CONCOURS 3 ANNÉE GÉNIE MÉCANIQUE ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE DE CACHAN. Session 1997 COMPOSITION DE MECANIQUE ET AUTOMATIQUE.

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1 CONCOURS 3 ANNÉE GÉNIE MÉCANIQUE ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE DE CACHAN Session 1997 COMPOSITION DE MECANIQUE ET AUTOMATIQUE Durée : 4 heures AUCUN DOCUMENT N'EST AUTORISÉ Moyens de calcul autorisés: Calculatrice électronique de poche - y compris calculatrice programmable et alphanumérique - à fonctionnement autonome non imprimante autorisée conformément à la circulaire n du 28 juillet NOTA. - A partir d un support commun, l'épreuve comporte deux parties totalement indépendantes : 1. Mécanique générale 2. Automatique (Systèmes asservis linéaires) Le candidat traitera les deux parties. Ces parties peuvent être traitées dans un ordre quelconque. Il est conseillé au candidat de lire attentivement le sujet en entier et d'accorder un temps sensiblement égal pour chacune des parties. Les deux parties traitées seront rédigées sur des copies séparées et il faudra préciser sur chaque copie : - le titre, - le repère de l'épreuve, - la partie de l'épreuve traitée, - le nombre de feuilles constituant la copie. 1

2 PREMIERE PARTIE MECANIQUE GENERALE On se propose de faire une étude géométrique et mécanique d'un robot à 5 axes, le robot SIRTES (figure 1.1). Figure 1.1 Paramétrage du problème R 0 ( O 0 ; x 0, y 0, z 0 ), z 0 vertical ascendant, est un repère orthonormé direct lié au bâti S 0, R i (i = 1 à 5) un repère lié au solide S i, ayant pour origine le centre de la liaison (S i -1, S i ), de base (x i, y i, z i ) orthonormée directe. 2

3 Les paramètres angulaires définissant la position des bras S i sont notés θ i (i =1 à 5), θ i angle entre le bras S i -1 et le bras S i. On désigne par α, β, γ les angles définissant l'orientation de la pince S 5 par rapport au repère R 0 : α angle compté positivement autour de z 0 = z α, mesurant la position du plan vertical ( O 0 ; z α, x α ) contenant x 5, par rapport au plan ( O 0 ; z 0, x 0 ), la base (x α, y α, z α ) étant orthonormée directe, β angle compté positivement autour de y α = y β, mesurant la position de x 5 par rapport à x α, γ angle compté positivement autour de x β = x 5, mesurant la position de y 5 par rapport à y β. Schéma cinématique du robot (figure I.2). Figure I.2 O 0 A + AB = l 1 = 752 mm, BC = l 2 = 325 mm, CD = l 3 = 300 mm, DE = l 4 = 0 mm (poignet à axes concourants), EP = l 5 = 192 mm (P centre d'outil). Les questions I, II, III de cette première partie sont indépendantes. 3

4 I. Analyse géométrique du système mécanique articulé Soient X, Y, Z les coordonnées du centre P de la pince dans le repère R 0. I.1 Exprimer les coordonnées cartésiennes et angulaires X,Y, Z, α, β, γ définissant la position de la pince dans R 0 en fonction des variables θ i (i=1 à 5). I.2 Etablir les relations permettant de calculer les variables angulaires θ i (i=1 à 5) en fonction de la position de la pince dans R 0 définie par les paramètres X,Y, Z,α, β, γ. ΙΙ. Etude mécanique d'un mouvement plan du robot Le bras S 1 est fixe par rapport à R 0. L'épaule S 2 et le coude S 3 du robot sont supposés rigidement liés. Ils forment un bras solide de centre d'inertie G, défini par BG = d x 2, de masse m.. La matrice d'inertie en G de ce solide est diagonale, de coefficients A, B, C, dans la base du repère R 2. On assimile le bras S 4 et la pince S 5 portant la charge à un point matériel de masse M, situé en P. Données: d = 315 mm, m = 0, 5 kg, M = 3 kg, A = B = m 2 kg, C = m 2 kg. Des moteurs M 2 et M 4 permettent de contrôler les rotations du bras S 2 + S 3 et du bras S 4. On désigne par Γ 2 (resp. Γ 4 ) la projection sur y 1 du moment en B (resp. en D) de l'action du moteur M 2 sur S 2 (resp. M 4 sur S 4 ). II.1 Appliquer les théorèmes généraux de la dynamique, en précisant les systèmes considérés. En déduire les deux équations du mouvement. II.2 Dans une phase du mouvement, le moteur M 2 seul agit. Le bras S 4, la pince et la charge restent en position verticale ( x 4 = - z 0 ). L'articulation en D est supposée sans frottement. A l'instant t 0, θ 2 = π /3, θ 2 = ω. A l'instant t 1 (t 1 > t 0 ), θ 2 = π /6. Calculer le travail fourni par le moteur M 2 entre les instants t 0 et t 1. Application numérique: ω = - 0, 01 rd/s II.3 L'articulation entre les bras S 1 et S 2 + S 3 est ensuite bloquée dans la position θ 2 = π /6. Entre les instants t 1 et t 2 (t 2 > t 1 ), par action du moteur M 4, le bras S 4 est amené de la position verticale à la position horizontale, avec une vitesse nulle à l'instant t 2. Calculer le travail fourni par le moteur M 4 entre les instants t 1 et t 2. 4

5 II.4 La pince est maintenue dans la position horizontale. Elle tient un réservoir sphérique, de rayon R, que l'on remplit aux 3/4 d'un liquide de masse volumique ρ. En supposant que la surface libre du liquide reste horizontale, indiquer comment modifier les équations du mouvement dans un mouvement ultérieur du robot. III. Etude mécanique dans un mouvement de rotation du robot autour de l'axe vertical La base S 1, l'épaule S 2 et le coude S 3 sont supposés rigidement liés dans la position θ 2 = 0. Un moteur M 1 permet de contrôler la rotation du bras S 1 autour de l'axe vertical ( O 0 ; z 0 ). On désigne par Γ 1 la projection sur z 1 du moment en O 0 de l' action de ce moteur sur S 1. L'articulation en D est supposée sans frottement. On note I le moment d'inertie du bras S 1 par rapport à l'axe (O 0 ; z 0 ). Les éléments d'inertie des bras S 2 +S 3, S 4, S 5 et la charge sont ceux donnés en question II. III.1 Appliquer les théorèmes généraux de la dynamique, en précisant les systèmes considérés. En déduire les deux équations du mouvement. III.2 L'action du moteur M 1 est telle que θ 1 = constante = ω. Montrer qu'il existe une intégrale première du mouvement. En donner l'interprétation. Etudier la possibilité d'un équilibre relatif de la pince et en préciser la stabilité. III.3 Lors du mouvement, l'action du moteur M 1 est coupée accidentellement. Les articulations étant supposées sans frottement, montrer que l'étude du mouvement peut se faire à partir de deux intégrales premières que l'on explicitera. Etudier la possibilité d'un mouvement stationnaire θ 1 = constante = ω. Etudier la stabilité d'un tel mouvement. 5

6 DEUXIEME PARTIE AUTOMATIQUE Systèmes asservis linéaires On considère le problème de l'asservissement en position de l'axe 3 du robot étudié (coude; voir figure 1.1). L'actionneur mis en œuvre est un moteur à courant continu à aimant permanent que l'on peut modéliser par les équations suivantes : u(t) = R.i(t) + L di(t) dt e(t) = K e.ω(t) + e(t) Γ(t) = K c.i(t) et Γ(t) = J. dω(t) dt avec u tension d'induit ; K c constante de couple i courant d'induit ; K e constante de f c e m Γ couple moteur ; R résistance d'induit Ω vitesse de rotation ; L inductance de l'induit e f c e m ; J inertie ramenée sur l'arbre La technique examinée ici est basée sur la synthèse de boucles de régulation successives. I. Modélisation I.1. Donner le schéma bloc représentant la fonction de transfert du moteur avec u(t) comme grandeur d'entrée et Ω(t) comme grandeur de sortie. I.2. Calculer la fonction de transfert du moteur M(p) = Ω(p) U(p) Application Numérique : R = 1,4 Ohm L = H K c = 0,1Nm/A K e = 0,1 V/rd/s J = kg.m 2 6

7 Mettre M(p) sous la forme M(p) = K m (1 + T 1 p) (1 + T 2 p) I.3. Donner une représentation fictive du schéma bloc du moteur sous la forme de la figure 2.1. Déterminer M 1 (p) et M 2 (p). u i M 1(p) M (p) Ω 2 Figure 2.1 II. Boucle de courant Pour éviter des pics prohibitifs du courant dans l'induit (et dans le convertisseur), on effectue un bouclage sur le courant comme le montre la figure 2.2. v + - Correcteur Amplificateur M (p) 1 i M (p) 2 Ω Capteur + filtre Figure 2.2 Le capteur de courant dans la boucle de retour est une sonde à effet Hall associé à un filtre pour atténuer les ondulations du courant dues à la MLI (Modulation de Largeur d'impulsions). La fonction de transfert de cet ensemble est donnée par R(p) = k (1 + T f p) avec T f = 0,5 ms. L'amplificateur de puissance possède un gain K a = 10. Le correcteur est du type P.I. (Proportionnel et Intégral) ayant comme fonction de transfert C i (p) = k i 1 + 1, avec k T i p i = 2 et T i = 2 ms. II.1. Donner l'expression de la fonction de transfert G(p) = I(p) V(p) (figure 2.2). II.2. Déterminer la valeur du paramètre k permettant d'assurer, pour G(p), un coefficient d'amortissement = 0,5. Déduire dans ce cas la pulsation propre ω o du système du second ordre et son gain statique. 7

8 III. Boucle de vitesse On réalise une régulation de la vitesse sous la forme donnée par la figure 2.3. consigne + - Correcteur G(p) i M (p) 2 Ω Génératrice tachymétrique Figure 2.3 La génératrice tachymétrique est modélisée par une transmittance constante de 0,1 V/rd/s. La fonction de transfert du correcteur est notée C v (p). On prendra C v (p) = K v (correcteur proportionnel). III.1. Tracer l allure de la réponse en fréquence du système avec K v = 1 dans le plan de Bode. Préciser la bande passante (le point d intersection de la courbe asymptotique du module avec l axe de 0 db), la marge de gain et la marge de phase. III.2. Pour quelles valeurs de K v le système est-t-il stable? III.3. Calculer l erreur de vitesse (erreur permanente pour une entrée en rampe) dans ce système asservi. Déduire ainsi la valeur de K v permettant de limiter cette erreur à 1%. Dans la suite du problème on supposera que la fonction de transfert, en boucle fermée, du système régulé en vitesse est donnée par 4, H(p) = 9 (1 + 0, p) (p + 100) (p p + 4, ) IV. Boucle de position On cherche à asservir la position (l angle θ ) de l axe. On dispose pour cela d un réducteur avec un rapport de réduction = 20 et d'un capteur de position (potentiomètre, fournissant une tension de 1 V pour une rotation de 1 rd). IV.I. Dresser le schéma bloc du système asservi en position avec un correcteur série notée C p (p). La sortie du correcteur doit fournir la consigne pour la boucle de vitesse. 8

9 IV.2. Pour C p (p) = 1, donner l allure de la réponse en fréquence du processus dans le plan de Bode. En déduire l allure du diagramme de Nyquist. A partir de ce dernier diagramme, que peut-on conclure sur la stabilité du système non corrigé? IV.3. Soit C p (p) un correcteur à actions Proportionnelle, Intégrale et Dérivée (P.I.D), de fonction de transfert C p (p) = K T i p + T d p Déterminer les paramètres d'un tel correcteur pour assurer une marge de phase de l ordre de 75 et une bande passante aussi grande que possible. Quel est l'intérêt de ce correcteur? 9