Dossier : Fonctions affines

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1 Dossier : Fonctions affines Travail à présenter à l'oral : Question 1 : Rechercher et organiser l'information Élève 1 Il n'y a pas vraiment de travail de recherche Élève 2 Un travail de recherche plus important que pour l'élève 1. Calculer, mesurer, appliquer les consignes - Absence total de calculs - Question 3 et 5 non traitées Engager une démarche, raisonner, argumenter, démontrer - L'élève n'explique pas sa démarche. Aucune rédaction - Il parle des fonctions affines car on suppose qu'on traite le thème des fonctions affines en classe mais il n'en connaît pas la raison. Il n'explicite pas la fonction affine obtenue. - Il conjecture certains résultats sans preuves à l'appui mais il a conscience que la modification des notes entrainera une augmentation de celles ci. - Il comprend que le tableur sera un logiciel adapté pour faire le changement de notes et il explique qu'il n'est pas parvenu à l'utiliser car il ne connaissait pas l'expression de la fonction f. - Question 3 et 5 non traitées - Question 1: L'élève résout deux équations à deux inconnues mais fait une erreur dans le calcul de b. - Il a pu engager une certaine démarche pour résoudre la deuxième partie de la question 1 mais il ne démontre rien. Concernant la question 2 n'arrivant pas à aboutir il n'explique pas le raisonnement qu'il a utilisé. Il ne propose pas non plus d'utiliser un logiciel pour résoudre cette question. Il a toutefois conscience que ses calculs ne sont pas corrects car il obtient des notes supérieures à Question 3 : L'élève utilise la bonne méthode pour traiter cette question mais le fait d'avoir trouvé un résultat faux à la question 1 explique l'erreur commise par l'élève. Communiquer a l'aide d'un langage mathématique adapté - Il n'y a pas vraiment de langage mathématique utilisé mis à par le mot fonction affine - Succession de calculs avec peu d'explications Élève 3 Il y a un travail de recherche plus important que pour les deux élèves précédents - Question 3 non traitée - Inversion des questions 3 et 4 - L'élève répond bien aux consignes Question 1: L'élève résout deux équations à deux inconnues mais fait une erreur dans le calcul de b. Les résultats sont justes mais nous n'avons pas les détails de la résolution. Il explicite correctement par la suite la fonction obtenue après modification des notes. - La réponse est correcte pour la deuxième partie de la question 1 mais l'explication est incorrecte - Bonne utilisation du tableur pour donner les notes modifiées - L'élève lit correctement son tableau pour répondre à la question 3 - Question 5 : L'élève explique comment faire pour construire la fonction inverse et teste cette fonction sur un exemple pour vérifier ce qu'il affirme. Il obtient un résultat correct. Utilisation plus importante du langage mathématiques au niveau de la rédaction (fonctions affines, tableur, conjecture) Question 2 : Proposer au moins un exercice permettant de distinguer la notion de fonction linéaire et la notion de fonction affine non linéaire.

2 Exercice 1: (Fonction affine et fonction linéaire) Julien contacte une agence de voyages pour partir en croisière en Martinique. L'agence lui propose deux formules : Formule A : 75 euros pour chaque jour de croisière. Formule B : Un forfait de 450 euros puis 25 euros pour chaque journée de croisière. On désigne par x le nombre de jours de croisière. 1) Déterminer le prix de ce voyage pour 5, 6 et 7 jours. 2) Déterminer la fonction f qui donne le prix (en euros) payé par Julien avec la formule A en fonction de x. 3) Déterminer la fonction g qui donne le prix (en euros) payé par Julien avec la formule B en fonction de x. 4) Dans un repère, représenter graphiquement les fonctions f et g pour x compris entre 0 et 12. On choisira : 1 cm pour 50 euros en ordonnées. 1 cm pour 1 euro en abscisses Déterminer, par lecture graphique puis par le calcul à partir de combien de jours la formule B devient la plus avantageuse. Exercice 2: (Déterminer une fonction affine par le calcul) Dans un repère la représentation graphique de la fonction affine f est la droite (AB). On a A(4;-3) et B(1;3). 1) Expliquer pourquoi f (4)= 3 2) Quelle est l'image de 1 par la fonction f? Justifier la réponse. 3) Déterminer par le calcul l'expression algébrique de f (x). Exercice 3 : (Démonstration de la propriété de proportionnalité des accroissements) A) Conjecture à l'aide des TICE Dans cette partie on utilise un logiciel de géométrie comme géogébra 1 a) Préparer la feuille de dessin et afficher la grille et les axes. b) Dans la fenêtre de saisie, écrire «g(x)=5*x-8» puis valider c) Placer deux points A et B sur la droite tracée. 2) Afficher le tableur et le compléter afin d'obtenir la capture ci-contre. Tableur A B C D E 1 xa xb xa-xb 2 3 g(xa) g(xb) g(xa)=g(xb) (g(xa)-g(xb))/(xa-xb) 3) a) Dans la cellule A2, écrire «x(a)» puis valider b) Dans la cellule B2, écrire «x(b)» puis valider c) Dans la cellule C2, écrire «=A2-B2» puis valider d) Dans la cellule A4, écrire «g(x(a))» puis valider. Dans la cellule B4, écrire «g(x(b))» puis valider e) Dans la cellule C4, écrire «=A4-B4» puis valider f) Dans la cellule E3, écrire «C4/C2», puis valider. Quelle valeur trouve-t-on dans la cellule E3? 4 a) A l'aide de la souris, déplacer le point A et le point B sur la droite. Quelle remarque peut on

3 faire quant aux nombres écrits dans le tableur? B) Démonstration On considère la fonction f telle que f (x)=ax+ b f ( x Démontrer que si x 1 x 1 ) f ( x 2 ) 2 on a =a x 1 x 2 Question 3 : Présenter plusieurs fonctions affines associant des grandeurs dont l'intervention est usuelle dans la vie courante. Utilisation des fonctions affines lorsqu'on fait le plein d'essence On suppose qu'un automobiliste fait le plein d'essence (contenance du réservoir : 46L) et que sa voiture consomme en moyenne 8L aux 100Km. On suppose que l'automobiliste parcourt x kilomètres après avoir fait le plein. Consommer 8 L aux 100 km signifie que l'on consomme : =0.08 L pour 1km. Donc f : x 0.08x est la fonction nous permettant de calculer le prix correspond à x kilomètres parcourus. La quantité d'essence (en L) qu'il reste dans le réservoir. Donc il consomme 0.08x au bout de x km. Fonction qui exprime le reste : R : x x Utilisation des fonction affines lorsqu'on va au cinéma Un cinéma propose deux abonnements à ses clients. L'abonnement A propose de voir un film à 7,50 et l'abonnement B propose de payer 20 avant tout visionnage de film et le film est alors à 4,50. Pour x séances, la fonction f qui exprime le tarif du cinéma pour l'abonnement B est f : x 5x+ 10 Pour x séances, la fonction g qui exprime le tarif du cinéma pour l'abonnement A est g : x 7,5 x Utilisation des fonctions affines dans les abonnements téléphoniques Le prix de l'abonnement mensuel est A et le prix d'une communication à la minute est de 0,10 /min. La facture téléphonique est alors une fonction affine du nombre x de minutes de communication dans le mois : f : x A+ 0,1 x En lien avec la physique

4 La température en degré Fahrenheit T F s'exprime en fonction de la température en degré Celsius T C. La fonction donnant la température en degré Fahrenheit en fonction de la température en degré Celsius est donc f : x 1,8 x+ 32 Travail à présenter à l'écrit : Question 1 : Quelles sont les fonctions dont les élèves feront l'étude en classe de Seconde? Associer ces fonctions à des phénomènes physiques ou économique simples. Fonctions dont les élèves feront l'étude en classe de Seconde : Fonctions linéaires et fonctions affines Variations de la fonction carré, de la fonction inverse Fonctions polynômes de degré 2 Fonctions homographiques Domaine d'application de ces fonctions : Physique Exemple 1 Lors d'une chute libre, la hauteur de chute est proportionnelle au carré du temps écoulé: h=1/2 gt² On peut donc associer à cette situation la fonction carrée h:t 1 2 t² où t est le temps en seconde et h(t) la hauteur en mètres à l'instant t. Exemple 2 Pendant un cours de physique, les élèves d'une classe de 4 e étudient l'intensité qui traverse un dipôle, lorsque la tension à ses bornes vaut 1 V. La loi d'ohm permet d'écrire que l'intensité I et la résistance R du dipôle sont reliées par la formule R X I = 1 (U=RI) a/exprimer l'intensité I en fonction de la résistance R. b/quel encadrement peut-on donner de l'intensité si la résistance varie entre 3 et 5 ohms? Cet exercice permet de manipuler des inégalités avec la fonction inverse La résistance varie entre 3 et 5 donc on peut écrire 3 R 5 or I = 1/R Or on sait que la fonction inverse est décroissante sur R + donc R 1 3 Exemple 3 Lorsque deux résistances R1 et R2 exprimées en ohms sont montées en dérivation, alors on peut les

5 remplacer par une seule résistance R. Sa valeur exprimée en ohms est telle que a/ Vérifier que si R1 = 150 et R2 = 350 alors R = 105 b/ Exprimer R en fonction de R1 et R2 1 R = 1 R1 + 1 R2 Économie Fonctions affines et fonction linéaires (voir exemples précédents) Fonction carrée dans des problèmes où interviennent prix de vente et bénéfices, ainsi que des problèmes d'optimisation.

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