SYSTEMES ASSERVIS LINEAIRES

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1 I. Systèmes lnéares, contnus et nvarants. Défnton d un système lnéare Un système dynamque est Lnéare s la relaton entre les grandeurs hysques d entrée et de sorte est un système d équatons dfférentelles lnéares. Cette hyothèse de lnéarté a our conséquence les rorétés d homogénété et d addtvté. Un système dynamque lnéare réond donc au Prnce de Sueroston : e ( Système s ( α, β R lnéare Système e ( Système lnéare s ( lnéare

2 . Défnton d un système nvarant Un système est nvarant, s son comortement n est as foncton du moment où on le sollcte (nvarance dans le tems, as de fluage, as de vellssement du comortemen Un système lnéare nvarant est modélsable ar un système d équatons dfférentelles lnéares à coeffcents constants e( Système s( e(tt Système Invarant lnéare e( s(tt s( 9/4/6 t t systèmes dynamques lnéares (P. Cayla T

3 3. Défnton d un système contnu Les grandeurs hysques (entrées, sortes du système sont des grandeurs défnes our chaque nstant t [,nfn]. Ces grandeurs hysques sont des varables analogques. Remarques : En toute théore, les systèmes hysques ne sont n contnus (comortement mcroscoque, n nvarants (vellssement des comosants, n lnéares. Dans la ratque, on se ramène à ce cadre d étude ar des hyothèses smlfcatrces le lus souvent ustfées ar un domane de valdté du modèle roosé Exemle : Equaton du endule && θ a.snθ Lnéarsaton au vosnage d un ont d équlbre && θ a. θ

4 4. d un système lnéare, contnu, nvarant Pour réalser l étude des erformances d un système asserv, l est nécessare d établr les relatons entre les entrées et les sortes. Consgne e( Hyothèse : On étudera des systèmes asservs lnéares contnus nvarants monovarable ( entrée de consgne, entrée de erturbaton et sorte. Perturbaton ( Système Ln. Cont. et Inv. Sorte s( Consgne e( Perturbaton ( Système Ln. Cont. et Inv. Système Ln. Cont. et Inv. Sorte s( Sorte s( s(

5 a. ar équatons dfférentelles Hyothèse de traval : On consdère un système lnéare nvarant mono varable ( entrée et sorte L évoluton du système est rerésentée ar une équaton dfférentelle lnéare à coeffcents constants : n m d s( ds( d e( de( ( an. K a. a. s( bm. K b. b. e( n m dt dt dt dt n est l ordre du système (ussance de l équaton caractérstque. a et b coeffcents constants. m n our obtenr un système hysquement réalsable.

6 Réonse lbre : e( condtons ntales en t Réonse forcée : e( La soluton totale de l équaton ( est la somme : De la soluton de l équaton caractérstque (équaton ( sans le second membre..> Réonse transtore. De la soluton artculère ssue du second membre (méthode : varaton de la constante,..>réonse ermanente. Remarque : Méthode délcate our des équatons d ordre élevé.

7 b. ar Transmttance Défnton : Transformée de Lalace A toute foncton f( causale, foncton de la varable réelle t (tems, on fat corresondre une foncton F( de la varable comlexe (varable de Lalace telle que : σ ω. L[ f ( ] F( f (. e. t. dt Remarque : On montre que cette transformée de Lalace exste (C.S. s l y a convergence de l ntégrale, alors la arte réelle de la varable de Lalace dot être suéreure à une valeur aelée abscsse de sommablté.

8 On consdère un système lnéare au reos à l nstant ntal t, c est-à-dre que la sorte s( et toutes ses dérvées sont nulles our cet nstant. Domane temorel Domane de Lalace e( Système s( E( H( S( Transformée de Lalace de l entrée Transformée de Lalace de la réonse mulsonnelle : Transmttance ou Foncton de Transfert du système

9 Hyothèse : Les condtons ntales sur s( et e( sont nulles. S ce n est as le cas, on réalse un changement de varables our se ramener dans ce cas. Nous obtendrons alors la soluton : s(varaton calculéec.i On montre : Sot f ( une foncton temorelle et F( L[ f ( ] df ( L[ ] dt. F( f ( d L[ f ( ] dt. F(. f ( S les condtons ntales (C.I sont nulles alors : df dt ( f ( n d f n dt (

10 Alors la transformée de l équaton ( : n n m m ( a. a. K a. S( ( b. b. K b. E( n n m m Fnalement S(H(.E( ou H( Foncton de transfert du système ou Transmttance (Fracton Ratonnelle

11 II. Transformée de Lalace -. Transformée de Lalace A toute foncton f( causale, foncton de la varable réelle t (tems, on fat corresondre une foncton F( de la varable comlexe (varable de Lalace telle que : F ( [ ( ] (.. t L f t f t e. dt f ( f (. u( u( t t

12 . Transformée de Lalace de Fonctons usuelles - Prorétés Foncton Echelon (Heavsde s t u( s t < u( t L[ u( ]. e. dt. t

13 Foncton Imulson (Drac Lm s t T δ ( T T s t < et t > T /T δ ( t T L[ δ ( ] Lm T. e T. t. dt DL : e x x x!...

14 Foncton exonentelle f ( a. t e. u( f( t L[ f ( ] e a. t. t. e. dt a

15 Tableau des fonctons usuelles : Drac Heavsde Rame n N a C f( e δ ( u( t. u( t n a. t. u(. u( F(L[f(] n! n a a C e e a. t a. t f( F(L[f(] a. t t. e. u( ( a sn( ω.. u( ω cos( ω.. u( ω ω.sn( ω.. u(.cos( ω.. u( ω ( a ω a ( a ω

16 Prorétés : Prorété Orgnal Image α, β C [ α. f ( β. g( ]. u( α. F( β. G( Lnéarté Dérvaton Intégraton df ( t u ( t. F( f ( t dt d f ( t df ( t u ( t.[. F( f ( t ] dt dt F ( f ( x. u ( x. dx t t a F( f ( x. u ( x. dx. a f ( x. dx

17 Prorétés : Prorété Orgnal Image τ > f ( t τ. u( t τ τ. e. F( Translaton (retard Homothéte Changement d unté de tems Multlcaton ar a f ( a.. u ( a e f ( t a.. u ( t ( t. u ( t. F ( a a a. F( a. a. t F ( a f

18 Théorèmes : Théorème De la valeur ntale Lm f ( t df ( Lm t dt Lm. F( Lm.[. F( f ( ] De la valeur fnale Lm f t ( Lm. F( Lm t df ( dt Lm.[. F( f ( ]

19 3. à un système lnéare, Foncton de Transfert e( Système Ln. s( Cont. et Inv. n m d s( ds( d e( de( ( an. K a. a. s( bm. K b. b. e( n m dt dt dt dt Hyothèses : C.I. nulles S(H(.E( ou H( S( E( b a m n.. m n K b K a Foncton de transfert du système H( et E( sont des fractons ratonnelles alors S( auss

20 4. Réonse temorelle, Décomoston en éléments smles H ( S( E( b a m n.. m n K b K a e( H( Pour une entrée e( donnée, E( est calculable, ar conséquent: S( N( D( d c r s.. r s K d K c s( Le dénomnateur D( est un olynôme de degré s, l a donc s Les coeffcents c étant réels, les racnes comlexes sont conuguées à

21 Donc on obtent : D( k. l k ( α. s l ( a Présence ossble de racnes multles On montre en Math que la décomoston en éléments smles donne la forme suvante : ω S( Lm S( des tros cas

22 R k A A S ( α k D ( ( α k D ( ( β l a D ( ( ω Racnes smles Racnes doubles Racnes comlexes R k B B B S ( ( ( β β, ( ( ( [ ( R l D C a D a a C S ω ω Décomoston en éléments smles

23 S( A R k A α On multle les deux membres ar On ose α A ( α S( ( B R k B B β ( β On multle les deux membres ar On ose β B ( β On multle les deux membres ar Et calcul d une lmte ( β B

24 l C ( a S( [ ( a ω C, D R D ( a ω On multle les deux membres ar On ose ( a. ω ( a ω On résout l équaton comlexe (dentfcaton C, D

25 Exemles : Détermner la décomoston en éléments smles de S(. En dédure la forme temorelle de la foncton s(. S( (.( S(. 3. S( (. 3.(. 4.

26 III. Foncton de transfert - Forme canonque. Forme canonque e( H( s( H ( S( E( K. α. ( L b m ( L a n.. m n. e T. Où : K est le gan de la foncton de transfert. α α n Retard de T secondes est la classe de la foncton de transfert (nbr d ntégrateur est l ordre de la foncton de transfert (ordre de l éq. dff.

27 . Fonctons de transfert usuelles Système roortonnel e( H( s( s ( K. e( H ( K Système du er ordre T. s& ( s( K. e( Système ntégrateur H ( s &( K. e( H ( Système double ntégrateur Système du ème ordre && s(. ξ. s& ( s( ω ω && s ( K. e( H ( K. e( H ( K T.. K K K. ξ ω ω

28 H ( H ( 3. Remarques - Vocabulare K.( T. K.( L.( T. est une foncton de transfert du ème ordre de classe est une foncton de transfert du ème ordre généralsée de classe De même our les fonctons de transfert d ordre suéreur Pour un système sans ntégraton (classe : Le gan K de la foncton de transfert est aelé gan statque. K Lm s( t Lm e( t Lm H( [ unté de K] [ unté [ unté de s( ] de e( ]

29 Pour un système ossédant une ntégraton (classe : K H( ds( Lm t dt Lm e( t K.( K a n Lm. H(. n V ( Le gan K de la foncton de transfert est aelé gan en vtesse. [ unté K de K ] [ unté [ unté de s& ( ] de e( ] u( [V] K.( T. θ ( [rd] [ unté de K ] rad / V s

30 IV. - Manulaton Un système comlexe se comose en réalté d une combnason d un certan nombre de sous système smles ayant sa rore foncton de transfert. Pour un système bouclé, le schéma fonctonnel est classquement de la forme suvante (esace temorel : Perturbaton( e( Com - Com s( - Com 3

31 Pour un système bouclé, le schéma bloc est la rerésentaton du schéma fonctonnel dans le domane de Lalace : E( - H ( Perturbaton( - H ( S( H 3 ( Blocs en cascade e ( H ( e ( H ( s( e ( H( s(

32 Blocs en arallèle e( H ( H ( e ( e ( s( e( H( s(

33 3 manulaton des schémas H( H(

34 - H( - - H ( -

35 4 Foncton de transfert en B.F et en B.O Foncton de transfert en Boucle fermée H BF Défnton : La foncton de transfert en boucle fermée est égale au raort de la transformée de Lalace de la sorte S( ar la transformée de Lalace de l entrée E(, du schéma bloc consdéré. E( - H ( S( H 3 (

36 Foncton de transfert en Boucle ouverte H BO : Un schéma bloc à retour untare est un schéma ossédant une foncton de transfert untare dans la chaîne de retour. E( ε ( H ( S( La foncton de transfert en Boucle ouverte H BO est le raort de la sorte S( du schéma bloc à retour untare et le sgnal d erreur (sorte comarateur. - H BO S( ε (

37 5 Exemles : E( H ( H ( s( - H 3 ( H ( S( E( E( H ( - H ( s( H ( H ( S( E(

38 C( E( - H ( - H ( s( H 3 ( S(

39 Boucles mbrquées E( H ( - H ( H 3 ( s( - E( H ( - H ( s( - E( H ( s( - 9/4/6 systèmes dynamques lnéares (P. Cayla

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