CHAPITRE 10 LES SYSTÈMES BOUCLÉS

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1 Systèmes liéaires Automatique CHAPITRE 10 LES SSTÈMES BOUCLÉS 1. Itroductio Jusqu'à préset, ous 'avos cosidéré que des systèmes "e Boucle Ouverte" (abréviatio BO): pour obteir ue boe commade, l'opérateur doit avoir cofiace das l'étaloage de so système ou vérifier, à tout momet, que la sortie réagit comme il le désire. L'idée de vérifier la sortie du système est maiteat itégrée à la commade: le système "e Boucle Fermée" (abréviatio BF) ou système asservi (abréviatio SA) est mui de boucles de retour, qui ramèet l'état des sorties au iveau des etrées, pour comparaiso ou réactio. Nous motros das ce chapitre commet s utiliset les abaques facilitat l étude des systèmes bouclés. Puis ous défiissos la otio de système du secod ordre domiat.. Améagemet du diagramme foctioel..1 Système asservi simple. Pour les études qui vot suivre, ous e cosidéreros que les systèmes asservis à retour uitaire: Système asservi à retour uitaire. C'est u système asservi dot la foctio de trasfert de la boucle de retour est costate et égale à 1: E est appelée foctio de trasfert du système e boucle ouverte ou boucle pricipale. Pour u système asservi à retour uitaire o a: E(p) = (p) (p) et (p) = (p).e(p) avec: d'où: doc: E(p) = LP[e(t)] ; (p) = LP[x(t)] ; (p) = LP[y(t)] (p) = (p).[(p) (p)] et E(p) = (p) (p) = 1 et E 1 = 1. Systèmes asservis à boucles multiples. Le fait de e cosidérer que les systèmes à boucle uitaire 'est pas ue limitatio. E effet, l'algèbre des diagrammes permet toujours de se rameer au cas de la boucle uitaire. 55

2 Systèmes liéaires Automatique Exemples: 1. A B deviet : A.B 1/B. A B C deviet: A B 1 B. C puis : A. B. 1 B. C 1/ 3. étermiatio graphique de la foctio de trasfert e BF : Les abaques de Hall et de Nichols Les abaques de Hall et de Nichols correspodet respectivemet aux plas de Nyquist et de Black. O parle aisi souvet d abaque de NyquistHall et de BlackNichols. E pratique, du fait que l o a expérimetalemet accès au module et à la phase de la foctio de trasfert d u système, l abaque de BlackNichols est le plus souvet utilisé. 3.1 Itérêt Ces abaques représetet sur u même pla (Nyquist ou Hall) la FTBO et la Foctio de Trasfert e Boucle Fermée (FTBF) du système cosidéré. Cela évite doc des calculs souvet logs et fastidieux et permet d obteir ue visio «graphique» du problème très utile pour l étude des performaces des systèmes et de leur régulatio abordée das la secode partie du cours d automatique. 56

3 Systèmes liéaires Automatique 3. escriptio du problème Soit le système asservi décrit à la figure E Figure Système asservi à retour uitaire. La foctio de trasfert du système e boucle fermée est obteue par le calcul avec la relatio que ous avos démotrée cidessus : ( ) H p =. 1 H Iversemet o peut exprimer la FTBO e foctio de la FTBF : ( ) p =. 1 H p ( ) E régime harmoique, o a doc : ( ) H H jω = et ( ) jω =. 1 1 H Aisi pour chaque valeur ω i de ω la coaissace de ( jω i ) e module (db) et argumet ( ) permet de détermier H ( jω i ) e module et argumet. E ses iverse, la coaissace de H ( jω i ) etraîe celle de ( jω i ). Les abaques de Hall et de BlackNichols permettet de passer graphiquemet de à H et viceversa (le passage de H à est pas utilisé e pratique). 3.3 Pla de Nyquist: Abaque de Hall. La figure 10. décrit u système de FTBO décrit das le pla de Nyquist. Im[ ] θ A 1 M θ 1 O Re [ ] E boucle fermée, o a : H Figure 10.. = 1 OM p et AM = 1 p avec: ( ) ( ) La FTBF vaut doc : H OM AM OM AM = =. θ 1 θ 57

4 Systèmes liéaires Automatique La costructio poit par poit de H (coaissat pla de Nyquist deux faisceaux de courbes correspodat à : arg Mod [ H ] = Cte = θ [ H ] = Cte = M Costructio de ces faisceaux de courbes : E posat ( jω ) = x jy, H ( j ) = M ω doe : x j. y = M 1 x j. y ) est alors facilitée si o trace das le soit: x y 1 x. x y = M ou ecore: x M y (. x 1). M 1 = 0 Cette derière équatio représete u cercle de cetre: M, 1 0 M y y e même, arg [ H( jω )] = θ doe : Arctg Arctg = θ x 1 x et de rayo : M M 1 or : tg( a b) ( ) tg( b) tg( a) tg( b) tg a = 1. / x y /( 1 x) ( y / x).( y /( 1 x) ) doc ici : y 1 = tg( θ) = N soit : y x y x = 0 N Cette équatio représete égalemet u cercle de cetre : 1 1 x0 =, y0 =. N 1 N.N Les cercles apparteat à cette derière famille passet tous par les poits : (0,0) car : x y = distace du cetre à l' origie = R (1,0) car : ( 1) 0 0 x y = distace du cetre au poit (1,0) = R. 0 0 et de rayo : Les deux faisceaux de cercles sot orthogoaux. Ils formet l'abaque de Hall. 58

5 Systèmes liéaires Automatique 3.4 Pla de Black: Abaque de Nichols. L'utilisatio de l'abaque précédat écessite ue représetatio de la FTBO das le pla de Nyquist. Lorsqu'o désire travailler das le pla de Black, cas le plus fréquet, o doit doc se servir d'u autre abaque: l'abaque de Nichols. Ce deuxième abaque est costitué de deux faisceaux de courbes, H ( j ) = Cte arg [ H( jω )] = Cte ω et, tracées das le pla de Black. Ces faisceaux sot obteus à partir de ceux de l'abaque de Hall par ue trasformatio permettat de passer du pla complexe au pla module/phase. L'abaque de Nichols est symétrique par rapport à l'axe 180 et gééralemet, le poit (180, 0dB) est pris comme origie des axes. 3.5 Utilisatio des abaques. O trace sur l'abaque utilisé ou sur ue feuille de papier trasparete posée sur l'abaque, le lieu de trasfert relatif à la FTBO ( jω ) et o gradue cette courbe e foctio de ω. Ce lieu coupe les faisceaux de courbes H ( j ) = Cte arg H = [ ] Cte [ H ] alors, pour diverses valeurs de ω, les valeurs de arg poit à poit les courbes de gai et de phase du système e boucle fermée. ω et de l'abaque. O ote H et qui permettet de costruire Remarque: lorsque le système asservi est mis e série avec ue autre foctio de trasfert: cas de : A B trasformé e : = A.B 1/B La foctio de trasfert de l'esemble est obteue das le pla de Bode, e effectuat simplemet la différece etre les courbes de gai et de phase de H(p) et de B(p). 4. Itroductio de perturbatios. E pratique, la plupart des systèmes sot victimes de perturbatios. Pour étudier l'ifluece de ces "etrées secodaires", le pricipe de superpositio est d'u grad secours. Pour l'aalyse d'ue perturbatio, o cosidère que toutes les autres etrées sot costates et ulles. E utilisat le théorème de superpositio, le système décrit à la figure est arragé par l'algèbre des diagrammes afi d obteir les soussystèmes de la figure

6 Systèmes liéaires Automatique e A1 A Figure =0 A A1 =0 A1.A Figure Fialemet, das le domaie de Laplace, l'équatio de sortie du système est : A1.A A1.A 1 = 1 A1.A 1 A1.A A1 ou e simplifiat : =.H.H a r H r est la foctio de trasfert du système e mode régulateur : le système doit faire face aux seules perturbatios. H a p est la foctio de trasfert du système e mode asservissemet. ( ) 5. Les paramètres d u secod ordre domiat La otio de secod ordre domiat a été brièvemet abordée das le chapitre 8. as les cas courats assez simples, pour les systèmes d ordre supérieur à deux, o peut défiir u système du secod ordre (K, ξ, ω ) dot le comportemet est assez proche du système réel. Nous doos ici la techique pour calculer les paramètres du secod ordre équivalet. Le bouclage coserve l ordre d u système. N O a ( ) p = doc ( ) N H p = =. 1 N L ordre du système est le degré de so déomiateur. Puisque le degré de N est au plus égal à celui de, il est clair que H et ot le même ordre. Cosidéros le système de la figure 10.5 de FTBO 1 d ordre supérieur à deux. La phase de 1 pour les hautes fréqueces dépasse 180 (e valeur absolue). 60

7 Systèmes liéaires Automatique H e BF est égalemet d ordre supérieur à deux. Cepedat, pour les fréqueces moyees H présete u résoace comparable à celle d u secod ordre. O peut doc défiir u secod ordre équivalet au système de foctio de trasfert 1 dot les paramètres sot K, ξ et ω. K apparaît e db pour ω = 0. ξ est détermié par le facteur de résoace M p déduit sur l abaque de BlackNichols : R M p ( ) H ( 0) = H ω. R ω est la pulsatio de résoace correspodat au maximum du module de la FTBF Le module de la FTBO est alors taget au cotour H pour la valeur ω max R de ω. ω est détermié par de ω doat u argumet de 90 à H. H. ωr ω =. as ce cas, ω e coï cide pas tout à fait avec la valeur 1 ξ L objectif de l automatique cosiste à corriger afi d obteir pour modèle du secod ordre équivalet : ue valeur de ξ coduisat à ue stabilité acceptable, ue valeur de ω qui améliore le temps de répose, ue boe précisio (gai statique uité). H décrit par u 61

8 Systèmes liéaires Automatique 6

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