MÉTHODES STATISTIQUES EXAMEN INTRA AUTOMNE 2008 Date : Dimanche 2 novembre 2008 de 14h00 à 17h00

Transcription

1 MAT 080 MÉTHODES STATISTIQUES EXAMEN INTRA AUTOMNE 008 Date : Dimache ovembre 008 de 4h00 à 7h00 INSTRUCTIONS. Détachez la feuille-réoses à la fi de ce cahier et iscrivez-y immédiatemet votre om, votre code ermaet et votre uméro de groue.. Seule la feuille-réoses doit être remise. Vous y iscrirez vos réoses sous la forme d ue lettre majuscule corresodat à votre choix. 3. Tout texte de référece (mauel, otes de cours, otes ersoelles, etc.) est iterdit. Tout cas de lagiat ou de fraude sera soumis au Comité de discilie. 4. L usage d ue calculatrice est autorisé.. L'étudiat doit lacer sa carte d'étudiat (avec hoto) sur la table et siger la feuille de résece lors de la remise de sa feuille-réoses. 6. Aucu téléhoe cellulaire sur la table. 7. Persoe e quitte la salle avat h00; ersoe est admis arès h00. Questio [++ oits] Le tableau suivat résete la distributio du ombre de salles de bais (X) das les maisos d u quartier : Nombre de salles de bais (X) 3 4 Fréquece 0,60 0,30 0,08 0,0 Détermier [Choix de réose au bas de la age]. -a) La moyee arithmétique de X; -b) la médiae de X ; -c) la variace σ de X. Questio [+++ oits] Suosos que les reveus des méages d ue très grade oulatio sot de loi ormale de moyee $ et d écarttye 000 $. -a) Détermier la robabilité que le reveu d u méage tiré au hasard das cette oulatio soit iférieur à $. -b) O tire u échatillo aléatoire simle de 36 méages. Quelle est la robabilité que le reveu moye des méages de l échatillo soit iférieur à $? -c) O tire u échatillo aléatoire simle de 36 méages afi d estimer la moyee µ de la oulatio (ar la moyee y de l échatillo.) Quelle est la robabilité de surestimer µ de lus de 000 $? -d) Quelle devrait être la taille d u échatillo tiré das cette oulatio si o veut que la robabilité de surestimer µ de lus de 000 $ soit de %? Questio 3 [+ oits] La roortio de boulos défectueux das u très grad lot est de %. O tire les boulos l u arès l autre. a) Quelle est la robabilité de trouver exactemet boulos défectueux armi les remiers tirés? b) Quelle est la robabilité que boulos aiet été tirés au momet où l o observe le remier boulo défectueux? Questio 4 [ oits] O forme au hasard ue équie de 4 ersoes à artir d u groue de 3 femmes et hommes. Quelle est la robabilité que toutes les femmes se retrouvet das l équie? Réoses, questios à 4 [Choisir l itervalle qui cotiet votre réose] : A B C D E F 0,0-0,08 0,03-0,04 0,048 0,049 0,0-0,0 0,069-0,07 0,9 0,34 G 0,43-0,49 H 0,-0,9 I 0,8-0,89 J 0,79-0,30 K 0,40-0,46 L 0,7-0,30 M N O P Q R 0,34 0, 0,68-0,7 0,88 0,9 0,9-0,94 0,98-,0,-,7 S T U V W X,0-,4,4-,6 4, 4, Aucue de ces réoses Blac

2 age de 4 Questio [6+6 oits] D ue oulatio de 80 méages o tire sas remise u échatillo de 0 méages. Le ombre moye µ de ersoes das les méages de la oulatio est icoue; das l échatillo, le ombre moye de ersoes das les 0 méages est y = 3, et l écart-tye (corrigé) est s =,. Détermier -a) la limite iférieure d u itervalle de cofiace our µ et -b) la limite suérieure d u itervalle de cofiace our µ. [Choix de réose au bas de la age]. Questio 6 [ oits] Pour chacue des variables aléatoires X suivates, détermier la variace de X : [Choix de réose au bas de la age]. Cotexte Variable aléatoire 6-a) Das ue boulagerie, le ombre de ais vedus etre 9:00 et :00 est ue variable de loi de Poisso de aramètre λ = 8. Le rix d u ai est,30 $. X = La valeur totale des ais vedus etre 9:00 et :00 demai mati. 6-b) Albert, gardie de sécurité, a ue chace sur 3 d être affecté au quart du jour (8 heures, ayées à $/heure), et chaces sur 3 d être affecté au quart du soir (8 heures à $/heure). 6-c) Vous tirez 6 magues d u grad lot dot les oids ot u écart-tye de grammes. 6-d) Vous achetez actios d u titre dot le rix le mois rochai est ue variable aléatoire d écart-tye σ = 4 $. 6-e) Huit emloyés d u magasi, 3 femmes et hommes, doivet désiger l u d eux chaque soir our aller déoser les recettes à la baque. Le choix est fait chaque jour e tirat u om au hasard, toujours armi les 8. 6-f) Même cotexte qu e e). 6-g) Ue etrerise de réfectio de briques offre ue estimatio gratuite à tous ceux qui le demadet. E moyee, 60 % des estimatios sot ifructueuses (e doet as lieu à u cotrat). 6-h) Même cotexte qu e g). L etrerise estime que chaque visite ifructueuse lui coûte 0 $ 6-i) Même cotexte qu e h). 6-j) D ue oulatio de 80 méages o tire sas remise u échatillo de 0 méages. Le ombre de ersoes das les méages de la oulatio ot u écart-tye (corrigé) de S =,. X = Le gai d Albert à la fi d u quart de 8 heures. X = Le oids moye des 6 magues. X = La valeur totale le mois rochai des actios. X = Le ombre de jours où ue femme est choisie avat qu u homme le soit our la remière fois. X = Le ombre de fois où ue femme est choisie les rochais 0 jours. X = Le ombre d estimatios ifructueuses au momet où l etrerise obtiet so 3 e cotrat. X = Le coût total des visites ifructueuses arès 8 estimatios. X = Le coût total des visites ifructueuses au momet où l etrerise obtiet so 3 e cotrat. X = Le ombre moye de ersoes das les 0 méages de l échatillo. Réoses, questios et 6 [Choisir l itervalle qui cotiet votre réose]: A B C D E F 0,0-0,0 0, - 0, 0,7 0,73 0,9-0,97,86,89,3 -,4 G H I J K L, -,6 3,3-3, 3,7 4,, -,3 9,0 9,3 3,0 -,0 M N O P Q R 4, - 4, S T U V W X Aucue de ces réoses Blac

3 Page 3 de 4 Questio 7 [+++++ oits] Au momet de leur admissio à u certai rogramme uiversitaire, les étudiats se fot coseiller fortemet de suivre MAT000, u cours de rattraage e mathématiques, avat de suivre le redouté cours de statistique, MAT800. Certais le fot, d autres as. Afi d évaluer l utilité du MAT000, l uité de rogramme rocède à ue aalyse des résultats obteus au MAT800 ar ue cohorte de 00 étudiats. O calcule les moyees et écarts-tyes des otes (au MAT800) arès avoir séaré les étudiats e deux groues, selo qu ils ot ou as suivi MAT000 : Résultats au cours MAT800 (Y) Groue Effectif Moyee ( y ) Groue : Ot suivi le MAT Groue : N ot as suivi le MAT a) Détermier la moyee y au cours MAT800 de tous les étudiats de la cohorte. Les résultats e 7-a) semblet motrer que le cours MAT000 est uisible : ceux qui l ot suivi réussisset mois bie que ceux qui e l ot as suivi. Mais o sait qu au déart, les étudiats qui ot choisi de suivre le cours étaiet lus faibles e mathématiques (selo u test diagostique de mathématiques géérales comosé ar tous les étudiat avat d être admis.) O voudrait doc comarer les deux groues e teat comte de ce fait. Voici les moyees x au test de mathématiques géérales et les droites des moidres carrés exrimat la relatio etre Y (ote au cours MAT800) et X (ote au test de mathématiques géérales) Groue Moyee Droite des moidres carrés MAT000 ( x ) Y = b o + b X Groue : Ot suivi le cours MAT000 0 Y = + 0,7X Groue : N ot as suivi le cours MAT Y = + 0,7X 7-b) Détermier la différece de moyees e statistique etre les deux groues (Groue Groue ) à l aide de moyees ajustées ajustées our teir comte des différeces das les atitudes mathématiques iitiales. 7-c) Soit x A et x B les otes obteues au test de mathématiques géérales ar, resectivemet, Amélie et Berard, iscrits au cours de statistique; et soit y A et y B les otes qu ils obtiedrot e statistique. 7-c)-(i) Estimer y A sous l hyothèse qu Amélie a suivi le cours MAT000 et a obteu x A = 0. 7-c)-(ii) Estimer la différece y A - y B sous l hyothèse que x A = x B, qu Amélie a suivi le cours MAT000 et Berard as. 7-c)-(iii) Estimer la différece y A - y B sous l hyothèse que x A = x B +0, qu Amélie a suivi le cours MAT000 et Berard as. 7-c)-(iv) Berard, qui a as suivi le cours MAT000 a eu 70 % e MAT800. Estimer la ote qu il aurait eue s il avait suivi les cours MAT000. Réoses, questio 7 [Iscrire la lettre qui corresod à votre réose]: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R Aucue de ces réoses Blac

4 age 4 de 4 Questio 8 [+++++ oits] Das ue comagie qui ossède lusieurs usies de fabricatio d u même aareil électroique, u aalyste étudie la relatio etre le iveau de roductio (ombre moye d aareils roduits ar jour, X) d ue usie, et le taux de défectuosité (roortio d aareils défectueux, Y.) Pour chacue des valeurs du coefficiet de corrélatio r et de Z = r r (coloe de gauche) dites laquelle des coclusios éocées à droite est justifiée. Valeurs de r et de Z 8-a) r = 0,0; Z = 3 8-b) r = 0,9; Z = 3 8-c) r = 0,9; Z = 8-d) r = -0,8; Z = 3 8-e) r = -0,9; Z = -3 8-f) r = 0,9; Z = 0,9 Coclusios C O eut rédire le taux de défectuosité à artir du iveau de roductio, mais la rédictio e sera as très récise. C La relatio observée das l échatillo est faible, et robablemet accidetelle. Il est iutile d essayer de rédire le taux de défectuosité à artir du iveau de roductio. C 3 O ourra rédire avec récisio le taux de défectuosité à artir du iveau de roductio. C 4 Les valeurs de r et de Z sot cotradictoires il y a erreur de calcul. C Bie que la relatio observée das l échatillo soit forte, elle est robablemet accidetelle. Il est iutile d essayer de rédire le taux de défectuosité à artir du iveau de roductio. Réoses, questio 8 : La coclusio suivate est justifiée ar les valeurs de r et de Z : A B C D E F C C C 3 C 4 C Aucue Blac

5 Brouillo

6 Brouillo

7 Brouillo

8 Loi ormale Page Table de la loi ormale Surfaces à gauche du oit z z 0,09 0,08 0,07 0,06 0,0 0,04 0,03 0,0 0,0 0,00-4,00 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000-3,90 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000-3,80 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000-3,70 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000-3,60 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000-3,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000-3,40 0,000 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003-3,30 0,0003 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,000 0,000 0,000-3,0 0,000 0,000 0,000 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0007 0,0007-3,0 0,0007 0,0007 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0009 0,0009 0,0009 0,000-3,00 0,000 0,000 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,003 0,003 0,003 -,90 0,004 0,004 0,00 0,00 0,006 0,006 0,007 0,008 0,008 0,009 -,80 0,009 0,000 0,00 0,00 0,00 0,003 0,003 0,004 0,00 0,006 -,70 0,006 0,007 0,008 0,009 0,0030 0,003 0,003 0,0033 0,0034 0,003 -,60 0,0036 0,0037 0,0038 0,0039 0,0040 0,004 0,0043 0,0044 0,004 0,0047 -,0 0,0048 0,0049 0,00 0,00 0,004 0,00 0,007 0,009 0,0060 0,006 -,40 0,0064 0,0066 0,0068 0,0069 0,007 0,0073 0,007 0,0078 0,0080 0,008 -,30 0,0084 0,0087 0,0089 0,009 0,0094 0,0096 0,0099 0,00 0,004 0,007 -,0 0,00 0,03 0,06 0,09 0,0 0,0 0,09 0,03 0,036 0,039 -,0 0,043 0,046 0,00 0,04 0,08 0,06 0,066 0,070 0,074 0,079 -,00 0,083 0,088 0,09 0,097 0,00 0,007 0,0 0,07 0,0 0,08 -,90 0,033 0,039 0,044 0,00 0,06 0,06 0,068 0,074 0,08 0,087 -,80 0,094 0,030 0,0307 0,034 0,03 0,039 0,0336 0,0344 0,03 0,039 -,70 0,0367 0,037 0,0384 0,039 0,040 0,0409 0,048 0,047 0,0436 0,0446 -,60 0,04 0,046 0,047 0,048 0,049 0,00 0,06 0,06 0,037 0,048 -,0 0,09 0,07 0,08 0,094 0,0606 0,068 0,0630 0,0643 0,06 0,0668 -,40 0,068 0,0694 0,0708 0,07 0,073 0,0749 0,0764 0,0778 0,0793 0,0808 -,30 0,083 0,0838 0,083 0,0869 0,088 0,090 0,098 0,0934 0,09 0,0968 -,0 0,098 0,003 0,00 0,038 0,06 0,07 0,093 0, 0,3 0, -,0 0,70 0,90 0,0 0,30 0, 0,7 0,9 0,34 0,33 0,37 -,00 0,379 0,40 0,43 0,446 0,469 0,49 0, 0,39 0,6 0,87-0,90 0,6 0,63 0,660 0,68 0,7 0,736 0,76 0,788 0,84 0,84-0,80 0,867 0,894 0,9 0,949 0,977 0,00 0,033 0,06 0,090 0,9-0,70 0,48 0,77 0,06 0,36 0,66 0,96 0,37 0,38 0,389 0,40-0,60 0,4 0,483 0,4 0,46 0,78 0,6 0,643 0,676 0,709 0,743-0,0 0,776 0,80 0,843 0,877 0,9 0,946 0,98 0,30 0,300 0,308-0,40 0,3 0,36 0,39 0,38 0,364 0,3300 0,3336 0,337 0,3409 0,3446-0,30 0,3483 0,30 0,37 0,394 0,363 0,3669 0,3707 0,374 0,3783 0,38-0,0 0,389 0,3897 0,3936 0,3974 0,403 0,40 0,4090 0,49 0,468 0,407-0,0 0,447 0,486 0,43 0,4364 0,4404 0,4443 0,4483 0,4 0,46 0,460 0,00 0,464 0,468 0,47 0,476 0,480 0,4840 0,4880 0,490 0,4960 0,000

9 Loi ormale Page Table de la loi ormale Surfaces à gauche du oit z z 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,0 0,06 0,07 0,08 0,09 0,00 0,000 0,040 0,080 0,0 0,60 0,99 0,39 0,79 0,39 0,39 0,0 0,398 0,438 0,478 0,7 0,7 0,96 0,636 0,67 0,74 0,73 0,0 0,793 0,83 0,87 0,90 0,948 0,987 0,606 0,6064 0,603 0,64 0,30 0,679 0,67 0,6 0,693 0,633 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,67 0,40 0,64 0,69 0,668 0,6664 0,6700 0,6736 0,677 0,6808 0,6844 0,6879 0,0 0,69 0,690 0,698 0,709 0,704 0,7088 0,73 0,77 0,790 0,74 0,60 0,77 0,79 0,734 0,737 0,7389 0,74 0,744 0,7486 0,77 0,749 0,70 0,780 0,76 0,764 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,783 0,78 0,80 0,788 0,790 0,7939 0,7967 0,799 0,803 0,80 0,8078 0,806 0,833 0,90 0,89 0,886 0,8 0,838 0,864 0,889 0,83 0,8340 0,836 0,8389,00 0,843 0,8438 0,846 0,848 0,808 0,83 0,84 0,877 0,899 0,86,0 0,8643 0,866 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,880 0,8830,0 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,89 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,90,30 0,903 0,9049 0,9066 0,908 0,9099 0,9 0,93 0,947 0,96 0,977,40 0,99 0,907 0,9 0,936 0,9 0,96 0,979 0,99 0,9306 0,939,0 0,933 0,934 0,937 0,9370 0,938 0,9394 0,9406 0,948 0,949 0,944,60 0,94 0,9463 0,9474 0,9484 0,949 0,90 0,9 0,9 0,93 0,94,70 0,94 0,964 0,973 0,98 0,99 0,999 0,9608 0,966 0,96 0,9633,80 0,964 0,9649 0,966 0,9664 0,967 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706,90 0,973 0,979 0,976 0,973 0,9738 0,9744 0,970 0,976 0,976 0,9767,00 0,977 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,98 0,987,0 0,98 0,986 0,9830 0,9834 0,9838 0,984 0,9846 0,980 0,984 0,987,0 0,986 0,9864 0,9868 0,987 0,987 0,9878 0,988 0,9884 0,9887 0,9890,30 0,9893 0,9896 0,9898 0,990 0,9904 0,9906 0,9909 0,99 0,993 0,996,40 0,998 0,990 0,99 0,99 0,997 0,999 0,993 0,993 0,9934 0,9936,0 0,9938 0,9940 0,994 0,9943 0,994 0,9946 0,9948 0,9949 0,99 0,99,60 0,993 0,99 0,996 0,997 0,999 0,9960 0,996 0,996 0,9963 0,9964,70 0,996 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,997 0,997 0,9973 0,9974,80 0,9974 0,997 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,998,90 0,998 0,998 0,998 0,9983 0,9984 0,9984 0,998 0,998 0,9986 0,9986 3,00 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,0 0,9990 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,9993 0,9993 3,0 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,999 0,999 0,999 3,30 0,999 0,999 0,999 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,40 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 3,0 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 3,60 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,70 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,80 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,90,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000 4,00,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000

10 Formulaire Moyee arithmétique : Pour ue série de doées : y = (/) y i Pour ue distributio : y = y i i i = = yf i i Variace : Pour ue série de doées: σ = ( y i i y = ) Pour ue distributio: σ = ( y i i y ) f = i Écart-tye : racie carrée de la variace. 3 Écart-tye corrigé : s = ( y ) i y = Formulaire MAT080 Exame Itra σ. 4 Covariace : ( xi x )( yi y ) σ xy = ; Covariace corrigée : s xy = ( xi x )( yi y ) Coefficiet de corrélatio : σxy r = σxσ = sxy y sxs. y 6 Coefficiets de la droite des moidres carrés y = b o + b x: σxy s xy b = =, b o = y - b x. σ x s x 7 Statistique Z our tester l'idéedace: r Z = r 8 Esérace mathématique d ue variable aléatoire X : E(X) = µ = ( ) x x x. 9 Variace d ue variable aléatoire X : Var(X) = ( ) x µ x ( ). x 0 L écart-tye de la moyee y d u échatillo de taille tiré sas remise d ue oulatio de taille N est N S σ y = ( y µ ) i, où S = est N N estimé ar s = ( ) y i i y = 0 Lois discrètes Distributio Modalités de X Pr(X = x) E(X) Var(X) Biomiale B( ; ) x x (-) -x (-) Poisso P(λ) Hyergéométrique H( ; N ; N ) Géométrique G() Biomiale égative B - ( ; ) Multiomiale M(;,, k ) x {0,,, } ( ) x {0,,, } 0 x N 0 - x N x {,, } x x {, +, +, } ( ) x i {0,,,, } e λ λ x λ λ x! N N, x x N N q N = N, N q = - ( )( ) ( ) q x-, q = - P(X > x) = q x x,..., x (-) x- x + x + + x k = ( ) k x... x k k q q E(X i ) = i Soit X ~ B( ; ), > 30, >, q >. Alors X ~ N( ; q), aroximativemet.. Var(X i ) = i (- i )

11 Feuille-réoses Exame de mi-sessio A08 Feuille-réoses (versio blache) /00 Ne rie écrire ici Nom : Préom : Code ermaet : Groue: Questio Réose Questio Réose -a) -b) -c) -a) -b) -c) -d) 3-a) 3-b) S Q L P N H W J A 4 E -a) -b) 6-a) 6-b) 6-c) 6-d) 6-e) G I M O L T D f) 6-g) 6-h) 6-i) 6-j) 7-a) 7-b) 7-c)-(i) 7-c)-(ii) 7-c)-(iii) 7-c)-(iv) 8-a) 8-b) 8-c) 8-d) 8-e) 8-f) F J Q U B J C ou R H C E N A C E D C E Blac