CHAPITRE III : DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS INCOMPRESSIBLES
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- Eléonore Morency
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1 CHAPITRE III : DYNAMIQUE DE FLUIDE PARFAIT INCOMPREIBLE Pré-requis : Généralités sur les fluides et l hydrostatique. Théorème de l énergie cinétique Objectifs spécifiques : A la fin de ce chapitre l étudiant doit être capable d appliquer le théorème de Bernoulli pour un écoulement permanent d un fluide parfait incompressible avec ou sans échange d énergie. 7
2 CHAPITRE III : DYNAMIQUE DE FLUIDE PARFAIT INCOMPREIBLE I Généralités : La dynamique des fluides est la science qui s intéresse au comportement des fluides en mouvement. On considère que les fluides étudiés sont parfaits et incompressibles (On ne tiendra pas compte des effets de viscosité µ = 0 et ρ = cte) ) Ecoulement permanent ou stationnaire : Un écoulement est dit permanent ou stationnaire, si les paramètres qui caractérisent le fluide (pression, vitesse, température, masse volumique) sont indépendants du temps en chacun des points de l écoulement. ) Ligne de courant, tube de courant : Une ligne de courant est une ligne tangente en tous ces points au vecteur vitesse des particules qui se trouvent sur cette ligne au moment donné. L ensemble des lignes de courant s appuyant sur un contour fermé forme le tube de courant. Ligne de courant Génie des Procédés 8 Bouzid lim
3 Tube de courant Contour fermé ligne de courant Remarque : En écoulement permanent, la ligne de courant et la trajectoire se coïncident. 3) Débit : Le débit est la quantité de fluide écoulée pendant le temps t. La quantité peut être définie par un volume ou une masse. Par conséquent on défini alors : Débit volumique : Q v = volume temps en [m 3 /s] Débit massique : Q m = Masse temps en [Kg/s] On a : ρ = masse / volume Q m = ρ. Q v Autre définition du débit : Pour un fluide traversant une section avec un vecteur vitesse V ρ Q v = ρ ρ V nds n ρ vecteur unitaire normal à Dans la pratique on s intéresse à la vitesse moyenne V m dans une section donnée. Q v = V m. Génie des Procédés 9 Bouzid lim
4 La vitesse moyenne V m est appelée aussi vitesse débitante V m : vitesse moyenne (m/s) Q : Débit volumique (m 3 /s) : section (m ) V m = Q v II Conservation du débit : Le long d un tube de courant, le débit volumique d un fluide incompressible se conserve. V - V Qv = Q v = Q v = V. = V. Puisque le fluide est incompressible ρ = cte : Q m = ρ. Q v Q m = Q m = Q m = ρ.v. = ρ.v. III Théorème de BERNOULLI : ) Théorème de Bernoulli : oit un écoulement permanent d un fluide parfait incompressible dans une conduite.les deux section et délimitent à l instant t une certaine masse de fluide.les caractéristiques du fluide à l instant t sont : - En : ρ, v, p et z - En : ρ, v, p et z Génie des Procédés 30 Bouzid lim
5 A l instant (t + dt), cette masse se déplace et se trouve entre deux sections et. On A donc dm = dm = dm s s s s Z Z Appliquons le théorème de l énergie cinétique à dm : (La variation de l énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces extérieures) E c ( dm) = W La variation de l énergie cinétique : E c ( dm) = dm( v ² v ²) Travail de force de pesanteur : Wp = ( z z ). g. dm Travail des forces intérieures est nul car le fluide est parfait ( µ = 0 ) Travail des forces de pression : ur : W p = Fp.x = ur : W p = - Fp.x = p. v. dt. p. v. dt. ur surface latérale : W pl = 0 dm.( v ² v ²) = p.. v. dt p.. v. dt+ ( z z). g. dm dm. ρ.( v² v ²) = p. ρ.. v. dt p. ρ.. v. dt+ ( z z). ρ. g. dm Or, d après l équation de conservation du débit : dm = ρ.. v. dt = ρ.. v. dt Donc dm. ρ.( v ² v ²) = p. dm p. dm + ( z z ). ρ. g. dm p + v ² v ² ρ. g. z + ρ = p + ρ. g. z + ρ Génie des Procédés 3 Bouzid lim
6 v² p +. g. z + ρ = Cte ρ en (P a ) () Les termes de cette équation sont des énergies par unité de volume (J/m 3 ), ce sont aussi des termes de pression (P a ). En effet, J/ m 3 = N m/m 3 = N/m =P a Donc le théorème de Bernoulli traduit la conservation de l énergie par unité de volume. p : Pression statique : C est la grandeur que l on mesure par exemple par un manomètre ou l énergie potentielle de pression/ unité de volume. ρgz : Energie potentielle de position par unité de volume ρv : Energie cinétique par unité de volume ou pression dynamique La quantité (p+ρgz+ ρv ) est appelée aussi la charge du fluide. ) Autres formes du théorème de Bernoulli : En divisant toute l expression () par ρg, on obtient : v² p z + + = g. g Cte ρ ( en m ) Tous les termes sont des hauteurs unité le mètre (m) ou de l énergie par unité de poids. (J/N = N.m/N = m) En divisant toute l expression () par ρ, on obtient : p v ² + g. z + = Cte ρ ( en J/kg ) Tous les termes sont des énergies par unité de masse. Génie des Procédés 3 Bouzid lim
7 3) Application du théorème de Bernoulli : a- Vitesse de vidange d un réservoir Grand réservoir de section Petit orifice de vidange de section s. Hypothèse : >>s Niveau constant h= cte Le long de la ligne de courant on applique le théorème de Bernoulli : p +ρgz + ρ V = p +ρgz + ρ V La vitesse de vidange est V = V V (p p ) = + g (z -z ) + V ρ Réservoir ouvert à l air libre p = p atm ortie du liquide à l air libre p = p atm z -z = h plan de référence D où V = gh + V Puisqu il y a écoulement V 0 La conservation du débit donne Q = V = V s V = V s s >> s 0 V 0 d où V = 0 V = gh La vitesse de vidange est donc V = gh : Formule de Torricelli En réalité, la vitesse de vidange est plus faible, elle dépend de la viscosité et la forme de l orifice de vidange. Génie des Procédés 33 Bouzid lim
8 b- Mesure du débit dans une conduite à l aide du tube de VENTURI p +ρgz + ρ V = p +ρgz + ρ V Q = V = V V =V ρ ( V - V ) = p -p +ρg (z -z ) Dans ce cas : z -z = 0 conduite horizontale ρ V [ ( ) ] = p p V = (p p ) ρ[( ) ] On connaît les caractéristiques des sections et. Il suffit de mesurer la différence de pression (p -p ) grâce à un tube en U contenant un liquide manométrique, on aura le débit volumique : Q = (p ρ [( ) p ) ] Génie des Procédés 34 Bouzid lim
9 V- Fluide parfait traversant une machine hydraulique : ) conservation de l énergie : p, Q P P V ρ, Q P Z V M Hyd V Z Z Machine hydraulique : * Réceptrice : turbine * Génératrice : pompe Plan de référence horizontal La turbine transforme l énergie hydraulique du liquide en énergie mécanique. La pompe transforme l énergie mécanique fournie par un moteur en énergie hydraulique. Concéderons une machine hydraulique parcourue par un débit Q d un fluide de masse volumique ρ.la conservation de l énergie s écrit : p +ρgz + ρ V = p +ρgz + ρ V ± E E : Quantité positive (unité : Pascal), c est l énergie par unité de volume fournie par une pompe au liquide ou absorbée par une turbine. On écrira : + E pour une M. réceptrice - E pour une M. Génératrice ) Puissance mise en jeu : o Puissance hydraulique : P hyd = E x Q (w) (Pa) (m 3 /s) Génie des Procédés 35 Bouzid lim
10 o Cas d une pompe : Pmec Pélec M P Phyd ηm ηp η m et η p sont respectivement les rendement du moteur électrique et de la pompe Puissance mécanique : Puissance électrique : P mec = P hyd /η p (w) P élec = P mec /η m = P hyd /(η p.η m) = E.Q/(η p.η m) (w) o Cas d une turbine Phyd T Pmec P méca = P hyd. η T (w) η T : Rendement de la turbine Remarque : Pour les applications numériques, on doit utiliser les unités du.i., mais le résultat final peut être donné dans un autre système. Quand on applique la conservation de l énergie : - on doit respecter le sens de l écoulement - on peut travailler avec les pressions effectives ou absolues (si p est effective alors p doit être effective et si p est absolue alors p doit être absolue) Génie des Procédés 36 Bouzid lim
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