ONDES. Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que :

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1 Spé ψ Devoir n 8 ONDES Le problème, consacré à l acoustique d un silencieu automobile, se décompose en trois volets : la première partie développe l étude générale d une onde acoustique dans un fluide parfait, la seconde partie, plus particulièrement orientée vers l adaptation de l impédance, est relative au phénomène de réfleion et transmission de l onde en incidence normale, la troisième partie propose un modèle simplifié du silencieu d échappement Remarques préliminaires importantes : il est rappelé au candidat(e)s que : les eplications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques ; les résultats eprimés sans unité ne seront pas comptabilisés ; tout au long de l énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet d aider à la compréhension du problème mais ne donnent pas lieu à des questions ; tout résultat fourni dans l énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s il n a pas été démontré par le(la) candidat(e) Sur un véhicule à moteur, le silencieu est un système conçu pour limiter le bruit produit par les gaz d échappement Le traitement de ces bruits a considérablement progressé ces dernières années Dans la hiérarchie des nuisances sonores, il est passé derrière les bruits produits par le rayonnement du moteur, la vibration des accessoires, le fonctionnement du ventilateur de refroidissement et le roulage des pneus PREMIÈRE PARTIE ONDE ACOUSTIQUE DANS UN FLUIDE PARFAIT Le fluide est supposé parfait, son mouvement est décrit sans prendre en compte les effets de viscosité et les échanges thermiques à l intérieur du fluide Les détentes et compressions locales du fluide sont isentropiques ; V(P) étant le volume du fluide et P sa pression, le coefficient de compressibilité isentropique, constant pour le fluide, s écrit : χ S = 1 V V P La propagation des ondes sonores est associée à un écoulement irrotationnel Les effets de pesanteur ne sont pas pris en compte Un tuyau cylindrique horizontal infini de section S 0 constante et d ae (figure 1) contient un fluide parfait compressible qui, au repos, possède une masse volumique µ 0 et se trouve à la pression P 0 et à la température T 0 Ces grandeurs sont uniformes dans l espace L équilibre est perturbé par le passage d une onde acoustique plane qui se propage dans le cylindre suivant la direction O La perturbation unidirectionnelle ne dépend ainsi que de l abscisse le long du «tuyau sonore» et du temps t Dans le milieu perturbé, u(,t) représente le déplacement à l instant t du fluide situé au repos à l abscisse u(,t) S u(+d,t) e O ' Figure 1 +d Spé ψ page 1/6 Devoir n 8

2 Les champs de pression et de masse volumique dans le fluide dépendent du temps et de l espace ; ils peuvent s écrire sous la forme : P(,t) = P 0 + p(,t) p(, t) << P 0 µ (,t) = µ 0 + µ 1 (,t) µ 1 (, t ) << µ 0 La vitesse acoustique, ou vitesse vibratoire en un point d abscisse, est liée au déplacement du fluide et définie par : v(, t) = e u(, t) t L étude est effectuée dans le cadre de «l approimation acoustique» limitée au mouvements de faible amplitude : le déplacement u(,t), la vitesse acoustique v(, t ), la pression acoustique (ou surpression) p(,t) et la variation de masse volumique du fluide µ 1 (,t) ainsi que leurs dérivées sont des infiniment petits du premier ordre A / CÉLÉRITÉ DU SON La linéarisation consiste à ne garder dans les équations que les termes d ordre un en p, v et µ 1 A1 En appliquant le principe fondamental de la dynamique à la tranche de fluide de volume S 0 d subissant la perturbation, établir à l ordre un l équation différentielle suivante : p v = µ 0 t A2 Eprimer l accroissement relatif δ du volume de la tranche de fluide S 0 d entre l état de 1 u repos et l état perturbé En déduire la surpression correspondante : p(, t) = et sa χ S p(,t) 1 v dérivée par rapport au temps : = t χ A3 Etablir l équation de propagation relative à la surpression p(,t) : S 2 2 p(,t) 1 p(,t) = C t Donner l epression de la vitesse de propagation C de l onde acoustique le long de l ae O en fonction de χ S et µ 0 A4 Le fluide est de l air assimilé à un gaz parfait à la température T0 = 293 K Après avoir déterminé χ S en fonction du rapport γ des capacités thermiques molaires du gaz et de la pression P 0, établir l epression de C en fonction de T 0, du rapport γ, de la masse molaire M du fluide et de la constante R des gaz parfaits Dans ces conditions, la célérité du son dans l air est Cair 1 = 340 ms A5 Comparer la célérité dans l air C air à la célérité C eau du son dans l eau dont le coefficient de compressibilité isentropique est µ 0 = 10 kgm χ S = 510 Pa et la masse volumique B / IMPÉDANCES EN ACOUSTIQUE L émetteur, en = 0, génère une vibration sinusoïdale de pulsation ω de la forme : u ( 0, t) = U cos ω t m U m représente l amplitude du déplacement L onde plane progressive qui se propage le long du tuyau supposé infini selon la direction O est représentée par : ( ) en notation réelle : u (, t) = Um cos ( ω t k ), en notation complee : u t U ep j ( t k) (, ) = m ω Spé ψ page 2/6 Devoir n 8

3 B1 Déterminer le nombre d onde k en fonction de ω et de la célérité C de l onde Que représente-t-il? Déterminer P m et V m, les valeurs maimales de p(,t) et v(, t), en fonction de ω, µ o, C et de l amplitude U m L impédance caractéristique Z du fluide où se propage l onde, est définie par le rapport p(, t) pression acoustique / vitesse acoustique suivant : Z = v (, t ) B2 Montrer que l impédance caractéristique du fluide est une constante Z C à préciser en fonction de µ o et C Donner son unité dans le Système International Calculer Z air dans le cas de l air à 20 C, sa masse volumique étant µ air = 1,3 kgm 3 B3 Comparer, sans préciser les valeurs numériques, les impédances caractéristiques d un gaz, d un liquide et d un solide B4 Eprimer l impédance caractéristique du fluide pour l onde inverse, onde plane progressive de la forme : cos u(, t) = u ω 0 t +, se déplaçant dans le sens des décroissants C L impédance acoustique Z a de la conduite est définie par le rapport de la pression acoustique sur le débit volumique du fluide Pour un tuyau de section constante S 0, elle s écrit : p(, t) Za = S0 v(, t) B5 Justifier à l aide d une analogie électrocinétique ce terme «impédance» adopté pour caractériser la propagation du son dans la conduite Donner l epression de l impédance acoustique Z d un tuyau sonore cylindrique, en fonction de sa section S 0, de la masse a volumique µ o du fluide qu il contient et de la vitesse C du son dans le fluide La puissance sonore instantanée P (, t) transportée par l onde plane progressive à travers une surface S = S e orthogonale à la direction de propagation e, est définie par : P (, t) = π (, t) i S, où π (, t ) est le vecteur densité volumique de courant d énergie ou puissance surfacique transportée : π (, t) = p(, t) v(, t) Si a (M,t) et b (M,t) sont deu fonctions sinusoïdales de même pulsation, a et b leurs représentations complees associées, alors la valeur moyenne temporelle, notée < ab >, du produit a(m,t)b(m,t), est obtenue par la relation : 1 * * R < ab > = e ab = Re a b 2 2, et en particulier < a > = a 2 * a = a a est le module de la grandeur complee a B6 Eprimer la puissance moyenne P transportée à travers une conduite de section constante S 0, en fonction de P m et de l impédance acoustique de la conduite Z a DEUXIEME PARTIE REFLEXION ET TRANSMISSION EN INCIDENCE NORMALE D / TUYAU SONORE : INFLUENCES DES FLUIDES ET D UN RACCORDEMENT Spé ψ page 3/6 Devoir n 8

4 Une conduite est constituée de deu tubes cylindriques de sections respectives S 1 et S 2, de même ae et séparés par le plan = 0 Deu fluides non miscibles se répartissent de part et d autre de ce plan (figure 2) < 0 : le fluide 1 est de masse volumique µ 1 ; le son s y propage à la célérité C 1 ; > 0 : le fluide 2 est de masse volumique µ 2 ; le son s y propage à la célérité C 2 Z a2 Z a1 ' S 1 incidente fluide 1 fluide 2 S 2 transmise réfléchie O = 0 Figure 2 Les impédances acoustiques Z a1 et Z a2 des tubes de sections respectives S 1 et S 2 sont liées au impédances caractéristiques Z 1 et Z 2 des milieu par les relations : µ C Z µ C Z Z = = pour < 0 Z = = pour > 0 a a2 S1 S1 S2 S2 Za1 avec α = Z Une onde de pression plane progressive harmonique incidente pi (, t ) se propage dans le milieu 1 selon le sens des croissants La discontinuité de l impédance au niveau du raccordement donne naissance en = 0 à : une onde de pression transmise dans le milieu 2, pt ( 0, t ) dont la puissance est P t, une onde de pression réfléchie dans le milieu 1, pr ( 0, t ) dont la puissance est P r Les pressions acoustiques incidente, transmise et réfléchie s epriment par : (, ) cos (, ) cos (, ) cos p i t = Pim ω t pt t = Ptm ω t pr t = Prm ω t + C1 C2 C1 La puissance moyenne P i est associée à l onde incidente Les coefficients de réfleion R et de transmission T en puissance sont définis par les valeurs absolues des rapports des puissances moyennes transportées : a2 r R = P P i et T = P P i t D1 Montrer que le déplacement incident, correspondant à p i (, t), s écrit sous la forme : π u i (, t) = U im cos ω t C1 2 Eprimer U im en fonction de P im, ω, C 1 et µ 1 D2 Donner les puissances moyennes transportées P i, P r et P t en fonction de P im, P rm, P tm et des impédances acoustiques des tubes, notées Z a1 et Z a2 D3 Enoncer, en les justifiant, les conditions de passage de l onde à l interface des deu fluides En déduire deu équations reliant P im, P rm, P tm et α D4 Déterminer, en fonction de α, les coefficients de réfleion et de transmission en amplitude p r (0, t) p t (0, t) de pression : r P = et t P = p (0, t) p (0, t) i i D5 Eprimer les coefficients de réfleion R et de transmission T en puissance à travers l interface en fonction du seul coefficient α Quelle relation eiste-t-il entre R et T? Que traduit-elle? Spé ψ page 4/6 Devoir n 8

5 Influence des deu milieu pour une conduite de section constante : S 1 = S 2 = S 0 La discontinuité de l impédance au niveau du raccordement est liée à la différence de nature entre les deu fluides D6 Le milieu 2 est l air, d impédance caractéristique Z air2 et le milieu 1 l intérieur du corps humain dont les constituants sont caractérisés par une impédance caractéristique Zcorps1 Zair2 Evaluer r P et t P, puis T et R Commenter Calculer l atténuation en décibel T 10 log( T) db =, correspondant au coefficient de transmission T = 1,710 3 Pourquoi le médecin utilise-t-il un stéthoscope pour écouter les battements cardiaques ou les murmures respiratoires? Donnée : log 17 1,2 Influence du raccordement des deu conduites pour un fluide unique : α = S2 S1 Un fluide de masse volumique au repos µ 0 dans lequel le son se propage à la célérité C occupe la conduite constituée des deu tubes de sections différentes S 1 et S 2 La discontinuité de l impédance au niveau du raccordement est représentée par le changement de section D7 Tracer l allure de la fonction R(α) Pour quelle valeur de α, y a-t-il adaptation de l impédance? Commenter les cas limites : S S et S S TROISIEME PARTIE MODELE SIMPLIFIE D UN SILENCIEUX D ECHAPPEMENT Le tuyau d échappement d une automobile est assimilé à une conduite cylindrique supposée infinie de section S 1 occupée par un gaz d échappement de masse volumique µ 0 au repos L epulsion de ce gaz de combustion engendre des ondes sonores désagréables pour l oreille humaine, il faut en diminuer l intensité Un filtre acoustique cylindrique, ou silencieu d échappement, de section S 2 ( S > S ) et de 2 1 longueur L, est intercalé dans la conduite (figure 5) Il est traversé par le gaz d échappement filtre acoustique epulsion du gaz : naissance de l onde sonore S 2 échappement S 1 incidente transférée S 1 Figure 5 ' 0 L C = 460 ms 1 dans l ensemble du dispositif à une tempé- Le son se propage à la célérité rature de 250 C Le bruit à assourdir est modélisé par une onde sonore incidente plane progressive harmonique de fréquence f caractérisée par la pression acoustique : p i (, t) = Pim ep j ( ω t k) La pression acoustique p t (, t) = Ptm ep j ( ω t k) obtenue à la sortie du silencieu est la superposition d une infinité d ondes sonores transmises après réfleions successives dans le filtre acoustique en = L et = 0 Dans les trois domaines, le champ des pressions associé à l onde est de la forme : ( ) ( ) p ( < 0, t) = Pim ep j ω t k + Prm ep j ω t + k ( ) ( ) L 0 p ( 0 < < L, t) = Pm ep j ω t + k + Pm ep j ωt k Spé ψ page 5/6 Devoir n 8

6 P ep j ( t k) ( ) p ( > L, t) = Ptm ep j ωt k rm ω + est la superposition d une infinité d ondes qui franchissent l interface = 0 dans le sens des décroissants, à l issue d un nombre impair de réfleions au interfaces du filtre ; 0 P ep j ( t k) m ω est la superposition d une infinité d ondes se déplaçant au sein du filtre dans le sens des croissants, transmise à l interface = 0 ou après réfleions sur l interface = 0 ; L P ep j ( t k) m ω + est la superposition d une infinité d ondes se déplaçant au sein du filtre dans le sens des décroissants, après réfleions sur l interface = L E1 Donner les epressions correspondantes du champ des vitesses v (, t) associé à l onde dans les trois domaines : v ( < 0, t), v (0 < < L, t) et v ( > L, t) 0 L E2 Ecrire les quatre relations de continuité permettant de relier P im, P rm, P m, P m et P tm pour les deu changements de section Ptm E3 En déduire le coefficient complee de transmission global t P = en amplitude de pres- P sion en fonction de S 1, S 2 et ep ( 2j kl) E4 Montrer que le facteur de transmission en énergie im * 2 P P tp T = t t = du filtre peut se mettre 1 sous la forme : T = 2 πf 1+ m sin f0 Déterminer la fréquence caractéristique f 0 en fonction de L et de la célérité C de l onde Préciser l epression de m en fonction de S 1 et S 2 E5 Tracer l allure de la fonction T(f) en précisant les valeurs des maima T ma et des minima T min ainsi que les fréquences correspondantes Comment le graphe est-il modifié lorsque S S? Préciser dans ce cas la finesse ou 2 1 ma facteur de qualité Q du filtre défini pour un facteur de réduction du bruit T = T 2 E6 Quelle est la plus courte longueur L m permettant de réduire au maimum le facteur T à une fréquence d éjection des gaz de combustion de 200 Hz? E7 L intensité sonore, pour cette fréquence et à la sortie du moteur, est de 80 db Afin de ramener ce niveau à 60 db, un silencieu de longueur L m et de diamètre d 2 est placé au milieu du tuyau d échappement de diamètre d1 = 4 cm Quelle doit être la valeur numérique de son diamètre d 2? Donnée : 20 4,5 FIN DE L ENONCE Spé ψ page 6/6 Devoir n 8