Exercice 6 [ ] [Correction] Soit f : R C continue et 2π-périodique. Montrer que f est constante si, et seulement si,

Transcription

1 [ édité le 4 septembre 6 Eocés Séries de Fourier Polyômes trigoométriques Exercice [ 945 ] [Correctio] Soiet a, a,..., a N R o tous uls et (a) Établir (b) E déduire que P(z) = N a k z k k= (P(t)) dt = i N = m= (P(e iθ )) e iθ dθ N a a m N + m + π Exercice [ 877 ] [Correctio] O pose, pour N et x R : p (x) = ( + cos x) puis (a) Motrer que pour tout δ ] ; π[, q (x) = δ lim + δ p (x) p (t) dt k= q (t) dt = (b) Soit f : R R -périodique et cotiue. O pose g (x) = a k q (t) f (x t) dt Prouver la covergece uiforme sur R vers f de (g ). (c) Quel résultat redémotre-t-o aisi? Exercice 3 [ 34 ] [Correctio] Détermier les polyômes P C[X] tels que P(U) U où U = {z C z = }. Exercice 4 [ 944 ] [Correctio] Exprimer la foctio θ si θ sur la base (e k ) k Z (avec e k : θ e ikθ ). E déduire la valeur de Coefficiets de Fourier I = / si θ dθ Exercice 5 [ 349 ] [Correctio] Soit f : R C ue foctio cotiue par morceaux π-périodique. O ote a ( f ) et b ( f ) les coefficiets de Fourier de f comprise comme ue foctio -périodique. Motrer que N, a + ( f ) = b + ( f ) = Exercice 6 [ 95 ] [Correctio] Soit f : R C cotiue et -périodique. Motrer que f est costate si, et seulemet si, Z, c ( f ) = Comportemet asymptotiques des coefficiets de Fourier Exercice 7 [ 946 ] [Correctio] Soit f : R C ue foctio périodique et cotiue par morceaux. Motrer la covergece de la série c ( f ) Exercice 8 [ 947 ] [Correctio] Soit f : R C ue foctio -périodique cotiue. (a) Motrer que si f de classe C alors c ( f ) = o(/) quad + (b) Iversemet, établir que s il existe α > tel que c ( f ) = O (/ α ) quad + alors f est égale à sa somme de Fourier et est ue foctio de classe C.

2 [ édité le 4 septembre 6 Eocés Exercice 9 [ 948 ] [Correctio] Soit f : R R ue foctio -périodique cotiue. (a) Motrer que si f est de classe C p alors (b) Iversemet justifier que si alors f est de classe C p. c ( f ) = o (/ p ) quad + c ( f ) = O ( / p+) quad + Exercice [ 949 ] [Correctio] Soit f : R C périodique. O suppose qu il existe α > et M R + vérifiat (a) Justifier que f est cotiue x, y R, f (x) f (y) M x y α (b) Pour a R et Z, exprimer e foctio de c ( f ) la valeur de (c) Motrer qu il existe µ R + vérifiat f (t + a)e it dt Z, c ( f ) µ α Développemet e série de Fourier Exercice [ 95 ] [Correctio] Soit f ue foctio cotiue périodique. O suppose que la série de Fourier de f coverge uiformémet. Motrer que cette covergece a lieu vers la foctio f. Exercice [ 95 ] [Correctio] Soit f : R R la foctio régularisée, périodique, impaire, costate égale à sur ] ; π[. (a) Calculer ses coefficiets de Fourier trigoométriques. (b) Étudier la covergece simple ou uiforme de la série de Fourier vers f. (c) E déduire (d) Calculer p= ( ) p p + et (p + ) p= et ( ) Exercice 3 [ 953 ] [Correctio] Soit f : R R l applicatio périodique, paire, telle que (a) Calculer la série de Fourier de f. x [ ; π], f (x) = x (b) Étudier la covergece simple ou uiforme de la série de Fourier de f. (c) Détermier (d) E déduire k= (k + ) et (k + ) 4 k= et 4 Exercice 4 [ 376 ] [Correctio] Soit f : R R la foctio paire, -périodique, défiie par 4x π si x [ ; π/] f (t) = 8xπ 3π 4x sio (a) Motrer que f est de classe C et calculer exprimer sa dérivée. (b) Calculer les coefficiets de Fourier trigoométrique de la foctio f. (c) E déduire la valeur de = ( ) ( + ) 3

3 [ édité le 4 septembre 6 Eocés 3 Exercice 5 [ 954 ] [Correctio] Soit f : R R la foctio périodique défiie par f (x) = cos x (a) Calculer les coefficiets de Fourier trigoométriques de f. (b) E déduire la valeur ( ) + 4 Exercice 6 [ 955 ] [Correctio] Soit f : R C, -périodique, impaire et vérifiat f (t) = π t sur ] ; π] (a) Préciser la covergece de la série de Fourier de f. La covergece est-elle uiforme? (b) Calculer la série de Fourier de f. (c) E déduire la covergece et la valeur de (d) Calculer si Exercice 7 [ 956 ] [Correctio] Soit la foctio f : R R périodique défiie par x ] ; π], f (x) = e x (a) Calculer les coefficiets de Fourier expoetiels de f. (b) E déduire la valeur des sommes = ( ) + et + = Exercice 8 [ 957 ] [Correctio] Soiet α R \ Z et f : R R la foctio périodique défiie par f (x) = cos(αx) sur ] ; π] (a) Détermier les coefficiets de Fourier a et b de f. (b) E déduire les valeurs des sommes (c) E déduire efi la valeur de ( ) α et α Exercice 9 [ 3695 ] [Correctio] Soit α u réel o etier et f la foctio -périodique doée par t ] ; π], f (t) = cos(αt) (a) Motrer que f est égale à sa somme de Fourier e précisat le type de covergece de celle-ci. (b) Calculer la somme de Fourier de f. Exercice [ 3598 ] [Correctio] Soiet α R \ Z et f : R R la foctio périodique défiie par f (t) = cos(αt) sur ] ; π] (a) Motrer que f admet ue série de Fourier covergete sur R. Quel type de covergece est-ce? (b) Expliciter les coefficiets de Fourier de f. (c) Pour tout x πz, motrer l égalité cotax = x + x x (π)

4 [ édité le 4 septembre 6 Eocés 4 Exercice [ 958 ] [Correctio] Soiet α R et f : R R la foctio périodique défiie par f (x) = ch(αx) sur ] ; π] (a) Détermier les coefficiets de Fourier a et b de f. (b) E déduire les valeurs des sommes Exercice [ 959 ] [Correctio] (a) Domaie de défiitio de ( ) + α et + α S (t) = k= k t? (b) Calculer les coefficiets de Fourier a et b de f (x) = cos(αx) défiie sur [ ; π] avec α R \ Z. (c) Sur quel domaie f coïcide avec so développemet e série de Fourier? (d) E déduire ue expressio de S (t). Exercice 3 [ 96 ] [Correctio] Existe-t-il ue suite (α ) de réels telle que t [ ; π], si t = = α cos(t)? Exercice 4 [ 96 ] [Correctio] La série de Fourier de la foctio f paire -périodique qui vaut x pour x [ ; π] coverge-t-elle uiformémet? Que vaut sa somme? Exercice 5 [ 883 ] [Correctio] Soit α u réel o etier. (a) E utilisat la foctio -périodique coïcidat avec x cos(αx) sur [ ; π], calculer + α ( ) α (b) E déduire (c) Ici < α <. Motrer que ( ) t α + t dt = π si απ Exercice 6 [ 884 ] [Correctio] Soiet α R \ Z et f α l uique foctio -périodique de R das R telle que pour tout x [ ; π], f α (x) = cos(αx) (a) Calculer les coefficiets de Fourier de f α. (b) Motrer que (c) Si < α <, motrer que Exercice 7 [ 885 ] [Correctio] Soit a >, x réel. O pose απ si(απ) = + ( ) α α f (x) = t α + t dt = π si(απ) a + (x π) (a) Motrer que f est défiie sur R et étudier sa parité. (b) Motrer que f est développable e série de Fourier. (c) Calculer, e utilisat u logiciel de calcul formel, l itégrale (d) E déduire les coefficiets de Fourier de f. (e) Exprimer f à l aide des foctios usuelles. cos t b + t dt

5 [ édité le 4 septembre 6 Eocés 5 Exercice 8 [ 37 ] [Correctio] Soit f : R C, -périodique, impaire et vérifiat (a) Calculer < x < π = f (x) = π x S (x) = si(x) (b) Soit g: R C, -périodique, impaire, cotiue et défiie par Démotrer (c) Que vaut g est affie sur [ ; ] et x [ ; π], g(x) = S (x) ( ) si = si 4? si Exercice 9 [ 38 ] [Correctio] Former le développemet e série de Fourier de la foctio -périodique doée par f (t) = si t e précisat la ature de la covergece de cette série. Exercice 3 [ 367 ] [Correctio] Soit f : R C ue foctio -périodique et k lipschitziee. Pour Z, o pose c ( f ) = (a) Pour tout h R, o défiit la foctio Calculer c ( f h ) pour tout Z. (b) E déduire que f (t)e it dt f h : R C, x f (x + h) f (x) ( h si Z ) c ( f ) (kh) 4 (c) E utilisat la cocavité de la foctio sius, motrer la covergece de la série c ( f ) (d) Que peut-o e coclure? Éocé fouri par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA Z Exercice 3 [ 5 ] [Correctio] O cosidère la foctio f défiie sur R par f (t) = si t + si t (a) Préciser le mode de covergece de la série de Fourier de f. (b) E déduire 4 et (4 ) Applicatios des séries de Fourier Exercice 3 [ 969 ] [Correctio] Soiet f, g: R C -périodiques, cotiues et paires. Pour tout x R, o pose h(x) = a ( f )a (g) + a ( f )a (g) cos(x) Justifier que h existe, est cotiue et calculer ses coefficiets de Fourier réels. Établir que h f g Exercice 33 [ 97 ] [Correctio] Pour θ ] ; π[, calculer de deux maières la partie réelle de afi d e déduire la valeur de = t e i(+)θ dt cos θ

6 [ édité le 4 septembre 6 Eocés 6 Exercice 34 [ 48 ] [Correctio] α désige u réel de l itervalle ] ; π[ et f la foctio périodique défiie sur ] ; π] par si x α f (x) = sio (a) Étudier la série de Fourier de f aisi que sa covergece. (b) Que vaut la somme de cette série pour x =, pour x = α? (c) Calculer (d) Justifier et calculer Exercice 35 [ 399 ] [Correctio] si (α) si t t (a) O ote g la foctio -périodique défiie par dt g(t) = π t sur [ ; [ Calculer les coefficiets de Fourier trigoométriques de g. (b) Soit f : R R ue foctio cotiue, C par morceaux et -périodique. Motrer que b ( f ) = (π t) f (t) dt (c) Établir que l idetité est ecore vraie pour f seulemet cotiue par morceaux. Exercice 36 [ 886 ] [Correctio] Soit f C ([ ; π], R) telle que f () = f (π) = et Motrer qu il existe ue suite réelle (a ) telle que f = a = π et x [ ; π], f (x) = a si(x) Exercice 37 [ 35 ] [Correctio] Soit f la somme sur C de la série etière a! z supposée de rayo de covergece R = +. Pour r, o pose M(r) = sup f (z) z =r et o suppose l existece de l M(r) l = lim r + r (a) O suppose que l >. Motrer la divergece de la série a. (b) E utilisat les coefficiets de Fourier de l applicatio t f (re it ), motrer a M(r)! r (c) E déduire que, si l <, la série a coverge. Exercice 38 [ 357 ] [Correctio] f désige ue foctio réelle cotiue et périodique sur R. (a) Démotrer que la suite de foctio (F ) défiie par F (x) = f (x + t) f (t) dt coverge vers ue foctio F. O précisera la défiitio de F e foctio de f aisi que le mode de covergece de la suite (F ) (b) Démotrer Exercice 39 [ 3493 ] [Correctio] Démotrer que pour tout x R si(x) = 8 π F F() si (x) 4

7 [ édité le 4 septembre 6 Eocés 7 Exercice 4 [ 3494 ] [Correctio] Soit f la foctio -périodique défiie sur [ ; [ par f (x) = π x (a) Calculer les coefficiets de Fourier de la foctio g défiie par (b) E déduire la valeur de g(x) = f (x + ) f (x ) Exercice 4 [ 3496 ] [Correctio] Soit f : R C de classe C et -périodique. O suppose qu il existe M R vérifiat Détermier f. ( si ) p N, t R, f (p) (t) M Exercice 4 [ 3665 ] [Correctio] Soit f : R C ue foctio de classe C ulle e dehors de [ A ; A] (avec A > ). O défiit la trasformée de Fourier de f par x R, f ˆ(x) = f (x)e ixt dx (a) Motrer que la foctio ˆ f est cotiue et que t t ˆ f (t) est borée sur R. (b) Soit T > A. Motrer x [ T/ ; T/], f (x) = T (c) E déduire la formule d iversio de Fourier x R, f (x) = k= ( ) kπ fˆ e ikπ x T T ˆ f (t)e ixt dt Exercice 43 [ 3666 ] [Correctio] O ote C l espace vectoriel des foctios -périodiques et cotiues de R das C. (a) Soiet f et g deux élémets de C. Motrer que pour tout x R O étudie l équatio différetielle avec h ue foctio élémet de C. c ( f )c (g)e ix = f (x t)g(t) dt (E): y y = h (b) Motrer que l équatio (E) possède au plus ue solutio -périodique. (c) Détermier la solutio -périodique de l équatio y y = e p avec e p : x e ipx (d) O cherche à détermier ue foctio g C telle que, pour toute foctio h: R C de classe C -périodique, la foctio f défiie par x R, f (x) = g(x t)h(t) dt soit solutio de l équatio différetielle (E). E supposat l existece de g, calculer ses coefficiets de Fourier à l aide de la questio précédete. Coclure alors e utilisat le calcul iitial. Exercice 44 [ 888 ] [Correctio] Soit E l espace des f C (R, C) -périodiques. O orme E e posat, si f E : Si f E, soit G( f ): x R f = f e t f (x + t) dt C (a) Motrer que G est u edomorphisme cotiu de E. (b) L edomorphisme G est-il iversible? (c) Détermier les valeurs propres et les vecteurs propres de G.

8 [ édité le 4 septembre 6 Eocés 8 Exercice 45 [ 36 ] [Correctio] O ote E l espace vectoriel des foctios cotiues sur [ ; [, à valeurs réelles et de carré itégrable sur [ ; [. O ote f la orme défiie par ( f = ) / f (t) dt (a) Pour N et f E, justifier que t t f (t) est itégrable sur [ ; [. O ote alors (b) Soit P R[X], motrer que E déduire que (c) Vérifier que, si f E, alors a ( f ) = P(t) dt + i P(t) dt a k ( f ) = k= t f (t) dt P(e iθ ) e iθ dθ = P(e iθ ) dθ a k ( f )t k f (t) dt k= E déduire que la série a k ( f ) coverge et que l o a (d) O pose, pour f E, k= N( f ) = Motrer que N est ue orme sur E. a k ( f ) π f k= a k ( f ) (e) Motrer que N est pas équivalete à la orme.. O pourra cosidérer les foctios f p défiies, pour p par p si x [ ; /p] f p (x) = / x si x ]/p ; [ Éocé fouri par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA / Exercice 46 [ 66 ] [Correctio] (a) Établir si t e t dt = + (b) Calculer les coefficiets de Fourier réels de la foctio -périodique défiie par sachat (c) E déduire la valeur de l itégrale du a). Exercice 47 [ 54 ] [Correctio] Soit l espace vectoriel complexe f (t) = ch t pour t [ ; π] ch t. cos(t) dt = ( ) sh π + E = { f C(R, E) x R, f (x + ) = f (x)} mui de la orme défiie e posat pour f E : f = sup { f (u) u R} Si f E, o pose G( f ) = g la foctio de R vers C défiie par g(x) = e t f (x + t) dt (a) Motrer que G défiit u edomorphisme de E. (b) Détermier ue costate C > telle que pour tout f E Iterpréter le résultat. G( f ) C f (c) Motrer que si g = G( f ) avec f E alors g est de classe C sur R et vérifie l équatio f = g g (d) E déduire ue relatio etre les coefficiets de Fourier c (g) et c ( f ) pour tout Z, préciser la série de Fourier de g aisi que so mode de covergece. (e) L applicatio G est-elle ijective? surjective? (f) Préciser, selo le complexe λ, l esemble E λ = { f E G( f ) = λ f }

9 [ édité le 4 septembre 6 Eocés 9 Développemets trigoométriques Exercice 48 [ 96 ] [Correctio] Soit t ] ; [. Former le développemet e série de Fourier de la foctio x si x t cos x + t Exercice 49 [ 964 ] [Correctio] Former le développemet e série de Fourier de x e cos x cos(si x) Exercice 5 [ 966 ] [Correctio] Pour z <, calculer z cos t cos(t) dt z cos t + z Exercice 5 [ 968 ] [Correctio] Calculer p= p cos(p + )x ( ) (p + )! Exercice 5 [ 336 ] [Correctio] Soit la foctio f : R C -périodique doée par f (t) = e eit (a) Détermier les coefficiets de Fourier expoetiels de f. (b) Établir e cos t dt = = (!) Exercice 53 [ 344 ] [Correctio] Soiet f, g: R C cotiues par morceaux et -périodiques. (a) Motrer la covergece de la somme (b) Soit ϕ: R C défiie par ϕ(x) = Calculer les coefficiets de Fourier de ϕ. Exercice 54 [ 3667 ] [Correctio] Soit a >. (a) Développer e série etière c ( f )c (g) c ( f )c (g) e ix x x + e a (b) E déduire le développemet e série de Fourier de Noyau de Poisso t Exercice 55 [ 393 ] [Correctio] [Noyau de Poisso] Soiet r [ ; [ et θ R. (a) Calculer cos t + ch a e iθ r (b) Détermier la série de Fourier trigoométrique de la foctio Exercice 56 [ 963 ] [Correctio] f r : t r cos t + r (a) Soit x ] ; π[. Former le développemet e série etière e de t t t cos x + t

10 [ édité le 4 septembre 6 Eocés (b) E déduire le développemet e série de Fourier de pour α ]/ ; π/[. x cos α si α cos x Exercice 57 [ 3 ] [Correctio] Soit f : R C ue foctio -périodique et cotiue de coefficiets de Fourier expoetiels c, Z. (a) Soit r ] ; [. Détermier ue foctio g r : R C vérifiat r c = f (t)g r (t) dt (b) Motrer que la foctio g r est à valeurs réelles positives. (c) O suppose Z, c R + Motrer que la série de Fourier de f coverge. Que vaut sa somme? Exercice 58 [ 887 ] [Correctio] Soiet r ] ; [ et E l espace des foctios cotiues -périodiques de R das C. (a) Motrer qu il existe ue foctio P r E telle que : pour tout f E et x R, (b) Calculer (c) Calculer Z r c ( f ) e ix = lim r Z P r (t) dt r c ( f ) e ix Exercice 59 [ 338 ] [Correctio] Pour r ] ; [, o défiit la foctio k : R R par k(x) = + p= r p cos(px) f (t)p r (x t) dt (a) Motrer que la foctio k est défiie et cotiue sur R. O ote E l espace des foctios cotiues -périodique. Pour f E, o pose F(x) = k(x t) f (t) dt (b) Exprimer F(x) à l aide des coefficiets de Fourier de f. E déduire que F est élémet de E et exprimer ses coefficiets de Fourier e foctio de ceux de f. Exercice 6 [ 374 ] [Correctio] O ote, pour k {, }, S k l esemble des foctios cotiues sur R, -périodiques, à valeurs complexes telles que Z k c ( f ) coverge (où (c ( f )) Z désige la suite des coefficiets de Fourier de f ). O cosidère f ue foctio de S, r u réel tel que < r < et o défiir f r par x R, f r (x) = c ( f )r e ix (a) Calculer, pour x R, et e déduire que (b) O pose r cos(x) Z r si(x) = l ( r cos(x) + r ) K r (t) = ( ) r cos(t) + r l Motrer qu il existe ue uique foctio u das S telle que, pour tout x R K r (x t)u(t) dt = f r (x) O détermiera les coefficiets de Fourier de u e foctio de ceux de f et o vérifiera que u est idépedate de r. (c) Vérifier que pour t ] ; π[, ( ) r cos(t) + r l l l si t

11 [ édité le 4 septembre 6 Eocés (d) E déduire que lim K r (x t)u(t) dt = r (e) Pour g S, o défiit ϕ(g) par x R, ϕ(g)(x) = l ( cos(x t)) u(t) dt l ( cos(x t)) g(t) dt Motrer que ϕ est u isomorphisme de S sur S. [Éocé fouri par le cocours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA] Iégalités et séries de Fourier Exercice 6 [ 965 ] [Correctio] [Iégalité de Wirtiger] Soit f : R C ue foctio périodique de classe C telle que f = (a) Rappeler la relatio existat etre c ( f ) et c ( f ). (b) Motrer que et préciser les cas d égalités. f (t) dt f (t) dt Exercice 6 [ 37 ] [Correctio] Soit f : R C ue foctio périodique de classe C telle que f = (a) Pourquoi peut-o appliquer la formule de Parseval aux foctios f et f. (b) Rappeler la relatio existat etre c ( f ) et c ( f ). (c) Motrer que f (t) dt f (t) dt (d) O suppose que f (t) dt = f (t) dt Motrer que pour tout k Z \ {,, }, c k ( f ) = ; e déduire, grâce au théorème de covergece uiforme des séries de Fourier, qu il existe deux scalaires A et B tels que f (x) = Ae ix + Be ix pour tout x R. (e) Réciproquemet, motrer que si f (x) = Ae ix + Be ix alors f (t) dt = f (t) dt Exercice 63 [ 433 ] [Correctio] [Iégalité de Poicaré] Soit f : [ ; ] R de classe C vérifiat f () = f () =. Établir f (t) dt ( f (t) ) dt π Observer que la costate de majoratio e peut être améliorée. Exercice 64 [ 75 ] [Correctio] Soit f : R R ue foctio -périodique de classe C et vérifiat Motrer que f π 6 f (t) dt = ( f (t) ) dt Exercice 65 [ 3495 ] [Correctio] Soiet f : R C -périodique et de classe C et a, b R + tels que 4ab. Établir a f + b f f

12 [ édité le 4 septembre 6 Eocés Séries de Fourier et équatios différetielles Exercice 66 [ 333 ] [Correctio] Soit α C \ iz et f cotiue sur R à valeurs das C et -périodique. Soit y solutio de l équatio y + αy = f (a) Motrer que y est de la forme y(x) = e αx (y() + x ) f (t) e αt dt (b) Motrer que y est -périodique si, et seulemet si, y() = y() (o pourra utiliser que z(x) = y(x + ) est solutio de l équatio différetielle). (c) E déduire qu il existe ue uique foctio φ, -périodique solutio de l équatio différetielle. (d) Motrer que φ admet u développemet e série de Fourier et l exprimer e foctio des coefficiets complexes de f. Exercice 67 [ 337 ] [Correctio] Soit f : R C -périodique dérivable telle qu il existe λ R vérifiat t R, f (t) = f (t + λ) ( ) (a) Motrer Z, (i e iλ )c ( f ) = (b) Pour quel(s) λ R existe-t-il des foctios -périodiques, autres que la foctio ulle, vérifiat (*)? Exercice 68 [ 3439 ] [Correctio] O cosidère la foctio f : R C -périodique doée par f (x) = Développer f e série de Fourier. ix e ix sur ] ; [ ] ; π[, f () = et f (π) = Exercice 69 [ 967 ] [Correctio] Détermier les solutios périodiques de l équatio différetielle y + e it y =

13 [ édité le 4 septembre 6 Correctios 3 Correctios Exercice : [éocé] (a) O itroduit Q u polyôme primitif de P. [ ] π (P(e iθ )) e iθ dθ = i Q(eiθ ) = i [Q(t)] = i (P(t)) dt (b) D ue part et d autre part avec car P(e iθ ) = P(e iθ ) et (P(t)) dt (P(t)) dt = N N = m= a a m + m + i (P(e iθ )) e iθ dθ P(e iθ ) dθ P(e iθ ) dθ = P(e iθ ) dθ P(e iθ ) N dθ = a k = car les a k sot des réels composates de la foctio θ P(e iθ ) das ue base orthoormée pour le produit scalaire e cours. Exercice : [éocé] (a) Pour δ ] ; π[ δ q (t) dt Or par covergece domiée Aisi ( + cos δ t) dt ( + cos t) dt δ ( + cos t) dt ( + cos δ) = δ k= N k= ( + cos δ t) dt δ ( + cos δ t) dt δ a k ( ) + cos t dt + cos δ + q (t) dt δ ( + cos t) dt δ( + cos δ) et par parité δ q (t) dt δ O e déduit lim + q δ (t) dt = car q (t) dt =. (b) O a g (x) f (x) = q (t)( f (x t) f (x)) dt Puisque f est cotiue sur le segmet [ ; π], elle y est uiformémet cotiue. Pour ε >, il existe δ > vérifiat O a alors δ δ x y δ = f (x) f (y) ε δ q (t)( f (x t) f (x)) dt εq (t) dt ε Mais puisqu o a aussi q (t)( f (x t) f (x)) dt f pour assez grad, δ δ δ q (t)( f (x t) f (x)) dt ε et fialemet g (x) f (x) 3ε idépedammet de x. (c) Par le chagemet de variable u = x t et par -périodicité, g (t) = f (u)q (x t) dt δ q (t) dt et e développat, cette expressio se perçoit comme u polyôme trigoométrique. O a démotré le théorème de Weierstrass das sa versio trigoométrique. Exercice 3 : [éocé] Soit P u polyôme solutio. Le polyôme P est o ul, o peut itroduire so degré et l écrire P = a k X k avec a Puisque P(e it ) = pour tout t R, o a P(e it )P(e it ) =. k=

14 [ édité le 4 septembre 6 Correctios 4 Mais P(e it )P(e it ) = k= l= a k ā l e i(k l)t et e développat o obtiet a ā e it + (a ā + a ā ) e i( )t + (a ā + a ā + a ā ) e i( )t + + (a ā + + a ā ) + = O e déduit a ā =, a ā + a ā =,..., a ā + a ā + + a ā = et (a ā + + a ā ) = Puisque a, o obtiet successivemet a =, a =,..., a = et a = Aisi P(X) = ax avec a =. Iversemet, u tel polyôme est solutio. Exercice 4 : [éocé] Par la formule du biôme O e déduit puis Exercice 5 : [éocé] O a si θ = ( ) 4I = k= ( ) ( ) k e ( k)iθ k si θ dθ = ( ) I = ()! π (!) a + ( f ) = f (t) cos(( + )t) dt π E coupat l itégrale e et e procédat à ue traslatio a + ( f ) = π f (t) (cos(( + )t) + cos(( + )(t + π))) dt car la foctio f est π-périodique. Puisque cos(( + )t) + cos(( + )(t + π)) = o peut coclure O motre de même a + ( f ) = b + ( f ) = Exercice 6 : [éocé] ( = ) immédiat par calcul. ( = ) Si Z, c ( f ) = alors la série de Fourier de f est uiformémet covergete et puisqu elle coverge e orme quadratique vers f, la limite uiforme de la série de Fourier de f e peut être que f. Aisi la foctio f est costate. Exercice 7 : [éocé] Par Cauchy-Schwarz : N c ( f ) ce qui permet de coclure. Exercice 8 : [éocé] N N c ( f ) (a) O sait c ( f ) = ic ( f ) et c ( f ) c ( f ) = o(/). (b) O a S ( f ) = c e + c k e k + k= f (t) dt π 6 c k e k avec e k : t e ikt vérifiat e k =. Puisque les séries c et c coverget, o établit la covergece ormale des séries de foctios c e et c e. Aisi la suite (S ( f )) des sommes partielles de Fourier coverge uiformémet sur R. Notos S ( f ) sa limite. Puisque.., la covergece de (S ( f )) vers S ( f ) pour. etraîe aussi cette covergece pour.. Or il est cou (S ( f )) coverge vers f pour la orme. et par uicité de limite S ( f ) = f. Puisque les foctios e sot de classe C et vérifiet c e = c o peut par covergece ormale affirmer que la foctio S ( f ) = f est de classe C. Exercice 9 : [éocé] k=

15 [ édité le 4 septembre 6 Correctios 5 (a) O a sait c ( f (p) ) = (i) p c ( f ) et c ( f (p) ) car les coefficiets de Fourier d ue foctio cotiue par morceaux tedet vers. O e déduit c ( f ) = o (/ p ) (b) La série de Fourier de f, aisi que ses dérivées jusqu à l ordre p coverge uiformémet sur R, la somme de la série de Fourier de f est de classe C p et de plus elle est égale à f car elle coverge aussi quadratiquemet vers la foctio cotiue f. Exercice : [éocé] (a) Soit x R. Quad y x, o a f (y) f (x). (b) O a Par -périodicité, (c) Pour tout a R, Pour a tel que a = π, f (x) f (y) M x y α c ( f ) = f (t)e it dt c ( f ) = f (t + a)e i(t+a) dt = e ia f (t + a)e it dt ( e ia )c ( f ) = c ( f ) = E exploitat l iégalité proposée e hypothèse puis c ( f ) µ α avec µ = Mπα. ( f (t) f (t + a)) e it dt ( f (t) f (t + π/)) e it dt c ( f ) M πα α Exercice : [éocé] Notos S la série de Fourier de f et S p les sommes partielles. Puisque la foctio f est cotiue, il y a covergece e moyee quadratique de (S p ) vers f. S p (t) f (t) dt Par hypothèse, il y a covergece uiforme de (S p ) vers sa limite que ous avos otée S et il y a aussi covergece e moyee quadratique S p (t) S (t) dt Par uicité de la limite pour la covergece e moyee quadratique, o peut affirmer f = S. Exercice : [éocé] (a) f impaire Pour N, b = π 4 b p = et b p+ = (p+)π. O a aussi c = et pour Z,. c = N, a = f (t) si(t) dt = ( ) π f (t) e i.t dt = ( ( ) ) i.π (b) La foctio f état C par morceaux, la série de Fourier coverge simplemet vers la régularisée de f. La covergece e peut pas être uiforme car la foctio limite est pas cotiue. (c) La covergece simple de la série de Fourier vers f (x) e x = π/ doe : d où p= 4 si (p+)π (p + )π = 4 ( ) p π p + = p= p= ( ) p p + = π 4

16 [ édité le 4 septembre 6 Correctios 6 L égalité de Parseval doe (d) + existe et d où Aussi Exercice 3 : [éocé] (a) Puisque f est paire : Pour N, Pour = : a = π. Pour > : Aussi et pour Z : 6 (p + ) π = f (t) dt = p= p= = ( ) = p= a = π c = a = π [ t si(t) ] π (p + ) = π 8 p= (p + ) + 4 p= = 4 3 (p + ) =π 6 p= (p + ) 4 p= N, b = f (t) cos(t) dt = π π c = f (t)e i.t dt = π p p = π 8 π 4 = π t cos(t) dt si(t) dt = (( ) ) π tdt = π t cos(t) dt = ( ) π Par suite S ( f )(t) = a + a cos(t) = π 4 π k= cos(k + )t (k + ) (b) f est cotiue et C par morceaux, la covergece est ormale a fortiori simple et uiforme. (c) S ( f )(t) = f (t). Pour t =, o obtiet Par la formule de Parseval : Or (d) + existe et d où De même o obtiet Exercice 4 : [éocé] (a) Sur [ ; π/], o a k= ( f (t)) dt = 4 a + (k + ) = π 8 k= ( f (t)) dt = π k= = a k+ = π π (k + ) 4 = π4 96 k= [ ] π 3 t3 = π 3 (k + ) + 4 k= = π 6 4 = π4 9 f (x) = 4x π et f est de classe C sur [ ; π/] avec f d () = et f g(π/) = 4π k k= (k + ) 4

17 [ édité le 4 septembre 6 Correctios 7 Sur ]π/ ; π], o a f (x) = 8xπ 3π 4x et cette relatio est aussi valable pour x = π/. O e déduit que f est de classe C sur [π/ ; π] avec f d (π/) = 4π et f g(π) = Par parité et périodicité, o peut affirmer que f est de classe C sur R (et u dessi serait sûremet très covaiquat... ) et f est ue foctio impaire, -périodique avec f 8x si x [ ; π/] (t) = 8π 8x sio (b) Puisque la foctio f est paire, les coefficiets b sot uls et ce qui doe a = π f (t) cos(t) dt a = et a + = 3.( )+ π( + ) 3 après quelques calculs péibles, ou plus simplemet après exploitatio de la relatio voire de la relatio b ( f ) = a ( f ) a ( f ) = b ( f ) = a ( f ) et e cosidérat la pseudo dérivée d ordre de f. (c) Puisque la foctio f est de classe C, elle est égale à sa somme de Fourier et x R, f (x) = 3 π E évaluat pour x =, o obtiet Exercice 5 : [éocé] = = ( ) + cos(( + )t) ( + ) 3 ( ) ( + ) 3 = π3 3 (a) La foctio f est paire. O obtiet pour N et b ( f ) = pour N. a ( f ) = ( )+ 4 π(4 ) et a +( f ) = (b) La foctio f est de classe C par morceaux, il y a covergece uiforme de la série de Fourier vers f. E x =, o obtiet : Exercice 6 : [éocé] f () = π + ( ) + 4 π(4 ) ( ) + 4 = π 4 (a) f est C par morceaux et régularisée la série de Fourier de f coverge simplemet vers f e vertu du théorème de Dirichlet. La covergece e peut être uiforme car si telle est le cas f serait cotiue e e tat que limite uiforme d ue suite de foctios cotiues. (b) La foctio f est paire. O obtiet a = et par itégratio par parties b = /. La série de Fourier de f permet d écrire (c) Pour t =, o obtiet (d) Par la formule de Parseval f (t) = si = si(t) = π f (t) dt = (π t) dt = [ ] (π t) 3 π π 4 6π = π 6

18 [ édité le 4 septembre 6 Correctios 8 Exercice 7 : [éocé] (a) Par défiitio, pour Z, Après calcul, o obtiet c = f (t)e it dt c ( f ) = sh π π ( ) i (b) La foctio f est de classe C par morceaux (mais pas cotiue) la série de Fourier coverge simplemet vers la foctio f régularisée de f avec f e x si x ] ; π[ (x) = ch(π) si x = π Aisi Pour x =, o obtiet Or Par suite x R, f (x) = sh π π = π sh π = ( ) i ( ) i eix ( ) ( i = + ( ) i + ) = + + i = De même avec x = π, o obtiet Exercice 8 : [éocé] = ( ) + = ( + π ) sh π + = ( + π coth π) (a) La foctio f est paire. O obtiet b = pour et α si(απ) a = ( ) π( α ) = ( ) + pour N. La série de Fourier de f coverge ormalemet vers f car celle-ci est cotiue et C par morceaux. Par suite (b) Pour x =, o obtiet et pour x = π, f (x) = si(απ) απ + α si(απ) ( ) π( α ) cos(x) ( ) α = ( ) απ α si(απ) απ cot απ = α α (c) Il y a covergece ormale de + pour α [ ; /] quad α Quad x, quad α, d où Exercice 9 : [éocé] (a) Par périodicité Aisi = lim α α cot x = x 3 x + o(x) απ cot απ α = π 6 π 6 f () = f (π) = cos(απ) = cos( απ) t [ ; π], f (t) = cos(αt) O peut affirmer que f est cotiue et de classe C par morceaux. O e déduit que la série de Fourier de f coverge uiformémet vers f sur R.

19 [ édité le 4 septembre 6 Correctios 9 (b) La foctio f est paire. Après calculs et la série de Fourier de f est α si(απ) a = ( ) π( α ) et b = si(απ) απ + α si(απ) ( ) π( α ) cos(t) (b) Pour x =, o obtiet et pour x = π, ( ) + α = ( ) απ α sh(απ) απ coth(απ) = + α α Exercice : [éocé] (a) La foctio f est cotiue et de classe C par morceaux sur R car elle l est sur [ ; π]. O e déduit que la série de Fourier de f coverge uiformémet vers f. (b) Après calculs, pour N, α si απ a = ( ) π( α ) et b = (c) Pour tout t = π, la covergece de la série de Fourier de f doe cos(απ) = et e posat x = απ o obtiet si απ απ cos x = si x x ce qui fourit la relatio demadée. Exercice : [éocé] + + α si(απ) π(α ) x si x x (π) (a) La foctio f est paire. O obtiet b = pour et a = ( ) α sh απ π(α + ) pour N. La série de Fourier de f coverge ormalemet vers f car celle-ci est cotiue et C par morceaux. Par suite f (x) = sh απ απ + ( ) α sh απ cos x π(α + ) Exercice : [éocé] (a) S (t) est défiie sur R \ Z. α si απ (b) a = ( ) π( α ) et b =. (c) Puisque f est cotiue et C par morceaux, le théorème de covergece ormale assure que la série de Fourier de f coverge vers f sur R. (d) Pour x = π, o obtiet : puis cos απ = si απ απ α si απ π( α ) α = π cot απ α α S (t) = π cot απ α α Exercice 3 : [éocé] Soit f la foctio périodique paire défiie sur [ ; π] par f (t) = si t. f est cotiue et C par morceaux. Sa série de Fourier coverge ormalemet vers f et cela permet d écrire d où le résultat. Si =, a ( f ) = π t [ ; π], si t = a ( f ) + si t cos(t) dt = π a ( f ) = a ( f ) cos(t) si( + )t si( )t dt

20 [ édité le 4 septembre 6 Correctios Si, a ( f ) = π [ ] π cos( + )t [ + π ] π cos( )t = ( + ( ) ) π( ) Exercice 4 : [éocé] Le problème est qu ici f est pas de classe C par morceaux puisqu elle admet de dérivée à droite et à gauche e. Pour >, o a b = et Or l itégrale a = π [ ] π x cos(x) dx = x si(x) π π a = si(x) dx = π si(u) π x 3/ du π u si u u du si(x) x est covergete comme o peut le vérifier à l aide d ue itégratio par parties sur [ ; + [ Par coséquet, a = O ( / 3/) la série de Fourier de f est ormalemet covergete. État cotiue, la série de Fourier coverge e moyee quadratique vers f et sa somme est égale à f. Exercice 5 : [éocé] (a) La foctio -périodique étudiée est cotiue et de classe C par morceaux dot développable e série de Fourier. a = α( ) si(απ) π(α ) et b = La valeur e de ce développemet permet d établir : + α ( ) α = απ si(απ) dx (b) Par covergece ormale, la foctio α + ( ) α passat à la limite quad α, o obtiet (c) t α + t dt = = ( ) = lim α ( α ( απ si(απ) t α + t dt = t α + t dt + N ( ) t α + dt = Par le critère spécial des séries alterées, ( ) t α + dt Par u = /t, =N+ t α + t dt = = = t α + t dt = par la même démarche qu au dessus. Par suite Exercice 6 : [éocé] t α + t dt = α + α est cotiue sur [ ; /]. E )) = π t α + t dt ( ) t α + dt+ t α+n dt = ( ) t α + = u α u + du = (a) La foctio f est paire b = pour et E exploitat o obtiet au terme des calculs pour N. a = π =N+ N + α + = ( ) α = cos(αt) cos(t) dt ( ) + α ( ) α π si(απ) cos(a) cos(b) = (cos(a + b) + cos(a b)) α si απ a = ( ) π( α ) ( ) t α + dt

21 [ édité le 4 septembre 6 Correctios (b) La foctio f est cotiue et de classe C par morceaux sa série de Fourier coverge uiformémet vers elle-même. O peut alors écrire ce qui doe Pour x =, o obtiet f (x) = puis la relatio voulue. (c) La foctio x R, f (x) = a + a cos(x) = si απ απ si απ απ + α si απ ( ) π( α ) cos(x) si απ ( ) + α απ α f : t tα + t est défiie et cotiue par morceaux sur ] ; + [. O vérifie f (t) f (t) t + /t α ce qui assure l itégrabilité de f. Par sommatio géométrique E décomposat la somme e deux D ue part t α dt == + t t α + t dt = ( ) t +α dt = N = N ( ) t +α dt = = ( ) t +α dt + N = ( ) + α =N+ t tα et ( ) t +α dt ( ) N + + α = la covergece de la série état acquise par le critère spécial des séries alterées. D autre part ( ) t +α dt t N+α dt = N + + α =N+ [;[ la majoratio de la somme état obteue par majoratio du reste d ue série vérifiat le critère spécial des séries alterées. O peut alors affirmer e passat à la limite quad N + Puisque par chagemet de variable o a aussi O e tire et fialemet Exercice 7 : [éocé] (a) Les séries est défiie sur R. est paire. a +(x π) f (x) = t α + t dt = ( ) + α t α + t dt = u=/t = u α u + du t α + t dt = ( ) + ( α) = t α + t dt = α + = t α + t dt = α + α et a + x + ( ) + α + ( ) α = ( ) α π si(απ) sot absolumet covergetes f a +(x+π) ( ) a + (x π) + a + (x + π) (b) Par traslatio d idice, o observe que f est -périodique. Posos f (x) = a + (x π) + a + (x + π) (c) f est de classe C, f coverge simplemet et f coverge ormalemet sur [ ; π] f est cotiue et C par morceaux développable e série de Fourier. cos t π eb dt = b + t b

22 [ édité le 4 septembre 6 Correctios (d) f est paire b = pour tout N. Pour N, a = π f (t) cos(t) = π cos(t) a + t dt+ π cos(t) a + (t π) + Par covergece de la série des itégrales des valeurs absolues, E traslatat les itégrales, a = π k= cos(t) a + (t kπ) dt cos(t) a + (t + π) dt Après calculs O a alors (c) Par la formule de Parseval g() = si = 4 π b = si si si = S () = g(t) dt = (π ) 6 (e) a = π avec b = a pour et a = a. cos(t) a + t dt = cos u π b + u du f (t) = a + e a cos(t) = ( ) + Re a a e a+it = e a (cos t e a ) a e a cos t + e a Exercice 9 : [éocé] La foctio f est paire, cotiue et de classe C par morceaux. Sa série de Fourier coverge uiformémet vers elle-même. Après calculs, o obtiet f (t) = π p= 4 π((p) ) cos(pt) Exercice 8 : [éocé] (a) La foctio f est de classe C par morceaux et régularisée développable e série de Fourier. a = et par itégratio par parties b = /. Le développemet e série de Fourier de f s écrit (b) Pour x =, o obtiet f (x) = si si(x) = π = S (x) La foctio g est de classe C par morceaux et cotiue développable e série de Fourier. a = et b = π π t si(t) dt + π t si(t) dt π Exercice 3 : [éocé] (a) Par -périodicité (b) O a f (t + h)e it dt = +h h f (u)e iu e ih du = c ( f h ) = (e ih )c ( f ) c ( f h ) = ie ih/ si h c ( f ) c ( f h ) = 4 si h c ( f ) puis par la formule de Parseval et la lipschitziaité de f Z ( ) h si c ( f ) = 4 f (u)e iu e ih du f h (t) dt (kh) 4

23 [ édité le 4 septembre 6 Correctios 3 (c) Par la cocavité de la foctio sius sur [ ; π/], le graphe est au dessus de la corde Aisi pour h π o a et Aisi h π h π x [ ; π/], si x π x h π c ( f ) si ( h c ( f ) si h π Z ( ) h c ( f ) c ( f ) (kπ) 4 ) c ( f ) (kh) 4 Ceci valat pour tout h >, o peut e cosidérat h + assurer que les sommes partielles de la série c ( f ) sot borée et que cette série coverge. (d) Pour tout t R, sup t R c ( f )e it = c ( f ) ( ) + c ( f ) e vertu de l iégalité ab a + b. Par comparaiso de séries à termes positifs, o peut affirmer la covergece ormale de la série des foctios t c ( f )e it. Cette covergece ormale etraîe ue covergece e moyee quadratique qui e peut avoir lieu que vers f (qui est cotiue car lipschitziee). O peut coclure que la série de Fourier de f coverge ormalemet vers f sur R. Exercice 3 : [éocé] (a) La foctio f est cotiue, -périodique et de classe C par morceaux. La série de Fourier de f coverge uiformémet vers f. (b) Après calculs et La série de Fourier de f est a ( f ) = π(4 ), a +( f ) = b ( f ) = / et b ( f ) = pour > π + si(t) + π(4 ) cos(t) E calculat e t =, o obtiet 4 = (ce qui aurai pu aussi s obteir par décompositio e élémets simples puis télescopage). Par la formule de Parseval et Exercice 3 : [éocé] Par l iégalité de Cauchy-Schwarz 4 = 4π π a ( f )a (g) (4 ) (4 ) = π 6 a ( f ) a (g) < + La série servat à défiir h s avère ormalemet covergete d où l existece, la cotiuité de h et la recoaissace immédiate de ses coefficiets de Fourier. De plus h(x) a ( f )a (g) + 4 Par l égalité de Parseval : h(x) et o coclut. Exercice 33 : [éocé] D ue part = a ( f ) a ( f )a (g) + 4 t e i(+)θ dt = f (t) dt a ( f ) a (g) + 4 g(t) dt f g e iθ dt = teiθ e iθ t dt a (g)

24 [ édité le 4 septembre 6 Correctios 4 ce qui justifie l existece de l itégrale. O peut alors calculer sa partie réelle ( ) dt e iθ t Re e iθ = Re t e iθ t dt = cos θ t dt = l ( si(θ/)) (cos θ t) + si θ D autre part avec ε N = où Aisi puis Fialemet = =N+ Exercice 34 : [éocé] t e i(+)θ dt = = t e i(+)θ dt = N = t e i(+)θ dt = t e i(+)θ dt + N = =N+ e i(+)θ + + ε N t N+ e i(n+)θ te iθ dt m θ = mi { te iθ t [ ; ] } > Re = = t e i(+)θ dt = = t e i(+)θ dt = cos θ e i(+)θ + ( = l si θ ) cos θ t e i(+)θ dt t N+ m θ dt = (a) La foctio f est paire b = et a = π f (t) cos(t) dt. O obtiet a = α π et a = si(α) π pour N. La série de Fourier est alors α π + si(α) cos(t) π m θ (N + ) E vertu du théorème de Dirichlet, celle-ci coverge e tout poit vers la régularisée de f car la foctio f est de classe C par morceaux. Puisque la régularisée de f est pas cotiue, cette covergece e peut pas être uiforme. (b) La régularisée de f pred respectivemet les valeurs et / e et α. (c) Par la formule de Parseval O e déduit après calculs f (t) dt = a 4 + a si (α) α(π α) = (d) La foctio ϕ: t si t est itégrable sur ] ; + [ car cotiue, prologeable par t cotiuité e et domiée par t e +. t E découpat l itégrale et si t t dt = si t dt = t = (+)α = α si (α) α si t t dt = α + = α = [ si (α + t) (α + t) O a ϕ (t) = si t (t cos t si t) t 3 Puisque ϕ est cotiue et puisque il existe M R + vérifiat et e particulier t 3/ ϕ(t) t + et t3/ ϕ(t) t + t ] ; + [, ϕ (t) M t 3/ t [α ; ( + )α], ϕ (t) M (α) 3/ si (α + t) (α + t) dt ] si (α) dt (α)

25 [ édité le 4 septembre 6 Correctios 5 Par l iégalité des accroissemets fiis, o a alors α [ si ] (α + t) si (α) α dt (α + t) (α) M α t dt = (α) 3/ M 3/ puis α = Aisi et quad α +, o obtiet Exercice 35 : [éocé] [ si ] (α + t) si (α) dt (α + t) (α) M α si t t dt = π α si t t dt = π + O( α) (a) E représetat la foctio g, o peut voit qu à la valeur e foctio est impaire. Par suite a (g) = et b (g) = π (π t) si(t) dt = 3/ = C α [] près, cette (b) Puisque f est cotiue et C par morceaux f est développable e série de Fourier et t [ ; ], f (t) = a ( f ) + (a ( f ) cos(t) + b ( f ) si(t)) De plus, il y a covergece ormale de cette série de Fourier. O a alors t [ ; ], (π t) f (t) = a ( f ) (π t) + (π t) (a ( f ) cos(t) + b ( f ) si(t)) avec covergece ormale de la série de foctios sous-jacete. O peut itégrer terme à terme sur le segmet [ ; ] cette série de foctios cotiues et aisi obteir (π t) f (t) dt = a ( f ) (π t) 4π + + b ( f ) (a ( f ) (π t) cos(t) dt (π t) si(t) dt ) E recoaissat les coefficiets de Fourier de g déjà calculés (c) Par polarisatio f (t)g(t) dt = 4 Par la formule de Parseval ( (π t) f (t) dt = ( f (t) + g(t)) dt ( f (t) ± g(t)) dt = a ( f ± g) + 4 b ( f ) avec a ( f ± g) = a ( f ) ± a (g) et b ( f ± g) = b ( f ) ± b (g). O e déduit puis la relatio voulue. f (t)g(t) dt = a ( f )a (g) 4 + ) ( f (t) g(t)) dt ( a ( f ± g) + b ( f ± g) ) (a ( f )a (g) + b ( f )b (g)) Exercice 36 : [éocé] Ue petite aalyse ous covit d itroduire ue foctio impaire et -périodique égale à f sur [ ; π]. Cela ous est possible grâce aux coditios f () = f (π) =. Notos g cette foctio. Elle est cotiue et de classe C par morceaux sa série de Fourier coverge uiformémet vers elle-même. Ceci permet d écrire E posat a = b, o a alors x R, g(x) = x [ ; π], f (x) = b si(x) a si(x) Les coefficiets de Fourier de g se déduisat de ceux de g par itégratio par parties Sachat a (g ) = b (g) et b (g ) = a (g) = g = f =

26 [ édité le 4 septembre 6 Correctios 6 la formule de Parseval appliquée à g doe Exercice 37 : [éocé] a = π (a) Par cotraposée, supposos la covergece de a. La suite (a ) ted alors vers et est borée par u certai m R +. O a alors puis l. (b) Pour tout r R +, o a f (z) m l M(r) r f (re it ) = = M(r) me r l m + r r = z! = me z a! r e it Par covergece ormale de la série de foctios sous-jacete puis f (re it )e it a k dt = k! rk δ k, = a! r k= a! r et efi l iégalité demadée. f (re it ) dt M(r) (c) Supposos l < et itroduisos q ]l ; [. Pour r assez grad, o a et l M(r) r q M(r) e qr E preat r =, o a pour assez grad a eq! eq e =.α avec α = e q /e vérifiat α <. Puisque la série de terme gééral α coverge, u argumet de comparaiso de série à termes positifs assure l absolue covergece et la covergece de a. Exercice 38 : [éocé] Posos k la partie etière de /. O peut écrire avec F (x) = k ε (x) f (x + t) f (t) dt + ε (x) k f f E itroduisat le produit scalaire hermitie usuelle sur l espace des foctios complexes cotiues périodiques k f (x + t) f (t) = k f x, f avec f x : t f (x + t). E ( otat (c ) Z la suite des coefficiets de Fourier expoetiels de f, celle de f x est c e ix) et Z Posos F(x) = f x, f = c e ix c e ix = f (x + t) f (t) dt ce qui défiit ue foctio cotiue -périodique. O a F (x) = k F(x) + ε(x) et F (x) F(x) k F(x) + ε(x) puis F (x) F(x) F + f

27 [ édité le 4 septembre 6 Correctios 7 Puisque ce majorat e déped pas de x, F F F + f et la suite (F ) coverge uiformémet vers F sur R. b) O a F (x) c e ix = c = F() F F() Exercice 39 : [éocé] La foctio x si x est -périodique, cotiue et de classe C par morceaux, elle est égale à sa somme de Fourier (qui coverge ormalemet). Puisque cette foctio est paire b = et ce qui doe O e déduit Or a = π si x cos(x) dx = π a = ( + ( ) ) π( ) si( + )x si( )x dx a = 4 π, a 4 p = π(p ) et a p+ = x R, si(x) = π 4 π cos(x) = si x et par covergece des séries itroduites o obtiet x R, si(x) = π 4 π Efi, e évaluat cette relatio e x =, o obtiet et o peut coclure. π 4 π 4 = cos(x) si (x) π 4 Exercice 4 : [éocé] (a) Modifios la valeur de f e kπ(k Z) e posat f (kπ) =. La foctio obteue est -périodique et impaire. O a a ( f ) = et par itégratio par parties b ( f ) = π π x si(x) dx = La foctio g est paire b (g) = et par traslatio de la variable a (g) = π f (x) cos((x )) dx π puis e développat les expressios trigoométriques a (g) = si() π (b) Par la formule de Parseval f (x) cos((x + )) dx f (x) si(x) dx = si()b ( f ) = si() g(x) dx = a (g) + 4 a (g) Pour x [ ; [, g(x) = π et pour x ] ; π], g(x) = d où Exercice 4 : [éocé] O sait Or pour tout p N g(x) dx = π g(x) dx = ( ) si = π p N, Z, c ( f (p) ) = (i) p c ( f ) c ( f (p) ) ( (π ) + (π ) ) = π f (p) (t) M dt c ( f ) M p Pour, o a p + et o e déduit c ( f ) =. p + Puisque f est au mois de classe C, f est égale à sa somme de Fourier et de la forme La réciproque est immédiate. f (t) = c e it + c + c e it

28 [ édité le 4 septembre 6 Correctios 8 Exercice 4 : [éocé] (a) Posos u(x, t) = f (x)e ixt de sorte que ˆ f (x) = La foctio u est défiie et cotiue sur R R et u(x, t) dt (x, t) R, u(x, t) = f (x) = ϕ(x) avec ϕ: R R + cotiue par morceaux et itégrable puisque ulle e dehors de [ A ; A]. Par domiatio, o peut affirmer que la foctio fˆ est cotiue. Par deux itégratio par parties et t A A A f (x)e ixt dx = f (x)e ixt dx A t f ˆ(t) A A f (x) dx = M (b) Cosidéros la foctio f, T périodique et égale à f sur [ T/ ; T/]. La foctio f est de classe C et sa série de Fourier coverge vers elle-même. O peut alors écrire avec x R, f (x) = k= c k ( f )e ikπ x T c k ( f ) = T/ f (x)e ikπx T dx = f (x)e ikπx T dx = ( ) f T T/ T T ˆ kπ T (c) O peut découper l itégrale covergete ˆ f (t)e ixt dt = et par la relatio qui précède ˆ f (t)e ixt dt f (x) = (k+)π/t k= kπ/t (k+)π/t k= kπ/t ˆ f (t)e ixt dt ( ˆ f (t) ˆ f (kπ/t) ) e ixt dt Découpos la somme k >N k=... = N k= N Puisque f ˆ(t) M/t, o obtiet (k+)π/t ( f ˆ (t) f ˆ(kπ/T) ) e ixt dt kπ/t k=n k >N T M (kπ/t) = MT π Comme ˆ f est cotiue sur R et ted vers e ±, cette foctio est uiformémet cotiue. Soit ε >, il existe η > tel que et alors si /T η, o a N puis k= N t, s R, t s η = ˆ f (t) ˆ f (s) ε (k+)π/t kπ/t ( f ˆ (t) f ˆ(kπ/T) ) e ixt dt f ˆ(t)e ixt dt f (x) ε(n + ) T ε(n + ) T + 4MT πn Cosidéros alors T = εn et pour N assez grad, /T η et l o obtiet f ˆ(t)e ixt dt f (x) (N + ) ε + ε 4M N π C ε Ceci valat pour tout ε >, o peut coclure... Exercice 43 : [éocé] (a) Soit x R. Notos f x la foctio défiie par f x (t) = f (x t). Par chagemet de variable u = x t et la -périodicité o obtiet c ( f x ) = f (x t)e it dt = k=n f (t)e i(x t) dt = e ix c ( f ) Par calcul du produit scalaire das C via les coefficiets de Fourier f x (t)g(t) dt = c ( f x )c (g) = c ( f )c (g)e ix k MT π(n ) 4

29 [ édité le 4 septembre 6 Correctios 9 (b) Soiet y ue solutio -périodique de l équatio (E), s il e existe. Les autres solutios de (E) sot de la forme y(x) = y (x) + λe x + µe x avec λ, µ C Si ue telle foctio est -périodique, elle est écessairemet borée et λ = µ =, d où l uicité. (c) Puisque (e p ) = p e p, la foctio doée par y(x) = est solutio de l équatio y y = e p. (d) Si g est solutio alors pour h = e p, o obtiet O obtiet p + eipx = c p (g) = p + eipx g(x t)e ipt dt = g(t)e ipt dt = p + g(t)e ip(x t) dt Suite à cette aalyse, cosidéros la foctio g: R C défiie par g(t) = p + eipt O vérifie aisémet par covergece ormale que g est cotiue, -périodique et p Z, c p (g) = Cosidéros esuite la foctio f défiie par Par les calculs iitiaux f (x) = f (x) = c (g)c (h)e ix = p + eipt g(x t)h(t) dt c (h) + eix Comme la foctio h est de classe C, elle est égale à sa somme de Fourier et, plus précisémet, les termes c (h) sot sommables. O peut alors démotrer par covergece ormale que la foctio f est de classe C avec f (x) = c (h) + eix de sorte que Exercice 44 : [éocé] f (x) f (x) = c (h)e ix = h(x) (a) O observe que e t f (x + t) f e t. Cette domiatio permet d affirmer que G( f ) est défiie et cotiue sur R. La -périodicité de G( f ) est évidete et la liéarité de l applicatio f G( f ) l est aussi. Aisi G est u edomorphisme de E. De plus, G( f ) ( O peut appliquer le théorème de Fubii et affirmer avec car f est -périodique. Aisi G( f ) G( f ) e t ( f (x + t) dx = f ce qui doe la cotiuité de l edomorphisme G. ) e t f (x + t) dt dx e t f dt = f ) f (x + t) dx dt (b) Étudios les coefficiets de Fourier des foctios f et G( f ). Pour Z, c (G( f )) = ( ) e t f (x + t) e ix dt dx O peut appliquer le théorème de Fubii et affirmer c (G( f )) = ( ) e t e it f (x + t) e i(x+t) dx dt Ce qui doe La foctio c (G( f )) = c ( f ) g: x e (i )t dt = c ( f ) i e ix + 3/

30 [ édité le 4 septembre 6 Correctios 3 est élémet de E, s il existe f E vérifiat G( f ) = g alors (i ) c ( f ) = + 3/ d où c ( f ) / ce qui est icompatible avec la covergece de la série + c ( f ). Aisi la foctio G est pas surjective. (c) Soit λ K et f E. Si G( f ) = λ f alors pour tout Z, c ( f ) i = λc ( f ) Si λ { i Z} alors ue solutio à l équatio G( f ) = λ f vérifie c ( f ) = pour tout Z et f = + c ( f ) = doe f =. S il existe Z vérifiat λ = i alors pour tout alors c ( f ) =. Posos alors g: x f (x) c ( f ) e ix E. Pour tout Z, c (g) = g = puis f : x c ( f ) e ix. La réciproque est immédiate. Fialemet { } Sp G = i Z et E /(i ) (G) = Vect(x e ix ) Exercice 45 : [éocé] (a) Il suffit d exploiter t f (t) ( t + f (t) ) (b) La relatio est vraie pour P(X) = X et se gééralise à tout P R[X] par liéarité. E vertu de ce qui précède P(t) dt P(t) dt = P(t) dt (P(e iθ )) e iθ dθ Par l iégalité triagulaire et puisque P(t) dt P(e iϕ ) dϕ = θ= ϕ P(e iθ ) dθ P(e iθ ) dθ avec P(e iθ ) = P(e iθ ) car P est u polyôme réel, o obtiet (c) De faço immédiate a k ( f ) = k= a k ( f ) k= Par l iégalité de Cauchy-Schwarz a k ( f ) avec k= P(t) dt a k ( f )t k dt k= t k f (t) dt = k= P(e iθ ) dθ a k ( f )t k f (t) dt k= ( a k ( f )t k dt a k ( f ) e ikθ dθ = π e vertu de la formule de Parseval. O e déduit ( ) a k ( f ) π f (t) dt et l o peut dès lors coclure. k= k= ) f (t) dt a k ( f ) (d) L applicatio N est bie défiie de E das R + et o a évidemmet N(λ. f ) = λ N( f ) et N( f + g) = N( f ) + N(g) car f a k ( f ) est liéaire et que la orme sur l (N, R) est bie coue. Il reste à motrer N( f ) = = f = i.e. Cosidéros f E vérifiat et e coséquece immédiate ( k N, a k ( f ) = ) = f = P R[X], k N, a k ( f ) = P(t) f (t) dt = Pour N N \ {, }, itroduisos g N : [ ; [ R cotiue, affie sur [ ; /N] [ /N ; /N] et [ /N ; [ avec k= g N (t) = sur [ ; /N] et g N (t) = sur [ /N ; [

31 [ édité le 4 septembre 6 Correctios 3 (e) Les foctios f p sot bie élémets de E. O a et f p = + /p k N, ak ( f p ) N( f p ) k= dx x (k + /) Les ormes N et. e sot pas équivaletes. p + t k dt k + / = C te Efi, cosidéros f N = g N f. La foctio f N est ulle sur [ /N ; [ et peut être prologée par cotiuité e. Par le théorème de Weierstrass, il existe ue suite de polyômes (P ) N covergeat uiformémet vers f N sur [ ; ]. O a alors P (t) f (t) dt f N (t) f (t) dt + (il suffit d étudier la différece e employat l iégalité de Cauchy-Schwarz). Or Par covergece domiée, o a et N, P (t) f (t) dt = f N (t) f (t) dt = f N (t) f (t) dt = f (t) dt N + f (t) dt = et l o peut coclure que la foctio f est ulle. Exercice 46 : [éocé] (a) O a pour t > t si t.e t est itégrable sur ] ; + [ et si t e t = si t.e t si t e t dt te t dt = est le terme gééral d ue série covergete t si t e t est itégrable sur ] ; + [ et si t e t dt = si t.e t dt avec si t.e t dt = Im Fialemet (b) b = et e ( +i)t dt = si t e t dt = + a = ( ) (e π e ) π( + ) +

32 [ édité le 4 septembre 6 Correctios 3 (c) La foctio f est cotiue et C par morceaux. O peut appliquer le théorème de covergece ormale et e déduire Pour t = π, o obtiet Exercice 47 : [éocé] t [ ; π], ch t = sh π π + sh π π + = π coth π ( ) + cos(t) (a) La foctios t e t f (x + t) est cotiue par morceaux sur [ ; + [ et vérifie e t f (x + t) f e t = ϕ(t) avec ϕ itégrable. O e déduit que la foctio G( f ) est bie défiie car la foctio défiissat l itégrale G( f )(x) est itégrable. De plus, la foctio x e t f (x + t) est cotiue sur R et la domiatio précédete permet aussi d affirmer que la foctio G( f ) est cotiue. Efi, il est immédiat de vérifier que G( f ) est -périodique e exploitat la périodicité de f. Aisi G( f ) E. La liéarité de l applicatio G est immédiate. (b) Par la majoratio qui précède O e déduit par liéarité G( f )(x) G( f ) f f e t dt f, f E, G( f ) G( f ) f f L applicatio G est lipschitziee et, a fortiori, cotiue. (c) Pour f E et g = G( f ), o peut par traslatio de la variable écrire g(x) = e x e u f (u) du x La foctio g apparaît alors comme u produit de foctios de classe C sur R, elle est de classe C et g (x) = g(x) e x e x f (x) d où f (x) = g(x) g (x) (d) O sait c (g ) = ic (g) et par liéarité des coefficiets de Fourier La série de Fourier de g est alors c (g) = c ( f ) i c ( f ) i eix et celle-ci coverge ormalemet car la foctio g est de classe C. (e) Si g = G( f ) = alors puis Z, c (g) = Z, c ( f ) = f (t) dt = c ( f ) = et l o peut coclure que la foctio cotiue f est ulle. Aisi ker G = { } et l applicatio G est ijective. L applicatio G est pas surjective puisque ses valeurs sot des foctios de classe C. (f) Les foctios G( f ) et λ f état cotiues, o a l équivalece et G( f ) = λ f Z, c (G( f )) = λc ( f ) G( f ) = λ f Z, c ( f ) = λ( i)c ( f ) Si le complexe λ est de la forme i avec Z alors Sio E λ = { }. Exercice 48 : [éocé] Par décompositio e élémets simples E λ = Vect(t e it ) si x t cos x + t = a t e ix + ā t e ix