TECH. INFOTECH # 34 Solvabilité 2 : Le calcul du capital économique dans le cadre d un modèle interne. Introduction

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1 INFO # 34 dans le cadre d un modèle interne Comment les méthodes d apprentissage statistique peuvent-elles optimiser les calculs? David MARIUZZA Actuaire Qualifié IA Responsable Modélisation et Solvabilité 2 Pôle Vie Introduction La directive Solvabilité 2 qui entrera en vigueur au 1er janvier 2016 instaure une nouvelle norme de calcul quant à l exigence de fonds propres que doit détenir une compagnie d assurance. Deux types de méthodes existent pour déterminer cette exigence de fonds propres : Une méthode modulaire basée sur l application de chocs marginaux dite formule standard Une méthode basée sur l obtention de la distribution des fonds propres économiques dite modèle interne. Dans le cadre de l utilisation d un modèle interne, la méthode dite des «Simulations dans les Simulations» (SdS) est à ce jour, pour les portefeuilles d assurance-vie, une des méthodes de calcul du capital économique les plus conformes aux critères de Solvabilité 2. Comment le SCR est-il calculé à l aide de la méthode des «Simulations dans les Simulations»? Le principe général Disposer de la distribution des fonds propres de l assureur en t=1 revient à déterminer l évolution de son bilan économique entre les dates t=0 et t=1 an en fonction de la dynamique de son portefeuille. Cela revient à prédire l évolution des variables économiques (taux, actions, immobilier etc.) puis à évaluer le bilan conditionnellement à la réalisation de ces variables. Marine NIEDZWIEDZ Actuaire IA Consultante Pôle Vie Quelles simulations pour capter l évolution des variables économiques au sein du bilan? La méthode SdS consiste à effectuer deux séries de simulations imbriquées, d où son nom de «Simulations dans les Simulations». Le premier type de simulations, appelées simulations primaires, au nombre de P, permet de traduire l évolution des différentes variables économiques entre les dates t=0, date de calcul du SCR, et t=1. Ces simulations sont effectuées en univers Monde Réel : elles sont construites à partir de l observation d historiques d indices afin de donner une évolution réaliste des différentes variables. 1

2 INFO # 34 Dans un second temps, un nombre S de simulations secondaires est généré conditionnellement à l information de première période. Ces simulations secondaires permettent de valoriser le bilan économique de l assureur à un an pour chaque réalisation primaire et ainsi obtenir une distribution des valeurs de fonds propres de l assureur. Elles sont effectuées en univers Risque Neutre, c est-à-dire de manière cohérente avec les prix observés sur le marché à une date donnée afin de calculer les prix de manière «Market Consistent». L obtention de la distribution des fonds propres économiques en t=1 par la méthode SdS peut se résumer par le graphique suivant : Figure 1 - Obtention de la distribution de fonds propres économiques par la méthode SdS (Source ACTUARIS) De la distribution des fonds propres au calcul du SCR A partir de la distribution des fonds propres, l obtention du quantile empirique à 0,5% à 1 an permet d obtenir une approche précise du capital économique à l aide de la formule suivante : SCR = FP 0 B(0, 1) q 0, 5% (FP 1 ) Où B(0, 1) est la valeur actuelle d une obligation zéro-coupon de maturité 1 an, FP 0 est la valeur des fonds propres en 0 et q 0, 5% (FP 1 ) est le quantile à 0, 5% des fonds propres à 1 an. Les difficultés rencontrées et les alternatives proposées L approche des Simulations dans les Simulations conduit à des temps de calculs conséquents (plusieurs jours) allant jusqu à compromettre son applicabilité au sein de certaines compagnies. Il apparaît ainsi nécessaire pour un assureur de développer des méthodes qui permettraient de diminuer significativement le nombre de simulations requises tout en arrivant à un résultat proche de celui obtenu par une méthode SdS. 2

3 INFO # 34 Comment approcher autrement le quantile à 0, 5%? Les assureurs se tournent actuellement vers différents types de méthodes afin d estimer à moindre coût le capital économique. En premier lieu, l optimisation du SdS peut conduire à utiliser des approches paramétriques qui consistent à exprimer les fonds propres économiques à l aide de fonctions simples. L objectif est d obtenir une expression décrivant le comportement des fonds propres économiques à un horizon de temps donné en fonction des différents facteurs de risque auxquels est exposée la compagnie d assurance : FP t = f t (Risque t1 Risque tn ) Ces facteurs de risque peuvent être par exemple liés aux marchés financiers (risque de taux, immobilier, action ) ou à l activité d assurance (baisse des primes, hausse de la fréquence des sinistres). Parmi les principales méthodes qui permettent d obtenir une approximation de la distribution des fonds propres économiques à l aide d une forme paramétrique, c est-à-dire à l aide d une formule fermée, on trouve dans la littérature la méthode Least Square Monte Carlo ou la méthode de Curve Fitting. En second lieu, il existe un autre type de méthode qui repose sur l'idée suivante : pour approximer le capital économique il n'est pas nécessaire de connaître précisément l'ensemble de la distribution des fonds propres à un an mais uniquement le quantile à 0,5% de cette distribution. Pour disposer de ce quantile, il est nécessaire d identifier précisément les [P x 0, 5%] pires scénarios, où P est le nombre de scénarios primaires et de leur allouer un grand nombre de simulations secondaires afin d obtenir une estimation précise des valeurs de fonds propres associés. Le reste des scénarios primaires se voit attribuer peu de simulations : cela permet donc de réduire le nombre de simulations total et par conséquent le temps de calcul du SCR. Des méthodes d apprentissage statistique pour estimer les pires scénarios L'objectif de ces méthodes d apprentissage statistique est d identifier les scénarios les plus exposés aux risques. Pour cela elles utilisent l information contenue dans les scénarios de première période. En effet, chaque simulation primaire repose sur la projection de facteurs de risque entre les dates 0 et 1. Le cas d illustration le plus simple s effectue dans un espace à deux dimensions : en représentant dans l'espace nos scénarios primaires en fonction de leurs facteurs de risque actions et taux, on remarque que les scénarios les plus risqués et le quantile à 0,5% sont localisables dans l espace. Figure 2 - Exemple de répartition des scénarios de fonds propres en fonction de leurs facteurs de risque (Source ACTUARIS) 3

4 INFO # 34 Sur ce graphique, on remarque que les scénarios les plus adverses de fonds propres projetés en fonction de leurs facteurs taux et actions se situent en périphérie du nuage de point. En effet, l'ensemble des triangles rouges représentant les situations les plus adverses en termes de solvabilité et correspondent à des situations de facteur action faibles et de facteur taux élevés. Partant de ce constat, l utilisation des méthodes d apprentissage statistique permet de délimiter la zone qui englobe ces scénarios les plus adverses sans réaliser un grand nombre de simulations primaires et secondaires. Zoom sur une méthode d apprentissage statistique : Les Supports vecteurs machines Les Supports Vecteurs Machines (SVM) sont un ensemble de techniques d'apprentissage supervisé destiné à résoudre des problèmes de classification. L'application assurantielle des SVM a pour objectif de localiser la zone contenant les scénarios primaires les plus risqués en fonction des facteurs de risque qui les caractérisent. Pour délimiter cette zone, les SVM utilisent ce qu'on appelle une base d'apprentissage. Cette base d apprentissage est composée d un faible nombre de simulations primaires. Pour chacune de ces simulations, les fonds propres associés sont estimés à l aide de simulations secondaires. Il est alors possible de classer ces fonds propres et d associer à chacun d entre eux une donnée binaire : par exemple, les pires valeurs de fonds propres, c est-à-dire les scénarios primaires le plus risqués se voient attribuer la classe 1 tandis que les moins risqués seront associés à la classe -1. A partir de cette base d'apprentissage, la théorie des SVM va étalonner une fonction de décision permettant de séparer dans l'espace les scénarios associés à la classe 1 et -1 en cherchant un hyperplan séparateur optimal. Pour illustrer cette idée, dans un cas à deux dimensions, si les données sont linéairement séparables, l'hyperplan séparateur est une droite : Figure 3 - Illustration de l'utilisation des SVM dans un cas linéairement séparable à deux dimensions (Source ACTUARIS) Cependant, dans la grande majorité des cas le problème n est pas linéairement séparable. Il est cependant possible de discriminer les scénarios primaires en les transportant par une application non linéaire dans un espace de plus grande dimension où il sera alors possible de les séparer linéairement par un hyperplan. 4

5 INFO # 34 Graphiquement, dans un cas à deux dimensions, une séparation optimale à l'aide d'un noyau (ici un noyau gaussien) peut-être illustrée par le graphique ci-dessous où l on se rend compte que les supports vecteurs machines sont capables de distinguer deux zones distinctes de scénarios : Figure 4 représentation de la séparation des scénarios primaires dans la base d apprentissage par les SVM (Source ACTUARIS) Sur ce graphique, la zone bleue concentre les scénarios les plus risqués (associés à la classe 1) tandis que la zone rose délimite les scénarios les moins risqués (associés à la classe -1). Les points colorés en noirs représentent les vecteurs supports, c est à dire les scénarios les plus proches de l hyperplan séparateur. Une fois la fonction de décision étalonnée par les SVM nous sommes en mesure de classer tout nouveau scénario primaire comme risqué ou non risqué en fonction des facteurs de risque qui lui sont associés. Finalement, les scénarios classés comme non risqués par la fonction de décision étalonnée ne se verront accorder aucune simulation secondaire. Par conséquent, cette économie de simulations induit un gain de temps sur le calcul du capital économique. Les résultats de la méthode SVM dépendent cependant de l algorithme sous-jacent qui compose la base d apprentissage : plus les scénarios sont choisis de manière optimale, plus la méthode est susceptible de fournir de bons résultats. L optimalité du choix de la base d apprentissage peut être par exemple vue comme une sélection des scénarios primaires les plus représentatifs de la base tout entière. Figure 4 représentation de différentes possibilités de la base d'apprentissage choisie aléatoirement (Source ACTUARIS) 5

6 INFO # 34 Conclusion Les résultats obtenus par les Support vecteurs Machines sont très satisfaisants et permettent à un assureur de calculer son capital économique rapidement à l'aide d'un nombre de simulations primaires et secondaires réduit. En effet, des résultats montrent que pour une application des SVM dans un cadre à deux facteurs de risque, lorsque les paramètres du noyau utilisés par les SVM ainsi que la base d apprentissage sont choisis de manière optimale, les méthodes SVM nous permettent une réduction du nombre de simulations de l'ordre 99% par rapport à une méthode SdS complète avec un quantile trouvé identique. Cependant ces résultats sont à nuancer lorsque le nombre de facteurs de risque à prendre en considération est plus élevé : en effet, la zone formée par les scénarios primaires risqués devient plus difficile à identifier. C est le principal problème rencontré par les méthodes alternatives déjà existantes avec lesquelles il semble difficile d'obtenir une bonne estimation du quantile lorsque le portefeuille devient plus complexe. La recherche autour de l'utilisation des méthodes statistiques pour des applications assurantielles a encore beaucoup de pistes à explorer au sein des méthodes de «machines learning» (telles que les réseaux de neurones ou encore les forêts aléatoires) afin d optimiser d avantage le calcul du capital économique. Bibliographie [1] BOSER.B-GUYON.I-VAPNIK.V. A training algorithm for optimal margin classifers [2] CHANG.C-HSU.W-LIN.C-J. A practical guide to support vector classification. Department of Computer Science and Information Engineering National Taiwan University, [3] GARNIER.J-B-MARTIAL.A-C. Optimisation du calcul du capital économique d'une compagnie d'assurance vie par la méthode des simulations dans les simulations. Mémoire d'actuariat, ENSAE Paris-Tech, [4] HAGUET.E. Calibrage d'un modèle de taux gaussien à 2 facteurs. Mémoire d'actuariat, ENSAE Paris-Tech, [5] MERCER.J. Functions of positive and negative type, and their connection with the theory. [6] NIEDZWIEDZ.M Utilisation des supports vecteurs machines pour l accélération du calcul du capital économique. Mémoire d'actuariat, ENSAE Paris-Tech, Cabinet International de conseil en actuariat Editeur de logiciels actuariels pour l assurance et la finance Paris Lyon Bruxelles Madrid Amsterdam ACTUARIS PARIS 13/15 boulevard de La Madeleine Paris Tél : +33(0) Fax : +33 (0) ACTUARIS LYON 46 bis chemin du Vieux Moulin TASSIN Tél : +33 (0) Fax : +33 (0)

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