SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS INVARIANTS PERFORMANCES DES SYSTEMES ASSERVIS

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1 YTM LINAIR CONTINU INVARIANT tabilité des systèmes asservis PRFORMANC D YTM ARVI. Notion de stabilité La stabilité est communément reconnue comme étant associée à la notion d équilibre : Prenons les deux positions d équilibre d un pendule : n équilibre instable n équilibre stable A gauche si on écarte le pendule de sa position d équilibre, il finira par la reprendre. A droite, si on écarte le pendule de sa position d équilibre, il s en écarte définitivement. On peut élargir cette notion : tudions le mouvement d une bille reposant sur différentes formes. quilibre instable quilibre stable quilibre indifférent quilibres multiples stable et instable suivant le domaine d évolution Il faut donc étudier la qualité de la stabilité d un système asservis de façon plus précise. Page mmanuel FARG duklub.a.

2 . Aspect mathématique Un système est stable si à toute entrée bornée, le système répond par une sortie bornée Un système est stable si sa réponse libre (équation différentielle sans second membre) tend vers 0 lorsque le temps tend vers l infini. On a vu que toute fonction de transfert et donc en particulier la fonction de transfert globale d un système pouvait se mettre après décomposition en éléments simples sous la forme : ci H( p) avec pi les pôles de la fonctions de transfert globale du système. i p pi Or après transformée inverse de Laplace, on s aperçoit que : n Les pôles nuls engendrent des solutions de la forme t (non borné) ( pt) Les pôles réels engendrent des solutions de la forme i e ( borné si p< 0) Les pôles complexes qui sont nécessairement conjugués engendrent des solutions de la forme : ( Re( p ) t i ) ( t ) e sin i ϕi ( borné si Re p < 0) ( i ) La condition générale de stabilité est donc que les pôles de la fonction de transfert globale du système soient à partie réelle strictement négative. Ce critère est une condition de stabilité mais ne permet pas de quantifier la qualité de cette éventuelle stabilité, ce que nous ferons plus tard..3 Critère algébrique de ROUTH Ce critère algébrique permet de savoir si un système est stable ou non sans en déterminer la qualité. Il permet de savoir si les zéros d un polynôme sont à parties réelles négatives ou non. Pour la stabilité on s intéresse aux pôles de la fonction de transfert, donc aux zéros du N( p) polynôme au dénominateur : D( p) avec H( p) D( p) Posons : D( p) bp n n... bp b0 Les zéros de D(p) donc les pôles de la fonction de transfert sont à parties réelles strictement négatives si deux conditions : Condition : Tous les coefficients b i sont positifs. Condition : Tous les coefficients de la première colonne du tableau cidessous doivent être positif. i Le tableau se constitue de la façon suivante : Les deux premières lignes se remplissent avec les coefficients du polynôme D(p). Les lignes suivantes se déduisent des deux immédiatement précédentes, de la façon suivante : Page mmanuel FARG duklub.a.

3 p n b n b n b n4 p n b n b n3 b n5 P n bn bn bb n n 3 bn bn 4 bb etc n n 5 c d bn bn cb db n 3 n c p p p 0 Remarque : si les coefficients n existent pas, on y met des zéros et on ne va pas plus loin. Remarque : i un zéro apparaît dans la première colonne, on ne peut plus calculer les autres lignes. On s intéresse donc aux zéros du polynôme (pa)d(p) qui a les mêmes zéros que D(p) avec a en plus. Donc si a>0, cela ne change rien a la stabilité de notre système et cela nous permet d effectuer les calculs (en général on prend a)..4 Application à un deuxième ordre On prend un système représenté par un deuxième ordre à retour unitaire dont le schéma bloc est donné cidessous : ère colonne K p ξ p 0 0 K ξ p p 0 0 KBF FTBF K ξ BF p p ξ p p 0 0 K ξ avec KBF ξ BF K K 0BF 0BF 0BF 0 K Pôles de la fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) : i ξ BF < les pôles sont : i ξ BF > les pôles sont : ξ ± ξ < BF 0BF j 0BF BF Re 0 ξ ± ξ < BF 0BF 0BF BF 0 Conclusion : Un deuxième ordre est toujours stable (encore une fois sans notion de qualité de cette stabilité) Page 3 mmanuel FARG duklub.a.

4 .5 tabilité des systèmes bouclés On va chercher à quantifier la qualité de cette stabilité en définissant des marges visàvis de la stabilité limite. On considère le système bouclé classique : A(p) B(p) Ap ( ) A( p) FTBO ApBp ( ) ( ) et FTBF ApB ( ) ( p) FTBO Faire l étude de la stabilité de ce système revient à faire l étude des solutions du polynôme : FTBO 0 soit FTBO Donc l étude de la stabilité se fait dans ce cas sur la FTBO Le point est appelé point critique Condition pratique de stabilité : Le but est de s écarter le plus possible du point critique pour ( jπ ) HdB 0dB lequel : e. oit ϕ Marge de Gain :Valeur courante :0dB On lit la marge de gain sur les diagrammes de Bode de la FTBO H ( db ) ϕ ( ) MG < 0 Point critique en phase On se place au point critique sur le diagramme de phase ϕ ( ) 80 et on lit la marge de gain sur le diagramme de gain. La marge de gain est l écart entre 0dB et le gain au point critique en phase. i on amplifie au point critique, le système est instable : MG<0. i on atténue au point critique, le système est stable avec une marge MG>0 Page 4 mmanuel FARG duklub.a.

5 Marge de Phase :Valeur courante 45 On lit la marge de phase sur les diagrammes de Bode de la FTBO 80 H ( db ) ϕ ( ) Point critique en gain 0 db Mϕ < 0 On se place au point critique en gain (0 db) et on lit la marge de phase sur le diagramme de phase La marge de phase Mϕ est l écart en 80 et la phase au point critique en gain. i la phase au point critique en gain est inférieure à 80, alors le système est instable et Mϕ < 0 i la phase au point critique en gain est supérieure à 80, le système est stable avec une marge de phase Mϕ > 0 Marge de phase et de gain sur un diagramme de Black : lles sont définies de façons identiques mais se lisent différemment, comme suit : ystème instable Point critique MG<0 Mϕ > 0 Mϕ < 0 MG>0 ystème stable Page 5 mmanuel FARG duklub.a.

6 .6 Influence du gain sur la stabilité des systèmes bouclés On considère le système bouclé classique avec un correcteur proportionnel K dans la boucle ouverte suivant : ans gain dans la boucle ouverte K A(p) la FTBO de ce système vaut : FTBO A(p) B(p) Avec gain dans la boucle ouverte, la FTBO de ce système devient : FTBO K A(p) B(p) 0LogK i on augmente le gain en boucle ouverte, la phase de la FTBO reste inchangée, alors que le gain est multiplié par K. Cela veut dire que la courbe de phase dans Bode est la même avec ou sans gain alors que la courbe de gain avec gain se déduit de celle sans gain par translation de 0LogK vers le haut : ans gain K H ( db ) ϕ ( ) MG < 0 B(p) Avec gain K MG > 0 On passe donc d un système stable puisque la marge de gain MG est positive à un système instable puisque la marge MG peut devenir négative avec le correcteur proportionnel (K suffisamment grand) dans la boucle ouverte. 80 Point critique en phase Conclusion : Tout système devient instable pour des gains en boucle ouverte suffisamment grand. L action proportionnelle (gain) déstabilise les systèmes.6 Influence de l intégration sur la stabilité des systèmes bouclés On considère le système bouclé classique avec une correction intégrale dans la boucle ouverte suivant : A(p) ans intégration ( α 0) dans la boucle ouverte la FTBO de ce système vaut :FTBO A(p) B(p) p α B(p) Page 6 mmanuel FARG duklub.a.

7 Avec intégration dans la boucle ouverte, la FTBO de ce système devient : FTBO ApBp ( ) ( ) p α L influence de l action intégrale est très simple sur les courbes de phase des diagrammes de Bode. n effet la phase d un intégrateur est constante et vaut 90. Donc les courbes de Bode sont translatées de 90 vers le bas à chaque fois que l on rajoute un intégrateur. Aucune intégration Une intégration ϕ ( ) Point critique en phase sans intégration econde intégration Point critique en phase avec une double intégration déplacé vers la gauche, c est à dire vers les zones d amplification au gain statique MG fi 0LogK Le système est déstabilisé 80 Point critique en phase avec une intégration déplacé vers la gauche, c est à dire vers les zones d amplification : Mauvais pour la stabilité Conclusion : L action intégrale dégrade la stabilité des systèmes Précision des systèmes asservis.. cart rreur Précision La précision caractérise l écart entre la consigne et la valeur atteinte. [ ] lim et () st () lim p ( p) ( p) d après le théorème de la valeur finale. t p 0 ( p) lim p( p) [ H( p) ] avec H( p) FTBF p 0 ( p ) Considérons un système à retour unitaire pour regarder la précision d un système. A(p) KBO N( p) Ap ( ) FTBO α p Dp ( ) avec N(0) D(0) 0 p( p) Donc : lim p 0 FTBO Page 7 mmanuel FARG duklub.a.

8 . Précision statique L erreur statique notée s est l erreur en régime établie pour une entrée de type A échelon : ( p) p A A siα 0:pasd'intégrationenboucleouverte Donc : s lim KBO p 0 K BO 0 siα :aumoinsunintégrateurenboucleouverte p α Conclusion : L erreur statique d un système bouclé est nulle si on a au moins un intégrateur en boucle ouverte. L erreur statique est d autant plus faible que le gain en boucle ouverte K BO est grand quand il n y a pas d intégrateur en boucle ouverte..3 Précision dynamique L erreur en vitesse ou précision dynamique ou encore erreur de traînage s est l erreur en V régime établi pour une entrée rampe du type ( p) p Donc : V t lim p 0 K BO p p α si a0pasd'intégrateurenboucleouverte V si aunintégrateur enboucleouverte KBO 0 si a aumoinsdeuxintégrateursenboucleouverte.4 Résumé On peut généraliser la notion de précision en fonction du nombre d intégrateur dans la boucle ouverte sous forme d un tableau : ntrée Précision, erreur 0 intégrateur intégrateur intégrateur 3 intégrateur chelon : A u(t) rreur statique A KBO Rampe : V t u(t) rreur en vitesse Parabole : γ tut () ² rreur en accélération.5 Influence des perturbations V K oit le système perturbé représenté par le schéma bloc cidessous : BO 0 0 γ 0 K BO Page 8 mmanuel FARG duklub.a.

9 P F (p) F (p) est l entrée du système, c est à dire la consigne est la sortie du système, c est à dire la réponse à l entrée P est une seconde entrée du système appelée perturbation car elle est subie, c est à dire qu on ne la maîtrise pas : le vent, la houle, les courant dans le cas d un pilote automatique de bateau chargé de maintenir le cap de l embarcation. e : est l erreur du système puisque c est la différence entre l entrée (ce que l on veut faire) et la sortie (ce que l on a fait) Plaçons nous dans le cas général pour les fonctions de transfert F et F : K N( p) N( p)polynomeenpavec N(0) C est à dire : F ( p) avec α p D ( p) D( p)polynomeenpavec D(0) K N( p) N( p)polynomeenpavec N(0) t : F ( p) avec α p D( p) D( p)polynomeenpavec D(0) Il existe deux types d erreur sur ces systèmes puisque l on a deux types d entrées différentes. On peut donc décomposer l erreur en deux : Une erreur visàvis de l entrée, c est à dire la consigne (à perturbation nulle) : Une erreur visàvis de la perturbation (à consigne nulle) : On a alors : Calculons : On peut refaire le schéma bloc avec une perturbation nulle : FF Donc FF F (p) F (p) Calculons : On peut refaire le schéma bloc avec une entrée nulle : F P F [ ] F (p) P F (p) Page 9 mmanuel FARG duklub.a.

10 FP D où : FF Les erreurs visàvis de l entrée ayant déjà été abordées, on ne s intéresse ici qu à l erreur statique visàvis de la perturbation. On soumet donc le système à une perturbation échelon (erreur statique), et on regarde quelle est l erreur générée : s lim () t lim p( p) t p 0 PpF ( ) ( p) P0 F pf p p s lim p( p) lim p avec P( p) p 0 p 0 ( ) ( ) s PK p PK p PK p α α α lim 0 ( ) lim 0 ( ) lim p α α p α α p 0 KKp KK KK p Donc si on veut annuler l erreur statique visàvis d une perturbation (ce qui est très intéressant étant donnée qu en général on ne maîtrise pas cette perturbation) : il faut α Conclusion : Pour annuler l erreur statique visàvis d une perturbation, il faut placer au moins un intégrateur avant celleci. Page 0 mmanuel FARG duklub.a.

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