Chapitre 2 - Modélisation des systèmes asservis linéaires et continus

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1 Chapire : Modélisaio des sysèmes asservis liéaires e coius Chapire - Modélisaio des sysèmes asservis liéaires e coius.. Modèle mahémaique d u sysème Le comporeme d u sysème liéaire e ivaria es régi par ue équaio différeielle liéaire à coefficies cosas : ds( d ( ) s( de( d ( m) e( as( a a b e( b bm (.) m e( éa l erée du sysème e s( sa sorie. L ordre du sysème liéaire es par défiiio l ordre de so équaio différeielle... Propriéés O cosidère u sysème asservi liéaire e coiu qui saisfai les propriéés suivaes :... Addiivié O cosidère u sysème soumis à deux erées e ( e e (. e ( e ( Sysème liéaire s( Figure. : Sysème liéaire à deux erées Si o applique e ( seul, la répose es s (. Si o applique e ( seul, la répose es s (. Si o applique e (+ e ( seul, la répose es s (+ s (.... Proporioalié Les effes so proporioels aux causes. Si s( es la répose à e(, alors K.s( es la répose à K.e(. K.e( Sysème liéaire K.s( Figure. : L effe proporioel sur u sysème liéaire Maîrise d Elecroique

2 Chapire : Modélisaio des sysèmes asservis liéaires e coius Pricipe de superposiio Soi respeciveme s ( e s ( les réposes du sysème dû aux erées e ( e e (. Soi u sysème liéaire saisfai au pricipe de superposiio, c'es-à-dire qu à l exciaio :. e(. e( où e so des cosaes, correspod le répose :. s(. s (...3. Pricipe de permaece U sysème liéaire saisfai au pricipe de permaece si à l exciaio e( le sysème fouri la répose s(, alors à l exciaio e ( ) présea u décalage emporel sur e(, le sysème fouri la répose s ( ) présea le même décalage sur s(. e(+) Sysème liéaire s(+) D où Quad, o a : e( ) e( de ( Sysème liéaire Sysème liéaire s( ) s( ds ( Figure.3 : Pricipe de permaece Il e es de même pour la dérivée à l ordre aisi que pour la primiive d ordre. La relaio ere e e s es doc ue équaio iégrale différeielle de la forme. a s a s a s a s a b e b e b e b e b.3. Résoluio des équaios différeielles à coefficies cosas La soluio géérale de l équaio (.) es la somme de la soluio géérale de l équaio sas secod membre e d ue soluio pariculière de l équaio complèe : s( s ( s( O cherche s ( soluio de l équaio sas secod membre sous la forme : r s ( A e Maîrise d Elecroique

3 Chapire : Modélisaio des sysèmes asservis liéaires e coius où A e r so des cosaes à déermier. E remplaça l expressio de s ( das l équaio sas secod membre, o obie : r r r a A e a A r e a A r e r e E simplifia par A, o obie : a a r a r a r Le polyôme obeu es cou sous le om de polyôme caracérisique de l équaio différeielle (.). Noos r, r,,r, les racies de ce polyôme. Elles peuve êre réelles ou complexes. Si oues les racies so disices, la soluio géérale de l équaio sas secod membre es de la forme : (.6) r r r s ( A e A e A e Où A, A,,A, so des cosaes à déermier par les codiios iiiales. Les coefficies du polyôme caracérisique éa réels, deux cas se présee pour chacue des racies r i : la racie r i es réelle. la racie r i es complexe. Il exise alors ue aure racie r j du polyôme caracérisique elle que r i e r j soie complexes cojuguées. Soie par exemple r e r deux racies complexes cojuguées. Ces deux racies s écrive sous la forme : r r j j e désige deux ombres réels. r r Le erme A e A e associé aux racies r e r s écri sous la forme : A j j j j A e e A e A e e Le module du erme ere parehèse es majoré par A e r r A. Pour que A e A e e deviee pas ifii, il fau que soi boré e doc que le coefficie soi égaif. r r Suiva le sige de, le erme A e A e, qui es réel, se compore différemme lorsque augmee : lorsque es sriceme égaif, il ed vers zéro. lorsque vau zéro, il varie siusoïdaleme. lorsque es sriceme posiif, il ed vers l ifii. La sorie du sysème es plus borée e le sysème es isable. Maîrise d Elecroique

4 Chapire : Modélisaio des sysèmes asservis liéaires e coius Nous pouvos coclure que le sysème éudié es sable si chacue des racies du polyôme caracérisique possède ue parie réelle sriceme égaive. Nous avos alors lim s (. Pour u sysème sable, la soluio géérale de l équaio sas secod membre disparaî au cours du emps. Cee soluio représee le régime rasioire alors que la soluio pariculière de l équaio complèe représee le régime permae qui subsisera seul lorsque le régime rasioire aura disparu..4. Exemples de modélisaio des sysèmes élecriques e mécaiques II.4. Sysème du premier ordre élecrique O cosidère le circui de la figure cicore. Nous cosidéros que c es u sysème aya ue ere e( e ue sorie s( e ous supposos qu il y a pas d impédace qui charge la capacié (cela sigifie que la capacié es raversée par ou le coura i(, o peu appliquer la deuxième loi de Kirchhoff aisi que la loi de Faraday. e( i( R C Figure.4 : Circui s( O a les deux relaios suivaes : e( R i( s( ds( avec i( C d où l équaio différeielle du sysème : ds( R C s( e( Ce sysème es doc modélisé par ue équaio différeielle du premier ordre. O di aussi que le sysème es de premier ordre. Eudios la répose de ce sysème à u échelo d ampliude E, c es à dire à ue erée do la valeur passe de à E à l isa iiial. Le sysème es supposé iiialeme au repos (s()=). Le polyôme caracérisique associé à ce sysème es : r ; il e possède alors qu ue racie qui vau : r La racie es réelle e sriceme égaive, le sysème es doc sable. La soluio géérale de l équaio sas secod membre es de la forme : Maîrise d Elecroique 3

5 Chapire : Modélisaio des sysèmes asservis liéaires e coius s( A e Puisque l erée du sysème es u échelo d ampliude E, ue soluio pariculière de l équaio complèe es : s(=e pour >. E la soluio géérale de l équaio complèe vau : s( A e E Grâce à la codiio iiiale s()=, o obie : A= -E. Nous obeos fialeme : s( E E e Chacu de ces deux ermes représee respeciveme le régime permae e le régime rasioire de la répose à u échelo du sysème. E e( s( (s) Figure.5 : Répose à u échelo.4.. Sysème du secod ordre élecrique O cosidère maiea le sysème représea u circui RLC comme le more la figure.4. Nous pouvos écrire avec les mêmes coveios e hypohèse que pour l exemple précéde : e( R L C s( Figure.6 : Sysème du secod ordre élecrique di( e( L Ri( s( ds( Avec i( C Comme précédemme, o peu obeir ue équaio différeielle relia la sorie s( à l erée. Soi alors : Maîrise d Elecroique 4

6 Chapire : Modélisaio des sysèmes asservis liéaires e coius d s( ds( LC s( e( L équaio aisi rouvée es ue équaio différeielle du secod ordre qui modélise u sysème du secod ordre élecrique..4.3 Sysème du secod ordre mécaique O cosidère le sysème mécaique suiva : Le ressor exerce ue force de rappel : kx. f k Ue force de froeme visqueux dx es doée par : f h h k h M F( Figure.7 : sysème du d ordre mécaique. La relaio fodameale de la dyamique ous doe : Ou bie :.5. Les sigaux ess d x dx F( f kx M d x f M dx kx F( Pour éudier le comporeme dyamique d u sysème, il es pas oujours simple de raduire sous forme d équaios les lois de la physique qui régisse le comporeme iere du sysème. Il es souve plus efficace de soumere l erée du sysème à des sigaux ess e d observer la sorie. Puisque les sysèmes que ous éudios so liéaires, il suffi de choisir ue famille de sigaux ess permea d egedrer ue erée quelcoque par combiaiso liéaire. O disigue plusieurs familles de sigaux ess : l impulsio de Dirac, l échelo, la rampe, la siusoïde..5.. L impulsio de Dirac Ce sigal oé ( es ue impulsio brève, qui vau zéro e ou poi sauf au voisiage de =. L impulsio de Dirac peu êre obeue comme la limie d ue famille de focios a ( do la figure.4 représee le racé. ( pour,. Maîrise d Elecroique 5

7 Chapire : Modélisaio des sysèmes asservis liéaires e coius ( si o. ( / Figure.8 : Impulsio de Dirac L impulsio de Dirac es alors défiie par : ( lim ( Lorsque l impulsio de Dirac es uilisée e erée d u sysème, o parle pour la sorie de la répose impulsioelle..5.. Echelo de posiio (uiaire si E =) L échelo de posiio es défiie par : e( E. u( avec : u( si u( si u( s appelle la focio de Heaveside u( Figure.9 : Echelo uiaire. Lorsque l échelo es uilisé e erée d u sysème, o parle pour la sorie de répose idicielle L échelo de viesse (Rampe) L évoluio d u sigal x( e rampe es doé e figure.. Ce sigal vau pour < e évolue liéaireme avec le emps pour. x( Figure. : Rampe Maîrise d Elecroique 6

8 Chapire : Modélisaio des sysèmes asservis liéaires e coius.5.4. L échelo d accéléraio Soi e( E u( s( :répose d accéléraio. e( Figure. : Echelo d accéléraio.5.5. Erée siusoïdale Les erées siusoïdales so rès uilisées pour éudier le comporeme dyamique des sysèmes. e( E si( s( Ssi( ) E régime permae s( s appelle la répose harmoique E e(.6. Aalyse harmoique Figure. : Siusoïde..6. Focio de rasfer Cosidéros le sysème gééral d ordre do le comporeme es régi par l équaio différeielle : a s( a ds( a () d s( b e( b de( b m (m) d e( m Nous soumeos l erée de ce sysème à u sigal siusoïdal e(=e.si( e ous éudios la sorie s(. Nous savos qu e régime permae, la répose s( du sysème elle aussi siusoïdale, de même pulsaio que l erée e(, mais déphasée d u agle. La sorie es de la forme : s( Ssi Nous iroduisos les variables complexes E e S défiies par : j E E e ( j ) S Se Maîrise d Elecroique 7

9 Chapire : Modélisaio des sysèmes asservis liéaires e coius Remplaços das l équaio différeielle e( e s( par les variables complexes E e S. Nous obeos : m j S a j S b E b j E b j E a S a m Nous pouvos alors exprimer le rappor de la sorie sur l erée, ecore appelé focio de rasfer ou rasmiace, que ous oos H(j) : H(j) La focio de rasfer es caracérisée par : S so module : Hj E Sa phase : arghj S E b a b a j bm j j a j Exemple : Repreos l exemple du circui de la figure.4 Sa focio de rasfer es : H( j) j m.6.. Représeaio de la focio de rasfer Les valeurs prises par la focio de rasfer so des complexes qui dépede de la pulsaio. Afi de facilier l ierpréaio de cee focio, rois représeaios, posséda chacue ses avaages so uilisées Représeaio de Bode La représeaio de Bode d ue focio de rasfer compore deux courbes. La première représee so module exprimé e décibels (db) e la secode représee sa phase exprimée e degrés (ou e radias), e focio de la pulsaio. Le ombre de décibels du module de H(j) vau log Hj. Pour ces deux courbes, l axe des abscisses es gradué e suiva ue échelle logarihmique. La représeaio de Bode possède des propriéés qui e facilie l uilisaio. Par exemple, si la focio de rasfer H(j) du sysème se décompose e u produi de deux focios F(j) e G(j), le diagramme de Bode de H(j) se dédui facileme e addiioa les diagrammes associés à F(j) e G(j). Ue représeaio approximaive du lieu de Bode d ue focio de rasfer s obie rapideme e raça so lieu asympoique qui es composé de segmes de droies. Exemple : Maîrise d Elecroique 8

10 Chapire : Modélisaio des sysèmes asservis liéaires e coius H( j) j GdB log R arcg Bode asympoique : G Pour ( ) : C G log Pour ( ) : log log G(dB) ( ) Figure.3 : Lieux de Bode d u sysème du premier ordre.6... Représeaio de Nyquis Pour chaque pulsaio, le ombre complexe es représeé das le pla complexe par le poi d affixe H(j). j Repreos l exemple du circui. O a : H(j ). j R C Doc : ReH ImH j j R C R C Maîrise d Elecroique 9

11 Chapire : Modélisaio des sysèmes asservis liéaires e coius O voi bie que lorsque : Re H Im H Re H j. Im H j O obie la représeaio de Nyquis suivae : j j, par core lorsque : Im.5 Re -.5 Figure.4 : Représeaio de Nyquis du circui Représeaio de Black Le diagramme de Black d ue focio de rasfer complexe H ( j) es ue représeaio das u pla carésie aya e abscisses l argume de H ( j) exprimé e degrés, e e ordoées le module de H ( j) exprimé e décibels (db). Ce diagramme présee la pulsaio pour paramère. E praique, o race le module de H(j) e db e focio de la phase Arg(H(j)) e degré. Pour l exemple précéda, o a le diagramme suiva : Figure.5 : Représeaio de Black du circui. Maîrise d Elecroique