la masse volumique de la paticule. Nous définions alos deux types d écoulements : - Les écoulements incompessibles pou lesquels div v est identiquement nulle en tout point de l écoulement. - Les écoulements compessibles pou lesquels cette identité n est pas espectée. 2.2 iculation et otationnel : toubillons Position du poblème Intéessons nous à pésent à la ciculation du champ des vitesses le long d une coube femée, c est à die à une intégale du type : " v. d v d

6 PSI Bizeux h. DF2 : Étude cinématique des fluides 19 Il appaaît intuitivement que si cette ciculation est non nulle su un contou femé donné (sans que celui-ci soit nécessaiement une ligne de couant), c est que le fluide «toune autou d un axe enlacé pa le contou». est paticulièement flagant su un champ de la fome v = v() e " en penant comme contou un cecle centé su l axe z (contou qui ici coïncide avec une ligne de couant). Pou un tel champ la ciculation le long de tout contou enlaçant l axe z seait non nulle. ez Le vecteu toubillon Examinons à pésent le cas d un champ de vitesses de la fome v = ω e ". est aussi le champ des vitesses d un solide en otation autou de l axe fixe z, à la vitesse angulaie ω. Remaquons alos que, pou ce champ de vitesses : ot v = ω ot e " + ω gad " e " = 2ω e z = 2 " est en aison de cette analogie que, pa définition, on appelle vecteu toubillon, le vecteu : " = 1 2 ot v Le vecteu toubillon, comme ot v dont il ne diffèe que pa le facteu 2, nous enseigne donc su le caactèe local «tounant» de l écoulement. Le vecteu " = 1 2 ot v est appelé vecteu toubillon : il indique une otation locale du fluide autou de sa diection. Nous pouvons à pésent écapitule tous ces ésultats et pocéde à une classification des écoulements suivant leus caactéistiques cinématiques : 2.3 aactéistiques d un écoulement Écoulements stationnaies (ou pemanents) Rappelons ici une définition pécédemment vue : Un écoulement pou lequel le champ des vitesses euléien du fluide v (M) est indépendant du temps t est dit stationnaie En écoulement stationnaie, il y a identité des tajectoies, des lignes de couant, des lignes d'émission. En oute:

7 PSI Bizeux h. DF2 : Étude cinématique des fluides 20 Dans un écoulement stationnaie, le débit MASSIQUE est le même à taves toute section d'un tube de couant. Retenons enfin que dans un écoulement pemanent l accéléation paticulaie ne peut ête que convective Écoulements laminaies Au contaie, un écoulement laminaie est caactéisé pa une absence d accéléation convective, le champ des vitesses ayant alos la popiété : ( v.gad) v = 0 Dans un écoulement laminaie, l accéléation convective est identiquement nulle : ( v.gad) v = Écoulements incompessibles- débit volumique D'apès le paagaphe pécédent, la divegence du champ des vitesses nous enseigne su la vaiation de volume d'un élément de fluide que nous suivons dans son déplacement. Si cet élément gade un volume constant, la divegence est donc nulle. Si cela est vai en tout point du fluide, le volume de tous les éléments de fluide sea consevé au cous de l'écoulement : un tel écoulement est dit incompessible. Un écoulement incompessible est un écoulement pou lequel div v est patout nulle : div v (M,t) = 0 Μ On peut alos défini le débit volumique à taves une suface S comme le flux du vecteu vitesse à taves cette suface. ette gandeu, expimée en m 3.s -1, epésente bien le volume de fluide tavesant S pa unité de temps : D v = "" v. ds S En oute, nous savons qu'un champ vectoiel à divegence identiquement nulle est également à flux consevatif. Rappelons que ceci implique que le flux de ce champ est nul à taves toute suface femée au sein du fluide, ou encoe qu il y a identité du flux à taves toutes les sections d'un tube de champ. Nous en déduisons une caactéistique intéessante d'un écoulement incompessible : Ou encoe : Dans un écoulement incompessible, le débit VOLUMIQUE est consevé à taves toute section d'un tube de couant. Dans un écoulement incompessible, les lignes de couant se esseent aux endoits de fote vitesse.

8 PSI Bizeux h. DF2 : Étude cinématique des fluides Écoulements toubillonnaies Un écoulement est dit toubillonnaie s il existe des points de l écoulement où le vecteu toubillon v " est non nul. Un tel écoulement pésente alos nécessaiement des lignes de couant tounant autou de ces points. Nous veons un peu plus loin avec la tonade un exemple d un tel écoulement. On etouve également souvent des toubillons dans le sillage d un obstacle que contoune un fluide Écoulements potentiels Un écoulement non toubillonnaie, nous l'avons vu, est tel qu'en tout point ot v = 0. A v peut ête associé un scalaie φ tel que v M, t) = gadφ(m, t). e scalaie est appelé potentiel des vitesses. Il n'est défini qu'à une constante additive pès. L écoulement est alos appelé écoulement potentiel. Un écoulement non toubillonnaie est dit potentiel : en tout point de l'écoulement, v = gad" où Φ est le potentiel de vitesses φ. Dans un écoulement potentiel, le champ des vitesses du fluide est donc à ciculation consevative : la ciculation de v le long de tout contou femé est nulle : les lignes de couant sont donc nécessaiement ouvetes Écoulements potentiels incompessibles Si, à la popiété pécédente, on ajoute l incompessibilité, caactéisée pa div v = 0, on obtient alos pou le potentiel des vitesses : div( gadφ) = 0 => ΔΦ =0 Dans un écoulement potentiel incompessible, le potentiel de vitesses φ obéit à l équation de Laplace ΔΦ = Ecoulement et conditions aux limites Jusqu'à pésent, nous nous sommes intéessés à l'écoulement du fluide indépendamment de ses limites. ependant celles-ci existent : une ivièe est limitée pa ses beges, un fluide est canalisé dans une conduite qui donc influe su l'écoulement. En fait, tout cops solide qui bode l'écoulement ou y fait obstacle va impose des conditions su la vitesse du fluide en son voisinage. Dans le éféentiel d'étude, en un point au voisinage immédiat d'un obstacle, le fluide ne peut avoi de composante de vitesse elative (ca l'obstacle peut ête lui-même en mouvement dans le éféentiel d'étude) nomale en ce point à la suface de cet obstacle. En effet, la vitesse du fluide epésente aussi la vitesse d'une paticule qui ne peut alle ni plus vite que l'obstacle (puisqu'elle ne peut y pénéte) ni moins vite (il se céeait alos du vide ente le fluide et l'obstacle).

9 PSI Bizeux h. DF2 : Étude cinématique des fluides 22 Un fluide ne peut avoi de vitesse elative nomale à un obstacle ette condition est véifiée pou tout fluide. En oute, selon que le fluide est pafait ou éel (c est à die visqueux) une condition supplémentaie doit ête considéée : Les fluides pafaits peuvent glisse le long d obstacles : aucune condition n est imposée à leu vitesse tangentielle elative à l obstacle. Les fluides éels, eux, adhèent à ces obstacles : leu vitesse tangentielle elative à l obstacle est également nulle Un fluide pafait n a aucune containte de vitesse elative tangentielle à un obstacle. Un fluide visqueux doit annule la totalité de sa vitesse elative à l obstacle. Si nous evenons en oute su l'exemple d'une sphèe en tanslation dans un fluide, nous avons en fait considéé que "loin" de la sphèe le fluide était au epos. Nous intoduisons là une condition aux limites du type "limite à l'infini". e modèle sea adopté chaque fois que nous pouons nous place à des distances gandes devant les distances caactéistiques du poblème envisagé. Ainsi, nous veons que la houle est un mouvement de l océan engende pa le vent à la suface. Nous pouons suppose que le fond de l océan, «au epos», coespond à une pofondeu infinie si celle-ci est gande devant les "ceux" fomés pa la houle... Une application possible de la condition d annulation de la vitesse nomale à un obstacle est la matéialisation dune ligne de couant. En effet, si l'écoulement est stationnaie, les lignes de couant sont les mêmes à tout instant. D'apès leu définition, la vitesse y est tangente en tout point et les conditions aux limites sont donc espectées en les matéialisant : l'écoulement pécédent est inchangé Nous pousuivons l étude cinématique des écoulements pa des exemples mettant notamment en évidence la topogaphie du champ des vitesses du fluide. Revenons en paticulie su l exemple de la tonade déjà plusieus fois évoqué :

10 PSI Bizeux h. DF2 : Étude cinématique des fluides UN EOULEMENT TOURBILLONNAIRE : LA TORNADE 3.1 hamp des vitesses - topogaphie Dans le modèle simplifié d une tonade, l écoulement du fluide pésente une symétie de évolution autou d'un axe e z. En coodonnées cylindiques le champ des vitesses poposé est de la fome : a v () = Ω e " a v () = Ωa2 e " 'est un champ othoadial dont le module ne dépend que de la distance à l'axe. A l'intéieu d'un cylinde de ayon a, la vitesse coît linéaiement de 0 à sa valeu maximale quand vaie de 0 à a, patie qui constitue "l'oeil " de la tonade, puis décoît jusqu'à l'infini où le fluide est au epos. La vitesse est continue en = a. Ωa Ω pofil des vitesses de la tonade e champ patout de la fome f() e " est à divegence nulle : l'écoulement est donc incompessible. alculons à pésent ot v en tout point de la tonade : - pou a ot v = ot (Ω e " ) = Ω ( ott e " + gad e " ) = 2Ω e z. - pou a ot v = ot ( "a2 e " ) = Ωa 2 ( 1 ot e " + gad 1 e " ) = Ωa 2 e ( z - e z ) = 0 e calcul monte l existence d un vecteu toubillon unifome Ω e z à l intéieu du cylinde et nul patout ailleus : l écoulement est bien toubillonnaie. Enfin, les lignes de couant et les tajectoies sont confondues : ce sont des cecles centés su l'axe e z.

11 PSI Bizeux h. DF2 : Étude cinématique des fluides iculation - as limite du votex La définition d'une tonade comme un écoulement à symétie cylindique, de la fome f() e " avec l'existence d'un vecteu toubillon, unifome à l'intéieu d'un cylinde d'axe z et de ayon a, donné pa " = Ω e z, et nul patout ailleus, pemet de etouve le vecteu vitesse en tout point. En effet, la ciculation du vecteu vitesse le long d'une ligne de couant s écit : - pou a " v. d = 2πv = "" ot v. ds = 2Ωπ 2 => v = Ω S - pou a " v. d = 2πv = "" ot v. ds = 2Ωπa 2 S => v = Ωa2 La ciculation le long d'une ligne de couant extéieue à l'oeil de la tonade est = 2πa 2 Ω. 'est donc une constante qui peut caactéise la tonade au même tite que la donnée de Ω. Imaginons le cas limite obtenu en faisant tende a ves 0 tout en maintenant constante : la tonade devient un votex défini pa : votex : pou > 0 v () = e # 2" e e nouveau champ de vitesses pouait appaaîte comme non toubillonnaie puisque ot ( " ) = 0. 'est en fait oublie qu il existe une singulaité en = 0, povenant du modèle limite qu'on s'est donné. Il ne faut plus alos s'étonne de l'appaent paadoxe : " v. d 0 avec ot v = 0 puisque cette ciculation fait appel à un contou englobant le point singulie = 0 où v n'est plus définie... Nous emaquons en oute qu ici les lignes de couant sont bien femées et entouent l axe z, lieu de la «singulaité». Le même poblème peut appaaîte de façon plus subtile encoe avec un champ de vitesses du même type, qui ne seait défini que pou une distance R : ceci pouait coesponde physiquement à la pésence au sein du fluide d un obstacle cylindique de ayon R : ici encoe le champ des vitesses est iotationnel (ot v = 0 ) mais les lignes de couant sont des cecles entouant le cylinde, cecles le long desquels la ciculation de v est non nulle... Remaque impotante : Le champ des vitesses du votex appelle le champ magnétique céé pa un fil infini de ayon a, pacouu pa un couant d intensité I. e champ avait en effet la configuation : B = µ I 0 e # 2"

12 PSI Bizeux h. DF2 : Étude cinématique des fluides 25 Nous veons que cette coespondance fomelle n'est pas qu une coïncidence due à cet exemple paticulie, mais coespond à une analogie pofonde ente les lois de la magnétostatique et les caactéistiques d un écoulement toubillonnaie incompessible. ette analogie magnétostatique touve une illustation amusante dans le «ond de fumée» émis pa un fumeu (ou plus séieusement pa un oifice cylindique comme le catèe d un volcan): celui-ci peut ête décit comme un anneau de toubillon filifome analogue à une spie ciculaie pacouue pa un couant i. L anneau toubillon est alos caactéisé pa sa ciculation, identique pou tous les contous femés entouant une fois l anneau. i Anneau de toubillon de ciculation spie ciculaie pacouue pa i 4. UN EOULEMENT POTENTIEL INOMPRESSIBLE Imaginons l exemple suivant : un tuyau cylindique de ayon a est pecé su sa péiphéie de tous épatis de façon unifome et isotope et émet pa ces tous un fluide homogène incompessible (de l eau pa exemple)avec un débit volumique D vl pat unité de longueu. On suppose enfin ce tuyau immegé dans le même fluide et on ignoe les poblèmes de limite (tuyau et fluide «infinis») : L écoulement est pemanent et la géométie suggèe un champ de vitesses de la fome : v = v() v e Il est bien potentiel puisque ; ot(v() v e ) = 0 Examinons à pésent les conséquences de l incompessibilité du fluide et donc de l écoulement : Le fluide compis ente deux cylindes concentiques de ayon a et et de hauteu h étant incompessible, le débit volumique entant doit ête égal au débit volumique sotant, soit :

13 PSI Bizeux h. DF2 : Étude cinématique des fluides 26 "" v. ds = 2πh v() = D vl h S Le débit volumique sotant de tout cylinde de ayon epésente le flux du vecteu vitesse à taves une suface»femée». Que ce flux soit non nul semble en contadiction avec div v = 0. Une fois encoe ce seait oublie que la vitesse n'est pas définie que pou des valeus de > a : la suface «femée» considéée possède en fait une «paoi intene», le tuyau de ayon a. On etouveait le même poblème en supposant le tuyau tès fin : il seait alos confondu avec l axe z qui deviendait un ensemble de points singulies où d ailleus la vitesse ne seait plus définie, le théoème d Ostogadski devenant alos inapplicable pou des sufaces femées entouent l axe Revenons à pésent à l expession du champ des vitesses déduite de la elation ci-dessus : v = D v 2" v e pou tout > a A cet écoulement potentiel coespond un potentiel des vitesses Φ tel que : d Φ = v. d => Φ = D v 2" ln + K La constante K doit ête fixée de façon abitaie en imposant l'oigine Φ = 0 en une valeu paticulièe de : il paaît ici logique d impose Φ = 0 en = a, d où : Remaque impotante : Φ = D v 2" ln a e champ des vitesses du votex appelle évidemment le champ électostatique céé pa un fil infini de ayon a, potant une chage linéique λ. e champ avait en effet la configuation : E = " e 2#$ 0 Et ce d autant plus qu au champ E est associé un potentiel V tel que E = - gadv (note cependant une petite difféence due au signe - ) et qui, dans cet exemple s écit : V = = - " 2# ln a ette coespondance fomelle n'est pas qu une coïncidence, due à cet exemple paticulie, mais coespond à une analogie pofonde ente les lois de l électostatique et les caactéistiques d un écoulement potentiel incompessible. Pousuivant alos les analogies ente électomagnétisme et cinématique des fluides, on pouait die que, de même que chages et couants sont les souces des champs électique et magnétique, souces (au sens de la dynamique des fluides) et toubillons sont les souces des écoulement potentiels ou toubillonnaies pou des fluides incompessibles. Le pincipe de supeposition appliqué en électomagnétisme peut alos ête également invoqué en cinématique des fluides : un écoulement complexe peut ête compis comme la supeposition d écoulements plus simples. Enfin, de même qu en électomagnétisme, des poblèmes aux géométies identiques et aux conditions limites identiques admettont la même solution.