Formulaire. 1 Trigonométrie circulaire. Lycée Pierre de Fermat MPSI 1. R [ 1, 1] et. sont définies sur R et 2π-périodiques. Les fonctions. y = 1.

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1 Lycée Pierre de Fermat MPSI Formulaire Trigonométrie circulaire Formulaire Les fonctions { R [, ] x cosx et { R [, ] x sinx sont définies sur R et -périodiques. y = cos x y = sin x y = y = Deux inégalités intéressantes : Majoration «brutale» du sinus x R, sinx min x, y = x y = y = sin x Inégalités de convexité de la fonction sinus, en restriction à et majorée par sa tangente à l origine : x [, ], x sinx x [, ], est minorée par sa corde y = x y = y = sin x y = x

2 La fonction et est -périodique. R \ {x R x } [] R x tanx = sin x cos x est définie sur R \ {x R x } [] x = x = x = x = y = tan x { R \ {x R x []} R La fonction x cotanx = cos x sin x et est -périodique. est définie sur R \ {x R x []} y = cotanx x = x = x = x =

3 A tan θ Axe de lecture du sinus sin θ A A Cercle unité O θ cos θ A B Axe de lecture du cosinus Axe de lecture de la cotangente A cotanθ C cos θ = OA, sin θ = OA, tan θ = BA, cotanθ = CA. Sur le graphique ci-dessus, on attachera une importance toute particulière à l orientation et l origine des axes sur lesquels on lit les valeurs des fonctions trigonométriques. [ on visualisera l inégalités de convexité sin θ θ pour θ, ] de la fonction sinus, on interprétera les formules d Euler : pour tout a R, sin a = eia e ia i, cos a = eia + e ia, tan a = i eia e ia e ia + e ia, on interprétera la formule de Moivre : pour tout a R, pour tout n Z, e ia n = cos a + i sin a n = e ina = cosna + i sinna. θ 4 sin θ cos θ tan θ cotanθ indét. indét.

4 x R \ {x R x } [], tanx = sinx x [, [, tanx x cosx, + tan x = x R \ {x R x []}, cotanx = cosx sinx, + cotan x = x ], ], cotanx x x R \ {x R x [] ou x } [], cotanx = tanx. cos x, sin x, Sous réserve de l existence des quantités apparaissant de part et d autre d une égalité, on a : par parité de la fonction cosinus et imparité de la fonction sinus, cos x = cosx, sin x = sinx, tan x = tanx, cotan x = cotanx, ce qui se visualise sur le cercle trigonométrique : O θ C 4

5 par propriétes des relations angulaires sur le cercle trigonométrique, cos x = sinx, sin x = cosx, tan x = cotanx, cotan x = tanx. cos x+ = sinx, sin x+ = cosx, tan x+ = cotanx, cotan x+ = tanx. cos x = cosx, sin x = sinx, tan x = tanx, cotan x = cotanx. cos + x = cosx, sin + x = sinx, tan + x = tanx, cotan + x = cotanx. 5

6 Trigonométrie hyperbolique inspirée des formules d Euler Pour tout x R, chx = ex + e x, shx = ex e x et thx = shx chx = e x + e x. Formules de trigonométrie circulaire et hyperbolique Pour tout a, b R, et sous réserve d appartenance des arguments au domaine de définition des fonctions, surtout dans les formules avec la fonction tangente sin a + cos a =, ch a sh a = sina + b = sin a. cos b + cos a. sin b, sha + b = sha.chb + cha.shb sina b = sin a. cos b cos a. sin b, sha b = sha.chb cha.shb cosa + b = cos a. cos b sin a. sin b, cha + b = cha.chb + sha.shb cosa b = cos a. cos b + sin a. sin b, cha b = cha.chb sha.shb tan a + tan b tha + thb tana + b =, tha + b = tan a. tan b + tha.thb tan a tan b tha thb tana b =, tha b = + tan a. tan b tha.thb sina. cosb = sina + b + sina b, sha.chb = cosa. sinb = sina + b sina b, cha.shb = cosa. cosb = cosa + b + cosa b, cha.chb = sina. sinb = cosa b cosa + b, sha.shb = sha + b + sha b sha + b sha b cha + b + cha b cha b + cha + b p + q sinp + sinq =. sin p q sinp sinq =. sin p + q cosp + cosq =. cos p + q cosp cosq =. sin. cos. cos. cos. sin p q p + q p q p q p + q, shp + shq =.sh p q, shp shq =.sh p + q, chp + chq =.ch p + q, chp chq =.sh.ch.ch.ch p q p + q.sh p q p q cosa = cos a = sin a = cos a sin a, cha = ch a = +sh a = ch a+sh a sina = sin a. cos a, sha = sha.cha tana = tan a tan a, tha = tha + th a cosa = 4 cos a cos a = cos a cos a. sin a sina = sin a 4 sin a = cos a. sin a sin a tana = tan a tan a tan a Formules de passage par la tangente de l angle moitié : en posant, u = tan a, tan a = De même, en posant u = th a, tha = u u, cos a = u + u, sin a = u + u. u + u, cha = + u u, sha = u u.

7 4 Tables de dérivées Pour tout x R, sin x = cos x, sh x = chx cos x = sin x, ch x = shx tan x = cos x = + tan x, th x = ch x = th x cotan x = sin x = cotan x, coth x = sh = coth x Arccos x = x x ], [, Argch x = x x ], + [ Arcsin x = x x ], [, Argsh x = x + x R Arctan x = + x x R, Argth x = x x ], [ Arccotan x = + x x R, Argcoth x = x x ], [ ], + [ 5 Expression explicite des fonctions hyperboliques réciproques Suites x R, Argshx = ln x + x + x [, + [, Argchx = ln x + x x ], [, Argthx = + x ln x x ], [ ], + [, Argcothx = ln + x x et Soit u k k N une suite géométrique complexe de premier terme u C et de raison q C, u k = u q k u = qn+ = u u n+ si q q q k= k= n + u si q = m, p N, si m p alors p u u k = m qp m+ = u m u p+ si q q q p m + u si q =. k=m Soit u k k N une suite arithmétique complexe de premier terme u C et de raison r C, nn + u k = u + kr = n + u + r k= k= 7 Formules sommatoires Pour tout n N, k = k= nn + k nn + n + = k= k = n n + n = k. 4 k= D une manière générale, pour tout n, p N N, terme dominant p + np+. 7 k= k p est un polynôme en n de degré p + et de k=

8 8 Identités algébriques dans un anneau A, +, Soit x un élément d un anneau A, +,. non nécessairement commutatif, de neutre multiplicatif A, alors, pour tout n N, x A A + x + x + + x n + x n = x A A + x k = x n+ A. Soient x et y deux éléments d un anneau A, +,. commutatif, de neutre multiplicatif A, alors, pour tout n N, la formule du binôme de Newton donne : x + y n n = x k k y n k k= = x n + nx n y + nn x n y + + k= nn x y n + nxy n + y n. Par ailleurs, x y x n + x n y + x n y + + x y n + xy n + y n n = x y x k y n k k= = x n+ y n+, d où, si n est pair, en posant n = p, x + y x p x p y + x p y + x y p xy p + y p = x p+ + y p+. Quels que soient les éléments a et b d un anneau A quelconque, A a b + ab = A a A b et a + b + a b = a + b. Identité de Gauss : si a, b, c sont trois éléments d un anneau quelconque qui commutent deux à deux, alors a + b + c abc = a + b + c a + b + c ab bc ac a + b + c abc = a + b + c a b + b c + c a Identité de Legendre : si a, b, c, d sont quatre éléments d un anneau quelconque qui commutent deux à deux, alors a + b c + d = ac bd + ad + bc. Dans l anneau commutatif C, si a, b, c et d sont des réels, cette identité exprime que le carré du module du nombre a + ibc + id est égal au carré du module de ad + bc + iac bd ce qui est une conséquence de la propriété de morphisme multiplicatif du module 9 Identités classiques dans C Factorisation par l angle moitié : θ R, e iθ = e iθ e iθ e iθ = i sinθe iθ, + e iθ = e iθ e iθ + e iθ = cosθe iθ. θ, z R C, z e iθ z e iθ = z cosθz +. Pour tous a, b C, la formule du binôme de Newton donne a + b = a + ab + b a + b = a + a b + ab + b a + b 4 = a 4 + 4a b + a b + 4ab + b 4 a + b 5 = a 5 + 5a 4 b + a b + a b + 5ab 4 + b 5 a + b n = a n + na n nn b + a n b nn n + a n b +... nn n a b n nn + a b n + nab n + b n. En posant x = A et y = A. Cette identité ne nécessite pas l hypothèse de commutation entre a et b. 8

9 Pour tous a, b C, a b = a ba + b a b = a ba + ab + b a 4 b 4 = a ba + a b + ab + b a n b n = a ba n + a n b + a n b a b n + ab n + b n a + b = a + ba ab + b a 5 + b 5 = a + ba 4 a b + a b ab + b 4 a p+ + b p+ = a + ba p a p b + a p b a b p ab p + b p Pour tous a, a, a C, pour tous a k k n n N, a + a + a = a + a + a + a a + a a + a a n a k = a k + a k a l k= k= Inégalités classiques dans R Inégalité arithmético-géométrique : k<l n n N, x, x,..., x n R n +, n avec égalité si et seulement si x = x =... = x n. i= x i n n i= x i Inégalité de Cauchy-Schwarz : n N, a, a,..., a n R n, b, b,..., b n R n, a i b i n n a i b i i= i= i= avec égalité si et seulement si les vecteurs a, a,..., a n et b, b,..., b n sont colinéaires. 9