Partie 1. Systèmes Asservis Linéaires Continus et Régulation Industrielle

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1 Réublique Algériee Démocratique et Poulaire Miistère de l'eseigemet Suérieur et de la Recherche Scietifique Uiversité Djillali Liabès Sidi Bel-Abbès Faculté de Géie Electrique Déartemet d'electrotechique Partie Systèmes Asservis Liéaires Cotius et Régulatio Idustrielle Parcours : 3 ème Aée Licece «Electrotechique» ère Aée Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» Derière mise à jour : Setembre 5 Préaré et eseigé ar : Prof. Mohammed-arim FELLAH mkfellah@uiv-sba.dz mkfellah@yahoo.fr

2 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim AVANT PROPOS Ce documet s'adresse aux étudiats de la formatio d'igéieur, de Licece et de Master das le cadre des rogrammes officiels. Mais bie etedu il eut être étudié ar tous ceux e er cycle, e ème cycle, ou même e ost-graduatio, qui désiret arofodir leurs coaissaces ou avoir u documet de base e matière d'asservissemet. La commade et l'iterrétatio du comortemet de rocédés idustriels ou de héomèes hysiques aturels fot artie des tâches qui icombet à l'igéieur. Ce derier est cofroté à ue réalité qu'il lui faudra domestiquer et/ou comredre our e tirer le meilleur arti. Au cetre de cette coaissace se trouve le cocet de système, cocet que l'o retrouve das u grad ombre de discilies et techiques : cotrôle de rocédés, techiques d'otimisatio, traitemet du sigal, filtrage, mathématique des équatios différetielles, etc. Das le cadre de ce cours, ous ous itéressos ricialemet à l'étude des "systèmes" à la fois cotius et liéaires, qui sot rerésetés sous forme de foctio de trasfert (rerésetatio extere, dite ecore de la "boîte oire") ; ces trois coditios volotairemet limitatives ermettet d'itroduire de faço simle les riciaux cocets de l'automatique. Ce texte costitue la trascritio fidèle d'u cours oral magistral traité à la faculté de Géie Electrique (Uiversité Djillali Liabès de Sidi Bel-Abbès) our les étudiats e formatio de Licece et Master (différets arcours). Le but recherché 'est doc as d'éuiser le sujet, mais d'essayer d'e dégager les idées essetielles, simlifiées, quad cela est écessaire, das u but didactique. E coséquece, l'accet est mis sur les exlicatios hysiques et les exemles, lutôt que sur les démostratios, mais celles-ci sot égalemet traitées e détail surtout lorsqu'elles sot idisesables à la boe comréhesio du résultat. Pr. FELLAH Mohammed-arim Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés»

3 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Chaitre : INTRODUCTION AUX ASSERVISSEMENTS - - Itroductio à l automatique L'automatique est gééralemet défiie comme la sciece qui traite des esembles qui se suffiset à eux-mêmes et où l'itervetio humaie est limitée à l'alimetatio e éergie et e matière remière. L'objectif de l'automatique est de remlacer l'homme das la luart des tâches (tâches réétitives, éibles, dagereuses, tro récises, tro raides) qu'il réalise das tous les domaies sas itervetio humaie. Les systèmes automatiques ermettet doc : * de réaliser des oératios tro comlexes ou délicates e ouvat être cofiés à l'homme, * de se substituer à l'oérateur our des tâches réétitives, * d'accroître la récisio, * d'améliorer la stabilité d'u système et sa raidité. De tels disositifs se recotret fréquemmet das la vie courate, deuis les mécaismes biologiques du cors humai jusqu'aux usies etièremet automatisées. Ue telle sciece eglobe u grad ombre de discilies et, ar coséquet, u automaticie devrait être à la fois : * Mathématicie * Electricie * Mécaicie * Ecoomiste -. - Exemle Nous sommes etourés d'u grad ombre de systèmes automatiques, machie à laver, asceseur, distributeur de boisso, robot, suivi de trajectoire d u missile Classificatio Le domaie des alicatios de l'automatique est très vaste et varié, mais l'observatio de l'idustrie cotemoraie coduit à ue certaie classificatio qui se résume e deux grades familles selo les doées que traitet ces systèmes : * Les automatismes séquetiels * Les asservissemets Ces deux arties de l'automatique sot ettemet différetes, elles s'auiet sur des otios théoriques qui 'ot que de loitais raorts etre elles et les techiques qui ermettet de les réaliser sot, aussi, très différetes. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 3

4 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim -..a - Les automatismes séquetiels C'est la brache de l'automatique qui orgaise le déroulemet des différetes oératios relatives au foctioemet d'u esemble comlexe. U automatisme à séquece imose l'ordre das lequel les oératios se déroulet, s'assure que chaque oératio est bie termiée avat d'aborder la suivate, décide de la marche à suivre e cas d'icidets. Bie etedu, u automatisme séquetiel eut avoir à cotrôler des asservissemets et des régulateurs (voir -..b) armi les esembles qu'il gère. Ce tye d'automatisme est utilisé ar exemle das la mise e route et l'arrêt d'istallatios comlexes (cetrales automatiques), sur les machies outils et, e gééral, das resque toutes uités de roductio automatisées. Il faut oter égalemet que toutes les séqueces d'alarme et de sécurité idustrielle fot artie des alicatios de ce tye d'automatisme. Les automatismes sot des systèmes logiques qui e traitet que des doées logiques (/, vrai/faux, marche/arrêt,...). Ils utiliset les moyes de commutatio offerts ar l'électroique (circuit logique) et la mécaique (logique eumatique). Le calcul de ces automatismes imose de coaître l'algèbre de Boole et la théorie des circuits séquetiels. Ils sot classés e braches : * Systèmes combiatoires : les sorties du système e déedet que des variables d etrées. * Systèmes séquetiels : les sorties déedet bie sûr de l évolutio des etrées mais aussi de l état récédet des sorties. Exemle : Machie à laver, maiulateur eumatique, asceseur, distributeur de boissos. -..b - Les asservissemets U système asservi est u système qui red e comte, durat so foctioemet, l'évolutio de ses sorties our les modifier et les maiteir coforme à ue cosige. Cette brache de l automatique se décomose e deux autres sous braches (séarées artificiellemet ar l'usage) : * Régulatio : maiteir ue variable détermiée, costate et égale à ue valeur, dite de cosige, sas itervetio humaie. Exemle : Régulatio de temérature d'ue ièce. * Systèmes asservis : faire varier ue gradeur détermiée suivat ue loi imosée ar u élémet de comaraiso. Exemle : Régulatio de la vitesse d'u moteur, Suivi de trajectoire d'u missile. L asservissemet est essetiellemet aalogique et utilise la artie aalogique des trois moyes de base dot o disose : mécaique, électrotechique et électroique. La théorie des asservissemets écessite ue boe base mathématique classique. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 4

5 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Systèmes cotius et ivariats * Système cotiu : u système est dit cotiu lorsque les variatios des gradeurs hysiques le caractérisat sot des foctios du tye f(t), avec t ue variable cotiue, le tems e gééral. O oose les systèmes cotius aux systèmes discrets (ou échatilloés), ar exemle les systèmes iformatiques. * Système ivariat : O dit qu u système est ivariat lorsque les caractéristiques de comortemet e se modifiet as avec le tems Evolutio de l'automatique Ces derières aées, l automatique s est cosidérablemet moderisée, surtout deuis l avèemet des calculateurs umériques. Les systèmes automatiques coduits ar calculateurs assuret la quasi-totalité des tâches : * ils collectet et traitet les iformatios issues des cateurs qui fourisset l'esemble des variables d'etrée. * ces variables d'etrée costituet les doées sur lesquelles des calculs umériques serot effectués. Ils corresodet à la résolutio umérique de systèmes d'équatios qui costituet le "modèle mathématique". * le résultat de ce traitemet fouri e biaire est coverti e variables cotiues et est ijecté das le rocessus, afi de modifier so évolutio das u ses désiré. E lus de ces tâches qui sot classiques e automatique, le calculateur joue u rôle otimalisateur. C'est-à-dire qu'il exécute le travail à faire aux meilleures coditios écoomiques e miimisat les déchets, e teat comte du caret de commade, etc. Cet asect, lui, est ouveau. Ce gere de roblème était traité séarémet. Ce rocédé ermet de teir comte d'u ombre cosidérable de variables, doc de traiter des roblèmes jusqu'alors imossibles. E lus, il fait iterveir directemet les variables écoomiques au iveau de chaque orgae (moteur, ome, etc...). Or, jusqu'à réset, les variables écoomiques 'iterveaiet que globalemet. Il ermet doc de traiter ce roblème de faço beaucou lus ratioelle. Les systèmes automatiques coduits ar calculateurs écessitet ue boe coaissace de la rogrammatio e lagage machie, de fortes coaissaces mathématiques (our élaborer le modèle) et surtout ue coaissace arfaite du rocessus à réguler, ce qui est le lus délicat. Ceci écessite ecore de boes coaissaces e théorie de l'iformatio, e statistique et e recherche oératioelle. - - Boucle de régulatio -. - Notio d'asservissemet L'objectif d'u système automatisé est de remlacer l'homme das ue tâche doée. Nous allos, our établir la structure d'u système automatisé, commecer ar étudier le foctioemet d'u système das lequel l'homme est la " artie commade ". Exemle : coducteur au volat d'u véhicule Le coducteur doit suivre la route. Pour cela, Il observe la route et so eviroemet et évalue la distace qui séare so véhicule du bord de la route. Il détermie, e foctio du cotexte, l'agle qu'il doit doer au volat our suivre la route. Il agit sur le volat (doc sur le système) ; uis de ouveau, il recommece so observatio edat toute la durée du délacemet. Si u cou de vet dévie le véhicule, arès avoir observé et mesuré l'écart, il agit our s'ooser à cette erturbatio. Si l o veut qu u asservissemet remlace l'homme das diverses tâches, il devra avoir u comortemet et des orgaes aalogues à ceux d'u être humai. C'est-à-dire qu'il devra être caable d'arécier, de comarer et d'agir. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 5

6 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Exemle : ouverture de orte our accès à ue maiso. U autre exemle d'asservissemet très simle est celui d'u homme qui veut etrer das ue maiso : à chaque istat, ses yeux "mesuret" l'écart qui existe etre sa ositio et la orte. So cerveau commade alors aux jambes d'agir, e sorte que cet écart dimiue, uis s'aule. Les yeux jouet alors le rôle d'orgaes de mesure (ou de cateurs), le cerveau celui de comarateur et les jambes celui d'orgae de uissace. Tout asservissemet comortera ces trois catégories d'élémets qui remlisset les 3 grades foctios écessaires à sa boe marche (fig. ) : * Mesure (ou observatio) * Comaraiso etre le but à atteidre et la ositio actuelle (Réflexio) * Actio de uissace Tâche à réaliser Réflexio Actio Effet de l'actio Observatio Fig. : Cocet gééral d u asservissemet -. - Systèmes bouclés et o bouclés -..a - Exemle : Tir au cao Pour mieux saisir la otio de système bouclé, reos u exemle avec cas. Das le remier, ous cosidéros u système o bouclé et ous mettros e évidece ses faiblesses. Das le secod, ous motreros les avatages qu'aorte le bouclage. Premier cas : tir au cao sur ue cible. O cosidère ue cible à détruire et u cao. Pour atteidre le but que l'o s'est roosé, o règle l'agle de tir du cao et la charge de oudre de l'obus e foctio des coordoées de la cible et d'autres aramètres cous à l'istat du tir. Ue fois l'obus arti, si ces aramètres extérieurs vieet à chager, ar exemle si la cible se délace, o e eut lus agir sur sa directio : l'obus est abadoé à lui-même. Deuxième cas : tir au cao sur ue cible avec ue fusée téléguidée et u radar. Cosidéros la même cible et ue fusée téléguidée. Das ce cas, même si la cible se délace ou u vet latéral fait dévier la fusée de sa trajectoire iitiale, elle atteidra quad même so but. E effet, à chaque istat, u radar doera les ositios resectives de la fusée et de la cible. Il suffira de les comarer our e déduire l'erreur de trajectoire et agir sur les gouveres de la fusée our rectifier cette erreur. Das ce cas, le système 'est lus abadoé à lui-même car il comorte ue boucle de retour qui est costituée ar le radar, qui "mesure" la ositio de la fusée et qui e iforme l'oérateur, et ar ue télétrasmissio qui ermet de modifier la trajectoire ar actio sur les gouveres. La boucle de retour aorte doc, au rix d'ue comlicatio certaie, u gai de récisio éorme. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 6

7 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim -..b - Exemle : Asservissemet de vitesse d ue voiture Suosos que l'o veuille maiteir costate la vitesse (V) d'ue voiture. A la valeur (V) de la vitesse corresod ue valeur (e) de la course de l'accélérateur. Il suffirait doc, e ricie, de maiteir (e) costat our que (V) le soit. Chacu sait que la réalité est différete. E effet, le vet, les variatios de ete et le mauvais état de la route modifiet (V). Ces aramètres extérieurs qui ifluet sur la vitesse sot aelés gradeurs erturbatrices ou erturbatios. Si elles 'existaiet as, la boucle de régulatio serait iutile. Pour que la vitesse reste costate, il faut utiliser u tachymètre qui mesure la vitesse réelle. Le chauffeur comare à tout istat cette vitesse réelle et la vitesse rescrite; Il e déduit u écart lus ou mois grad et efoce lus ou mois l'accélérateur e foctio de cet écart. Si o aelle gradeur de sortie (ou sortie) la vitesse réelle et gradeur d'etrée (ou etrée) la vitesse imosée, le chauffeur et le tachymètre assuret ue liaiso etre l'etrée et la sortie, ils costituet doc ue chaîe de retour. O eut doer u schéma très simle our illustrer cet exemle (fig. ) : Etrée vitesse imosée Chauffeur Accélérateur Moteur Voiture Tachymètre Perturbatios Sortie vitesse (V) réelle Fig. : Exemle d asservissemet de vitesse d u véhicule Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 7

8 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Défiitios Costitutios élémetaires O eut doc défiir u asservissemet comme u système bouclé ou à boucle fermée comortat ue amlificatio de uissace, ue mesure et ue comaraiso. A artir de ces 3 otios, o eut défiir u schéma foctioel valable our tous les systèmes résetat ces caractéristiques (fig. 3) : * Le triagle : rerésete la foctio amlificatio de uissace. * Le cercle : rerésete la foctio comaraiso (qui s'effectue e faisat ue différece). * Le rectagle : rerésete la foctio mesure et trasformatio. Foctio comaraiso E _ S ' A B S Foctio amlificatio de uissace Foctio mesure et trasformatio Fig. 3 : Schéma foctioel d u asservissemet S Gradeur de sortie E Gradeur d'etrée ou référece ou cosige erreur ou écart etrée - sortie S' Mesure de la sortie La sortie régulée rerésete le héomèe hysique que doit régler le système, c est la raiso d être du système. Il eut s'agir d'ue tesio, d'u délacemet, d'u agle de rotatio, d'u iveau, d'ue vitesse, etc... La cosige, est l etrée d actio, c est la gradeur réglate du système. Sa ature eut être différete de celle de (S). Seule imorte sa valeur umérique. Si (E) et (S) sot de atures différetes, il suffit de défiir ue corresodace umérique etre ces deux gradeurs. Par exemle, o dira qu'u volt à l'etrée rerésete tours/m. O aelle écart ou erreur, la différece etre la cosige et la sortie. Cette mesure e eut être réalisée que sur des gradeurs comarables, o la réalisera doc e gééral etre la cosige et la mesure de la sortie. Elle est fourie ar le comarateur et est roortioelle à la différece ( E S' ). Elle eut être de atu re différete. Par exemle, E et S' état des tesios, o ourra avoir sous forme de courat tel que = ( E S' ) / R (R est ue résistace). Elle est fourie ar la chaîe de retour, gééralemet arès trasformatio. S' doit obligatoiremet avoir même ature hysique que E. Ce qui est évidet si o veut doer u ses à la différece ( E - S' ). U des rôles de la chaîe de retour est doc d'assurer la coversio de la mesure de S das la gradeur hysique de E. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 8

9 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim D'ue maière géérale, le système comred (fig. 4) : Erreur ou Ecart Chaîe directe (ou d'actio) Perturbatios évetuelles Régulateur Etrée de référece (cosige) Correcteur Actioeur rocessus Sortie asservie Comarateur Mesure Cateur Chaîe de retour (ou d'observatio) Fig. 4 : Orgaisatio foctioelle d'u système asservi (schéma foctioel) Chaîe directe ou d'actio Chaîe de retour ou de réactio Comarateur ou détecteur d'écart * Eglobe tous les orgaes de uissace (écessitat u aort extérieur d'éergie) et qui exécute le travail. * Comorte gééralemet ombreux élémets, otammet des amlificateurs. * La ature de ces élémets 'est as sécifiée sur le schéma, il eut s'agir aussi bie d'egis électriques, mécaiques, eumatiques, etc * Aalyse et mesure le travail effectué et trasmet au comarateur ue gradeur hysique roortioelle à ce travail. * Elle comred gééralemet u cateur qui doe ue mesure de la gradeur S, qui est esuite amlifiée et trasformée avat d'être utilisée. * Comare le travail effectué à celui qui était à faire et délivre u sigal d'erreur roortioel à la différece etre ue gradeur de référece (E) et la gradeur hysique issue de la chaîe de retour. * Ce sigal d'erreur, arès amlificatio, agira sur les orgaes de uissace das u ses tel que l'erreur tedra à s'auler. Régulateur Actioeur Cateur Perturbatio Le régulateur se comose d'u comarateur qui détermie l'écart etre la cosige et la mesure et d'u correcteur qui élabore à artir du sigal d'erreur l'ordre de commade. C'est l'orgae d'actio qui aorte l'éergie au système our roduire l'effet souhaité. Le cateur rélève sur le système la gradeur réglée (iformatio hysique) et la trasforme e u sigal comréhesible ar le régulateur. La récisio et la raidité sot deux caractéristiques imortates du cateur. O aelle erturbatio tout héomèe hysique iterveat sur le système qui modifie l état de la sortie. U système asservi doit ouvoir maiteir la sortie à so iveau idéedammet des erturbatios Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 9

10 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Régulatio et systèmes asservis Nous avos fait la distictio das l'itroductio etre régulatio et asservissemet. Nous ouvos maiteat réciser de faço ette cette différece : * U régulateur : maitiet l'erreur etre l'etrée E et la sortie S ulle, quelles que soiet les erturbatios, la gradeur d'etrée E restat costate ou variat ar alier. E est alors aelée cosige ou référece. * U système asservi : maitiet l'erreur ulle ou miimale quelles que soiet les variatios de E. Gééralemet, E est ue foctio du tems qui eut être ériodique, mais qui doit toujours rester cotiue et fiie. Il faut remarquer que les cotraites sot lus grades our u système asservi que our u régulateur, uisque aucue cotraite de vitesse de variatio 'est imosée our E Proriétés des systèmes liéaires Quad u système est liéaire, il jouit de roriétés imortates qui ermettet ue étude lus commode, e articulier le «ricie de suerositio liéaire» qui se traduit ar les relatios : Etrée Sortie Additivité : e(t) e (t) e(t) e (t) s (t) s (t) s (t) s (t) où e(t) et s(t) sot les gradeurs d'etrée et de sortie Homogééité : e(t).e(t) s(t).s(t) Ce ricie traduit le fait que les effets sot roortioels aux causes et que les causes ajoutet leurs effets Régimes trasitoires des asservissemets Défiitios Etrée Permaete Régime Permaet Régime Trasitoire Etrée d'u système dot l'exressio, e foctio du tems, est du tye costate, liéaire, arabolique ou ériodique Il est atteit ar u système quad, soumis à ue etrée ermaete, sa sortie est du même tye que l'etrée c'est-à-dire costate, liéaire, arabolique ou ériodique. Ce régime est aussi aelé régime forcé. Il corresod au foctioemet du système quad il asse d'u tye de régime ermaet à u autre. Pratiquemet, u asservissemet travaille toujours e régime trasitoire ; e effet, même u régulateur dot l'etrée est costate doit costammet reveir au régime ermaet, car des erturbatios qui costituet des etrées secodaires l'e écartet. Il e est de même our les asservissemets. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés»

11 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim L'atitude du servomécaisme à reveir au régime ermaet sera caractérisée ar ses erformaces dyamiques Performaces d'u système asservi * E régime ermaet : la gradeur de sortie doit être aussi voisie que ossible de la valeur désirée. E réalité, il subsiste toujours ue légère erreur. Cette erreur est aelée : - erreur statique ou écart ermaet quad la gradeur d'etrée est ue costate ; our u système idéal, elle doit être ulle. - erreur de traîage quad la gradeur d'etrée est ue foctio liéaire du tems. * E régime trasitoire : le système évoluat etre deux régimes ermaets, le tems mis ar le système our aller de l'u à l'autre et la faço dot il arviet à l'état fial, sot très imortats. - Le tems de réose est le tems au bout duquel la sortie du système a atteit, à 5 % (ou % selo la récisio voulue), sa valeur de régime ermaet et y reste (Fig. 5). - L'amortissemet : la sortie du système déasse gééralemet la valeur qu'elle doit avoir das le régime ermaet fial et elle oscille quelques istats autour de cette valeur. Les oscillatios doivet être amorties, le lus raidemet ossible. L'amortissemet est mesuré ar le coefficiet de l'exoetielle eveloe (Fig. 6). Fig. 5 : Tems de réose Fig. 6 : Amortissemet Mise e équatio d'u système - Résolutio Mise e équatio Nous avos dit récédemmet que ous ous borios à l'étude des systèmes liéaires. Doc, les équatios recotrées serot des équatios différetielles liéaires à coefficiets costats. Cosidéros u système quelcoque A, le lus gééral ossible, ossédat ue etrée e(t) et ue sortie s(t) (fig. 7). e(t) A s(t) Fig. 7 : Rerésetatio d u système quelcoque à etrée sortie Si o alique u sigal à l'etrée, o recueillera, à la sortie, u sigal qui sera liée au sigal d'etrée ar ue équatio différetielle de tye : d s ds d e de a... a a s bk... b b e dt dt k dt dt k Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés»

12 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim * Les coefficiets ai et bj sot les aramètres du système et ils sot cesés être cous, ce qui est le cas das la ratique our la luart des systèmes courats. Ils rerésetet diverses costates de tems et divers coefficiets de roortioalité accessibles à la mesure. * La difficulté de la mise e équatio réside surtout au iveau de la coaissace du rocessus luimême. E réalité, l'équatio différetielle à laquelle o arrive 'est souvet qu'ue aroximatio qui cosiste à égliger des termes d'ordre lus élevé. Cette récisio suffit das la luart des cas, bie qu'ue étude lus oussée soit quelque fois écessaire. * Ue fois l'équatio du système établie, il faut exrimer la valeur de la sortie e foctio du tems our coaître les régimes ermaets et trasitoires. Pour cela, il existe méthodes (voir fig. 8) : Méthode Classique Méthode Oératioelle Cosiste à résoudre l'équatio différetielle décrivat ce système, c'est à dire trouver ue réose forcée et ue réose libre our le système. Mais cette méthode e ermet as toujours de trouver ue solutio et eut ameer à ue difficulté de résolutio dès que l'ordre de l'équatio différetielle déasse. Basée sur le calcul oératioel ou, essetiellemet, sur la trasformée de Lalace qui mettra e relatio, ue foctio de la variable du tems f(t) avec ue foctio de la variable comlexe F() déedat de la ulsatio. Notatio : L [ f(t) ] = F() avec = a j.b (ombre comlexe) e(t) Méthode classique (ordre ) s(t) = L - [S()] Trasformée de Lalace du sigal d'etrée Calcul oératioel Trasformée iverse de Lalace du sigal de sortie L [e(t)] = E() S() = L [s(t)] Fig. 8 : Détermiatio de la sortie du système ar la méthode classique et ar le calcul oératioel Pour u rael sur l utilisatio de la trasformée de Lalace, voir l aexe A Utilisatio de la trasformée de Lalace E aelat S() et E() les trasformées de s(t) et de e(t), si o red la Trasformée de Lalace des deux membres de l'équatio différetielle : O aura : d s ds d e de a... a a s bk... b b e dt dt k dt dt k a S()... a S() a S() bk E()... b E() b E() b d'où : S() = a k k... b b. E()... a a k Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés»

13 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Si l'o coaît l'image E() de e(t), il est facile, grâce aux tables de trasformées de Lalace, de reveir à l'origial de S(). D'ue maière géérale, cette otatio 'est valable que si : * le système est liéaire à coefficiets costats, * toutes les variables et leurs dérivées sot ulles our t < (le système art du reos absolu), * le système est dissiatif, doc sa réose ted, lus ou mois, vers u régime ermaet idéedat des coditios iitiales. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 3

14 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Chaitre : NOTION DE FONCTION DE TRANSFERT - - Itroductio Raelos que : * SI ous cosidéros u système quelcoque A, le lus gééral ossible, ossédat ue etrée e(t) et ue sortie s(t) (fig. ) : e(t) A s(t) Fig. : Rerésetatio d u système quelcoque à etrée sortie * ALORS, Si o alique u sigal à l'etrée, o recueillera, à la sortie, u sigal qui sera liée au sigal d'etrée ar ue équatio différetielle de tye : d s(t) ds(t) d e(t) de(t) a... a a s bk... b b e(t) dt dt k dt dt k E aelat S() et E() les trasformées Lalace de s(t) et de e(t), si o red la Trasformée de Lalace des deux membres de l'équatio différetielle, o aura : a S()... a S() a S() bk E()... b E() b E() k b d'où : S() = a k k... b b... a a. E() Par défiitio, la FONCTION DE TRANSFERT du système de la figure ( ) est le quotiet : F() = b a k k... b b... a a C'est aussi le raort de la trasformée de Lalace de la sortie à la trasformée de Lalace de l'etrée quad toutes les coditios iitiales sot ulles. Das ce cas, o a : S() = F(). E() La Foctio de Trasfert caractérise la dyamique du système. Elle e déed que de ses caractéristiques hysiques. Aisi, doréavat, u système sera décrit ar sa foctio de trasfert et o ar l'équatio différetielle qui le régit. Notos efi, que cette foctio de trasfert est aussi aelée trasmittace ar aalogie avec l'imédace das les systèmes électriques. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 4

15 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim - - Foctio de trasfert d'u esemble d'élémets -. - Elémets e série (ou cascade) Soit élémets de foctio de trasfert G ()...G () mis e série (la sortie du remier est reliée à l'etrée du secod, etc...) (fig. ). E E E 3 E S S G () G () G () H() E Fig. : Coexio e série (ou cascade) de foctios de trasfert La foctio de trasfert de l'esemble est égale au roduit des foctios de trasfert de chaque élémet : H() = S() E () = G (). G ()..... G () Ceci est évidet uisque, ar défiitio, o a : G () = E (),..., G () = E () S() E () et que H() = S() E () -. - Elémets e arallèle Soiet élémets de foctio de trasfert G ()...G () mis e arallèle (fig. 3). G () E S E H() S G () Fig. 3 : Coexio e arallèle de foctios de trasfert La foctio de trasfert équivalete H() a our exressio : H() = S() E() = G () G ()... G () O eut cosidérer que S() est le résultat de la suerositio des sorties des élémets, c'est-àdire que : S() = S () S ()... S () (e vertu de la liéarité du système, les effets s'ajoutet) Doc : Chaque élémet ris, idéedammet, doera ue sortie Si () quad o lui alique l'etrée E(). Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 5

16 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim S() = i Si () = G (). E() G (). E()... G (). E() S() = [ G () G ()... G () ]. E() d'où : H() = G () G ()... G () Cas d'u système à etrées idéedates E E G () E Système S E G () S Fig. 4 : Système à etrées idéedates La foctio de trasfert 'a de ses qu'etre la sortie et ue etrée. Le système de la fig. 4 ourra doc se décomoser e costituats ayat la sortie e commu et our etrée chacue des etrées. O calculera les foctios de trasfert Gi () de chaque élémet e suosat ulles les etrées autres que Ei (). Ceci 'est ossible que si les différetes équatios du système e sot as coulées etre elles. Das ce cas, o eut écrire : S() = i G i (). E i () Il 'y a as de foctio de trasfert globale our le système Foctio de Trasfert e Boucle Fermée ( FTBF ) Soit u système asservi, le lus gééral, reréseté ar le schéma de la fig. 5. E _ S ' A() S B() Fig. 5 : Schéma foctioel d u système asservi (Boucle Fermée) Soit A() et B(), resectivemet, les foctios de trasfert des chaîes directe et de retour. Cherchos la foctio de trasfert du système comlet : H() = Nous avos les relatios suivates : S() E() Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 6

17 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim S() = A(). (), S ' () = B(). S(), () = E() S ' () S() = A(). [ E() S ' () ] = A(). [ E() B(). S() ] d'où S() = A() A().B() E() La foctio de trasfert d'u système bouclé ou e Boucle Fermée (FTBF) est doc le raort de la foctio de trasfert de sa chaîe directe à A(). B(.: H() = A() A().B() Foctio de trasfert e boucle ouverte ( FTBO ) La Foctio de Trasfert e Boucle Ouverte (égalemet aelée F.T.B.O.) est la foctio de trasfert qui lie les trasformées de Lalace de la sortie de la chaîe de retour S ' () à l'erreur (). Elle corresod à l'ouverture de la boucle (Fig. 6 ): E _ A() S B() S ' B() Fig. 6 : Schéma foctioel d'u système asservi e Boucle Ouverte Das ce cas, = E uisque le comarateur e reçoit lus qu'ue seule iformatio. O a doc : S ' () = B(). S() = B(). A(). () = B(). A(). E() d'où : S ' () () = () = A(). B() La Foctio de Trasfert e Boucle Ouverte (ou FTBO) d'u asservissemet est le roduit des foctios de trasfert de la chaîe directe ar la chaîe de retour. La foctio de trasfert e boucle ouverte a ue grade imortace das l'étude de la stabilité des systèmes ; de lus, elle est directemet accessible à la mesure. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 7

18 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Foctio de trasfert d'u système à boucles multiles Il existe des systèmes comlexes où l'o recotre, o seulemet ue chaîe de retour riciale, mais u grad ombre de chaîes de retour secodaires. Das ces asservissemets, il y a lusieurs régulateurs ou servomécaismes das ue chaîe. La figure 8 e doe u exemle. Y Y Y3 E _ A _ A _ A3 _ A4 A5 S B B4 B6 B5 Fig. 8 : Exemle de système asservi à boucles multiles Le calcul de la foctio de trasfert d'u tel système eut araître comliqué. Pour meer à bie ce calcul, il faut utiliser l'artifice suivat : au lieu de cosidérer la foctio de trasfert globale Y(), o cosidère so iverse / Y(). Y() = A() = B() A().B() Y() A() Das otre cas : B() = B 6 () trasmittace de la chaîe de retour A() trasmittace de la chaîe directe A() = A (). Y (). Y () E aliquat la même rocédure, o a : = B Y, = B 5 Y A A 3Y3 A5, = B 4 Y 3 A 4 = A AY Y = A B A B A A B A4 Soit : Y() = B 6 A B A B A A B A4-6 - Formes géérales de la Foctio de Trasfert d'u système liéaire Soit u système asservi reréseté ar sa foctio de trasfert de forme géérale suivate : Si N() et D() ot des racies alors : F() = B m A m... B... A N() D() N() = Bm [( z)( z).( zm)] ou N() = Bm ( z i ) D() = A [( )( ).( )] ou D() = A ( j ) m i j Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 8

19 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim F() s'écrit alors : F() = B A m m i j ( z ) ( ) i j Avec : m < our u système réel * les racies du umérateur sot aelées " zéros de la foctio de trasfert ", * les racies du déomiateur sot aelées " ôles de la foctio de trasfert ", Règles de trasformatio des schémas foctioels D'ue maière géérale, our simlifier u bloc foctioel il est souvet lus judicieux de délacer les oits de coexio et les comarateurs (ou additioeurs), d'iter-chager ces deriers, uis de réduire les boucles iteres. Schéma foctioel origial Schéma foctioel équivalet. A B A B C A BC A C AC B A BC. A C B A BC A B A B C A BC 3. A G A.G G A.G.G A G A.G G A.G.G 4. A G A.G G A.G.G A G.G A.G.G 5. A G G A.G A.G A.GA.G A GG A.GA.G 6. A G A.G B A.G B A A G B B G G G A.G B B Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 9

20 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim 7. A B A B G A.G B.G A B G G A.G B.G A.G B.G A G A.G A G A.G 8. A.G G A.G 9. A G A.G A A G A.G G A A.G A A B B A B. B A B A B A B. A G G A.G A.G A.(GG) A G A.G A G A.G A.(GG) A.G. A G G B A G G G B 3. A G G B A G G.G B 4. A G G B A G G.G B Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés»

21 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim - 7..a - Exemle de réductio successive d'u schéma foctioel Soit à réduire le schéma foctioel suivat : H R G H G G3 C E aliquat la règle 6, uis la règle, o obtiet : H G R G G G3 C H Règle 4 : H G R G.G G.G.H G3 C Règle 3 : R G.G 3 G.G.H G.G.H.G 3 C Règle 3 : R G.G.G3 G.G.H G.G.H 3 G.G.G 3 C Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés»

22 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Chaitre 3 : METHODES D'ETUDES DES ASSERVISSEMENTS 3- - Itroductio Nous avos vu, das le chaitre récédet, qu'il était ossible coaissat les équatios différetielles, de détermier la foctio de trasfert d'u système. Mais il existe de ombreux cas où le système est u système idustriel mal défii et dot, à fortiori o e coaît as les équatios différetielles. Or, la coaissace de sa foctio de trasfert est très imortate our détermier ses erformaces et surtout sa stabilité. Il est doc imortat de mettre au oit des méthodes caables de résoudre le roblème. E gééral, o alique cette rocédure our détermier les foctios de trasfert des élémets qui etret das ue chaîe. La coaissace exérimetale ou mathématique de toutes les foctios de trasfert des élémets ermet alors de détermier la foctio de trasfert de l'esemble. Ces méthodes sot basées sur l'utilisatio d'etrées dites caoiques, faciles à mettre e œuvre das toutes les techiques (électrique, mécaique, hydraulique). O e déduit alors les différetes costates de la foctio de trasfert. Certais aareils dit aalyseurs de foctio de trasfert facilitet les mesures Etrées caoiques Echelo uité C'est ue foctio ulle our t < et costate et égale à our < t < (fig. 3 ). Cette foctio est aelée quelquefois u(t) (uité). Elle 'est as défiie our t = uisqu'il y a discotiuité à cet edroit. u(t) t Fig. 3 : Foctio Echelo Sa trasformée de Lalace est : L { u(t) } = Echelo de vitesse ( rame uité ) C'est ue foctio ulle our t < et qui varie liéairemet avec t our t (fig. 3 ). O l'exrime arfois sous la forme r(t) = t. u(t). Cette foctio est aelée échelo de vitesse ou rame, car sa vitesse de variatio est costate et égale à. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés»

23 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim t.u(t) 45 t Fig. 3 : Foctio Rame O vérifie aisémet que sa trasformée de Lalace est égale à : L { r(t) } = E effet : L { r(t) } = t e.t. dt, o ose : u = t dv = e t dt du = dt v = e t Doc L { r(t) } = t e f (t) = e - t = Echelo d'accélératio Soit f(t) la foctio échelo d'accélératio, défiie ar (voir fig. 3 3) : f(t) = f(t) t u(t) our t < our t t Fig. 3 3 : Foctio Accélératio L { f(t) } = t t t e.. dt, o ose : u = dv = e t dt du = t.dt v = e t Doc L { f(t) } = D'où : t e f (t) =. L { r(t) } = 3 L { f(t) } = 3 Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 3

24 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Imulsio uitaire Ue imulsio est ue foctio du tems de durée très courte mais dot l'amlitude est suffisammet grade our que l'effet e soit sesible. L'imulsio est dite uitaire si la surface est égale à. O la ote (t) (fig. 3 4). (t) (t) = our t et t lim our < t < / t Fig. 3 4 : Foctio Imulsio (t) Toutes les imulsios, dot la durée égale umériquemet l'iverse de l'amlitude, sot uitaires si cette durée ted vers zéro. Pour t =, l'amlitude est théoriquemet ifiie. (t) est défiie ar : (t). dt = Elle est aelée aussi imulsio de DIRAC. (ce qui est équivalet à la surface uitaire) Calculos sa trasformée de Lalace. Pour cela, défiissos la foctio f(t) (fig. 3 5) telle que : f(t) f(t) = our our t < < t et < t > t Fig. 3 5 : Foctio f(t) f(t) eut être cosidérée comme la différece etre deux échelos uitaires dot l'u est décalé de : f(t) = u(t) u(t ) L { f(t) } = L { u(t) } L { u(t ) } = ( e ) Or : f(t) (t) = lim Doc ; L { (t) } = lim ( e ) = d ( e d lim d ( ) d ) D'où : L { (t) } = Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 4

25 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Etrée harmoique Elle est défiie ar (Voir fig. 3 6): f(t) f(t) = our t < A si( t ) our t A t Fig. 3 6 : Sigal harmoique Sa trasformée de Lalace est : L { f(t) } =. si. cos car L {si t} = et L {cos t } = (Voir aexe B) Réose d'u système asservi aux etrées caoiques Réose du système à ue imulsio uitaire : réose imulsioelle Soit u système de foctio de trasfert H(). Aliquos sur so etrée ue foctio, e(t) = (t), c'est-à-dire ue imulsio uitaire. Sa sortie sera doée ar : S() = H(). E() Or : E() =, uisque L { (t) } =. Doc la trasformée de Lalace S() de la sortie corresod exactemet à la foctio de trasfert H(). S() = H() C'est aussi ue autre défiitio de la foctio de trasfert. O voit doc qu'ue méthode our coaître H() est de mesurer la réose à ue imulsio uité. La Fig. 3 7 motre deux tyes de réoses imulsioelles (selo la ature du système à exciter). s(t) s(t) t t Fig. 3 7 : Exemles de réoses imulsioelles Du oit de vue ratique, cette méthode résete quelques difficultés, car il est ratiquemet imossible de réaliser hysiquemet ue etrée (t). O se cotete, e gééral, d'ue imulsio de durée aussi courte que ossible mais fiie, d'où ue certaie imrécisio. Arès avoir evoyé cette etrée (t) arochée, o doit eregistrer, e foctio du tems, la réose s(t). Ce qui doe ue courbe qu'il faut Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 5

26 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim esuite iterréter. Si o veut l'exressio mathématique de la foctio de trasfert, o aroche cette courbe ar des morceaux de courbes corresodat à des foctios coues. Il faut alors redre la trasformée de ces foctios du tems our obteir la foctio de trasfert. Cette oératio, facile à décrire, est icotestablemet délicate à réaliser. Elle est bie etedu etachée d'erreurs, mais aucue autre méthode 'est arfaite Réose du système à u échelo uité : réose idicielle Pour allier aux icovéiets de la réose imulsioelle, il est lus facile, ratiquemet, d'utiliser comme etrée, u échelo uité. L'etrée du système est doc : e(t) = u(t), d'où E() = Sa sortie est alors : S() = H() C'est l'itégrale de la foctio de trasfert. Pratiquemet, l'essai est très raide, il suffit de faire asser l'etrée de à ue valeur costate edat u tems (doé) T uis de cette valeur à, et d'eregistrer la sortie e foctio du tems. E ricie, cette sortie doit être du même tye que l'etrée si le système est liéaire, c'est-à-dire qu'au bout d'u certai tems corresodat à la durée du régime trasitoire, la sortie doit rester costate. S'il e est autremet, le système 'est as liéaire (la réciroque 'est as forcémet vraie). Doc ce test ermet de savoir si o est e résece d'u système liéaire ou o. La Fig. 3 8 motre deux tyes de réoses idicielles (selo la ature du système à exciter). s(t) s(t) t t Fig. 3 8 : Exemles de réoses idicielles L'exloitatio des résultats our détermier la foctio de trasfert est beaucou lus laborieuse : Il faut décomoser l'échelo d'etrée e série de Fourier aisi que la réose de sortie e suosat que le héomèe a ue ériode T. Pour chaque fréquece élémetaire, o coaîtra les amlitudes de l'etrée et de la sortie, aisi que leur déhasage. O e déduit, à chaque fréquece, le " gai " et la " hase " du système. A ce stade, o se retrouve das le cas de la réose fréquetielle que ous allos étudier. Cette méthode écessite eu d'essais, mais beaucou de calculs. La méthode suivate (réose fréquetielle) écessite beaucou d'essais et eu de calculs. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 6

27 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Réose fréquetielle Plutôt que de faire ue décomositio mathématique des sigaux d'etrée et de sortie e foctios siusoïdales élémetaires, il est aaru lus simle d'aliquer à l'etrée du système ue etrée harmoique et de relever la sortie corresodate, ue fois le régime ermaet établi. O réète cette oératio e artat des fréqueces les lus basses jusqu'à des fréqueces suffisammet élevées our que la sortie du système soit égligeable. E effet, à artir d'ue certaie fréquece le système e " suit " lus les oscillatios que l'o voudrait lui imoser, exactemet comme le tyma qui e vibre lus audelà d'ue certaie fréquece. De ces mesures, o déduit, e foctio de la fréquece : les amlitudes d'etrée et de sortie, doc le "gai" du système, qui est le raort S G( ) E (S et E amlitudes maximales des sigaux siusoïdaux d'etrée et de sortie à la fréquece ). la hase (). O rerésete esuite ces foctios de la fréquece ar des courbes qui sot, soit : e coordoées logarithmiques (la de Bode) e coordoées olaires (la de Nyquist) la courbe de hase (la de Black) De ces courbes, o eut déduire la foctio de trasfert et bie d'autres aramètres Rerésetatio de la réose fréquetielle Courbes de Bode et diagrammes asymtotiques La foctio de trasfert ouvat être assimilée à u gai comlexe, il suffit de tracer les courbes de variatio du module (ou gai) et du déhasage e foctio de la fréquece (ou de la ulsatio). E effet, tout ombre comlexe G() = G( ).e j( ) a our logarithme : log {G()} = log { G( ). e j ( ) } = log G( ) j () Le logarithme d'u ombre comlexe se rerésetera doc ar deux valeurs : le logarithme du module qui sera la artie réelle et l'argumet la artie imagiaire. C'est sur ce ricie qu'est basée la courbe de Bode. Par exemle, si la foctio de trasfert est : Alors, e régime siusoïdal, = j, et o aura : G() = T G() = j( ) G( ).e = jt avec : G() = ( T) module ou gai et : G() = arctg (T) hase ou déhasage Pour ue rerésetatio de Bode, o tracera les courbes suivates : Courbe de gai (Fig. 3 9) : Log G() = log ( T) e foctio de (log ) Courbe de gai (Fig. 3 ): G() = arctg (T) e foctio de (log ) Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 7

28 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim log G = log G = log G() Gai = log = log Affaiblissemet G = log G = Fig. 3 9 : exemle de courbe de gai our ue rerésetatio de Bode G() G log G 9 Fig. 3 : Exemle de courbe de hase our ue rerésetatio de Bode 3-4..a - Diagramme asymtotique Das la luart des cas (ous réciseros ar la suite), il est iutile de tracer comlètemet la courbe de Bode (oit ar oit). O eut se coteter des asymtotes. O aelle diagramme asymtotique d'ue foctio de trasfert l'esemble des asymtotes à la courbe quad et quad. Les oits d'itersectio de ces asymtotes etre elles sot aelés oits de cassure. Etat doé l'utilisatio des logarithmes comme échelle, la récisio est suffisammet boe our que l'o uisse assimiler la courbe à ses asymtotes sauf au voisiage des oits de cassure. Si la courbe de gai eut être avatageusemet remlacée ar ses asymtotes, il 'e est as de même our la courbe de hase qui s'e écarte beaucou lus b - Raels : O aelle octave, l'itervalle qui séare ue fréquece f d'ue fréquece f =. f. Frachir ue octave c'est doubler la fréquece iitiale. O aelle décade, l'itervalle qui séare ue fréquece f d'ue fréquece f. =. f Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 8

29 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Courbe de Nyquist ou lieu de Nyquist Le roblème est toujours le même, il s'agit de reréseter u ombre comlexe, variable avec la fréquece, c'est-à-dire trouver le lieu du oit d'affixe G( ). e j ( ) quad varie de à. Cette courbe défiit etièremet les roriétés du système. O la trace gééralemet e coordoées olaires. Comme our les courbes récédetes, il faut mesurer le gai et le déhasage du système. gai : O orte alors, our chaque valeur de, u rayo vecteur dot la logueur est égale au module du E G( ) et qui fait u agle () avec l'axe des réels (Fig. 3 ). Quad varie, o obtiet ue S courbe graduée e. Imag. = = G() = () Réel = = 6 Fig. 3 : Courbe de Nyquist O comlète gééralemet cette courbe ar symétrie ar raort à l'axe réel our avoir sa rerésetatio quad varie de à. Cette artie de la courbe 'a, hysiquemet, aucu ses, mais il est écessaire de la tracer si o veut étudier mathématiquemet la stabilité de l'asservissemet. O eut aisi comléter la courbe arce que les coefficiets de l'équatio différetielle qui régit le héomèe sot suosés costats et réels. Comme les courbes de Bode, le lieu de Nyquist eut se tracer soit exérimetalemet, soit à artir de la foctio de trasfert si elle est coue, c'est ourquoi o l'aelle aussi " lieu de trasfert das le la de Nyquist " Courbe amlitude hase ou lieu de Black (ou Black Nichols) Le lieu de Black cocilie les avatages des courbes de Bode et ceux du lieu de Nyquist : la foctio de trasfert est rerésetée ar ue seule courbe et les échelles sot logarithmiques (Fig. 3 ). log G 8 = = 9 9 = 4 = Fig. 3 : Courbe de Black-Nichols Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 9

30 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Ce derier avatage est très imortat du oit de vue ratique car, gééralemet, le module du gai varie das des roortios éormes ce qui oblige our le lieu de Nyquist à redre des échelles assez grades, surimat toute récisio our les gais faibles. Cet icovéiet disaraît avec des échelles logarithmiques. Le lieu de Black se trace de la faço suivate : O orte e ordoée le module du gai { log G( ) }, et e abscisse le déhasage { () }. O obtiet ue courbe aramétrée ar. Cette rerésetatio est la lus emloyée das l'idustrie. L'itérêt ratique de cette rerésetatio est évidet : coaissat les foctios de trasfert de lusieurs élémets e cascade, o aura la foctio de trasfert de l'esemble ar ue simle additio vectorielle : Soit : G = G. G. G 3 G. e j = G. e j. G e j.. G 3 e j. 3 d'où: log G = log G log G log G 3 et = 3 Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 3

31 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Etude des systèmes du remier ordre Défiitio O aelle système du er ordre, u système régi ar ue équatio liéaire différetielle du remier ordre telle que : T. ds(t) s(t).e(t) dt ou ecore, u système dot la foctio de trasfert est du tye : S() E() T retard. Ces systèmes sot ecore aelés systèmes à ue seule costate de tems, ou système à Ils sot très ombreux e hysique. E dehors des circuits RC ou RL e électricité, o eut cosidérer qu'u amlificateur est u système du er ordre. E mécaique, tous les assemblages comortat u ressort et u amortisseur sot du er ordre. Nous les asseros e revue à la fi de ce aragrahe Réose idicielle La réose idicielle ous reseigera sur le comortemet du système e régime trasitoire. S() E() ici E() = / S() = T ( T) E cosultat ue table de Trasformée de Lalace, o voit que l'origiale s(t) de S() est : s (t) = ( e t / T ) Lim s (t) = t O costate doc que la sortie s (t) (Fig. 3 3) atteit ratiquemet le régime ermaet au bout d'u tems qui déed de la costate T. Cette costate T, aelée costate de tems, caractérise doc la raidité du système à atteidre so régime ermaet. e(t) s(t) etrée 95% sortie E() T S() 86.5% 63% T T 3T t Fig. 3 3 : Réose idicielle d'u système du er Ordre La ete de la tagete à l'origie est /T, lus le système a ue costate de tems faible, lus il "réod" vite. Au bout d'u tems t = T, la sortie est s (T) = ( /e), ce qui rerésete eviro 63% de. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 3

32 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Tems de réose : Nous avos vu que le tems de réose était le tems au bout duquel la sortie avait atteit so régime ermaet à 5% rès. Das le cas du système du remier ordre, ce tems corresod à 3T eviro Réose à ue rame ( échelo de vitesse) Das ce cas, ous avos : e(t) = t.u(t) où u(t) : échelo uitaire E() = / Doc S() = = ( T) () S avec S() : trasformée de la réose idicielle d'u er Ordre. d où : t s(t) = t s(t) dt = ( e t / T ) dt s(t) = { t T ( e t / T ) } La figure 3 4 doe la réose à ue rame d'u système du er Ordre. e(t) s(t) T Fig. 3 4 : Réose d'u système du er Ordre à ue rame (tracée our =) E régime ermaet : t, alors s(t) = ( t T ) O met, aisi, e évidece le retard T qui costitue ue erreur ermaete. Das le cas où =, l erreur T etre l etrée et la sortie est costate e foctio du tems. C est l erreur de "traîage". Doc, u système du er ordre suit les variatios liéaires de l'etrée avec u certai retard, d'où leur om de système à retard Réose à ue imulsio uité Das ce cas, ous avos : e3(t) = (t) où (t) : imulsio uitaire E3() = Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 3

33 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Doc S3() = = T T T, d où : s3(t) = T e t / T O met aisi e évidece la costate de tems sur le grahique (Fig. 3 5). / T s3(t) T Fig. 3 5 : Réose imulsioelle d'u système du er Ordre Réose fréquetielle a - Courbe de Bode Courbe de Gai : E régime ermaet siusoïdal, la foctio de trasfert a our exressio : S E j( ) G( ) e jt avec G( ) T et tg ( ) - T e(t) E s(t) S cos( t) cos( t ) Traços la courbe de gai G() e coordoées cartésiees et e coordoées logarithmiques (Fig. 3 6) G() ete Log Log G() Asymtotes ete G = Log =Log (/T) Log = Log Log Log (/T) Fig. 3 6 : Courbe de gai e coordoées cartésiees et e coordoées logarithmiques d'u système du er Ordre Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 33

34 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim O voit que la courbe est fortemet dilatée our les valeurs faibles de, et codesée our les valeurs élevées. O remarque égalemet que la courbe diffère très eu de ses asymtotes qui sot ici : Pour, log G() = log log T log Pour, log G() = log log T = log (/T) log log Puisque l'abscisse est doée ar log, quad, alors log G() log, c'est à dire vers ue asymtote de ete ( ), qui : coue l'horizotale ( log ) our = /T et coue l'axe des (log ) our = /T. Quad, alors log G() log = Costate, c'est à dire vers ue droite de ete (). Les asymtotes se couet e : Log = log /T log = /T (oit de cassure) L'axe des log (our u gai uitaire) est coué e : Log /T log = log = /T Courbe de Phase : Il faut reréseter = Arctg ( T) e foctio de log (Fig. 3 7) :, =, = 9 = /T, = 45 () Log /T Log 45 9 Poit d'iflexio corresodat au chagemet d'asymtote Fig. 3 7 : Courbe de hase d'u système du er Ordre La courbe (Fig. 3 7) est loi d'être assimilable aux asymtotes surtout our = /T. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 34

35 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim b - Courbe de Nyquist Il est facile de trouver les différets oits de cette courbe (Fig. 3 8) :, G() =, () =, G() =, () = 9 Imag = /T = = G() G() = Réel = /T Fig. 3 8 : Courbe de Nyquist d'u système du er Ordre D'autre art, si o séare les arties réelles et imagiaires de la foctio de trasfert, o a : S = E jt = T j T T X Y Or : ( X / ) Y = ( / ) équatio d'u cercle de rayo / et de cetre (/, ). O a reréseté u demi cercle e trait lei our idiquer qu'il corresod au foctioemet réel du système quad la ulsatio croît de à, et e oitillés our les ulsatios "égatives" de à c - Courbe de Black O trace cette fois log G() e foctio de (). La courbe a l'allure de la figure 3 9. O eut, égalemet, la déduire des courbes d'amlitude et de hase du diagramme de Bode. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 35

36 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Log G() = /T = Log () 9 45 Arctg( ) =/T Fig. 3 9 : Courbe de Black d'u système du er Ordre Exemles de systèmes du er ordre a - Filtre "asse bas" C'est u motage qui laisse asser les fréqueces basses et attéue fortemet les fréqueces élevées. ve C R vs V V s e RC T=RC ve L R vs V V s e L R T=L/R J f = J d f dt f J f T=J/f f : coefficiet de frottemet visqueux b - Filtre "asse haut" Ces disositifs attéuet les fréqueces basses et laisset asser itégralemet les fréqueces élevées. Ils jouet doc le rôle iverse des filtres asse bas. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 36

37 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim C ve R vs V V s e RC RC T=RC ve L R vs V V s e L R L R T=L/R Ces foctios de trasfert sot du tye : G() = T T Das ce cas : T G( ) T tg ( ) T, et le diagramme asymtotique est celui de la figure 3. Log G() Log 9 () Log /T 45 Log Fig. 3 : Courbe de Bode d'u système du er Ordre de tye Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 37

38 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Pour : log G() = log T log T log log T log (asymtote de ete ) tg (), () = 9 Pour : Log G() = log T log T (asymtote de ete ) tg (), () = O remarque que ces systèmes attéuet les fréqueces basses et laisset asser itégralemet les hautes fréqueces. Le diagramme de Nyquist (Fig. 3 ) est le même que our les filtres asse-bas, mais il est gradué e ses iverse. Imag = = /T = Réel Fig. 3 : Courbe de Nyquist d'u système du er Ordre de tye T T Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 38

39 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Etude des systèmes du secod ordre Défiitio Les systèmes du secod ordre sot régis ar des équatios liéaires différetielles à coefficiets costats du ème ordre, du tye : B d s(t) B dt A e(t) t ds(t) Bs(t) A e(t)dt dt de(t) A dt Leurs foctios de trasfert serot du tye : S() E() B A B B. / Le comortemet du système sera extrêmemet différet suivat que le degré qui figure au déomiateur aura des racies réelles ou imagiaires. O itroduit les aramètres suivats : Gai statique : = A B C est le raort s(t) ds(t) e régime statique ( = ; e(t) dt d s(t) =) dt Pulsatio rore o amortie : = B B rad/s Facteur d amortissemet (sas dimesio) : = B B B = (valeur critique) Costate de tems : T = La foctio de trasfert s écrit e foctio des aramètres aisi défiis : H() = S() E() =. / Preos le cas de H() = et étudios les différetes réoses. Le comortemet dyamique d u tel système déed de la valeur des deux costates et surtout de. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 39

40 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Si > : Le olyôme est décomosable, le déomiateur a racies réelles ( et ) : = ( ) = ( ) Si < < : Le olyôme est as décomosable, le déomiateur a racies comlexes * cojuguées ( et ) (Fig. 3 ) : = ( j ) * = ( j ) Imag j Pôles Réel * Fig. 3 : Relatios etre les aramètres d'u système du d ordre das le la Comlexe Remarque : = cos = : coefficiet d'amortissemet Si = : Les racies sot égales (, ):, =, = = / Réose à u échelo uité E() = / S() = Si < < : Les racies imagiaires coduiset à ue solutio oscillatoire amortie. Le régime ermaet est ici s(t) = (lim s(t) = lim S() = ) t Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 4

41 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim La solutio est : S() = = ( ) ( ) ( ) ( ) Or L - t = e cos( ) t ( ) ( ) et L - t = e si( ) t ( ) ( ) (t ) (t ) s(t) = L - {S()} s(t) = e t cos( )t si( )t si(a).cos(b) cos(a).si(b) si(ab) (t ) E osat : si a = (<) et Cos a = (<) tg a = a = arctg ( ) b = ( ) t O aura : s(t) = e.si t arctg t (t ) Si = : Les racies (ôles) sot égales : système amorti critique. S() = = ( t O aura s(t) = e ( t) ) (t ) Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 4

42 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 4 Si > : Les racies (ôles) sot égatives et iégales : système aériodique. S() = s(t) = e e t t (t ) s(t) = t a t a a e a e (t ) avec a a La Figure 3 3 doe les réoses idicielles (D et 3D) d'u système du secod ordre e foctio du coefficiet d'amortissemet. Fig. 3 3 : Réoses idicielles d'u système du d ordre e foctio de = = Tems Amlitude.5 Tems Amortissemet Amlitude

43 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Réose à ue imulsio uité E() = S() = t Si < < : s(t) = e si t t t Si = : s(t) = te t t t Si > : s(t) = e e t La Figure 3 4 doe les réoses imulsioelles (D et 3D) d'u système du secod ordre e foctio du coefficiet d'amortissemet. = Amlitude = Tems Amlitude Amortissemet 5 Tems 5 Fig. 3 4 : Réoses imulsioelles d'u système du d ordre e foctio de Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 43

44 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» Réose fréquetielle a - Diagramme de Bode O se lace e régime ermaet siusoïdal : e(t) = E.si(t) s(t) = S.si(t) uisque le système est cosidéré liéaire. E() S() = G() = = j G() = G() ) ( j e, avec : G() = ) ( E ) ( S = j j = j = () =G() = arctg Module : log G() = log log our <<, log G() log (asymtote horizotale). our >>, log G() log log = (log log ) log (asymtote de ete ). Les asymtotes se couet e : log = log log our = Phase :

45 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim () = arctg our, () = à =, () = 9 our, () = 8 La figure 3 5 doe le diagramme de Bode e foctio du coefficiet d'amortissemet. Bode Diagram =. Phase (deg) Magitude -9 Pete ()..3.6 Pete ( ). = = Frequecy (rad/sec) Fig. 3 5 : Diagramme de Bode d'u système du d ordre e foctio de Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 45

46 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Phéomèe de résoace : Pour amorti : =, le module eut tedre vers des valeurs très grades quad le système est as très G() = Si, alors G() O voit doc que das ce cas articulier, la courbe est très loi de l asymtote et que G() a ue valeur bie suérieure à celle révue ar le diagramme asymtotique. Il faut doc teir comte d u héomèe ouveau aelé " résoace " qui se roduit das certaies coditios. Cette résoace a lieu à la ulsatio R our laquelle G(R) est maximum. O eut calculer R e aulat la dérivée du déomiateur de G(). O trouve : R = ( our.77 ) R : ulsatio de résoace. Das ce cas, le gai maximum vaut : GM = O défiit le coefficiet de résoace Q ar le raort du gai maximum au gai our les fréqueces très basses ( ) : Q = GM / = b - Courbe de Nyquist O trace cette fois G() e j ( ) e coordoées olaires. L'allure de la courbe (Fig. 3 6) eut être déduite des courbes de Bode. O voit otammet que : Pour =, G() = et () = Pour, G() et () = 8 Il est difficile de mettre e équatio la courbe, car elle 'a as ue forme classique coue. Pour u système très eu ou as amorti, la résoace a lieu our = /T, doc our tg =, soit = 9 Plus est grad, lus la courbe est " etite " et se raroche de celle d'u système du er ordre (demi cercle). Quad, 8. Les courbes sot doc tagetes à l'axe réel. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 46

47 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Imagiary Axis =. Real Axis Fig. 3 6 : Lieu de Nyquist d'u système du d ordre e foctio de Remarque : Nous avos mis e évidece différetes fréqueces ou ulsatios ; il coviet de e as les cofodre: Pulsatio rore o amortie = /T (ulsatio de cassure) Pulsatio rore amortie = Pulsatio de résoace R = Das le cas d'u système très eu amorti ( très etit), les 3 ulsatios euvet être cofodues c - Courbe de Black Les courbes de Black ermettet de mettre facilemet e évidece la résoace car elle corresod à u maximum de la courbe ; Plus le système est amorti, lus le maximum est faible. L'allure du lieu de Black est doée sur de la figure 3 7. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 47

48 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim = Gai Phase (deg) Fig. 3 7 : Lieu de Black d'u système du d ordre e foctio de d - Exemles de systèmes du ème ordre R L R C L C ve C vs ve L vs ve R vs Vs() V () RC LC e Vs() RC V () RC LC e Vs() LC V () RC LC e ici : LC et R C L Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 48

49 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Chaitre 4 : STABILITE DES SYSTEMES ASSERVIS LINEAIRES 4- - Notio de stabilité d'u système Défiitio de la stabilité O dira qu'u système liéaire est stable si, arès avoir soumis so etrée à ue brusque variatio (échelo uité, ar exemle) : le mouvemet amorcé ar sa sortie reste boré e amlitude (c'est à dire que la sortie garde ue valeur fiie) ce mouvemet s'amortit lus ou mois vite et la sortie ted vers u état d'équilibre. Les réoses idicielles des figures 4 et 4 corresodet à celles de systèmes stables. Nous retrouvos les critères cités ci-dessus. s(t) s(t) Fig 4 : Système oscillatoire amorti (stable) Fig 4 : Système o oscillatoire amorti (stable) La figure 4 3 est u cas de système istable. Les oscillatios sot de lus e lus imortates et le système e retrouve as so état d équilibre. Physiquemet, u système istable dot la réose croit sas limite eut se causer des dommages ou e causer à autrui (dager our l être humai). E ratique, la majorité des systèmes sot coçus avec des disositifs de limitatio. Si o cosidère le cas où des oscillatios ersistet idéfiimet (cas du omage de la figure 4 4), o eut cosidérer le système comme stable (système margialemet stable) uisque sa sortie garde ue valeur fiie, à coditio que l'amlitude e soit as tro grade. s(t) s(t) Fig 4 3: Système oscillatoire diverget (istable) Fig 4 4: Système oscillatoire (margialemet stable) Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 49

50 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim La stabilité est ue coditio imérative. Pour que les systèmes soiet utilisables e asservissemet, il est absolumet écessaire que les foctios de trasfert e boucle fermée FTBF soiet stables. Ceci imlique toutefois as que les FTBO soiet stables Asect mathématique de la stabilité Cosidéros u système asservi quelcoque dot la foctio de trasfert est : A() H() = A().B() Si o evoie sur l'etrée u échelo uité E()=/, alors : S() = A() A().B() tye Nous avos vu au chaitre 3, que S() ouvait se mettre sous la forme d'u quotiet de olyômes du N() et que celui-ci ouvait se décomoser e ue somme de fractios ratioelles : D() S() = N() D() = C C... où les i sot les racies réelles ou comlexes de D(). Preos, ar exemle, le cas où le déomiateur cotiet des racies ulles (ôles multiles), des racies réelles (ôles réels) et des racies comlexes. C'est-à-dire qu'il est de la forme : D() = ( )...( ) ( )...( ) La décomositio de S() e fractios ratioelles sera : S() = i k j Ai Bk i i k k j C D ( ) j j j j Les racies comlexes état j j j (j artie réelle, j artie imagiaire), cherchos l'origial s(t) de S() qui est la réose du système à u échelo uité. O trouve : s(t) = A i (i) k j Ait kt Bk.e i (i )! k j F.e j t j.si( t ) j j O costate doc que la sortie garde ue valeur fiie quad t, si les coditios suivates sot remlies : Les k et les j doivet être égatifs our que les exoetielles corresodates soiet décroissates. Les Ai doivet être uls sauf A. Nous verros das la suite que our certaies foctios de trasfert, la résece de ôles multiles uls 'etraîe as forcémet ue augmetatio ifiie de la sortie. E effet, les termes e / ot ue actio d'itégratio, leur ifluece eut être combattue ar des actios de dérivatio roveat de terme e au umérateur. S'il 'e est as aisi, le système ossédat des Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 5

51 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim ôles multiles à l'origie au déomiateur de sa foctio de trasfert est dit " itrisèquemet istable ", c'està-dire qu'aucue modificatio des coefficiets e eut le redre stable Coditios de stabilité U système liéaire est stable si aucue des racies du déomiateur de sa foctio de trasfert 'a de artie réelle ositive. Cela exclut : Les racies réelles ositives. Les racies comlexes à arties réelles ositives. O eut formuler ceci autremet : U système asservi bouclé est stable si tous les ôles de la FTBF sot localisés das le demi-la gauche du la comlexe. U système asservi bouclé est istable si sa FTBF comred, au mois, u ôle localisés das le demi-la droit du la comlexe et/ou des ôles de multilicité > sur l axe imagiaire. Si le système comred ue seule aire de ôle sur l axe imagiaire ou u ôle uique à l origie, le système est dit margialemet stable. Sa réose sera oscillatoire o amortie ou o oscillatoire à variatio costate lorsque t. La figure 4 5 récaitule les cas ossibles suivat le sige et la ature des racies. Imagiaire Système oscillatoire amorti ( racies comlexes à artie réelles < ) Régime oscillatoire diverget ( racies comlexes à artie réelles > ) X X X X X X Réel X X X Régime o oscillatoire amorti ( racie réelle < ) Régime o oscillatoire diverget ( racie réelle > ) Régime oscillatoire o amorti ( racies imagiaires ures) Régime o oscillatoire diverget ( racie réelle ulle) Fig. 4 5 : Récaitulatif des comortemets des systèmes selo la ositio et le sige des ôles (selo les réoses idicielles). Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 5

52 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Mais les coditios de stabilité aisi défiies e sot as suffisates our caractériser u système asservi : u système très mal amorti sera iutilisable, il faudra doc toujours défiir des marges dites de sécurité sur les coefficiets d'amortissemet. Remarque à roos des systèmes istables : Quad o a affaire à u système istable, sa sortie ted théoriquemet vers l'ifii si o soumet so etrée à ue brusque variatio. E réalité, sa sortie e ted as vers l'ifii, mais vers ue valeur qui corresod à la saturatio. Cette valeur eut être très grade et coduire à la destructio du système. E tout état de cause, das le cas où la foctio de trasfert a des ôles à arties réelles ositives, le système sort raidemet de so domaie de liéarité et ses équatios e sot lus valables Etude de la stabilité d'u système bouclé Le système asservi bouclé de la figure 4 6 a our foctio de Trasfert : S() E() A() A().B() E _ A() S B() Fig. 4 6 : Schéma foctioel d u système asservi bouclé Sa stabilité est coditioée ar le sige des arties réelles des racies du déomiateur. Il suffira, doc, d'étudier l'équatio : A().B() =, et de chercher le sige de ses racies. Plusieurs moyes sot ossibles our y arriver : a) er moye : Calculer les racies de A().B() = Cette méthode est boe uisqu'elle ous doe égalemet les valeurs des racies e lus de leurs siges. Mais elle est ratiquemet ialicable à cause de la grade difficulté qu'elle résete si le degré du olyôme est imortat. L'usage d'u ordiateur eut simlifier le travail, car il eut aussi tracer le lieu des racies quad o fait varier les aramètres. C'est ue méthode très uissate. b) ème moye : Discuter le sige des racies sas les calculer, à artir des coefficiets du déomiateur (critère de Routh-Hurwitz ) Malheureusemet, si le système trouvé est istable, o e sait as sur quel aramètre il faut agir our le redre stable. Il faut e lus coaître la foctio sous sa forme mathématique. c) 3 ème moye : Utiliser le critère de Nyquist (méthode grahique). Cette méthode est itéressate car elle 'a as les icovéiets du critère de Routh. A savoir, o eut utiliser directemet les résultats exérimetaux sas coaître les équatios du système et elle motre grahiquemet sur quels aramètres o eut agir our redre le système stable. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 5

53 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim 4- - Critère de Routh - Hurwitz Eocé du critère Soit P() le déomiateur de la foctio de trasfert e boucle fermée. P() eut être écrit sous la forme : P() = A().B() = a a -.. a - a (Équatio caractéristique de la foctio de trasfert e boucle fermée) Pour que le système soit stable, il faut et il suffit que les racies de P() 'aiet as de arties réelles ositives. 4-..a - Critère d Hurwitz Ce critère (écessaire mais as suffisat) idique que le système est istable si les a i sot de siges différets ou certais sot uls. 4-..b - Critère de Routh-Hurwitz La coditio écessaire et suffisate de stabilité est alors que tous les termes de la ère coloe du tableau de Routh soiet de même sige. O costruit le tableau de Routh de la maière suivate : Pour P() = a a -.. a- a, le tableau de Routh est simlemet ue matrice carrée avec ue lige our chaque uissace de das le olyôme de l équatio caractéristique. : : : 3 : : ère lige : coefficiets des termes e k (avec k =,,, ) ème lige : coefficiets des termes e (k) (avec k =,,, ) 3ème lige : combiaiso des liges récédetes 4ème lige : combiaiso des liges récédetes derière lige : combiaiso des liges récédetes Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 53

54 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Si, ar exemle, P() = a 7 a 6 a 5 a3 4 a4 3 a5 a6 a7, alors le tableau de Routh se costruit comme suite : 7 : a a a4 a6 6 : a a3 a5 a7 a 5 a aa : b = a 3 b3 = a a 4 a a a 5 b5 = a a 6 a a a 7 b 4 a 3 ab : c = b 3 c3 = b a 5 a b b 5 c5 = b a 7 a. b = a7 c 3 b 3 bc : d = c 3 d3 = c b 5 b c c 5 d c 3 cd : e = d e d3 de : f = e 3 3 e3 = d c 5 c. d = c5 f e : g = 3 e. f = e3 Routh a démotré que le ombre de " ôles istables " (c'est -à-dire le ombre de ôles à artie réelle ositive) de la foctio de trasfert e boucle fermée est égal au ombre de chagemet de sige que comorte la ère coloe, lue de haut e bas. Si ce ombre est différet de zéro, alors le système est istable. Remarques : Cette méthode a l'avatage d'être raide est exacte, mais elle e doe as ue mesure de la stabilité comme les autres critères ; car elle se bore à dire si le système est stable ou o. De lus, elle est ialicable si o e coaît as l'exressio mathématique de la foctio de trasfert. Le critère de Routh est itéressat our coaître le ombre de racies réelles ositives, mais il est icaable de doer des reseigemets sur l'amortissemet du système quad celui-ci est stable. La méthode est ceedat e défaut das les cas suivats : Si tous les coefficiets d'ue lige sot uls. Si u terme de la ère coloe de gauche est ul à l'exclusio des autres termes de la même lige. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 54

55 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Exemle P() = ( gai variable) ère coditio (critère d Hurwitz) : > > - ème coditio (critère de Routh-Hurwitz) : tableau de Routh 3 : 3 : 3 : 9 ( ) 3 : Pour que le système soit stable, il faudrait que : 9 ( ) 3 C'est-à-dire : - < < 8 (coditio écessaire et suffisate de stabilité) Si cette coditio 'est as vérifiée, c'est-à-dire, si : < -, il y a seul chagemet de sige das la ère coloe; doc u seul ôle istable. > 8, il y a chagemet de sige das la ère coloe; doc ôles istables. Si ( = - ou = 8), (frotière etre la stabilité et l'istabilité) o dit que le système est oscillat (margialemet stable) Exemle (lige comlète de zéros) Nous avos dit que si ue lige comlète était comosée de zéro, la méthode était e défaut. E fait, il est quad même ossible d'e tirer des coclusios moyeat certais améagemets. Si P() = Alors, le tableau de Routh est : 5 : : Divisio de la lige ar 7 3 : : - - : - : - Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 55

56 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim La 3 ème lige est ulle. O substitue alors à cette lige les coefficiets obteus e différetiat ue foctio fictive, aelée olyôme auxiliaire, costruite sur la lige récédat la lige ulle. Le olyôme auxiliaire our l exemle e cours s écrit : Q() = Si ous le dérivos, ar raort à, ous obteos alors : dq () = 43 d Les coefficiets de ce olyôme remlacemet ceux de la lige ulle das le tableau iitial. Le tableau deviet alors : 5 : : : 4 3 : 3 8 : /3 : 8 Il y a aucu chagemet de sige sur la ère coloe du tableau, doc aucue racie à artie réelle ositive. Le système est doc stable Exemle 3 (u zéro sur la remière coloe) Si le remier élémet de la lige est ul, la lige suivate e ourra as être calculée car il y aurait ue divisio ar zéro. Pour éviter cela, o utilise u ombre de valeur très faible (esilo) our remlacer le zéro de la remière coloe. eut tedre vers zéro ar valeur ositive ou égative, our ermettre ar la suite le calcul du ombre de chagemet de sige de la remière coloe. Cosidéros le système dot la FTBF G() = P() = Alors, le tableau de Routh est : 5 : : : 7/ : : : 3 Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 56

57 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Cosidéros uiquemet le chagemet de sige das la remière coloe et calculos le sige de chaque lige das les cas ( et ) : ère coloe 5 : 4 : 3 : : : : 3 Si est choisi ositif, il y a chagemets de sige. S il est choisi égatif, il y a égalemet chagemets de sige. Le système a doc ôles das le demi-la droit du la comlexe ( ôles istables) et ce est as imortat si ous choisissos d arocher le zéro ar valeur ositive ou égative. Ceci est toujours le cas Critère de Nyquist Le critère de Nyquist ermet de détermier la stabilité d u système bouclé sur la base de sa réose harmoique e boucle ouverte Éocé du critère de Nyquist La coditio écessaire et suffisate de stabilité d'u système asservi liéaire est que so lieu de trasfert e boucle ouverte, arcouru de = à =, etoure le oit critique (,) das le ses trigoométrique u ombre de fois égal au ombre de ôles istables de la foctio de trasfert e boucle ouverte. État doé u système asservi, FTBO() = A().B(). défii ar sa foctio de trasfert e boucle ouverte La relatio : Z = P N doe le ombre Z de zéros istables de l'équatio caractéristique FTBO() = et doc de ôles istables de la FTBF(), avec : P : Nombre de ôles istables de la FTBO(), N : Nombre de tours que fait le lieu comlet de Nyquist ( variat de à ) autour du oit critique (,) das le ses trigoométrique ( ses ati-horaire ). E articulier, le système asservi est stable, à coditio que : Z = P = N Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 57

58 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim E ratique, o retiedra les étaes suivates our aliquer le critère de Nyquist : Étudier la stabilité de la FTBO P: ombre de ôles istables de la FTBO. Tracer le lieu de Nyquist comlet de la FTBO ( variat de - à ). Calculer le ombre de tours (comtés algébriquemet das le ses trigoométrique), soit N, que fait le lieu comlet de Nyquist ( variat de - à ), autour du oit critique (-,). E déduire Z = P N = ombre de ôles istables de la FTBF Exemle Soit u système asservi à retour uitaire dot la FTBO est : G() = Discutos sa stabilité suivat les valeurs de. T (T > ) > (fig. 4 7) La FTBO() a u ôle istable = /T. P = Imag. Le ombre de tours autour du oit (-,) est : N = Z = P N = ôle istable de la FTBF = = Réel Système istable e boucle fermée. Ce système est istable e boucle ouverte et istable e boucle fermée. Fig. 4 7 < (fig. 4 8) P = Imag. N = Z = P N = Pas de ôle istable de la FTBF = = Réel Système stable e boucle fermée. Ce système est istable e boucle ouverte et stable e boucle fermée. Fig. 4 8 < < (fig. 4 9) P = Imag. N = Z = P N = ôle istable de la FTBF Système istable e boucle fermée. = - = - Réel Ce système est istable e boucle ouverte et istable e boucle fermée. Fig. 4 9 Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 58

59 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Vérificatio la stabilité ar le critère de Routh : FTBO() = T FTBF() = T ( retour uitaire) Équatio caractéristique : T = : T : Pour que le système soit stable, il faudrait que : < < Critère de Nyquist simlifié (critère du Revers) Il est déduit du critère de Nyquist : U système stable e Boucle Ouverte, est stable e Boucle Fermée, si le tracé du lieu de Nyquist de la FTBO, décrit das le ses des ulsatios croissates ( variat de à ), laisse le oit critique (,) à sa gauche. Il est istable das le cas cotraire. Le critère du Revers est d'u emloi lus commode que le critère de Nyquist, car il e met e œuvre que le lieu hysique de la FTBO (corresodat aux ulsatios ositives) Par cotre, le critère du Revers est mois gééral, et il e eut s'aliquer sas dager que lorsque la otio de "gauche" 'est as ambiguë (Fig. 4 ). Imag. Réel Fig. 4 : Cas d'ambiguïté das l alicatio du critère du revers Marges de stabilité Pour u système stable e Boucle Ouverte, ous veos de voir que la stabilité e Boucle Fermée déed de la ositio du lieu de Nyquist de la FTBO ar raort au oit critique (-,). Le critère de Nyquist sécifie que le lieu de Nyquist doit laisser le oit à gauche lorsqu o le arcourt das le ses croissat des. Le cas où il existerait ue ulsatio à laquelle le lieu traverserait exactemet ce oit est u cas limite corresodat à u système e boucle fermée dot la stabilité serait margiale. Mais la tedace vers l istabilité est graduelle : lus le lieu de Nyquist est roche du oit critique, mois le degré de stabilité est bo, et lus o aura ar exemle d oscillatios avat stabilisatio e boucle fermée. De faço à quatifier le degré de stabilité d u système asservi, il est doc utile de chiffrer la distace etre le lieu de Nyquist et le oit critique (, ). La mesure effective de la distace miimum état as chose aisée d u oit de vue mathématique, o réfère, de maière traditioelle, évaluer idirectemet cette distace ar les mesures des marges de hases et de gai G. Ces marges rerésetet des marges de sécurité ar raort à l'état istable. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 59

60 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Ces gradeurs sot défiies de la maière suivate : La marge de hase d u système est mathématiquemet la différece etre la hase de FTBO(c) c'est-à-dire (c), et 8 : = (c) 8 La marge de hase ermet de réserver la stabilité e déit de la résece de retards arasites ar exemle dus à la trasmissio des sigaux dot o 'a as teu comte au momet de l'étude de la stabilité. La marge de gai G a our exressio : G = FTBO( ) Elle ermet de réserver la stabilité e déit des fluctuatios de gai, qui affectet, e articulier, les amlificateurs de la chaîe de uissace. Pour qu'u système soit stable, il faudrait que : > et G > Ces marges sot illustrées sur le lieu de Nyquist des figures 4 et 4. c Imag. Imag. G Réel FTBO() G Réel FTBO() c FTBO( ) G Fig. 4 : Illustratio des marges de gai et de hase sur le lieu de Nyquist (cas d u système stable) Fig. 4 : Illustratio des marges de gai et de hase sur le lieu de Nyquist (cas d u système istable) Valeurs usuelles de et G Les marges défiies ci-dessus ermettet d évaluer la distace etre le oit critique et le lieu de Nyquist e boucle ouverte. Imoser leurs valeurs reviet à s assurer que l o ait jamais FTBO() =, c'est-àdire jamais simultaémet (our la même ulsatio) : FTBO( ) 8 FTBO( ) L exériece motre que our des systèmes classiques (otammet à hase miimale), u bo degré 456 de stabilité e boucle fermée est obteu si l o est caable d imoser : G 85 db Avec ces valeurs, o obtiet das la luart des cas ue aire de ôles domiats e boucle fermée caractérisés ar u coefficiet d amortissemet,5,77. Pour régler la stabilité d'u système, il est souvet délicat de raisoer e teat comte des deux marges à la fois. Das ce cas, o rivilégie, e gééral, la marge de hase. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 6

61 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Critère de Stabilité utilisat les courbes de Bode et de Black Les marges de gai et de hase défiie récédemmet euvet égalemet être rerésetées sur le diagramme de Bode (figures 4 3 et 4 4) et sur le lieu de Black-Nichols (fig. 4 5 et 4 6). G() G() c G > G < c 8 8 > < Fig. 4 3 : illustratio des marges de gai et de hase sur le diagramme de Bode (cas d u système stable : G > et > ) Fig. 4 4 : illustratio des marges de gai et de hase sur le diagramme de Bode (cas d u système istable : G < et < ) 8 G() G() G c () G c () FTBO() -8 FTBO() Fig. 4 5 : illustratio des marges de gai et de hase sur le lieu de Black-Nichols (cas d u système stable : G > et > ) Fig. 4 6 : illustratio des marges de gai et de hase sur le lieu de Black-Nichols (cas d u système istable : G < et < ) Marge de stabilité aliquée à la ositio des ôles de la FTBF La otio de marge de stabilité aliquée à la FTBF coduit à s iterdire u domaie our la ositio des ôles das le la comlexe. O s imose, e gééral, avec = cos =.5) (fig. 4 7). 6 (ce qui corresod à u système du deuxième ordre Imag = 6 Réel Fig. 4 7 : illustratio de la marge de stabilité imosée sur la ositio des ôles das le la comlexe. Zoe iterdite Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 6

62 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Chaitre 5 : PERFORMANCES DES ASSERVISSEMENTS 5- - Itroductio Nous suoseros das l étude qui suit que les systèmes asservis étudiés sot stables. La récisio d u système est défiie à artir de l erreur etre la gradeur de cosige E et la gradeur de sortie S (fig. 5 ). Nous distigueros la récisio statique qui caractérise la limite de l erreur au bout d u tems ifii our ue etrée doée, c est-à-dire le régime ermaet, et la récisio dyamique qui tiet comte des caractéristiques d évolutio du rocessus e régime trasitoire Performaces Statiques des Systèmes bouclés Erreur statique La récisio d u asservissemet, e régime ermaet, est défiie ar l écart ermaet (t) qui existe etre la sortie réelle et celle que l o désire obteir. Par défiitio, o dira qu u système est d autat lus récis que le sigal d erreur (t) est lus faible. L idéal serait que l o ait : (t) =, t E ratique, il e est autremet, car : La cosige eut varier : la recherche de la miimisatio de (t), e déit de ces variatios, costitue u roblème de suivi (ou de oursuite). U sigal de erturbatio aléatoire (exemle : u bruit) eut veir de sueroser au sigal utile e u oit de la chaîe : le maitie de (t), e déit de la erturbatio, costitue u roblème de régulatio. E - R A S B Fig. 5 : Schéma gééral d'u asservissemet Calculos l'erreur statique : () = E() R() Or R() = S(). B() et S() = (). A() () = E() - (). A(). B() () = E() A().B() (5 ) D arès le théorème de la valeur fiale { lim f(t) lim.f( ) }, l erreur statique s (ou ecore ) est t doée ar la relatio : s = lim (t) lim. () t Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 6

63 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim s = E() lim. A().B( ) = E() lim. Erreur statique (5 ) FTBO() s déed doc à la fois : du système cosidéré {résece de A().B()}, du sigal d etrée aliqué {résece de E()}. Adotos la otatio suivate : : le ombre d itégrateurs que comorte la FTBO() FTBO() = A(). B() = a a. b b = etier est aelé classe du système m : l ordre du sigal d etrée caoique E E() = m m = etier Si m = échelo Si m = rame Si m = 3 Accélératio 5-..a - Erreur statique our ue etrée échelo C est l erreur qui subsiste e régime ermaet sur la réose idicielle (fig. 5 ). Etrée de référece e(t) = E.u(t) Erreur s costate Sortie s(t) Fig. 5- : Erreur statique our ue etrée échelo t Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 63

64 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Si l etrée vaut : E() = E s = s = E() lim. FTBO() = E e E lim FTBO() Avec e = FTBO() lim = Costate d erreur statique d échelo ou gai statique e Boucle ouverte a a Pour les systèmes de classe : e = lim. b b = s = E = cte Pour les systèmes de classe > : e = lim a a. b b = s = 5-..b - Erreur statique ( ou erreur de traîage ) our ue etrée rame (ou vitesse) C est l erreur qui subsiste e régime ermaet sur la réose à ue rame (fig. 5 3). Etrée de référece e(t) = E.t.u(t) Erreur s Sortie s(t) t Fig. 5 3 : Erreur statique our ue etrée rame Si l etrée vaut : E() = E s = E() E lim. = lim FTBO(). FTBO() E = lim.ftbo() s = E v Avec v = lim.ftbo() = Costate d erreur statique de vitesse a a Pour les systèmes de classe : v = lim.. b b = s = a a Pour les systèmes de classe : v = lim.. b b = s = E = cte a a Pour les systèmes de classe > : v = lim.. b b = s = Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 64

65 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim 5-..c - Erreur statique our ue etrée arabolique (ou accélératio) C est l erreur qui subsiste e régime ermaet sur la réose à ue etrée accélératio (fig. 5 4). Etrée de référece Erreur s t e(t) = E..u(t) Sortie s(t) t Fig. 5 4 : Erreur statique our ue etrée accélératio Si l etrée vaut : E() = E 3 s = E() lim. FTBO() lim = E. FTBO() E = lim.ftbo() s = E = cte Avec a = lim. FTBO() a = Costate d erreur statique d accélératio Pour les systèmes de classe : a = lim a a.. b b = s = Pour les systèmes de classe : a = lim Pour les systèmes de classe : a = lim a a.. b b a a.. b b = s = = s = E = cte Pour les systèmes de classe > : a = lim a a.. b b = s = 5-..d - Récaitulatif des erreurs statiques Le tableau 5 récaitule les valeurs de l erreur statique e foctio : de la classe du système de l ordre du sigal d etrée caoique du gai de la FTBO du système Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 65

66 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Classe du système Costates d'erreur statique e v a Etrée Echelo E e Erreur statique s Etrée Vitesse E v Etrée accélératio E a E E E 3 Tableau 5 : Récaitulatif des erreurs statiques Remarques imortates: Les costates d erreurs e, v, et a décrivet l atitude du système asservi à réduire ou élimier l erreur statique. Elles reseiget, ar coséquet, sur les erformaces du système e régime ermaet. Il est gééralemet référable d accroître les costates d erreurs, tout e maiteat la réose trasitoire das des roortios accetables ; E effet, l erreur statique, lorsqu elle est fiie et o ulle, décroît lorsque le gai e boucle ouverte croît. Mais cette croissace du gai eut détériorer la stabilité du système. Cette roriété est coue sous le om de " Dilemme Stabilité Précisio ", qui écessite souvet u comromis. Il est à oter égalemet que our améliorer les erformaces e régime statique, ous ouvos augmeter la classe du système e ajoutat u ou des itégrateur(s) das la chaîe directe du système. Ceci eut, ceedat, egedrer des roblèmes de stabilité sulémetaires Gai statique e boucle fermée Pour u système stable, le gai statique e boucle fermée est défii ar : lim s = t s(t) e(t) = lim FTBF() Exemle Soit le système asservi de la figure 5 5. Calculos ses différetes erreurs statiques our différetes etrées caoiques : Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 66

67 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim E - 4 ( ) S Fig. 5 5 : Exemle d u système asservi Il faut s'assurer, tout d'abord, de la stabilité du système. Utilisos our cela le critère de Routh : 4 FTBO() = = ( ) ( ) : /4 ( ) FTBF() = = ( ) 4 : / Tous les termes de la ère coloe sot de même sige : système stable Gai statique e boucle fermée : s = lim FTBF() = E() Etrée échelo : s = lim. = avec E() = / (E = ) FTBO() Ou alors : e =, uisqu'il s'agit d'u système de classe. s = E e = / = E() Etrée vitesse : s = lim. = / avec E() = / (E = ) FTBO() Ou alors : v = =, uisqu'il s'agit d'u système de classe. s = E = / v E() Etrée accélératio : s = lim. = avec E() = / 3 (E = ) FTBO() Ou alors : a =, uisqu'il s'agit d'u système de classe. s = E a = Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 67

68 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Performaces Dyamiques des Systèmes bouclés Das la majorité des cas ratiques, les caractéristiques de erformaces désirées our les asservissemets sot exrimées relativemet au tems. Les systèmes qui emmagasiet de l'éergie e euvet réodre istataémet et résetet des réoses trasitoires à chaque fois qu'ils sot soumis à des etrées ou erturbatios. Gééralemet, le comortemet dyamique d'u système eut être etièremet caractérisé ar la réose temorelle de ce système suite à ue etrée échelo uisqu'elle est facile à géérer (Fig 5 6). s(t) %. d 5 % - 5 % 5%. t td tr t ts Fig 5 6 : caractéristiques de la réose trasitoire La réose trasitoire d'u système suite à ue etrée échelo déed des coditios iitiales. Par commodité das la comaraiso des réoses trasitoires de différets systèmes, il est lus ratique d'utiliser les coditios iitiales stadards (système au reos à l'istat iitial et toutes les dérivées ar raort au tems sot ulles). Les caractéristiques des réoses euvet alors être comarées. La réose trasitoire des systèmes asservis ratiques résete souvet des oscillatios amorties avat d'atteidre le régime ermaet. Les critères de erformaces, commuémet utilisés our la caractérisatio des systèmes asservis liéaires das le domaie temorel, sot défiis comme suit : Tems de retard (time delay), t d : il est défii comme état le tems écessaire our que la réose atteige la moitié de sa valeur fiale. Tems de motée (rise time), tr : tems écessaire à la réose our évoluer de à 9%, de 5 à 95%, ou de à % de sa valeur fiale. Pour les systèmes du d ordre eu amorti, le tems de motée de à % est lus gééralemet utilisé. Pour les systèmes très amortis, l'évolutio de à 9% est lus souvet choisie. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 68

69 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Tems de ic (eak time), t : tems écessaire our atteidre le er ic de déassemet. Déassemet maximum, d : c'est la valeur du ic maximal de la réose mesurée relativemet à l'uité. Si la valeur fiale du régime ermaet diffère de l'uité, o utilise lus souvet le déassemet maximal exrimé e ourcetage. Il est défii ar : d % = s(t ) s( ) s( ) % (5 3) L'imortace de ce déassemet maximum (e %) est qu il reseige directemet sur la relative stabilité du système. Tems de réose ou d'établissemet (settlig time), t s : c'est le tems requis our que la courbe de sortie atteige et reste à l'itérieur d'ue bade, exrimée e ourcetage (gééralemet 5%), relativemet à sa valeur fiale. Ces 5 gradeurs doet ue mesure directe de la caractéristique trasitoire du système asservi relativemet à sa réose idicielle. Cela veut dire que le système doit être modifié jusqu'à ce que la réose trasitoire soit satisfaisate. Il est à oter que ses gradeurs e sot as toutes, écessairemet, alicables à 'imorte quel système. Pour u système très amorti (o oscillat), t et d e sot as défiis Remarques sur les caractéristiques de la réose trasitoire Exceté our certaies alicatios our lesquelles les oscillatios e sot as tolérables, il est référable que la réose soit suffisammet raide et suffisammet amortie. Aisi, our ue réose trasitoire accetable d'u système du d ordre, le coefficiet d'amortissemet doit avoir ue valeur.4.8 : De faibles valeurs de ( <.4) roduiset u déassemet excessif de la réose trasitoire. Des valeurs imortates de ( >.8) doet ue réose très lete. Nous verros, lus loi, que le déassemet maximum et le tems de motée e euvet as être faibles tous les deux, simultaémet. Si l'u d'eux est dimiué, le secod croît écessairemet Caractéristiques de la réose trasitoire des systèmes du d ordre Das la suite, ous allos détermier le tems de motée, le tems de ic, le déassemet et le tems de réose ou d'établissemet d'u système du d ordre e foctio de et de. Le système est cosidéré comme état eu amorti a - Tems de motée t r (rise time) Le système cosidéré résete ue sortie s(t) telle que (voir 3 6 ) : s(t) = cos(t. ) si(t. ) e t (5 4) Pour tr, la sortie vaut : s(tr) = Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 69

70 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim r cos(t. ) si(t. ) = uisque e t tg tr. = tr = arctg (5 5) Avec, et défiis sur la figure 5 7, il viet : tr = arctg tr = (5 6) Il est clair que our de faibles valeurs de tr, doit être imortate. Imag = Pôle - = j Réel cos() = Fig 5 7 : défiitio de, et A artir de l'équatio 5 6, la figure 5 8 motre les variatios de (.tr) e foctio de..tr Fig 5 8 : Variatios de.tr e foctio de. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 7

71 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim 5-3..b - Tems de ic t (eak time) Le tems de ic corresod au maximum de la sortie s(t). Il est obteu e écrivat que la dérivée de s(t) ar raort au tems est ulle e ce oit. s(t) = cos(t. ) si(t. ) e t ds(t) dt = e t cos(.t) si(.t) e t. si(.t) cos(.t) ds(t) dt = e t si(.t) ds(t) dt = si :. t = (cette solutio corresod au maximum uiquemet lorsque ). si(.t) = si(.t) =.t =. =,,, t = =,,, (5 7) Le tems de ic corresod au remier déassemet ( = ), doc : t = = (5 8) smax s(t) Déassemet maximum d smi T : seudo ériode T t t 3 4 Fig. 5 9 : Périodicité des maximas et miimas de la réose idicielle Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 7

72 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim E se référat à l équ.(5 7) et à la fig. (5 9), les maximas de la réose trasitoire aaraisset aux valeurs imaires de. Les miimas, à celles aires. Remarque : Il est à oter que bie que la réose idicielle our e soit as ériodique, les maximas et les miimas de la réose aaraisset à des itervalles ériodiques de ériode T (fig. 5 9) c - Déassemet maximum d (maximum overshoot) Ce déassemet aaraît à t = t = s(t ) s( ) d = = s( ) s (t ) = : = cos(t. ) si(t. ) e t = cos( ) si( ) e ( / ) ( ) d = e d % = ( ) e % (5 9) La figure 5 doe les variatios du déassemet d (exrimé e ourcetage) relativemet au coefficiet d'amortissemet. d% Fig. 5 : Déassemet d% e foctio du coefficiet d'amortissemet. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 7

73 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim 5-3..d - Tems de réose ou d'établissemet t s (settlig time) La sortie s(t) du système cosidéré eut être écrite sous la forme suivate (voir 3 6 ) : s(t) = e t sit. arctg (5 ) Les courbes t e sot les courbes eveloes de la réose idicielle (fig. 5 ). La sortie demeure toujours à l'itérieur de cette aire d'eveloes. La costate de tems de ces eveloes est T =. Amlitude e t T 5 % - 5 % e t T 3 4 Tems t/t Fig. 5 : Paire d'eveloes de la réose idicielle d'u système du d ordre La vitesse de décroissace de la réose trasitoire déed de la costate de tems T. Pour u doé, le tems d'établissemet ts est ue foctio du coefficiet d'amortissemet. Les systèmes très légèremet amortis, résetet u ts lus imortat que celui our les systèmes correctemet amortis. Pour les systèmes très amortis ( > ), le tems d'établissemet deviet imortat à cause du déart très let de la réose (voir réoses idicielles e foctio de, 3 6 ). La descritio aalytique exacte du tems d'établissemet est difficile à obteir. Il est ceedat démotré que, our u critère de 5 % et < <.9, ce tems ts varie légèremet et reste aroximativemet égal à 3 fois la costate de tems T. Il atteit u miimum autour de.68 uis augmete, resque liéairemet, our les grades valeurs de. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 73

74 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Par covetio das la comaraiso des réoses trasitoires des systèmes, o adote gééralemet le tems d'établissemet suivat : ts = 3.T = 3 (critère de 5 %) (5 ) A titre d'iformatio, si le critère adoté est celui de %, alors : ts = 4.T Il faudrait oter que ts est iversemet roortioel au roduit du coefficiet d'amortissemet ar la ulsatio rore o amortie. Puisque la valeur de est gééralemet détermiée comte teu des exigeces sur le déassemet maximum admissible, ts est détermié essetiellemet ar la ulsatio rore o amortie. Cela veut dire que la durée du trasitoire eut être variée e ajustat uiquemet, sas modifier le déassemet maximum. A artir de cette aalyse, il deviet évidet que our ue réose raide, doit être imortat. Pour limiter le déassemet maximum d et our réduire ts, le coefficiet d'amortissemet e doit as être tro faible (fig. 5 ). Si.4 < <.8, alors 5 % > d >.5 % 5-3..e - Exemle Cosidéros le système asservi à retour uitaire de la figure 5 dot les aramètres sot : =.6 = 5 rd/s E - ( ) S Fig. 5 : Système de d ordre Détermier tr, t, d, et ts lorsque le système est sujet à ue etrée échelo. = = 4 rd/s =. = 3 tems de motée tr : tr = tems de ic t : t = or = arctg =.93 rd ou ecore = arcos ( ) =.93 rd doc tr = =.55 s = 4 =.785 s déassemet d : d % = ( ) e % = 9.5 % tems d'établissemet ou de réose ts à 5% rès : ts = 3 = 3 = s Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 74

75 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Relatios Boucle Ouverte Boucle Fermée à retour uitaire a - Système du er ordre Soit le système asservi à retour uitaire de la fig. 5 3, dot la FTBO() = BO Avec : BO et BO resectivemet le gai et la Costate de tems e boucle ouverte. BO E - BO BO S Fig. 5 3: Système du er ordre FTBF() = BF BF Avec : BF et BF resectivemet le gai et la Costate de tems e boucle fermée. Alors : BF = BF = BO BO BO BO < Gai e boucle fermée (5 ) < BO Costate de tems e boucle fermée (5 3) La figure 5 4 motre les réoses idicielles e Boucles ouverte et fermée (ex. our BO > ). Ste Resose BO s(t) e BO Amlitude BF s(t) e BF BF BO Time (sec) Fig. 5 4 : réoses idicielles e BO et e BF d'u système du er ordre à retour uitaire Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 75

76 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Remarques : Le système e boucle fermée est doc lus raide qu'e boucle ouverte. La ete à l'origie est la même e BO qu'e BF. U système du er ordre e BO (BO, BO) reste u système du er ordre e BF (BF, BF) b - Système du d ordre Soit le système asservi à retour uitaire de la fig. 5 5, dot la FTBO() = BO BO BO BO Avec : BO, BO, et BO resectivemet le gai, le coefficiet d'amortissemet, et ulsatio rore o amortie e boucle ouverte. E - BO BO BO BO S Fig. 5 5 : Système du d ordre FTBF() = BF BF BF BF Avec : BF, BF, et BF resectivemet le gai, le coefficiet d'amortissemet, et ulsatio rore o amortie e boucle fermée. Alors : BF = BF = BO BO BO BO < Gai e boucle fermée (5 4) < BO Coefficiet d'amortissemet e boucle fermée (5 5) BF = > BO Pulsatio rore o amortie e boucle fermée (5 6) BO BO La figure 5 6 motre les réoses idicielles e boucles ouverte et fermée (ex. our BO > ). Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 76

77 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Ste Resose BO s(t) e BO Amlitude BF s(t) e BF Time (sec) Fig. 5 6 : réoses idicielles e BO et e BF d'u système du ème ordre à retour uitaire Remarques : Le système e boucle fermée est doc lus oscillat qu'e boucle ouverte (BF < BO), le système e boucle fermée est lus raide qu'e boucle ouverte (td, t, tr sot lus faibles), le tems d'établissemet à 5% rès est idetique, car le roduit (.) reste costat. U système du ème ordre e BO (BO, BO, BO) reste u système du ème ordre e BF (BF, BF, BF) c - Relatios d'aroximatios E rerésetatio asymtotique de Bode, le gai d'u système du ème ordre a l'allure suivate : Gai (échelle log) BO () (-) (échelle log) Fig. 5 7 : Diagramme du module (rerésetatio asymtotique de Bode) B co Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 77

78 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Pete = = Ce qui doe : log log log log BO co co = (5 7) BO BO Remarque : Cette relatio est aroximative uisqu'elle est obteue à artir d'u diagramme asymtotique. Si ce système est à retour uitaire, alors d'arès (5 6) : BF = BO BO. Gééralemet, est grad, de sorte que l'o eut écrire : BF = d'où : BO BO BO BO co BF co (5 8) La marge de hase est : = (co) Or :. BO ( co ) arctg BO co BF BO BO BO co (co) =. BO BO arctg = BO. arctg BO BO BO Si BO est grad, alors : (co). BO arctg arctg. BF BO (Car BO BF ) BO (co) - arctg. = arctg. D'où : = arctg. = arctg. BF BF BF BF Coversio e degrés :. 36 D'où : =. arctg.bf BF BF (5 9) Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 78

79 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Effets de l'additio de ôles et de zéros aux foctios de trasfert Il a été motré das les chaitres récédets que le comortemet dyamique des systèmes asservis déed éormémet de la ositio des racies de l'équatio caractéristique das le la comlexe (ôles de la FTBF). Ceedat, e ratique, u asservissemet réussi e eut déedre uiquemet du choix des valeurs des aramètres du système de faço que les racies de l'équatio caractéristique soiet correctemet lacées. Nous allos voir que : Bie que les racies de l'équatio caractéristique, qui sot les ôles de la FTBF, affectet la réose trasitoire des systèmes asservis liéaires, e articulier la stabilité, les zéros de la foctio de trasfert, s'il y e a, sot égalemet imortats. Aisi le rajout et /ou la suressio de ôles et de zéros idésirables de la foctio de trasfert est souvet écessaire our obteir des erformaces temorelles satisfaisates. Das ce chaitre, ous verros que l'additio de ôles et zéros aux foctios de trasfert e boucle fermée eut avoir des effets différets sur la réose trasitoire des systèmes bouclés Additio d'u ôle sulémetaire à la chaîe directe d'u système asservi à retour uitaire Pour étudier l'effet de l'additio d'u ôle à la chaîe directe d'u système asservi à retour uitaire, cosidéros le système du secod ordre de la figure 5 8, auquel ous rajoutos u ôle ( = / T) sulémetaire sur la chaîe directe (fig. 5 9). E - ( ) S E S Fig. 5 8 : système asservi de d ordre à retour uitaire E - T ( ) S E T 3 ( T ) S Fig. 5 9 : Rajout d'u ôle sulémetaire à la chaîe directe d'u système asservi de d ordre Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 79

80 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim La FTBO deviet : G() = ( )( T ) (5 ) La FTBF s'écrit alors : F() = FTBF() = G() = G() T 3 ( T ) (5 ) La figure 5 illustre les réoses idicielles d'u système e boucle fermée lorsque : = rd/s, =, et T =,,, et 5 s.5 Ste Resose T = 5 T = T = Amlitude T = Time (sec) Fig. 5 : Réose idicielle de F() (additio d'u ôle à la chaîe directe). Ex : = rd/s, =, et T =,,, et 5 s Ces réoses motret que : L'additio d'u ôle à la chaîe directe d'u système asservi augmete, gééralemet, le déassemet maximum de la FTBF, aisi que le tems de motée t r (rise time). Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 8

81 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Additio d'u ôle sulémetaire à la foctio de trasfert e boucle fermée Cosidéros la foctio de trasfert e boucle fermée d'u système du secod ordre auquel o rajoute u ôle ( = / T ) sulémetaire (Fig. 5 ) : E ( T ) - ( ) S E ( )( T) S Fig. 5 : Rajout d'u ôle sulémetaire à la foctio de trasfert d'u système asservi de d ordre F() = FTBF() = ( )( T) (5 ) La figure 5 illustre les réoses idicielles du système e boucle fermée lorsque : = rd/s, =.5, et T =,.5,,, et 4 s.4 Ste Resose. T =.5 T = Amlitude.8.6 T = T = T = Time (sec) Fig. 5 : Réose idicielle de F() (additio d'u ôle à la FTBF). Ex : = rd/s, =.5, et T =,.5,,, et 4 s Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 8

82 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Ces réoses motret que : L'additio d'u ôle à la foctio de trasfert e boucle fermée décroît, gééralemet, le déassemet maximum de la FTBF, mais fait augmeter le tems de motée t r (rise time). Si l'o e cosidère que le déassemet, ajouter u ôle à ue foctio de trasfert e boucle fermée a u effet oosé à celui obteu lorsque le ôle est ajouté à la chaîe directe Additio d'u zéro sulémetaire à la foctio de trasfert e boucle fermée Cosidéros la foctio de trasfert e boucle fermée d'u système du secod ordre auquel o rajoute u zéro ( = / Tz ) sulémetaire (Fig. 5 3) : E ( Tz ) - ( ) S E ( ( T ) z ) S Fig. 5 3 : Rajout d'u zéro sulémetaire à la foctio de trasfert d'u système asservi de d ordre F() = FTBF() = ( ( T ) z ) (5 3) La figure 5 4 motre les réoses idicielles du système e boucle fermée lorsque : Avec = rd/s, =.5, et Tz =,, 3, 6, et s. Ces réoses motret que : L'additio d'u zéro à la foctio de trasfert e boucle fermée décroît le tems de motée t r (rise time) et augmete le déassemet maximum de la réose idicielle. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 8

83 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim 6 Ste Resose Tz = 5 4 Tz = 6 Amlitude 3 Tz = 3 Tz = Tz = 5 5 Time (sec) Fig. 5 4 : Réose idicielle de F() (additio d'u zéro à la FTBF). Ex : = rd/s, =.5, et Tz =,, 3, 6, et s Additio d'u zéro sulémetaire à la chaîe directe d'u système à retour uitaire Cosidéros qu'u zéro /Tz est ajouté à la chaîe directe d'u système asservi de 3 ème ordre de FTBO G() (Fig. 5 5). E - ( Tz ) 6 ( )( ) S E 3 3 6( T ) z ( 6T ) 6 z S Fig. 5 5 : Rajout d'u zéro sulémetaire à la foctio de trasfert d'u système asservi de 3ème ordre G() = 6( Tz) ( )( ) FTBF() = F() = 3 3 6( T ) z ( 6T ) 6 z (5 4) Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 83

84 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim La différece etre ce cas et celui d'ajouter u zéro à la foctio de trasfert e boucle fermée est que das le cas réset, le terme (Tz ) aaraît o seulemet au umérateur de F() mais le déomiateur de F() cotiet égalemet Tz. Le terme (Tz ) au umérateur de F() augmete le déassemet maximum, mais Tz aaraît das le coefficiet du terme e au déomiateur, ce qui a our effet d'améliorer l'amortissemet ou réduire le déassemet maximum. La figure 5 6, illustre les réoses idicielles lorsque Tz =,.,.5,, 5, et s..8 Tz = Ste Resose.6.4. Tz = Tz = 5 Tz = Tz =. Tz =.5 Amlitude Time (sec) Fig. 5 6 : Réose idicielle de F() (additio d'u zéro à la chaîe directe d'ue FT). Ex : Tz =,.,.5,, 5, et s Il est à oter que lorsque Tz =, le système est au bord de l'istabilité. Lorsque Tz =. et.5, les déassemets maximums sot réduits, ricialemet à cause de l'amélioratio de l'amortissemet. Lorsque Tz croît au delà de, bie que l'amortissemet cotiue à être amélioré, le terme (T z ) au umérateur deviet de lus e lus domiat, et le déassemet maximum deviet de lus e lus imortat au fur et à mesure que Tz augmete. Ue coclusio imortate est à tirer de cette discussio : Bie que les racies de l'équatio caractéristique soiet gééralemet utilisées our étudier le relatif amortissemet et la relative stabilité des systèmes asservis liéaires, les zéros de la foctio de trasfert e doivet as être égligés quat à leurs effets sur les erformaces trasitoires du système. Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 84

85 Systèmes Asservis liéaires cotius et régulatio idustrielle 5/6 Prof. FELLAH Mohammed-arim Pôles domiats des foctios de trasfert A artir des discussios récédetes, il deviet clair que la ositio des ôles de la foctio de trasfert das le la de Lalace affecte éormémet la réose trasitoire du système. Pour les besois d'aalyse et de sythèse, il est imortat de trier les ôles ayat u effet domiat sur la réose trasitoire. O les aellera ôles domiats. Puisque la majorité des systèmes de cotrôle recotrés das la ratique sot d'u ordre suérieur à deux, il deviet utile d'établir des idicatios quat à l'aroximatio des systèmes d'u ordre imortat ar des systèmes d'u ordre lus faible aussi logtems que la réose trasitoire est cocerée. E sythèse, ous ouvos utiliser les ôles domiats our cotrôler les erformaces dyamiques du système, tadis que les ôles égligeables ou isigifiats sot utilisés afi d'assurer que la foctio de trasfert du régulateur eut être réalisée ar des comosats hysiques. Pour tous les besois ratiques, ous ouvos sectioer, qualitativemet, le la de Lalace e régios das lesquelles les ôles domiats et les ôles isigifiats sot séarés comme sur la figure 5 7. Nous avos, délibérémet, choisi de e as assiger des valeurs sécifiques aux coordoées, uisqu'elles sot toutes relatives au système cosidéré. Les ôles qui sot roches de l'axe imagiaire du côté gauche du la comlexe doet lieu à des réoses trasitoires qui vot s'amortir relativemet doucemet. Les ôles qui se trouvet loi de l'axe (relatif au ôles domiats), corresodet à des amortissemets raides des réoses. La distace D etre la régio domiate et la régio eu sigifiate eut être sujet à discussio : il est établi e ratique et das la littérature que si le module de la artie réelle d'u ôle vaut 5 à fois celle d'u ôle domiat ou d'ue aire de ôles comlexes de ôles domiats, le ôle sera cosidéré comme état égligeable relativemet à la réose trasitoire. j Pla - Zoe des ôles isigifiats D Zoe des ôles domiats Zoe de stabilité Zoe d'istabilité Fig.5 6 : Zoes des ôles domiats et isigifiats das le la - Licece «Electrotechique» et Master «Cotrôle et Suervisio des Processus Automatisés» 85