Chapitre 3 Méthodes d analyse des systèmes asservis

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1 Chapitre 3 Méthodes d analyse des systèmes asservis 3. Modélisation d système Modélisation mathématiqe La conception des systèmes de réglage a besoin de modélisation mathématiqe d système à régler. Le modèle de la dynamiqe est n système d éqations différentielles. Le modèle permet d étdier la dynamiqe d système avant et après l inclsion d système de réglage. The model permits to stdy system transients and steady state performance. La compleité d modèle n modèle pls détaillé est pls précis La précision d modèle est moins importante por la conception d système de réglage qe por la simlation d système. Le modèles pls simples: -néglige qelqes phénomènes physiqes -les propriétés non linéaires sont approimés par linéarisation -les systèmes a paramètres distribes sont approimes par des modèles a paramètres concentres. Por la conception d système de réglage: 3-

2 -por la conception de la strctre d réglater on tilise n modèle simplifie -por obtenir les paramètres des réglaters n modèle pls précis est nécessaire Systems linéaires Por les systèmes linéaires le principe de la sperposition est valable et la réponse à ne entrée complee pet être calclée par l addition des réponses de ses composantes. Systèmes avec paramètres constants o variables. Systèmes avec paramètres constants (Linear Time Invariant -LTI ): - sont représentées par des paramètres concentres - sont décrites par des éqations différentielles - les paramètres des éqations sont constants D atres systèmes ont des paramètres variables en temps. Eemples: ne voitre en marche o ne raqette en vol a n poids en rédction avec la consommation d essence. 3-

3 3. Fonction de transfert L{sortie} Fonction de transfert = G(s) = L{entrée} Por des conditions initiales zéro. Entrée (s) Fonction de transfert Sortie y(s) G (s) = y(s) (s) La fonction de transfert d n système représente le lien entre l entrée et la sortie d système. La fonction de transfert G(s) est ne fonction complee qi représente la dynamiqe d système system en le domaine s tandis qe les éqations différentielles en t qi décrivent la dynamiqe d système en temps. La fonction de transfert est indépendante de l entrée d système est ne donne pas des renseignements sr la strctre interne d système. La même fonction de transfert pet représenter des systèmes différents. La fonction de transfert permet de calcler la sortie o la réponse a ne variété d'entrées. La fonction de transfert per être calclée analytiqement a partir des éqations physiqes o obtens site a des epériences par la mesre des sorties variété d'entrées. 3-3

4 Eemple: modèle de la roe de voitre m d Y o /dt m m k b Y o Y i k(y o -Y i ) B (dy o /dt - dy i /dt) d Y m dt o dyodt dyidt b dt k(y o Y ) = 0 i Transformation Laplace conditions initiales zéros ms Y (s) bs(y (s) Y (s)) k(y (s) Y (s)) = 0 o o o ms Y (s) bsy (s) ky (s) = bsy (s) ky (s) o o i o i o i i La fonction de transfert est Y (s) o Y (s) i = bs k ms bs k 3-4

5 Réponse a ne implsion La transformation Laplace d ne implsion de Dirac (nitaire) δ(t) est L { δ (t)} = La sortie d n système a ne entrée (s)= δ(s) = est y (s) = G(s) (s) = G(s) La réponse d n système a ne implsion de Dirac est identiqe a la fonction de transfert d système. La transformation inverse Laplace d réponse G(s) por (s)= δ(s) = L {G(s)} = g(t) La fonction de transfert pet être obtene assi par la mesre de la réponse y(t) d système a l entrée (t)= δ(t). Comme dans ce cas y(t) =g(t) la fonction de transfert est G(s)=L{g(t)} 3-5

6 3.3 Schéma bloc Le schéma bloc (schéma fonctionnel o schéma synoptiqe) est ne représentation graphiqe d model d système. Les blocs représentent les composants physiqes o fonctionnelles d système. Chaqe bloc a ne fonction de transfert associé comme lien entre l entrée et la sortie. Diagrammes blocs contiennent. blocs. point de sommation (jonction d addition) 3. trajet 4. point de séparation. Bloc avec la fonction de transfert associée Y i (s) bsk ms bsk Y o (s) 3-6

7 . Jonction d addition B C A - D=AB-C A B Σ D=AB-C -C 3. Jonction d addition fait l addition des signa d entrée tenant compte de ler signe 3. Trajet d signal (t) o X(s) X(s) Le signal X(s) se déplace dans la direction de la flèche 4. Point de séparation X(s) X(s) X(s) Le signal arrivant a point de séparation se sépare en de signa de même valer. 3-7

8 3.4 Schéma bloc d n système en bocle fermé Dans n système en bocle fermé o avec rétroaction la sortie y(s) est mesré comme y m (s) sostrait de sa valer désirée y d (s) por calcler l errer e(s)= y d (s) - y m (s) y d (s) _ e (s)= y d (s)- y m (s) G(s) y y m(s) H(s) G(s) c est la fonction de transfert directe (feed forward transfer fnction) (d réglater actionner et le système réglé) G(s) = y(s) / e(s) H(s) c est la fonction de transfert d capter (feedback transfer fnction) H(s) = y m (s) / y(s) G(s) H(s) = fnction de transfert en bocle overte (open loop fnction fnction) G(s) H(s) = [y m (s) / y(s)][ y(s) / e(s)]= y m (s) / e(s) La fnction de transfert en bocle fermé (closed loop transfer fnction) y d (s) / y(s) est obtene en éliminant e(s) et y m (s) y(s) = G(s) e(s) = G(s) [y d (s) - y m (s)]= G(s) [y d (s) H(s)y (s)] y(s) G(s) H(s) y(s) =G(s) y d (s) y(s)/y d (s)= G(s) / [ G(s) H(s)] Cette éqation donne le bloc éqivalent a système en bocle fermé y d (s) G(s) G(s)H(s) y(s) 3-8

9 La fonction de transfert représente la dynamiqe système en bocle fermé par des fonctions complees. La sortie y(s) est y(s)= G(s) / [ G(s) H(s)] y d (s) et dépend de la fonction de transfert d système en bocle fermé et de la valer désirée y d (s) conn assi sos le nom de entrée (d système en bocle fermé). Le schéma bloc d n système en bocle fermé o avec rétroaction positive y d (s) G(s) y (s) y m(s) H(s) est éqivalente a n système avec rétroaction négative si H(s) est remplace par H(s) y d (s) - G(s) y (s) y m(s) -H(s) o y d (s) G(s) G(s)H(s) y(s) 3-9

10 L avantage d n système en bocle fermé Idéalement o y(s)/y d (s) G(s) / [ G(s) H(s)] o / [/ G(s) H(s)] Qi pet être réalise par ne grand valer de G(s) G(s) G(s) représente le réglater actionner et le système réglé. G(s) pet être réalisé par ne grand valer d gain d réglater. La stabilité d système demande par contre ne valer finie de ce gain. 3-0

11 Errer e(s)=y d (s)-y m (s)= y d (s)-h(s) y (s)=y d (s){- H(s)y(s)/y d (s)}= y d (s) {- H(s)G(s) / [ G(s) H(s)] }= {- H(s)G(s) / [ G(s) H(s)] }y d (s)= { / [ G(s) H(s)] }y d (s) y d (s) G(s)H(s) e(s) Errer stationnaire Le théorème de la valer finale permet de calcler l errer stationnaire e( ) c.a.d por t Por la limit s 0 de e( )=lim t e(t)= lim s 0 {se(s)}= lim s 0 { / [ G(s) H(s)] }y d (s)= { / [ G(0) H(0)] }y d (0) -Le système réglé S (s) Les composantes d système en bocle fermé -Le capter H(s) por la mesre de la sortie y(s) et la rétroaction de y m (s) - La jonction d addition por calcler e(s) = y d (s)-y m (s) entre la sortie désirée y d (s) et y m (s) -le réglater C(s) avec l<entrée e(s) et la sortie de la commande c (s) -l actionner M(s) G(s) = C(s) M(s) S(s) 3-

12 y d (s) _ e (s) C(s) RÉGULATEUR y m(s) c Alimentation de pissance y (s) M(s) (s) S(s) ACTIONNEUR SYSTÈME H(s) Pertrbations Les pertrbations p (s) dans n système s additionne habitellement a (s) y d (s) _ e (s) C(s) c power spply M(s) (s) p(s) S(s) y (s) y m(s) H(s) Le principe de sperposition est appliqé por les systèmes linaires et tiens en considération chaqe entrée séparément et calcle la sortie totale par l addition des sorties partielles. The principle of sperposition is applied as follows -la sortie y (s) por entrée y d (s) et p(s)=0. y (s) = G(s) y (s) G(s)H(s) d - la sortie y (s) por entrée p(s) et y d (s) =0 y (s)=s(s){c(s)/[c(s)m(s)s(s)h(s)]}p(s) 3-

13 o C(s) y (s) = p(s) G(s)H(s) - L addition des de sorties y(s)= y (s) y (s) o G(s) C(s) y(s) = y(s) y (s) = y (s) p(s) G(s)H(s) d G(s)H(s) G(s)y (s) C(s)p(s) = d G(s)H(s) L effet de la pertrbation p(s) est nlle por G(s)H(s)>> et M(s) >>. Por G(s)H(s)>> G(s)H(s) G(s)H(s) et C(s)/[G(s)H(s)]= C(s)/[C(s)M(s)S(s)H(s)] C(s)/[C(s)M(s)S(s)H(s)] /[ M(s)S(s)H(s)] o y(s) = y (s) y(s) = y (s) p(s) H(s) d M(s)S(s)H(s) Por M(s) >> /[ M(s)S(s)H(s)] 0 et y(s) = y (s) y(s) = y (s) H(s) d Dans ce cas la sortie y(s) ne dépend pls de p(s) et de G(s). H(s)= O y(s)= y d (s) 3-3

14 La rédction d schéma bloc Le schéma bloc pet avoir n grand nombre de blocs. La rédction d schéma bloc est nécessaire por la rédction a n sel bloc sivent les règles:. Le prodit des fonctions de transfert dans la direction des flèches de l l entrée vers la sortie reste le même. Le prodit des fonctions de transfert le long de la bocle reste le même Eemple: G (s) - G (s) H (s) G 3 (s) H (s) La bocle spériere ne pet pas être rédit si on ne déplace pas la jonction d addition avant G (s). - G (s) G (s) a(s) G 3 (s) H (s) 3-4

15 La fonction de transfert inconne réslte des de règles :. La première règle est satisfaite: les de schémas ont le même prodit des fonctions de transfert dans la direction entrée sortie G (s) G (s) G 3 (s). Le prodit des fonctions de transfert ator de la bocle q on va modifier dans le schéma initial est G (s) [G (s) G 3 (s)/( G (s)g 3 (s) H (s)]= G (s) G (s) G 3 (s)/[( G (s)g 3 (s) H (s)] tandis qe por le schéma modifie est G (s) G (s) G 3 (s)/( G (s)g (s)g 3 (s) a(s)] Dans ce cas il fat obtenir la fonction inconne a(s) Étant donne les mêmes nmératers il fat maintenir les mêmes dénominaters G (s)g 3 (s) H (s)= G (s)g (s)g 3 (s) a(s) o G (s)g 3 (s) H (s)= G (s)g (s)g 3 (s) a(s) o H (s)= G (s) a(s) Ça donne la soltion por la fonction inconne a(s) a(s) = H (s)/g (s) Le schéma bloc est H (s)/g (s) - G (s) G (s) G 3 (s) H (s) Après on change la position des de jonctions d addition qi satisfait le de règles on obtienne 3-5

16 H (s)/g (s) - G (s) G (s) G 3 (s) H (s) La bocle infériere pet être rédit à n bloc avec G (s)g (s)/[-g (s)g (s)h (s)] o H (s)/g (s) - G (s)g (s)/[-g (s)g (s)h (s)] G 3 (s) La rédction finale donne la fonction de transfert éqivalente G (s)g (s) G 3 (s)/[-g (s)g (s)h (s)]/{ G (s)g (s) G 3 (s)/[- G (s)g (s)h (s) H (s)/g (s)] (Voir Eemple 3- et A-3- to A-3-5) 3-6

17 Réglaters Les réglaters font partie des systèmes de réglage en rétroaction est représente le bt de l atomatiqe Alimentation de pissance Sortie désirée _ errer C(s) RÉGULATEUR Sortie d capter Sortie d réglater H(s) M(s) inpt ACTIONNEUR S(s) SYSTÈM E Sortie d système o y d (s) _ e (s) Alimentation de pissance C(s) c (s) M(s) (s) p(s) S(s) y (s) y m(s) H(s) Classification des réglaters Par realisation: -réglater pnematiqe -réglater hydraliqe -réglater analoge électroniqe -réglater nmériqe Présentement la plpart des réglaters sont nmériqes. Par lois de réglage: tot o rien (On-off) P PD PID En atomatiqe I et II selement P PD et PID sont étdiés. 3-7

18 Réglage - P La fonction de transfert d réglage-p est c (s) = k e(s) p o k p est le gain proportionnel Le schéma bloc est e(s) k p c (s) Le réglater-p ressemble a n amplifier an opérationnel avec n gain ajstable k p. Réglage - PD La fonction de transfert d réglage -PD est c (s) e(s) = k p k s d = k p ( T s) d o k d est le gain por la partie Dérivative et T d = k d / k p Le schéma bloc est e(s) k p k p s c (s) 3-8

19 Réglage - PID La fonction de transfert d réglage -PID est c (s) e(s) = k p k s d k i s = k p ( T s d ) T s i o k i est le gain por la partie Intégrale et /T i = k i / k p Le schéma bloc est e(s) k p k p sk i /s c (s) Les réglaters PID sont fréqemment tilisées dans les applications. 3-9

20 3.5 Représentation de l'espace d états La représentation de l'espace d états a été développée en Rssie dans les années 960s. Ça est conn comme la Théorie d réglage moderne o de l'espace d états o d domaine de temps (différente de la théorie conventionnelle o classiqe o dans le domaine de fréqences) La limitation la pls importante de la théorie conventionnelle d domaine de fréqences est qe le système est spposé linaire et avec ne sele entrée et ne sel sortie (Single Inpt Single Otpt - SISO). Definitions Variables d'état: sont le nombre minimm de variables qi définissent niqement le système dans n'importe qel moment. États: sont les valers des variables. Si on connaît les valers des états à n moment donné et l'entrée les états ftrs d système pevent être calclés. Vecter d'état: est le vecter des variables d'état Espace d'état: est le hyperespace d domaine des valers des variables d'état. Le model dans l'espace d états a) Éqations d'état por le système non linaire 3-0

21 & = & =... & n f ( f ( = f n... ( n n... n t) k... t) k t) k b) Éqations des sorties por le système non linaire y y... y m = g ( t) n k = g ( t) n k = g ( t) m n k Le model matriciel des variables d'état - vecter des variables d'état [n ] (t) (t) (t) =.. (t) n - vecter des variables de sortie [m ] 3-

22 3- = (t) y.. (t) y (t) y y(t) m - vecter des variables d'entrée [k ] = (t).. (t) (t) (t) k - on définie por l éqation matriciel des variables d'état = t) k... n... ( n f.. t) k... n... ( f t) k... n... ( f t) ( f - por l éqation matriciel des variables de sortie = t) k... n... ( n f.. t) k... n... ( f t) k... n... ( f t) ( g On obtienne les éqations matricielles t) ( (t) t) ( (t) g y f = = &

23 Linéarisation des éqations non linaires Le fonctionnement d n système por ne corte drée ator d n point de fonctionnement montre des petites variations ator de ce point. Dans ce cas on pet modéliser le fonctionnement par des approimations éqations non linaires par des approimations. linaires. Le modèle linaire est tilisé por la conception d réglater. La linéarisation des éqations d'état et de sortie ator d n point de fonctionnement donne les éqations variantes en temps (Linear Time Variant eqations) & (t) = A(t) (t) B(t) (t) y(t) = C(t) (t) D(t) (t) A(t) est la matrice d'état B(t) est la matrice d'entrée C(t) est la matrice de sortie D(t) est la matrice de transmission directe Les éqations invariantes en temps (Linear Time Invariant eqations) sont & (t) = A(t) B(t) y(t) = C(t) D(t) o A B C et D sont des matrices avec des valers constantes. Eemple: Le système masse amortisser - ressort M-B-K system sos l action d ne force f(t) K B M Y(t) f(t) 3-3

24 Le diagramme d corps libre est KY(t) BdY(t)\dt M f(t) Y(t) La deième éqation Newton donne d Y(t) dy(t) M = B KY(t) f (t) dt dt La force d inertie est M d Y(t)/dt et donne n atre diagramme d corps libre KY(t) M d Y(t)/dt BdY(t)\dt M f(t) Y(t) Le principe de d Alembert donne d Y(t) dy(t) M B KY(t) f (t) = 0 dt dt Les variables d'état (t) et (t) sont définis par (t)=y(t) (t)=dy(t)/dt= d (t)/dt 3-4

25 et d (t) /dt= d Y(t)/dt =(/M)[-B dy(t)/dt-ky(t)f(t)] Cette éqation de deième ordre pet être remplace par de éqations de première avec les variables d'état (t) et (t) et la variable d entrée (t)=f(t) d (t)/dt= (t) d (t) /dt= -(K/M) (t) - (B/M) (t) (/M) (t)] et l éqation de sortie y(t) = (t) si la sortie est la position (o y(t) = (t) si la sortie est la vitesse (t)=dy(t)/dt de la masse M) Les éqations matricielles sont & (t) & (t) y(t) = o = [ 0] 0 - K/M (t) (t) & (t) = A(t) B(t) y(t) = C(t) D(t) por (t) = (t) (t) - B/M (t) (t) 0 / M (t) A = 0 - K/M - B/M 3-5

26 0 B = / M C = [ 0] D=0 La relation entre les Fonctions de Transfert et les éqations d'état La fonction de transfert y(s) G (s) = (s) Pet être obtene à partir éqations matricielles par élimination d vecter (s). Por ça on tilise la transformation Laplace éqations matricielles f conditions initiales zéro s(s) = A(s) B(s) y(s) = C(s) D(s) o (si A) (s) = B(s) y(s) = C(s) D(s) I est la matrice identité par. La soltion por (s) est ( s) = (si A) B (s) L élimination de (s) de la seconde éqation donne y ( s) = C(sI A) B (s) D(s) o y ( s) = [C(sI A) B D] (s) 3-6

27 Por l entrée niqe (s) = (s) et sortie niqe y ( s) = y(s) y (s) = [C(sI A) B D](s) Cette éqation donne la relation entre les fonctions de transfert et les matrices A B C et D éqations matricielles y(s) G (s) = = [C(sI A) B D] (s) Étant donne qe l inverse de la matrice si-a est donne par la matrice des adjoints si-a divisé par le déterminant si-a (si-a) - = si-a / si-a Por D=0 G(s) =C si-a B/ si-a Les pôles de la fonction de transfert G(s) sont donnes par si-a =0 Ça vet dire qe le pôles de G(s) sont les mêmes qe les valers propres (eigenvales) λ de la matrice carré A λ I-A =0 (si-a) est assi l éqation caractéristiqe d système. Eemple: Por le système M-B-K les éqations matricielles sont & (t) (t) 0 = 0 (t) & (t) (t) - K/M - B/M / M (t) y(t) = [ 0] (t) To obtain the transfer fnction from the state space eqations see 3-7

28 (Voir Eemple 3-4 d Ogata ) Dans le livre on trove le résltat G(s)= /( Ms bsk) Les pôles de G(s) sont donne par Ms BsK=0 Qi est le determinant de A A =0 Représentation d'état des systèmes d'ordre n des Éqations Différentielles Linaires a) Le cas des entrées qi n ont pas des composantes dérivés b) Le cas des entrées qi ont par des composantes dérivés (Voir Ch. 3-5 Ogata ) (Voir Eemple 3-5 Ogata ) 3-8