Ce qui suit va donner une définition de l'ellipse, indiquer plusieurs propriétés et les démontrer. distance de F' à P plus distance de F à P égale 2 a

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Romain Lévesque
il y a 7 ans
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1 ropriétés de l'ellipse Ellipse - Ce qui suit v donner une définition de l'ellipse, indiquer plusieurs propriétés et les démontrer. Référene : e ours de M. Gerhrd Wnner, disponile sur : et plus préisément : pges 9, 30. Définition : Soit et F deu points du pln, plés sur l'e des pour simplifier. Soit un nomre réel positif. Une ellipse est l'ensemle des points telles que : distne de à plus distne de F à égle ' + = Quelques onventions, nottions et remrques : distne de à ser notée ' pr l suite. distne de F à ser notée pr l suite. n pler un repère d'origine u milieu entre et F. es oordonnées de sont : = ( ; 0). es oordonnées de F sont : F = ( ; 0). n noter = ( ; ) les oordonnées de. 'sisse minimle de est. 'sisse mimle de est. 'ordonnée minimle de est. 'ordonnée mimle de est. définition Notons e =, qui s'ppelle l'eentriité. our un erle, = 0 ; e = 0 ; = = ron. our une ellipse, <. Qund = 0, on : = ' = pr smétrie. r thgore : + = ropriété : ' + = pr définition. =( ; ) ' F =(0 ; ) ' F ropriété : ' = e, r : r thgore : = ( ) + et ' = ( + ) + Don : ' = ( + ) + ( ) + ' = ' = 4 ( ' + ) ( ' ) = 4 ( ) ( ' ) = 4 ' = = e, on utilisé l définition e =. CQFD =( ; ) ' F

2 ropriété 3 : ropriétés de l'ellipse Ellipse - nottion lçons une droite vertile d'éqution = = d. d = d e e distne de à l droite égle d l distne de à F, divisé pr e. ' C'est-à-dire : d = ou enore = e. F e d r l propriété, on : ' = ' r l propriété, on : = e Eliminons ' : = = = d =. CQFD e e e e e ropriété 4 : es oordonnées ( ; ) de stisfont l'éqution de l'ellipse qui est : r thgore : ( ) ( e) D'utre prt on vu que : = e. Don : ( e ) = ( e) + Développons et simplifions : e + e = e + e + = + = + on utilisé : = e. ( e ) = ( e ) + n utilise : e = = = Don : = + Ce qui donne : + = CQFD. En onséquene, l'éqution prmétrique de l'ellipse est : = os( t), r + = os ( t) + sin ( t) =. = sin( t) + =

3 ropriétés de l'ellipse Ellipse - 3 ropriété 5 : Si l'ellipse étit un miroir, un ron issu de F serit réfléhi sur. Formultion équivlente : si l'ellipse étit une tle de illrd, une lle lnée depuis F reondirit pour psser pr, quelle que soit s diretion de déprt! Cette propriété peut être utilisée pour onstruire un âtiment dont le toit urit l forme d'un ellipsoïde de révolution. Une personne en entendrit très ien une utre personne huhotnt en F. Mthémtiquement, el signifie que l'ngle θ entre le segment [F] et l tngente à l'ellipse en est égle à l'ngle θ ' entre le segment [] et l tngente à l'ellipse en. (.f. dessin.) En régé : θ = θ '. Q B lçons un point B sur l droite () qui se trouve à une distne de. θ ' θ ' Définissons l issetrie τ de l'ngle FB θ τ. ' F Don θ = θ '. Il reste à montrer que l issetrie τ est l tngente à l'ellipse en. renons un point Q sur τ. distne QB égle l distne QF, pr définition de l issetrie. Notons FQ ' l distne de à Q. n : F ' Q + QF = F ' Q + QB > F ' B = ' + = 'inéglité vient du fit que l ligne droite est le hemin le plus ourt entre et B. En onséquene, puisque FQ ' + QF>, le point Q se trouve en dehors de l'ellipse. issetrie τ touhe l'ellipse en et ne l roise ps. C'est don l tngente à l'ellipse en. CQFD. ropriété 6 : 'ngle θ entre l tngente et le segment [F] stisfit l reltion : = équivlente à ' sin ( θ ) = sin ( θ ) Cei est utile pour montrer l première loi de Kepler ffirmnt que les trjetoires des plnètes sont des ellipses. θ ' θ τ π θ F Nous utiliserons le théorème du osinus, qui dit que : ' os( π θ) = ' + ( ) Nous utiliserons ussi les reltions trigonométriques : os( π θ) = os( θ) = sin ( θ). r le théorème du osinus, on sit que : ' ( sin ( θ ) ) = ' + 4 ' os( π θ) = ' + ( ) 4 ' sin ( θ ) = ' + + ' 4 = ( ' + ) 4 = ( ) 4 ' sin ( θ ) = =, CQFD () Montrons l'équivlene nnonée : = sin ( θ ) ' = = = sin ( θ ) ' = sin() θ = ' sin() θ CQFD.

4 ropriétés de l'ellipse Ellipse - 4 ropriété 7 : Notons "ϕ " l'ngle entre le segment [F] et l'e des..f. dessin. Notons "ϕ " l'utre ngle entre le segment [F] et l'e des. et ϕ sont liés pr l reltion : = = + os( ϕ ) os( ϕ ) p Cette reltion se note souvent : = + e os( ϕ), ' ϕ ϕ F ve : p =. Rppelons que : e = et =. os( ϕ) = os( ϕ), r ϕ = π ϕ. C'est une propriété simple du osinus. Nous utiliserons le théorème du osinus, qui dit que : ( ) os( ϕ) = + ( ) ' Eliminons ' à l'ide de ' + = n otient : ( ) os( ϕ) = + ( ) ( ) = + ( ) os( ϕ) = os( ϕ) = + os( ϕ) = + = os( ϕ) ( ) = CQFD os( ϕ ) Remrquons enore quelques liens entre les grndeurs vriles, ', ϕ, θ et. ' + = ; = e ; ' = + e ; e = ; = os( ϕ) = os( ϕ) = = ; ' sin ( θ ) =. e Si le théorème du osinus vous est inonnu, voii une démonstrtion. J'i pris d'utres lettres que, et, pour éviter les onfusions ve e qui préède. r s A prtir des 4 reltions : h u ) os( α ) = s u u α ) u + h = r u 3) u + h = s 4) u+ u = u n élimine les inonnues u, u et h, pour otenir l formule du théorème du osinus. ) 3) : u u = r s ( u + u ) ( u u ) = r s u ( u u ) = r s u u s os( α) = r s + =, α est l'ngle opposé u oté r. Une utre ériture est : u + s u s os( α) = r. Ce théorème générlise le théorème de thgore, qui représente le s prtiulier ve α = 90. u s r u s os( α)

5 ropriété 8 : 'ire de l'ellipse est : Aire = π. Trçons un disque de ron entré en. renons une nde très étroite de lrgeur d, utour de l'sisse..f. dessin. oordonnée positive du erle orrespondnt à est : ropriétés de l'ellipse Ellipse - 5 = oordonnée positive e de l'ellipse orrespondnt à est : e Don le retngle gris ve les points d très étroit entré en, de lrgeur d et de huteur e est d'ire égle à huteur. fois l'ire du retngle gris très étroit entré en, de lrgeur d et de e 'ire de l'ellipse est une limite de somme d'ires de retngles gris ve les points très étroits. 'ire du disque est une limite de somme d'ires de retngles gris Conséquene, l'ire de l'ellipse égle fois l'ire du erle. très étroits. Aire de l'ellipse ( ) ropriété 8 is d'ire de segment. = π = π. CQFD. Cette démonstrtion fournit églement l'indition suivnte : 'ire grise ve les points égle fois l'ire du grise du segment irulire. e α 'ire du segment irulire d'ngle α vut l'ire du seteur d'ngle α moins l'ire du tringle d'ngle α et de ôtés. = α En résumé : sin( ) α = ( sin( )) α α. Aire du segment irulire d'ngle α vut : ( sin( )) α α Aire grise ve les points d'ngle α vut : ( sin( )) α α α s'ppelle l'nomlie eentrique. n en redisute à l pge suivnte.

6 ropriétés de l'ellipse Ellipse - 6 Anomlie eentrique et ire de l'ellipse. 'nomlie eentrique est l'ngle ψ définit sur le dessin. n tre un erle de ron, entré à l'origine. n projette le point = ( ; e ) de l'ellipse e vertilement sur le erle, pour otenir le point de ψ ϕ oordonnées ( ; ) sur le erle. ϕ s'ppelle l'nomlie vrie..f. Voii quelques reltions entre différentes grndeurs. sin( ψ ) = ; os( ) ψ = ; tn( ) ψ = ; e = e e sin( ϕ ) = ; os( ϕ) = ; tn( ) ϕ = ; α os( α) r mnipultions lgériques, en utilisnt = e ; tn =, ve α = ψ et α = + os( α) ϕ, ϕ + e ψ on montre que : tn = tn e. Clule d'ire de "seteur" de l'ellipse. loi des ires de Kepler inite à onsidérer l'ire grise représentée sur le dessin i-ontre. e ψ ϕ 'ire grise ve les points vut l moitié de l'ire otenue pour α = ψ. C.f. propriété 8 is. Aire grise ve les points = ( sin( )) ψ ψ = ( ψ sin( ψ) os( ψ)) = ( ψ sin( ψ) os( ψ)) 'ire grise sns les points égle l'ire d'un tringle = ( ) e = ( os( ) ) ( os( ) ) sin( ) ψ = ψ ψ = os( ψ ) sin( ψ) e sin( ψ). n utilisé e= et les reltions indiquées idessus. En dditionnnt es deu ires, le terme os( ) sin( ) ψ ψ s'élimine et don : Aire grise = ( sin( )) ψ e ψ Bernrd Gisin oût 006 Modifié en mi 007 (

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