ETUDE DES SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS ET INVARIANTS (SLCI) LA TRANSFORMEE DE LAPLACE

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1 ETUDE DES SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS ET INVARIANTS (SLCI) LA TRANSFORMEE DE LAPLACE h://erso.umericble.fr/srud/ I. DEFINITIONS.. Liérié. Les sysèmes liéires resece ricies : rooriolié e suerosiio : e( Sysème s( k.e( Sysème k.s( e ( e ( Sysème Sysème s ( s ( e (+ e ( Sysème s (+ s ( Exemles de o-liérié : Seuil Surio Courbure Hysérésis /4

2 Remrque : O se rmèe souve à des sysèmes liéires e décl les origies e se limi e mliude.. Coiuié. U sysème es coiu si les focios qui le décrive so des focios coiues du ems (r oosiio ux sysèmes échilloés). Sigl coiu Sigl échilloé 3. Ivribilié. U sysème es ivrible si ses crcérisiques so ivries u cours du ems (s d usure). 4. Sysème moo vrible. C es u sysème à ue erée e ue sorie. /4

3 II. COMPORTEMENT D UN SLCI. x( SLCI y( U SLCI eu êre modélisé r ue équio différeielle liéire à coefficies coss de forme géérle : d y( d m m d y( d x( d x(..... y( b. b.... b. x( m m m m d d d. : ordre du sysème. O oujours m Pricie de l éude du comoreme d u SLCI : O soume le sysème à ue erée x(. L résoluio de l équio différeielle erme de déermier l sorie y(. ère méhode : «celle des mhémicies, clssique» y( = y ( + y ( vec : y ( : soluio de l équio différeielle ss secod membre y ( : soluio riculière de l équio différeielle ème méhode : «celle des uomicies, e uilis l Trsformée de Llce (TL)» x( Équio différeielle TL Y( (Sorie ds le domie de Llce) TL - y( (Sorie ds le domie emorel) III. LA TRANSFORMEE DE LAPLACE.. Défiiio. Soi f( ue focio el que f( = our <. Soi F( l Trsformée de Llce de f( F. ( f (. e. d : vrible comlexe Noios : F( L f ( e f ( L F ( 3/4

4 . Exemles (sur des erées yes). Echelo uié (focio de Heviside, oé u().. ( e. d. F U ( Lu ( Clcul : f (. e. d F( e. Imulsio (focio de Dirc, oé δ(). Ss clcul : ( F( L Rme. Ss clcul : F( L.. u( Ds l rique, o e fi s le clcul, o uilise le bleu des rsformées usuelles. 4/4

5 3. Proriéés de l Trsformée de Llce (TL). Liérié. L. f ( b. g(. L[ f ( ] b. L[ g( ]. F( b. G( TL des dérivés successives de f(. Rel des oios : L f ( F( L L f '(. F( f () f ''(. F(. f () f '() Si les codiios iiiles so oues ulles : L f '(. F( TL de l iégrle de f(. L ( ) f (. F( g ( f ( x). dx G Lg( ( F( Théorème du rerd. f ( ) : f ( rerdée de L[ f ( )] F(. e. Théorèmes des vleurs iiile e file. lim s ( lim. lim s( lim. 5/4

6 Théorèmes de l morisseme. g(. e. f ( focio morie G( F( ) 4. Trsformée de Llce iverse. Pour rouver f( à rir de F(, o uilise le bleu. Exemle :. F ( bleu (4 ème lige) f ( e. u( Remrque : il fu rfois décomoser F( e élémes simles (éléme du bleu). IV. FONCTION DE TRANSFERT D UN SLCI (elé ussi TRANSMITTANCE).. Démrche. x( SLCI y( Le comoreme du sysème es décri r ue équio différeielle. O suose les codiios iiiles oues ulles (à =, le sysème es u reos). E liqu l TL à l équio différeielle, o rouve l focio de rsfer H(. X( H( Y(=H(*X( H ( Y ( X (. Exemle. e( SLCI s( ds( d.. ( ). ( ) Equio de comoreme : s b e Les codiios iiiles so oues ulles : ( ) s, s '() e ( ) e. O lique l TL à l équio différeielle :... b. E( S (.[. ] b. E( 6/4

7 O obie l focio de rsfer : H ( E( b. V. EXEMPLE D ETUDE DE COMPORTEMENT D UN SLCI.. Mise e siuio. Le sysème éudié es u circui élecrique RC e( R C i( s( e( Sysème s( Les codiios iiiles so oues ulles. A =, o limee le sysème vec ue esio de vol. e( =.u( u( : échelo uiire.. Equios de focioeme. ds( i( C. d e( s( v( R. i( ds( d R. C. s( e( Remrques : e( : erée s( : sorie C, R : coses i( : vrible iere 3. Résoluio e uilis l Trsformée de Llce. Focio de rsfer du sysème. O lique l TL à l équio différeielle (CI=). 7/4

8 R. C.. E( R. C. E( ). H ( E( R. C. Trsformée de Llce de l erée. e(. u( E( Trsformée de Llce de l sorie. H ( * E(.( R. C. Reour ds le domie emorel. O uilise le bleu des rsformées usuelles : Domie emorel Domie de Llce / e. s(.( e / R. C ). u( 8/4

9 VI. REPRESENTATION PAR SCHEMA BLOC (SCHEMA FONCTIONNEL).. Bu. L descriio d u sysème codui géérleme à écrire lusieurs équios différeielles fis rîre différees vribles iermédiires. L recherche de l FT (Focio de rsfer e de s reréseio sous forme de schém focioel codui à doer géérleme l démrche suive : Rechercher les FT élémeires ere vribles iermédiires r licio de l rsformio de Llce ux différees équios différeielles, Cosruire le schém focioel, Agréger ces focios de rsfer. L deuxième ée es rélisée r l mise e coïcidece des erées e des sories de chcue des boies ssociées reseciveme à chcue des FT élémeires. Elle fouri ue visio grhique syhéique de l modélisio du sysème. L derière ée reose sur l uilisio de quelques règles exosées ci rès. Elle erme à rir d ue vue déillée d obeir ue visio lus syhéique du modèle de comoreme du sysème décri r ue FT globle. Exemle : schém bloc d u sysème sservi Le rocessus eu lui même êre décomosé e lusieurs blocs (exemles vus e TD). Des miulios ermee de les simlifier e de déermier l focio de rsfer globle. E revche, leur simlificio éloige le modèle de s rélié hysique. Algèbre des schéms bloc. Blocs e série 9/4

10 Blocs e rllèle Délceme d u bloc v u oi de rélèveme Délceme d u bloc v u comreur Délceme d u bloc rès u comreur /4

11 Iversio de sommeurs Focio de rsfer e boucle fermée (FTBF) E M ) G. E F. S G. E G. F. S S G. G. S. G. F G. E S G FTBF E G. F Focio de rsfer e boucle ouvere (FTBO) : FTBO G. F Aeio u sige du comreur (o es ds le cs d u sommeur) Ds ce cs : FTBF S E G G. F /4

12 Pricie de suerosiio (exemle vec u sysème à erées) O clcule l sorie S ( vec E ( = O clcule l sorie S ( our E ( = = S ( + S ( VII. ETUDE DE LA PRECISION D UN SYSTEME ASSERVI. Il fu d bord clculer l écr ( E( M ( ( E( F(. G(. ( (.[ F(. G( ] E( E( ( [ F(. G( ] O red ue erée de ye échelo (our l erreur sique) ou de ye rme (our l erreur de rige) Esuie, o clcul l limie de ( qu ed vers l ifii vec le héorème de l vleur file. /4

13 ETUDE DES (SLCI) LES SYSTEMES FONDAMENTAUX e( SLCI s( E( H( I. SYSTEME A ACTION PROPORTIONNELLE. s( k. e( O lique l Trsformée de Llce k. E( L focio de rsfer es : H ( k Aeio ux uiés E( II. INTEGRATEUR. Exemle : v( viesse Iégreur x( osiio Equio : dx( v( O lique l TL V (. X ( d L focio de rsfer es : X ( H ( E( V ( Remrque : o ussi le dériveur. III. SYSTEME DU PREMIER ORDRE. Forme coique de l focio de rsfer d u sysème du remier ordre : Prmères crcérisiques : : Gi sique (crcérise le comoreme sique, c'es-à-dire le régime erme. : Cose de ems (crcérise le comoreme dymique, c'es-à-dire le régime rsioire). H (.. Réose idicielle (à u échelo) 3/4

14 e(. u( E( H (. E(..(. O uilise le bleu des rsformées usuelles : Domie emorel Domie de Llce / e. s(..( e / ). u( Eude de s( : ( ) Trcé de s( : s, s ( ). s' (. /. e,,. s' () (ee à l origie). Remrque : ems de réose à 5% : 3. 5%. Réose imulsioelle (à ue imulsio) H ( E( e( ( E (. O uilise le bleu des rsformées usuelles : Domie emorel e Domie de Llce 4/4

15 / s(. e. u( (O red ) Eude de s( : s( ), s ( ), '( ) /. s e, s' () (Pee à l origie). Trcé de s( : Remrque : ems de réose à 5% : 5% Réose à ue rme (rme de ee ). e(.. u( E(..(...( O uilise le bleu des rsformées usuelles : Domie emorel. e Domie de Llce s( /..(. e ). u( (o red ) Eude de s( : ( ) / s, s' (..( e ), 5/4

16 s '() Coclusio : ee ulle à =.. Recherche d ue symoe : Qud /. e s (..( ) Coclusio : l droie y..( ) es ue symoe à l ifiie. Trcé de s( : 4. Bil. Il fu svoir rerouver ces résuls. il fu surou svoir uiliser ces résuls. IV. SYSTEME DU DEUXIEME ORDRE. Forme coique de l focio de rsfer d u sysème du deuxième ordre : Prmères crcérisiques : H (.. : Gi sique. : Pulsio rore o morie. : Coefficie d morisseme. O v éudier l réose à u échelo (réose idicielle) 6/4

17 L erée es u échelo uiire : ( u( e E(. H ( E(..(... ) (. ).. Vleurs iiile e file. lims ( lim. lims( lim... s ( ) s( )... lims'( lim.[. s()] lim.... '()... s (Pee à l origie). Déermiio de s(. L forme de s( déed des rcies de l équio crcérisique :... Clcul du discrimi : ( ) Premier cs : ( > ). L équio crcérisique dme rcies réelles : e......( ).( ) 7/4

18 O doc :.(. )( ) Avec e < Remrque : ds l équio. x bx c, le rodui des rcies = c Ds l équio..., o doc..(.. )( ) O uilise le bleu des rsformées usuelles : Domie emorel b. b. e b e b Domie de Llce. b b E os = - e b = -, vec e b >, o rouve s( : s(.( b e b e b. b. ). u( Trcé de s(, vec > Deuxième cs : ( = ). L équio crcérisique... dme ue rcie réelle double :. 8/4

19 .... O doc :.( )..( ) O uilise le bleu des rsformées usuelles : Domie emorel... e Domie de Llce. s(.( (.. e. ). u( Trcé de s(, vec = Pour, o le ems de réose le lus ride ss désseme. Troisième cs : ( < ). Rel :..(... ) (.. ). O uilise le bleu des rsformées usuelles : e vec Domie emorel si si e cos Domie de Llce vec < 9/4

20 s(.[. e.. ]. u(...si Trcé de s(, vec <. : Pulsio rore du sysème.. T. : Pseudo ériode des oscillios Recherche du remier désseme. Remrque : L[ s'( ]. s(). doc s'( L [. ] L [. ]. O uilise le bleu des rsformées usuelles : Domie emorel e si vec si e cos Domie de Llce vec < /4

21 s'(.[. e...si.. èr désseme our '(. s.... s(.[. e.si.. ]. u( Rel :. s ( ).[ e.si ] si si O s( ).[ e Soi D le désseme :. ] D e.. Remrques : D e déed que de. E coiss le remier désseme, o eu déermier ω (ulsio rore o morie) e (coefficie d morisseme. Si e( =.u(, lors le désseme devie D e... Pour, 7, o D =,5. (voir rcé de s(), ce qui corresod u ems de réose le lus ride vec désseme.. /4

22 3. Coclusio. Ps d oscillios, s de désseme. Pour = o le ems de réose le lus ride ss désseme Oscillios, désseme. Pour =,7 o le ems de réose le lus ride vec désseme /4

23 4. Bil. Il fu svoir : Recoîre l focio de rsfer d u sysème du ème ordre, le mere sous forme coique e ideifier ses rmères crcérisiques (, ω,). A rir du rcé de s(, réose d u sysème du ème ordre à u échelo, déermier, recoîre si es suérieur ou iférieur à e ds le cs <, déermier (ω,). V. FORME CANONIQUE D UN SYSTEME QUELCONQUE. L focio de rsfer H( crcérise le comoreme du sysème idéedmme de l erée liquée. Le degré du olyôme du déomieur es elé ordre du sysème. Les vleurs de qui ule le uméreur so elées les éros du sysème. Les vleurs de qui ule le déomieur so elées les ôles du sysème. 3/4

24 O eu mere l focio de rsfer sous forme coique : H (. Ce qui erme de mere e évidece : : Gi sique (crcérise le comoreme e régime erme : Clsse du sysème (ombre d iégrio du sysème) Exemle de mise sous forme coique : H ( ( ) H ( ( ) Sysème d ordre 5, de clsse e de gi 3 sique, VI. IDENTIFICATION. Coîre le comoreme d u sysème revie à déermier s focio de rsfer. Deux voies so ossibles : Rechercher les équios hysiques reli l erée e l sorie.o fi des hyohèses simlificrices, le modèle es doc roché. Le sysème exise s forcéme, o es e hse de coceio. Ideifier l réose à ue solliciio. Le sysème exise, o es e hse de réglge. O disigue le modèle de coissce e le modèle de comoreme. Ideificio d u sysème du remier ordre. E réose à ue imulsio, u échelo ou ue rme, il fu recoîre le ye de l réose, uis ideifier les rmères crcérisiques e τ. Ideificio d u sysème du deuxième ordre. E réose à u échelo, il fu recoîre le ye de l réose, recoîre si es suérieur ou iférieur à, uis ds le cs iférieur à, ideifier les rmères crcérisiques, e ω. 4/4