Systèmes asservis linéaires

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1 Systèmes asservis linéaires I Systèmes asservis 1. définition 2. transmittance 3. schéma bloc 4. transmittance d une chaîne II système commandé en boucle fermée 1. système asservi 2. principe de fonctionnement 3. transmittance III Etude des systèmes commandés 1. domaine temporel 2. domaine fréquentiel 3. transformée de Laplace IV Qualités et performances des systèmes asservis linéaires 1. stabilité a) définitions b) conditions de stabilité c) degré de stabilité 2. précision a) définition b) les différents type d erreurs c) conclusion 3. rapidité V Corrections des systèmes asservis 1. correction proportionnelle a) influence du gain C (gain statique) b) Réglage du gain c) Conclusion 2. correcteur dérivé a) action dérivée proportionnelle pure b) correcteur à avance de phase 3. correcteur intégral a) action proportionnelle intégrale b) eemple c) conclusion 4. correcteur PID M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 1

2 I Systèmes asservis 1. définition un système commandé est un système dont la grandeur de sortie est fonction de sa grandeur d entrée. Un système asservi est un système dont la sortie suit au mieu l entrée malgré les perturbations etérieures 2. transmittance la transmittance T est telle que : T = s / e T : tranmittance ou fonction de transfert du système e : grandeur d entrée e : grandeur de sortie en sinusoïdal, on définit la fonction de transfert en complee : T = S / E 3. schéma bloc e T s s = T.e 4. transmittance d une chaîne e T s 2 s 1 s e s T T T 1. T 2. T 3 s = T 1. T 2. T 3.e M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 2

3 II / système commandé en boucle fermée 1. système asservi en pratique, S ne dépend pas seulement de E, mais subit l influence de perturbations (variation de température, variations de la charge du système, variation de la tension de secteur, vieillissement du système lui même ) afin de minimiser ces inconvénients, on peut à tout instant, analyser la grandeur de sortie et la comparer à la valeur souhaitée : le système sera alors commandé en fonction de cette comparaison. schéma fonctionnel e + _ ε = e r H s Chaine directe e : grandeur de commande ou de consigne Opérateur de différence r K Chaine de retour s : grandeur de sortie r : grandeur de retour ε : grandeur d écart ou erreur : e r 2. principe de fonctionnement du système bouclé Le système en Boucle Fermée permet de limiter l influence des perturbations : Pour une consigne e constante, une perturbation provoque une diminution de la grandeur s, Alors, r diminue, donc ε (=er) augmente, Donc, s augmente. La contre réaction de la boucle de retour s oppose à l effet de la perturbation 3. Transmittance (fonction de transfert) Transmittance de la chaîne directe : H Transmittance de la chaîne de retour : K H donc la fonction de transfert en Boucle Fermée est : T = où H.K est la 1 + H.K fonction de transfert en BO Car: On a : r = K.s Et s = H.ε avec un système bouclé, la variation de grandeur de sortie est Donc : s = H.(er) plus faible que si le système était en boucle ouverte. s = H.e H.r = H.e H.K.s s.(1+h.k) = H.e M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) s/e = H / 1+H.K 3

4 III / Etude des systèmes commandés 1. domaine temporel les systèmes dynamiques linéaires sont décrits par des équations différentielles à coefficients constants. E : a.ds(t)/dt + b.s(t) = c.e(t) la solution d une équation avec second membre est la somme de deu contributions : s(t) = s SSM (t) + s p (t) où s SSM : solution générale de l équation sans second membre s p : solution particulière de l équation avec second memmbre. S SSM est appelée réponse transitoire (ou libre ) du système Elle dépend des conditions initiales du système physiquement stable. Cette contribution s annule au bout d un certain temps : lim s SSM (t) = quand t s p est une solution de même nature que la grandeur e(t) s p est le régime permanent ( ou réponse forcée ) du système e : e(t) = cste s p (t) = K. cste e(t) = a.t s p (t) =K.at + cste e(t) = e at s p (t) =Ke at + cste e(t) = a.sin(t) s p (t) =Ka.sin(t + ) e : e Système commandé s e s E S Régime Régime M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) transitoire permanent 4

5 2. domaine fréquentiel La grandeur de commande est maintenant sinusoïdale, la résolution des équadifs devient vite lourde a) fonction de transfert complee Elle n est utilisable seulement en régime sinusoïdal (donc permanent) pour étudier un système, on peut l eciter par une entrée sinusoïdale en faisant varier sa pulsation de à. Comme le système est linéaire, son signal de sortie est lui aussi sinusoïdal de pulsation. On s intéresse alors à l évolution des amplitudes et du déphasage en régime établi. réponse fréquentielle : Diagramme de Bode : H ( jw) db arg H ( jw) log w log w Plan de Nyquist : Im F( j) Re F( j) Plan de Black : F( j ) db Arg F( j ) M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 5

6 b) diagramme de Bode U s / U e = H(j) H complee de module H (dépend de ) d argument φ (dépend de ) donc H(j) = H(j) e jφ() = H(j). ( cos φ() + j.sin φ() ) on représente = 2.log H() φ = arg H en fonction de log en fonction de log 3. transformée de Laplace Lorsque la grandeur d entrée est quelconque (sinusoïdale ou non) on utilise la transformée de Laplace. L[f(t)] = F(p) = e pt.f(t) dt où f(t) = pour tout t< ce qui revient à : Dans la transformée complee : remplacer j par p : H(p) = 1 / (1+L/R.p) Dans l équation différentielle, remplacer d/dt par p ; d²/dt² par p² (si conditions initiales = ) du R /dt + R/Lu R = R/L.u E p.u R + R/L.U R = R/L.U E H(p) = U R / U E = R/L / (p+ R/L) = 1 / ( 1 + pl/r ) M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 6

7 transformées classiques : Doc 1 f(t)u(t) F(p) f(t)u(t) F(p) K K/p cos t p/(p²+²) Kt K/p² sh t /(p²²) e at 1 / (p+a) ch t p/(p²²) t n n! / p n+1 e at sin t / ((p+a)²+²) 1e t/τ 1/(p(1+ τp)) e at cos t (p+a)/ ((p+a)²+²) e at.t n n! /(pa) n+1 sin t /(p²+²) M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 7

8 IV / Qualités et performances des systèmes asservis linéaires La réponse temporelle ou fréquentielle d un système est plus ou moins performante 1. stabilité pour une entrée e(t) constante, la sortie du système s(t) doit être constante. e(t) s(t) e(t) s(t) Système stable a. définitions définition générale : un système physique est stable, si, écarté de son état d équilibre, il y retourne spontanément. Un système est stable ssi la réponse libre (s SSM ) tend vers quand t une entrée finie entraîne une sortie finie Système instable b. conditions de stabilité e + _ H s K on montre que le système est stable ssi la fonction de transfert en BF T = H / (1 + HK) ne comporte que des pôles à partie réelles négatives. Pole : valeur de la variable pour laquelle le dénominateur est nul. On cherche les conditions d auto oscillation : Le système sera instable si, sans rien mettre en entrée, on a quelque chose en sortie. ie : pour une entrée nulle (E = ) on a s (S ) e + _ ε H s on a S = H.ε et ε = K.S S = KH.S K il faut donc K(p)H(p) = 1 ie T BO (p) = 1 M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 8

9 En sinusoïdal K(j)H(j) = 1 K. H = 1 Critères graphiques de stabilité : K + H = + π A partir du lieu de transfert en BO (Boucle ouverte), on en déduit la stabilité du système en BF (Boucle Fermée) Les conditions HK = 1 mettent en évidence un point particuliers : [ 1 ; π ]. Ce point est appelé point critique T BO = 1 T BO = 1 = BO = +π = +π Dans le plan de Bode, le système sera stable si, pour la pulsation osc (qui correspond à ArgT BO = 18 ) la courbe de gain passe en dessous du niveau db Dans le plan de Nyquist, le système est stable en boucle fermée si sa réponse fréquentielle en boucle ouverte laisse le point critique (1, ) à sa gauche pour les fréquences croissantes. Dans le plan de Black, le système est stable en boucle fermée si sa réponse fréquentielle en boucle ouverte laisse le point critique (18, db) à droite pour les fréquences croissantes. Im F( j) F( j ) db 1 Re F( j) 18 Arg F( j ) Le système sera stable si, pour la pulsation osc (qui correspond à ArgT BO = 18 ) la courbe de gain passe en dessous du niveau db. M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 9

10 Eemples : Doc 2 osc osc osc Stable Critique Instable c. degré de stabilité Si un système est à la limite de la stabilité, la moindre dérive de l un des paramètres (due par eemple à la température) peut entraîner l instabilité. Il faut donc prévoir des marges de gain et de phase afin d assurer une stabilité dans la pratique. Marge de gain : M G c est l opposé du pour une phase de 18 : M G = =18 Marge de phase : M c est la différence entre argt quand est nul et 18 : M = argt GdB= (18) = 18 + argt GdB= En général on adopte, comme valeurs pratiques pour satisfaire un degré de stabilité convenable : M = 45 M G = 12dB M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 1

11 2. Précision un système est dit précis si la sortie suit l entrée en toutes circonstances. e(t) s(t) perturbation e(t) s(t) Système précis e(t) est un échelon Système précis e(t) est une rampe écart : c est la différence entre la valeur souhaitée et la valeur effectivement obtenue. E R e(t) s(t) ε ε = E R a. Définitions La précision est donnée par la valeur de l erreur permanente en régime établi, ie quand le régime transitoire est fini : ε p = lim ε qd t Soit le système asservi suivant : E(p) + _ ε(p) H S(p) K Erreur : ε(p) = E K.S = E KH.ε ε (1+ HK) =E ε = E /(1+HK) ε(p) = E(p) / ( 1+T BO (p) ) M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 11

12 donc l erreur permanente (régime permanent) : ε p = lim ε(t) qd t théorème de la valeur finale donne ε p = lim p.ε(p) qd p d où ε p = lim p E(p) / ( 1+ T BO (p) ) p b. conclusion la précision d un système asservi en BF, est d autant plus grande que son gain en BO est important Mais l augmentation du gain en BO dégrade la stabilité. 3. rapidité un système est rapide s il se stabilise à son niveau constant en un temps jugé satisfaisant s(t) rapide lent Temps de réponse à 95% : c est le temps mis pour atteindre 95 % de la valeur finale (sans s en écarter de plus de 5%) 1% 95% s(t) τ r95% s(t) 1% 95% D 1 τ r95% D 1 : premier dépassement : D 1 = valeur ma valeur finale / valeur finale M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 12

13 V Corrections des systèmes asservis 1. correction proportionnelle a) influence du gain C (gain statique) Soit T BO = C 1 + τ.p L augmentation de C provoque : l instabilité (diminution de la marge de phase) 2logC 2logC augmenté M = M = 6 augmentation de la bande passante diminution de l erreur donc amélioration de la précision Ce paramètre est facile à modifier : Le gain optimal sera un compromis entre stabilité et précision : si on choisit C faible, la stabilité sera très bonne, mais l asservissement sera «mou» (peu rapide et peu précis) si on choisit C élevé, on «raidit» l asservissement (augmentation de la précision et de la rapidité) mais on risque l instabilité. M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 13

14 b) Réglage du gain Eemple : (eercice 1, planche 2) Soit un système asservi qui en BO : T BO (p) = 5 p(1 +p)( p) On trace Bode de ce système : ( voir eercice 1, planche 2 ),1,25, Doc ,5 db 1 r 1 45 r M=11 M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 14

15 On a M = 11, or on a vu que l on doit avoir M = 45 pour assurer la stabilité. or M = 18 + argt GdB= donc il faut argt GdB= = = 135 on doit avoir = pour = 135 or sans correction, pour = 135, on a = 13.5dB, il faut donc abaisser le gain de 13,5dB ie ajouter un facteur multiplicateur proportionnel A tel que : 2.log A.T BO = 2.log T BO 13,5 2.log A = 13,5 log A = 13,5 / 2 log A =,675 A = 1,675 =,211 il faut ajouter une action proportionnelle A =,211 E(p) + _ H A S(p) On a alors : T BO (p) = p(1 +p)( p) = 1.57 p(1 +p)( p) T BO (p) = p(1 +p)( p) = 1.57 p(1 +p)( p) Ce qui donne : M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 15

16 3 2 1,1,25, Doc 4 r 1 45 r M=45 c) Conclusion Diminuer le gain rend le système stable mais moins précis Augmenter le gain rend un système plus précis mais moins stable. M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 16

17 2. correcteur dérivé on modifie le comportement du système au alentours de la pulsation critique, pour stabiliser un système ne possédant pas assez de marge de phase. On reprend notre eemple : T BO (p) = 5 p(1 +p)( p) avec M = 11 on veut l augmenter à 45 C AvP (p) = 1+τ.p 1+ a.τ.p avec a<1 1/τ 1/ aτ 9 9 eemple : v e R C R v s C AP = V s / V e = R / ( Z éq + R ) avec Z éq = R / (1 +jrc) = R / ( R + (R / (1 +jrc)) ) = 1 / ( 1 + (1 / (1 +jrc)) = ( 1 + jrc ) / ( 1 + (1 +jrc)) = ( 1 + jrc ) / ( 2 + jrc ) C AP = (1/2) (( 1 + jrc ) / ( 1 + jrc/2 ) ) Donc 1+τ.p 1 C AvP (p) = avec τ = RC 1+,5.τ.p 2 M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 17

18 On pose = τ car τ = 1/ et on passe en complee : C AvP (j) = τ.j 1+j 1+,5.τ.j = 1 1+,5.j 2 où 1/τ= et =/ =.τ C AvP (j) = 1+j 1 1+,5.j 2 (1 + ²) C AvP = (1/2) (1 +.5²²) = 2.log ½ + 2.log (1 + ²) 2.log (1 +.5²²) = log (1+²) 1.log (1+.25²) = = arg( 1+j ) arg( 1+j.5 ) = arctan arctan.5 = = : 1 = 1.log (1+²) = 2.log coupure à c = 1 1 = arctan = π / 2 2 = : 2 = 1.log (1+.25²) = 6 2.log 2 = arctan.5 coupure à c = 2 = π / 2 M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 18

19 3 2 C AvP,1,25, Doc M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 19

20 d où la correction : système Correcteur C AvP Doc 6 4 M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) Système corrigé 2

21 Système corrigé,1,25, Doc M φ = 11 L action dérivée permet, à précision égale, de rendre le système plus stable M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 21

22 3. correcteur intégral on veut ajouter du gain en basse fréquence sans modifier le degré de stabilité. Un intégrateur pur donnerait un gain infini au basses fréquences donc une erreur nulle mais il ajouterait 9 à toutes les phases instabilité. a) action proportionnelle intégrale C PI (p) = 1 + 1/τp = ( 1+τp ) / τp proportionnelle intégrale E C PI S S = (1 + 1/τ.p ).E s(t) = e(t) + (1/τ). e(t) Bode du correcteur C PI : C AvP (p) = 1+jτ jτ avec 1/τ = et / = C AvP (p) = 1+j j = 1.log (1+²) 2.log = 2 log = arctan π/2 π/2 1 Son rôle est d annuler l erreur statique de position sans altérer les performances initiales du système. Il faut donc adapter τ=1/ au critique du système à corriger pour que la phase φ du système à c ne soit pas trop modifiée. M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95)

23 Rq :. Si le système ne possède plus de réserve de marge de phase (M φ = 45 ) il faut placer le correcteur PI à une décade avant critique.. Si le système a une M f suffisante (M φ >45 ) on peut placer le correcteur plus près de critique. b) eemple R eemple pratique (en eo) C(p) = ( RCp + 1 ) / ( 2RCp + 1 ) v e R C v s Soit le système dont,1 T BO (p) = 1,57 p(1 +p)( p) Voir précédemment,1 1 1 Doc 8 1 r 1 45 r M=45 M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 23

24 Système stable mais dont la précision peut être améliorée. On y ajoute un correcteur PI : C PI (p) = 1+12,5p 12,5p En complee cela donne C PI (j) = 1+12,5.j 12,5j Diagramme de Bode du correcteur PI : = 2.log C PI = 2.log (1+(12.5)²) 2.log 12.5 = 1.log (1+12.5²²) 2.log 12.5 = 2 log 12.5 coupure à 12.5 = 1 = 1 /12.5 =.8 φ = arctan 12.5 π/2 π/2 M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 24

25 ,1,8 Doc 9, D où la correction : M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 25

26 Doc 1 Cours autom ETT 2,1, r 1 45 r M=45 c) conclusion L action intégrale permet, à stabilité égale, de rendre le système plus précis. M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 26

27 4. correcteur PID Le correcteur dérivée et le correcteur intégral concernent des domaines de fréquences très différentes ( basses fréquences pour l intégral et hautes fréquences pour le dérivé ), il est parfois judicieu d associer les deu correcteurs en un seul : On obtient un correcteur PID ( Proportionnel Intégral Dérivée ) qui permet d améliorer les performances globales. I E P S D On obtient : c intégral c dérivée coupure système M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 27

28 5 Eemple : T BO (p) = corrigé p(1 +p)( p) 1 G G 1, M 4 4 Correcteur intégral système Correcteur dérivé G Cou Coup Doc M M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) Système corrigé 28

29 Coupure PI Coupures PD Doc 12,1, r 1 45 r M=8 M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 29

30 Docs éleve M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 3

31 Doc 1 Tableau des transformées usuelles f(t)u(t) F(p) f(t)u(t) F(p) K K/p cos t p/(p²+²) Kt K/p² sh t /(p²²) e at 1 / (p+a) ch t p/(p²²) t n n! / p n+1 e at sin t / ((p+a)²+²) 1e t/τ 1/(p(1+ τp)) e at cos t (p+a)/ ((p+a)²+²) e at.t n n! /(pa) n+1 sin t /(p²+²) M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 31

32 Doc 2 osc osc osc Stable Critique Instable M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 32

33 Doc 3,1,25, ,5 db 1 r 1 45 r M=11 M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 33

34 Doc 4,1,25, r 1 45 r M=45 M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 34

35 C AvP,1,25, Doc M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 35

36 M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) système Correcteur C AvP Doc Système corrigé

37 Système corrigé,1,25, Doc M φ = 11 M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 37

38 ,1 Doc 8, r 1 45 r M=45 M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 38

39 ,1,8 Doc 9, M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 39

40 Doc 1,1, r 45 r M=45 M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 4

41 Doc 11 1 G G 1, M 4 4 Correcteur intégral système Correcteur dérivé G Cou Coup 1 4 M M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) Système corrigé 41

42 Doc 12 Coupures PD Coupure PI,1, r 1 45 r M=8 M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 42

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