Partie 1 Automatique 1 et 2 (Asservissements Linéaires Continus)

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1 Réublique Algériee Démocratique et Poulaire Miistère de l'eseigemet Suérieur et de la Recherche Scietifique Uiversité Djillali Liabès Sidi Bel-Abbès Faculté de Techologie Déartemet d'electrotechique Partie Automatique et (Asservissemets Liéaires Cotius) Niveau : 3 ème Aée Licece ère Aée Master Parcours : Automatisme idustriel Derière mise à jour : Novembre 3 Préaré et eseigé ar : Prof. Mohammed-arim FELLAH Professeur de l'eseigemet Suérieur mkfellah@yahoo.fr

2 AVANT PROPOS Ce documet s'adresse aux étudiats de la formatio d'igéieur, de Licece et de Master das le cadre des rogrammes officiels. Mais bie etedu il eut être étudié ar tous ceux e er cycle, e ème cycle, ou même e ost-graduatio, qui désiret arofodir leurs coaissaces ou avoir u documet de base e matière d'asservissemet. La commade et l'iterrétatio du comortemet de rocédés idustriels ou de héomèes hysiques aturels fot artie des tâches qui icombet à l'igéieur. Ce derier est cofroté à ue réalité qu'il lui faudra domestiquer et/ou comredre our e tirer le meilleur arti. Au cetre de cette coaissace se trouve le cocet de système, cocet que l'o retrouve das u grad ombre de discilies et techiques : cotrôle de rocédé, techiques d'otimisatio, traitemet du sigal, filtrage, mathématique des équatios différetielles, etc. Das le cadre de ce cours, ous ous itéressos ricialemet à l'étude des "systèmes" à la fois cotius et liéaires, qui sot rerésetés sous forme de foctio de trasfert (rerésetatio extere, dite ecore de la "boîte oire") ; ces trois coditios volotairemet limitatives ermettet d'itroduire de faço simle les riciaux cocets de l'automatique. Ce texte costitue la trascritio fidèle d'u cours oral magistral traité au déartemet d'electrotechique, à l'uiversité de Sidi Bel-Abbès our les étudiats e formatio de Licece et Master (différets arcours). Le but recherché 'est doc as d'éuiser le sujet, mais d'essayer d'e dégager les idées essetielles, simlifiées, quad cela est écessaire, das u but didactique. E coséquece, l'accet est mis sur les exlicatios hysiques et les exemles, lutôt que sur les démostratios, mais celles-ci sot égalemet traitées e détail surtout lorsqu'elles sot idisesables à la boe comréhesio du résultat. Pr. FELLAH Mohammed-arim Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..)

3 Chaitre : INTRODUCTION AUX ASSERVISSEMENTS - - Itroductio à l automatique L'automatique est gééralemet défiie comme la sciece qui traite des esembles qui se suffiset à eux-mêmes et où l'itervetio humaie est limitée à l'alimetatio e éergie et e matière remière. L'objectif de l'automatique est de remlacer l'homme das la luart des tâches (tâches réétitives, éibles, dagereuses, tro récises, tro raides) qu'il réalise das tous les domaies sas itervetio humaie. Les systèmes automatiques ermettet doc : * de réaliser des oératios tro comlexes ou délicates e ouvat être cofiés à l'homme, * de se substituer à l'oérateur our des tâches réétitives, * d'accroître la récisio, * d'améliorer la stabilité d'u système et sa raidité. De tels disositifs se recotret fréquemmet das la vie courate, deuis les mécaismes biologiques du cors humai jusqu'aux usies etièremet automatisées. Ue telle sciece eglobe u grad ombre de discilies et, ar coséquet, u automaticie devrait être à la fois : * Mathématicie * Electricie * Mécaicie * Ecoomiste -. - Exemle Nous sommes etourés d'u grad ombre de systèmes automatiques, machie à laver, asceseur, distributeur de boisso, robot, suivi de trajectoire d u missile Classificatio Le domaie des alicatios de l'automatique est très vaste et varié, mais l'observatio de l'idustrie cotemoraie coduit à ue certaie classificatio qui se résume e deux grades familles selo les doées que traitet ces systèmes : * Les automatismes séquetiels * Les asservissemets Ces deux arties de l'automatique sot ettemet différetes, elles s'auiet sur des otios théoriques qui 'ot que de loitais raorts etre elles et les techiques qui ermettet de les réaliser sot, aussi, très différetes. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 3

4 -..a - Les automatismes séquetiels C'est la brache de l'automatique qui orgaise le déroulemet des différetes oératios relatives au foctioemet d'u esemble comlexe. U automatisme à séquece imose l'ordre das lequel les oératios se déroulet, s'assure que chaque oératio est bie termiée avat d'aborder la suivate, décide de la marche à suivre e cas d'icidets. Bie etedu, u automatisme séquetiel eut avoir à cotrôler des asservissemets et des régulateurs (voir -..b) armi les esembles qu'il gère. Ce tye d'automatisme est utilisé ar exemle das la mise e route et l'arrêt d'istallatios comlexes (cetrales automatiques), sur les machies outils et, e gééral, das resque toutes uités de roductio automatisées. Il faut oter égalemet que toutes les séqueces d'alarme et de sécurité idustrielle fot artie des alicatios de ce tye d'automatisme. Les automatismes sot des systèmes logiques qui e traitet que des doées logiques (/, vrai/faux, marche/arrêt,...). Ils utiliset les moyes de commutatio offerts ar l'électroique (circuit logique) et la mécaique (logique eumatique). Le calcul de ces automatismes imose de coaître l'algèbre de Boole et la théorie des circuits séquetiels. Ils sot classés e braches : * Systèmes combiatoires : les sorties du système e déedet que des variables d etrées. * Systèmes séquetiels : les sorties déedet bie sûr de l évolutio des etrées mais aussi de l état récédet des sorties. Exemle : Machie à laver, maiulateur eumatique, asceseur, distributeur de boissos. -..b - Les asservissemets U système asservi est u système qui red e comte, durat so foctioemet, l'évolutio de ses sorties our les modifier et les maiteir coforme à ue cosige. Cette brache de l automatique se décomose e deux autres sous braches (séarées artificiellemet ar l'usage) : * Régulatio : maiteir ue variable détermiée, costate et égale à ue valeur, dite de cosige, sas itervetio humaie. Exemle : Régulatio de temérature d'ue ièce. * Systèmes asservis : faire varier ue gradeur détermiée suivat ue loi imosée ar u élémet de comaraiso. Exemle : Régulatio de la vitesse d'u moteur, Suivi de trajectoire d'u missile. L asservissemet est essetiellemet aalogique et utilise la artie aalogique des trois moyes de base dot o disose : mécaique, électrotechique et électroique. La théorie des asservissemets écessite ue boe base mathématique classique. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 4

5 -.3 - Systèmes cotius et ivariats * Système cotiu : u système est dit cotiu lorsque les variatios des gradeurs hysiques le caractérisat sot des foctios du tye f(t), avec t ue variable cotiue, le tems e gééral. O oose les systèmes cotius aux systèmes discrets (ou échatilloés), ar exemle les systèmes iformatiques. * Système ivariat : O dit qu u système est ivariat lorsque les caractéristiques de comortemet e se modifiet as avec le tems Evolutio de l'automatique Ces derières aées, l automatique s est cosidérablemet moderisée, surtout deuis l avèemet des calculateurs umériques. Les systèmes automatiques coduits ar calculateurs assuret la quasi-totalité des tâches : * ils collectet et traitet les iformatios issues des cateurs qui fourisset l'esemble des variables d'etrée. * ces variables d'etrée costituet les doées sur lesquelles des calculs umériques serot effectués. Ils corresodet à la résolutio umérique de systèmes d'équatios qui costituet le "modèle mathématique". * le résultat de ce traitemet fouri e biaire est coverti e variables cotiues et est ijecté das le rocessus, afi de modifier so évolutio das u ses désiré. E lus de ces tâches qui sot classiques e automatique, le calculateur joue u rôle otimalisateur. C'est-à-dire qu'il exécute le travail à faire aux meilleures coditios écoomiques e miimisat les déchets, e teat comte du caret de commade, etc. Cet asect, lui, est ouveau. Ce gere de roblème était traité séarémet. Ce rocédé ermet de teir comte d'u ombre cosidérable de variables, doc de traiter des roblèmes jusqu'alors imossibles. E lus, il fait iterveir directemet les variables écoomiques au iveau de chaque orgae (moteur, ome, etc...). Or, jusqu'à réset, les variables écoomiques 'iterveaiet que globalemet. Il ermet doc de traiter ce roblème de faço beaucou lus ratioelle. Les systèmes automatiques coduits ar calculateurs écessitet ue boe coaissace de la rogrammatio e lagage machie, de fortes coaissaces mathématiques (our élaborer le modèle) et surtout ue coaissace arfaite du rocessus à réguler, ce qui est le lus délicat. Ceci écessite ecore de boes coaissaces e théorie de l'iformatio, e statistique et e recherche oératioelle. - - Boucle de régulatio -. - Notio d'asservissemet L'objectif d'u système automatisé est de remlacer l'homme das ue tâche doée. Nous allos, our établir la structure d'u système automatisé, commecer ar étudier le foctioemet d'u système das lequel l'homme est la " artie commade ". Exemle : coducteur au volat d'u véhicule Le coducteur doit suivre la route. Pour cela, Il observe la route et so eviroemet et évalue la distace qui séare so véhicule du bord de la route. Il détermie, e foctio du cotexte, l'agle qu'il doit doer au volat our suivre la route. Il agit sur le volat (doc sur le système) ; uis de ouveau, il recommece so observatio edat toute la durée du délacemet. Si u cou de vet dévie le véhicule, arès avoir observé et mesuré l'écart, il agit our s'ooser à cette erturbatio. Si l o veut qu u asservissemet remlace l'homme das diverses tâches, il devra avoir u comortemet et des orgaes aalogues à ceux d'u être humai. C'est-à-dire qu'il devra être caable d'arécier, de comarer et d'agir. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 5

6 Exemle : ouverture de orte our accès à ue maiso. U autre exemle d'asservissemet très simle est celui d'u homme qui veut etrer das ue maiso : à chaque istat, ses yeux "mesuret" l'écart qui existe etre sa ositio et la orte. So cerveau commade alors aux jambes d'agir, e sorte que cet écart dimiue, uis s'aule. Les yeux jouet alors le rôle d'orgaes de mesure (ou de cateurs), le cerveau celui de comarateur et les jambes celui d'orgae de uissace. Tout asservissemet comortera ces trois catégories d'élémets qui remlisset les 3 grades foctios écessaires à sa boe marche (fig. ) : * Mesure (ou observatio) * Comaraiso etre le but à atteidre et la ositio actuelle (Réflexio) * Actio de uissace Tâche à réaliser Réflexio Actio Effet de l'actio Observatio Fig. : Cocet gééral d u asservissemet -. - Systèmes bouclés et o bouclés -..a - Exemle : Tir au cao Pour mieux saisir la otio de système bouclé, reos u exemle avec cas. Das le remier, ous cosidéros u système o bouclé et ous mettros e évidece ses faiblesses. Das le secod, ous motreros les avatages qu'aorte le bouclage. Premier cas : tir au cao sur ue cible. O cosidère ue cible à détruire et u cao. Pour atteidre le but que l'o s'est roosé, o règle l'agle de tir du cao et la charge de oudre de l'obus e foctio des coordoées de la cible et d'autres aramètres cous à l'istat du tir. Ue fois l'obus arti, si ces aramètres extérieurs vieet à chager, ar exemle si la cible se délace, o e eut lus agir sur sa directio : l'obus est abadoé à lui-même. Deuxième cas : tir au cao sur ue cible avec ue fusée téléguidée et u radar. Cosidéros la même cible et ue fusée téléguidée. Das ce cas, même si la cible se délace ou u vet latéral fait dévier la fusée de sa trajectoire iitiale, elle atteidra quad même so but. E effet, à chaque istat, u radar doera les ositios resectives de la fusée et de la cible. Il suffira de les comarer our e déduire l'erreur de trajectoire et agir sur les gouveres de la fusée our rectifier cette erreur. Das ce cas, le système 'est lus abadoé à lui-même car il comorte ue boucle de retour qui est costituée ar le radar, qui "mesure" la ositio de la fusée et qui e iforme l'oérateur, et ar ue télétrasmissio qui ermet de modifier la trajectoire ar actio sur les gouveres. La boucle de retour aorte doc, au rix d'ue comlicatio certaie, u gai de récisio éorme. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 6

7 -..b - Exemle : Asservissemet de vitesse d ue voiture Suosos que l'o veuille maiteir costate la vitesse (V) d'ue voiture. A la valeur (V) de la vitesse corresod ue valeur (e) de la course de l'accélérateur. Il suffirait doc, e ricie, de maiteir (e) costat our que (V) le soit. Chacu sait que la réalité est différete. E effet, le vet, les variatios de ete et le mauvais état de la route modifiet (V). Ces aramètres extérieurs qui ifluet sur la vitesse sot aelés gradeurs erturbatrices ou erturbatios. Si elles 'existaiet as, la boucle de régulatio serait iutile. Pour que la vitesse reste costate, il faut utiliser u tachymètre qui mesure la vitesse réelle. Le chauffeur comare à tout istat cette vitesse réelle et la vitesse rescrite; Il e déduit u écart lus ou mois grad et efoce lus ou mois l'accélérateur e foctio de cet écart. Si o aelle gradeur de sortie (ou sortie) la vitesse réelle et gradeur d'etrée (ou etrée) la vitesse imosée, le chauffeur et le tachymètre assuret ue liaiso etre l'etrée et la sortie, ils costituet doc ue chaîe de retour. O eut doer u schéma très simle our illustrer cet exemle (fig. ) : Etrée vitesse imosée Chauffeur Accélérateur Moteur Voiture Tachymètre Perturbatios Sortie vitesse (V) réelle Fig. : Exemle d asservissemet de vitesse d u véhicule Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 7

8 -.3 - Défiitios Costitutios élémetaires O eut doc défiir u asservissemet comme u système bouclé ou à boucle fermée comortat ue amlificatio de uissace, ue mesure et ue comaraiso. A artir de ces 3 otios, o eut défiir u schéma foctioel valable our tous les systèmes résetat ces caractéristiques (fig. 3) : * Le triagle : rerésete la foctio amlificatio de uissace. * Le cercle : rerésete la foctio comaraiso (qui s'effectue e faisat ue différece). * Le rectagle : rerésete la foctio mesure et trasformatio. Foctio comaraiso E _ S ' A B S Foctio amlificatio de uissace Foctio mesure et trasformatio Fig. 3 : Schéma foctioel d u asservissemet S Gradeur de sortie E Gradeur d'etrée ou référece ou cosige erreur ou écart etrée - sortie S' Mesure de la sortie La sortie régulée rerésete le héomèe hysique que doit régler le système, c est la raiso d être du système. Il eut s'agir d'ue tesio, d'u délacemet, d'u agle de rotatio, d'u iveau, d'ue vitesse, etc... La cosige, est l etrée d actio, c est la gradeur réglate du système. Sa ature eut être différete de celle de (S). Seule imorte sa valeur umérique. Si (E) et (S) sot de atures différetes, il suffit de défiir ue corresodace umérique etre ces deux gradeurs. Par exemle, o dira qu'u volt à l'etrée rerésete tours/m. O aelle écart ou erreur, la différece etre la cosige et la sortie. Cette mesure e eut être réalisée que sur des gradeurs comarables, o la réalisera doc e gééral etre la cosige et la mesure de la sortie. Elle est fourie ar le comarateur et est roortioelle à la différece ( E S' ). Elle eut être de ature dif férete. Par exemle, E et S' état des tesios, o ourra avoir sous forme de courat tel que = ( E S' ) / R (R est ue résistace). Elle est fourie ar la chaîe de retour, gééralemet arès trasformatio. S' doit obligatoiremet avoir même ature hysique que E. Ce qui est évidet si o veut doer u ses à la différece ( E - S' ). U des rôles de la chaîe de retour est doc d'assurer la coversio de la mesure de S das la gradeur hysique de E. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 8

9 D'ue maière géérale, le système comred (fig. 4) : Erreur ou Ecart Chaîe directe (ou d'actio) Perturbatios évetuelles Régulateur Etrée de référece (cosige) Correcteur Actioeur rocessus Sortie asservie Comarateur Mesure Cateur Chaîe de retour (ou d'observatio) Fig. 4 : Orgaisatio foctioelle d'u système asservi (schéma foctioel) Chaîe directe ou d'actio Chaîe de retour ou de réactio Comarateur ou détecteur d'écart * Eglobe tous les orgaes de uissace (écessitat u aort extérieur d'éergie) et qui exécute le travail. * Comorte gééralemet ombreux élémets, otammet des amlificateurs. * La ature de ces élémets 'est as sécifiée sur le schéma, il eut s'agir aussi bie d'egis électriques, mécaiques, eumatiques, etc * Aalyse et mesure le travail effectué et trasmet au comarateur ue gradeur hysique roortioelle à ce travail. * Elle comred gééralemet u cateur qui doe ue mesure de la gradeur S, qui est esuite amlifiée et trasformée avat d'être utilisée. * Comare le travail effectué à celui qui était à faire et délivre u sigal d'erreur roortioel à la différece etre ue gradeur de référece (E) et la gradeur hysique issue de la chaîe de retour. * Ce sigal d'erreur, arès amlificatio, agira sur les orgaes de uissace das u ses tel que l'erreur tedra à s'auler. Régulateur Actioeur Cateur Perturbatio Le régulateur se comose d'u comarateur qui détermie l'écart etre la cosige et la mesure et d'u correcteur qui élabore à artir du sigal d'erreur l'ordre de commade. C'est l'orgae d'actio qui aorte l'éergie au système our roduire l'effet souhaité. Le cateur rélève sur le système la gradeur réglée (iformatio hysique) et la trasforme e u sigal comréhesible ar le régulateur. La récisio et la raidité sot deux caractéristiques imortates du cateur. O aelle erturbatio tout héomèe hysique iterveat sur le système qui modifie l état de la sortie. U système asservi doit ouvoir maiteir la sortie à so iveau idéedammet des erturbatios Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 9

10 -.4 - Régulatio et systèmes asservis Nous avos fait la distictio das l'itroductio etre régulatio et asservissemet. Nous ouvos maiteat réciser de faço ette cette différece : * U régulateur : maitiet l'erreur etre l'etrée E et la sortie S ulle, quelles que soiet les erturbatios, la gradeur d'etrée E restat costate ou variat ar alier. E est alors aelée cosige ou référece. * U système asservi : maitiet l'erreur ulle ou miimale quelles que soiet les variatios de E. Gééralemet, E est ue foctio du tems qui eut être ériodique, mais qui doit toujours rester cotiue et fiie. Il faut remarquer que les cotraites sot lus grades our u système asservi que our u régulateur, uisque aucue cotraite de vitesse de variatio 'est imosée our E Proriétés des systèmes liéaires Quad u système est liéaire, il jouit de roriétés imortates qui ermettet ue étude lus commode, e articulier le «ricie de suerositio liéaire» qui se traduit ar les relatios : Etrée Sortie Additivité : e(t) e (t) e(t) e(t) s (t) s (t) s (t) s (t) où e(t) et s(t) sot les gradeurs d'etrée et de sortie Homogééité : e(t).e(t) s(t).s(t) Ce ricie traduit le fait que les effets sot roortioels aux causes et que les causes ajoutet leurs effets Régimes trasitoires des asservissemets Défiitios Etrée Permaete Régime Permaet Régime Trasitoire Etrée d'u système dot l'exressio, e foctio du tems, est du tye costate, liéaire, arabolique ou ériodique Il est atteit ar u système quad, soumis à ue etrée ermaete, sa sortie est du même tye que l'etrée c'est-à-dire costate, liéaire, arabolique ou ériodique. Ce régime est aussi aelé régime forcé. Il corresod au foctioemet du système quad il asse d'u tye de régime ermaet à u autre. Pratiquemet, u asservissemet travaille toujours e régime trasitoire ; e effet, même u régulateur dot l'etrée est costate doit costammet reveir au régime ermaet, car des erturbatios qui costituet des etrées secodaires l'e écartet. Il e est de même our les asservissemets. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..)

11 L'atitude du servomécaisme à reveir au régime ermaet sera caractérisée ar ses erformaces dyamiques Performaces d'u système asservi * E régime ermaet : la gradeur de sortie doit être aussi voisie que ossible de la valeur désirée. E réalité, il subsiste toujours ue légère erreur. Cette erreur est aelée : - erreur statique ou écart ermaet quad la gradeur d'etrée est ue costate ; our u système idéal, elle doit être ulle. - erreur de traîage quad la gradeur d'etrée est ue foctio liéaire du tems. * E régime trasitoire : le système évoluat etre deux régimes ermaets, le tems mis ar le système our aller de l'u à l'autre et la faço dot il arviet à l'état fial, sot très imortats. - Le tems de réose est le tems au bout duquel la sortie du système a atteit, à 5 % (ou % selo la récisio voulue), sa valeur de régime ermaet et y reste (Fig. 5). - L'amortissemet : la sortie du système déasse gééralemet la valeur qu'elle doit avoir das le régime ermaet fial et elle oscille quelques istats autour de cette valeur. Les oscillatios doivet être amorties, le lus raidemet ossible. L'amortissemet est mesuré ar le coefficiet de l'exoetielle eveloe (Fig. 6). Fig. 5 : Tems de réose Fig. 6 : Amortissemet Mise e équatio d'u système - Résolutio Mise e équatio Nous avos dit récédemmet que ous ous borios à l'étude des systèmes liéaires. Doc, les équatios recotrées serot des équatios différetielles liéaires à coefficiets costats. Cosidéros u système quelcoque A, le lus gééral ossible, ossédat ue etrée e(t) et ue sortie s(t) (fig. 7). e(t) A s(t) Fig. 7 : Rerésetatio d u système quelcoque à etrée sortie Si o alique u sigal à l'etrée, o recueillera, à la sortie, u sigal qui sera liée au sigal d'etrée ar ue équatio différetielle de tye : d s ds d e de a... a a s bk... b b e dt dt k dt dt k Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..)

12 * Les coefficiets ai et bj sot les aramètres du système et ils sot sesés être cous, ce qui est le cas das la ratique our la luart des systèmes courats. Ils rerésetet diverses costates de tems et divers coefficiets de roortioalité accessibles à la mesure. * La difficulté de la mise e équatio réside surtout au iveau de la coaissace du rocessus luimême. E réalité, l'équatio différetielle à laquelle o arrive 'est souvet qu'ue aroximatio qui cosiste à égliger des termes d'ordre lus élevé. Cette récisio suffit das la luart des cas, bie qu'ue étude lus oussée soit quelque fois écessaire. * Ue fois l'équatio du système établie, il faut exrimer la valeur de la sortie e foctio du tems our coaître les régimes ermaets et trasitoires. Pour cela, il existe méthodes (voir fig. 8) : Méthode Classique Méthode Oératioelle Cosiste à résoudre l'équatio différetielle décrivat ce système, c'est à dire trouver ue réose forcée et ue réose libre our le système. Mais cette méthode e ermet as toujours de trouver ue solutio et eut ameer à ue difficulté de résolutio dès que l'ordre de l'équatio différetielle déasse. Basée sur le calcul oératioel ou, essetiellemet, sur la trasformée de Lalace qui mettra e relatio, ue foctio de la variable du tems f(t) avec ue foctio de la variable comlexe F() déedat de la ulsatio. Notatio : L [ f(t) ] = F() avec = a j.b (ombre comlexe) e(t) Méthode classique (ordre ) s(t) = L - [S()] Trasformée de Lalace du sigal d'etrée Calcul oératioel Trasformée iverse de Lalace du sigal de sortie L [e(t)] = E() S() = L [s(t)] Fig. 8 : Détermiatio de la sortie du système ar la méthode classique et ar le calcul oératioel Pour u rael sur l utilisatio de la trasformée de Lalace, voir l aexe A Utilisatio de la trasformée de Lalace E aelat S() et E() les trasformées de s(t) et de e(t), si o red la Trasformée de Lalace des deux membres de l'équatio différetielle : O aura : d s ds d e de a... a a s bk... b b e dt dt k dt dt k a S()... a S() a S() bk E()... b E() b E() b d'où : S() = a k k... b b. E()... a a k Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..)

13 Si l'o coaît l'image E() de e(t), il est facile, grâce aux tables de trasformées de Lalace, de reveir à l'origial de S(). D'ue maière géérale, cette otatio 'est valable que si : * le système est liéaire à coefficiets costats, * toutes les variables et leurs dérivées sot ulles our t < (le système art du reos absolu), * le système est dissiatif, doc sa réose ted, lus ou mois, vers u régime ermaet idéedat des coditios iitiales. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 3

14 Chaitre : NOTION DE FONCTION DE TRANSFERT - - Itroductio Raelos que : * SI ous cosidéros u système quelcoque A, le lus gééral ossible, ossédat ue etrée e(t) et ue sortie s(t) (fig. ) : e(t) A s(t) Fig. : Rerésetatio d u système quelcoque à etrée sortie * ALORS, Si o alique u sigal à l'etrée, o recueillera, à la sortie, u sigal qui sera liée au sigal d'etrée ar ue équatio différetielle de tye : d s(t) ds(t) d e(t) de(t) a... a a s bk... b b e(t) dt dt k dt dt k E aelat S() et E() les trasformées Lalace de s(t) et de e(t), si o red la Trasformée de Lalace des deux membres de l'équatio différetielle, o aura : a S()... a S() a S() bk E()... b E() b E() k b d'où : S() = a k k... b b... a a. E() Par défiitio, la FONCTION DE TRANSFERT du système de la figure ( ) est le quotiet : F() = b a k k... b b... a a C'est aussi le raort de la trasformée de Lalace de la sortie à la trasformée de Lalace de l'etrée quad toutes les coditios iitiales sot ulles. Das ce cas, o a : S() = F(). E() La Foctio de Trasfert caractérise la dyamique du système. Elle e déed que de ses caractéristiques hysiques. Aisi, doréavat, u système sera décrit ar sa foctio de trasfert et o ar l'équatio différetielle qui le régit. Notos efi, que cette foctio de trasfert est aussi aelée trasmittace ar aalogie avec l'imédace das les systèmes électriques. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 4

15 - - Foctio de trasfert d'u esemble d'élémets -. - Elémets e série (ou cascade) Soit élémets de foctio de trasfert G ()...G () mis e série (la sortie du remier est reliée à l'etrée du secod, etc...) (fig. ). E E E 3 E S S G () G () G () H() E Fig. : Coexio e série (ou cascade) de foctios de trasfert La foctio de trasfert de l'esemble est égale au roduit des foctios de trasfert de chaque élémet : H() = S() E () = G (). G ()..... G () Ceci est évidet uisque, ar défiitio, o a : G () = E (),..., G () = E () S() E () et que H() = S() E () -. - Elémets e arallèle Soiet élémets de foctio de trasfert G ()...G () mis e arallèle (fig. 3). G () E S E H() S G () Fig. 3 : Coexio e arallèle de foctios de trasfert La foctio de trasfert équivalete H() a our exressio : H() = S() E() = G () G ()... G () O eut cosidérer que S() est le résultat de la suerositio des sorties des élémets, c'est-àdire que : S() = S () S ()... S () (e vertu de la liéarité du système, les effets s'ajoutet) Doc : Chaque élémet ris, idéedammet, doera ue sortie Si () quad o lui alique l'etrée E(). Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 5

16 S() = i Si () = G (). E() G (). E()... G (). E() S() = [ G () G ()... G () ]. E() d'où : H() = G () G ()... G () Cas d'u système à etrées idéedates E E G () E Système S E G () S Fig. 4 : Système à etrées idéedates La foctio de trasfert 'a de ses qu'etre la sortie et ue etrée. Le système de la fig. 4 ourra doc se décomoser e costituats ayat la sortie e commu et our etrée chacue des etrées. O calculera les foctios de trasfert Gi () de chaque élémet e suosat ulles les etrées autres que Ei (). Ceci 'est ossible que si les différetes équatios du système e sot as coulées etre elles. Das ce cas, o eut écrire : S() = i G i (). E i () Il 'y a as de foctio de trasfert globale our le système Foctio de Trasfert e Boucle Fermée ( FTBF ) Soit u système asservi, le lus gééral, reréseté ar le schéma de la fig. 5. E _ S ' A() S B() Fig. 5 : Schéma foctioel d u système asservi (Boucle Fermée) Soit A() et B(), resectivemet, les foctios de trasfert des chaîes directe et de retour. Cherchos la foctio de trasfert du système comlet : H() = Nous avos les relatios suivates : S() E() Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 6

17 S() = A(). (), S ' () = B(). S(), () = E() S ' () S() = A(). [ E() S ' () ] = A(). [ E() B(). S() ] d'où S() = A() A().B() E() La foctio de trasfert d'u système bouclé ou e Boucle Fermée (FTBF) est doc le raort de la foctio de trasfert de sa chaîe directe à A(). B(.: H() = A() A().B() Foctio de trasfert e boucle ouverte ( FTBO ) La Foctio de Trasfert e Boucle Ouverte (égalemet aelée F.T.B.O.) est la foctio de trasfert qui lie les trasformées de Lalace de la sortie de la chaîe de retour S ' () à l'erreur (). Elle corresod à l'ouverture de la boucle (Fig. 6 ): E _ A() S B() S ' B() Fig. 6 : Schéma foctioel d'u système asservi e Boucle Ouverte Das ce cas, = E uisque le comarateur e reçoit lus qu'ue seule iformatio. O a doc : S ' () = B(). S() = B(). A(). () = B(). A(). E() d'où : S ' () () = () = A(). B() La Foctio de Trasfert e Boucle Ouverte (ou FTBO) d'u asservissemet est le roduit des foctios de trasfert de la chaîe directe ar la chaîe de retour. La foctio de trasfert e boucle ouverte a ue grade imortace das l'étude de la stabilité des systèmes ; de lus, elle est directemet accessible à la mesure. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 7

18 - 5 - Foctio de trasfert d'u système à boucles multiles Il existe des systèmes comlexes où l'o recotre, o seulemet ue chaîe de retour riciale, mais u grad ombre de chaîes de retour secodaires. Das ces asservissemets, il y a lusieurs régulateurs ou servomécaismes das ue chaîe. La figure 8 e doe u exemle. Y Y Y3 E _ A _ A _ A3 _ A4 A5 S B B4 B6 B5 Fig. 8 : Exemle de système asservi à boucles multiles Le calcul de la foctio de trasfert d'u tel système eut araître comliqué. Pour meer à bie ce calcul, il faut utiliser l'artifice suivat : au lieu de cosidérer la foctio de trasfert globale Y(), o cosidère so iverse / Y(). Y() = A() =B() A().B() Y() A() Das otre cas : B() = B 6 () trasmittace de la chaîe de retour A() trasmittace de la chaîe directe A() = A (). Y (). Y () E aliquat la même rocédure, o a : = B Y, = B 5 Y A A 3Y3 A5, = B 4 Y 3 A 4 = A AY Y = B B5 B4 A A A3A5 A4 Soit : Y() = B 6 B B5 B4 A A A3A5 A4-6 - Formes géérales de la Foctio de Trasfert d'u système liéaire Soit u système asservi reréseté ar sa foctio de trasfert de forme géérale suivate : Si N() et D() ot des racies alors : F() = B m A m... B... A N() D() N() = Bm [( z)( z).( zm)] ou N() = Bm ( z i ) D() = A [( )( ).( )] ou D() = A ( j ) m i j Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 8