ELECTRICITE. Chapitre 7 Théorèmes de superposition, Thévenin et Norton appliqués à un réseau électrique linéaire en alternatif sinusoïdal.

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1 TT nalys ds signaux t ds circuits élctriqus Michl Piou hapitr 7 Théorèms d suprposition, Thévnin t Norton appliqués à un résau élctriqu linéair n altrnatif sinusoïdal. dition /03/04

2 Tabl ds matièrs POUQUO T OMMNT?... THOMS FONDMNTUX DS SUX NS.... Définitions.... Théorèm d suprposition Théorèm d Thévnin n régim altrnatif sinusoïdal prmannt Théorèm d Norton n régim altrnatif sinusoïdal prmannt XMPS D PPTON DS THOMS: POMS T XS....6 hap 7. xrcic : Théorèm d Thévnin...6 hap 7. xrcic : Suprposition...6 hap 7. xrcic 3 : Suprposition...6 hap 7. xrcic 4 : Suprposition hap 7. xrcic 5 : Théorèm d Thévnin...7 hap 7. xrcic 6 : Théorèm d Millman....7 hap 7. xrcic 7 : Montag étoil déséquilibré n régim altrnatif sinusoïdal triphasé....8 hap 7. xrcic 8 : ircuit avc sourc linéairmnt dépndant QU J TNU DU HPT «THOMS D THVNN, NOTON T SUPPOSTON V DS SUX TQUS NS» PONSS UX QUSTONS DU OUS...9 Tmps d travail stimé pour un apprntissag d c chapitr n autonomi : 7 hurs xtrait d la rssourc n lign sur l sit ntrnt opyright : droits t obligations ds utilisaturs autur n rnonc pas à sa qualité d'autur t aux droits moraux qui s'y rapportnt du fait d la publication d son documnt. s utilisaturs sont autorisés à fair un usag non commrcial, prsonnl ou collctif, d c documnt t d la rssourc aslcpro notammnt dans ls activités d'nsignmnt, d formation ou d loisirs. Tout ou parti d ctt rssourc n doit pas fair l'objt d'un vnt - n tout état d caus, un copi n put pas êtr facturé à un montant supériur à clui d son support. Pour tout xtrait d c documnt, l'utilisatur doit maintnir d façon lisibl l nom d l autur Michl Piou, la référnc à aslcpro t au sit ntrnt UT n lign. a diffusion d tout ou parti d la rssourc aslcpro sur un sit intrnt autr qu l sit UT n lign st intrdit. Un vrsion livr st disponibl aux éditions llipss dans la collction Tchnosup sous l titr ÉTTÉ GÉNÉ s lois d l élctricité Michl POU - grégé d géni élctriqu UT d Nants Franc Du mêm autur : MagnlcPro (élctromagnétism/transformatur) t PowrlcPro (élctroniqu d puissanc)

3 hapitr 7 - Théorèms d suprposition, Thévnin t Norton - résau élctriqu linéair - THOMS D SUPPOSTON, THVNN T NOTON PPQUS UN SU TQU N POUQUO T OMMNT? Prérquis : Tous ls chapitrs à 6. a notion d somm d complxs t d produit d complxs. calcul ds fractions. Objctifs : ésaux linéairs n altrnatif sinusoïdal. objctif st d complétr ls outils d calcul ds circuits pour l élctricin t l élctronicin. élctricin utilisra cs outils pour calculr ls résaux d distribution d énrgi élctriqu. élctronicin n fra un d ss outils d bas pour l calcul d nombrux montags tls qu ls amplificaturs ou ls filtrs. Méthod d travail : chapitr fra largmnt appl au calcul, t n particulir au calcul n complx. Pour évitr ls rrurs d calcul littéral, il faut vérifir l homogénéité ds formuls : on put s assurr qu ls dux côtés d un égalité s xprimnt bin avc la mêm unité ou qu on n additionn pas ds trms d natur différnt (Par xmpl : on n additionn pas ds volts t ds ohms ). Pour limitr ls rrurs d calcul numériqu, on put vérifir l ordr d grandur du résultat. Dans c chapitr, l utilisation d schémas sra un aspct important. Pour bin ls «voir», il st vivmnt consillé d fair ds schémas proprs, assz grands t n coulur! l faut s convaincr qu l absnc d schéma ou la réalisation d un schéma tout gris t rabougri st sourc d prt d tmps t d rrurs. Travail n autonomi : Pour prmttr un étud du cours d façon autonom, ls réponss aux qustions du cours sont donnés n fin d documnt. orrigés n lign : Pour prmttr un vérification autonom ds xrcics, consultr «aslcpro» (chrchr «baslcpro accuil» sur ntrnt avc un motur d rchrch) UT n lign - aslcpro

4 hapitr 7 - Théorèms d suprposition, Thévnin t Norton - résau élctriqu linéair - THOMS FONDMNTUX DS SUX NS. Définitions Un résau élctriqu st dit «linéair» s il st constitué uniqumnt d dipôls passifs linéairs, d sourcs idéals d tnsion (ou d courants) indépndants ou linéairmnt dépndants (). s dipôls passifs linéairs ont déjà été vus. Pour l ssntil, ils sont constitués d résistancs, d inductancs t d condnsaturs. s sourcs d tnsion idéals ont un résistanc (ou un impédanc) intrn null. Un sourc d tnsion idéal st dit «indépndant» si la valur d sa tnsion n dépnd pas du circuit auqul ll st rlié. Un sourc d tnsion idéal st dit «linéairmnt dépndant» si la valur d sa f..m. st proportionnll à un ds courants ou un ds tnsions du résau considéré : résau linéair sourc d tnsion linéairmnt dépndant k. (k st un constant réll ou complx) résau non-linéair ci n st pas un sourc linéairmnt dépndant k. s sourcs d courant idéals ont un résistanc intrn infini. Un sourc d courant idéal st dit «indépndant» si la valur d son courant n dépnd pas du circuit auqul ll st rlié. Un sourc d courant idéal st dit «linéairmnt dépndant» si la valur d son courant st proportionnll à un ds courants ou un ds tnsions du résau considéré. résau linéair k. sourc d courant linéairmnt dépndant (k st un constant réll ou complx) () cla, nous ajoutrons plus tard ls «multipôls linéairs» par xmpl ls transformaturs n régim linéair. UT n lign - aslcpro

5 hapitr 7 - Théorèms d suprposition, Thévnin t Norton - résau élctriqu linéair - 3. Théorèm d suprposition Sans démonstration Dans un résau élctriqu linéair, l courant (ou la tnsion) dans un branch qulconqu st égal la somm algébriqu ds courants (ou ds tnsions) obtnus dans ctt branch sous l fft d chacun ds sourcs indépndants pris isolémnt, touts ls autrs sourcs indépndants ayant été rmplacés par lur impédanc intrn. énoncé d c théorèm st à connaîtr par cœur, mêm si, dans un prmir tmps, on n l comprnd pas très bin. in qu l théorèm d suprposition n s limit pas au régim continu ou altrnatif sinusoïdal, nous n traitrons ici qu ds xmpls avc ds génératurs continus t/ou altrnatifs sinusoïdaux. xmpl N v o (t) = 0.cos(ω.t) ; o = ; = 5 Ω. alculr v(t) par l théorèm d suprposition. Vérifir par la loi ds maills t ds nœuds. (épons :) Méthod : Pour utilisr l théorèm d suprposition, il st util d fair un schéma pour chaqu sourc indépndant : v o v v o xmpl N i v(t) v( t) = V$.cos( ω t ); = constant. xprimr i(t) n régim périodiqu n fonction ds élémnts du montag sachant qu =. ω =. ω (épons :) xmpl N 3 i i Touts ls sourcs sont altrnativs sinusoïdals d mêm fréqunc. qull condition l courant i st-il indépndant d? (épons 3:) UT n lign - aslcpro

6 hapitr 7 - Théorèms d suprposition, Thévnin t Norton - résau élctriqu linéair Théorèm d Thévnin n régim altrnatif sinusoïdal prmannt. théorèm d Thévnin a déjà été énoncé n régim continu. On put aussi l énoncr n régim altrnatif sinusoïdal quand touts ls sourcs indépndants sont d mêm fréqunc: Sans démonstration Tout résau élctriqu linéair n régim altrnatif sinusoïdal, vu ntr dux borns put êtr rmplacé par un circuit équivalnt constitué d un sourc d tnsion indépndant q n séri avc un impédanc q. q st la tnsion complx vu ntr ls dux borns t lorsqu l dipôl st à vid. q st l impédanc vu ntr ls dux borns du dipôl lorsqu touts ls sourcs indépndants sont rmplacés par lur impédanc intrn..4 Théorèm d Norton n régim altrnatif sinusoïdal prmannt. théorèm d Norton a déjà été énoncé n régim continu. On put aussi l énoncr n régim altrnatif sinusoïdal quand touts ls sourcs indépndants sont d mêm fréqunc: Sans démonstration Tout résau élctriqu linéair n régim altrnatif sinusoïdal, vu ntr dux borns put êtr rmplacé par un circuit équivalnt constitué d un sourc d courant indépndant q n parallèl avc un impédanc q. q ou cc st l courant complx d court-circuit ntr ls dux borns t. q st l impédanc vu ntr ls dux borns du dipôl lorsqu touts ls sourcs indépndants sont rmplacés par lur impédanc intrn. appl sur la dualité séri/parallèl q q : tnsion équivalnt d Thévnin ou tnsion à vid du dipôl. q q q q : impédanc équivalnt d Thévnin ou impédanc équivalnt d Norton ou impédanc intrn du dipôl. Vis à vis du rst du montag, ls dux dipôls sont équivalnts si : =. t = q q q q ' q q : courant équivalnt d Norton ou courant d court-circuit du dipôl. énoncé d cs théorèms st à connaîtr par cœur, mêm si, dans un prmir tmps, on n ls comprnd pas très bin. UT n lign - aslcpro

7 hapitr 7 - Théorèms d suprposition, Thévnin t Norton - résau élctriqu linéair XMPS D PPTON DS THOMS: xmpl N (régim altrnatif sinusoïdal) On vut détrminr un schéma équivalnt au dipôl. solution: alculr q (à l aid du théorèm d suprposition) t q. n déduir q. (t) t i (t) sont altrnatifs sinusoïdaux d mêm fréqunc. solution: onvrtir l dipôl, n son équivalnt d Norton, puis convrtir l nsmbl du dipôl n son équivalnt d Thévnin. n déduir q. 3 solution: n partant d sa définition, calculr dirctmnt q. (épons 4:) xmpl N (t) On vut détrminr un schéma équivalnt au dipôl. Qu n pnsz-vous? t i(t) st un fonction altrnativ sinusoïdal (épons 5:) xmpl N 3 (régim altrnatif sinusoïdal) k. Sachant qu k st un constant réll différnt d, détrminr l schéma équivalnt d Thévnin d c dipôl. (épons 6:) UT n lign - aslcpro

8 hapitr 7 - Théorèms d suprposition, Thévnin t Norton - résau élctriqu linéair POMS T XS. hap 7. xrcic : Théorèm d Thévnin. v =.ω = 00 Ω. (t) = 00.cos(ωt) alculr v(t) n régim prmannt ( ) n utilisant l modèl équivalnt d Thévnin du dipôl hap 7. xrcic : Suprposition v Sachant qu ( t) = 5.cos( ω. t), ( t) = 5.sin( ω. t) t qu =.ω = 00 Ω, détrminr v (t) n régim prmannt n appliquant l théorèm d suprposition. prndr l mêm calcul n utilisant l modèl équivalnt d Norton du dipôl. hap 7. xrcic 3 : Suprposition v Sachant qu ( t) = 5.cos( ω. t), ( t ) = constant = 0V t qu = = 00Ω,. ω détrminr v (t) n régim prmannt. présntr l graph d v(t). marqu : association d un sourc continu (l alimntation n énrgi) t d un sourc altrnativ (l signal véhiculant l information) st un situation fréqunt n élctroniqu. théorèm d suprposition st alors un outil préciux. ( ) Nous n étudions pas ls signaux à la mis sous tnsion du montag, mais uniqumnt lorsqu l régim altrnatif sinusoïdal st stabilisé. UT n lign - aslcpro

9 hapitr 7 - Théorèms d suprposition, Thévnin t Norton - résau élctriqu linéair - 7 hap 7. xrcic 4 : Suprposition 3 v Sachant qu ( t) = 5.cos( ω. t), ( t ) = constant = 0V t qu =.ω = 00 Ω, détrminr v (t) n régim prmannt. présntr l graph d v(t). hap 7. xrcic 5 : Théorèm d Thévnin. i i Sachant qu: ( t) = 00.sin( ω. t) π ( t) = 00.cos( ω. t ) 4 i( t) =.cos( ω. t) = 000 Ω t. ω = = 00 Ω. ω n déduir i(t) n régim prmannt n utilisant l théorèm d Thévnin. hap 7. xrcic 6 : Théorèm d Millman. 3 V 3 alculr l courant d court-circuit complx cc t l impédanc équivalnt q du dipôl. n déduir la tnsion équivalnt d Thévnin q du dipôl. tt démarch avc c typ d dipôl st applé «théorèm d Millman». Sachant qu: ( t) = 5.cos( ω. t), = 0 π j ( t) = 5.sin( ω. t), = 0. 3( t) = 5.sin( ω. t), 3 0 j π =. alculr v(t). marqu : tt démarch dit «Théorèm d Millman» sra d un grand utilité n élctroniqu pour l étud ds montags amplificaturs. UT n lign - aslcpro

10 hapitr 7 - Théorèms d suprposition, Thévnin t Norton - résau élctriqu linéair - 8 hap 7. xrcic 7 : Montag étoil déséquilibré n régim altrnatif sinusoïdal triphasé. (On rtrouvra c typ d schéma dans l cours sur ls ligns triphasés n élctrotchniqu) 3 O ) noncr l théorèm d Norton n régim altrnatif sinusoïdal. ) xprimr q t q du schéma équivalnt d Norton du dipôl NO ci-contr. V V V3 V ON 3) n déduir ls élémnts du schéma équivalnt d Thévnin du dipôl NO. N 4) ommnt s appll c typ d démarch associé à c typ d dipôl? 5) pplication numériqu: v( t ) = 30.cos( ω.t ) = 3. j 0 alculr v ON (t) t i (t). v( t ) = 30 π j π.cos( ω.t ) = v3( t ) = 30 4π j π.cos( ω.t ) 3 = hap 7. xrcic 8 : ircuit avc sourc linéairmnt dépndant. i β.i (t) st un sourc d tnsion altrnativ sinusoïdal d amplitud Ê t d pulsation ω qui sra pris comm référnc (origin ds phass). Sachant qu β st un cofficint positif constant : ) alculr l impédanc équivalnt d Thévnin du dipôl n fonction ds élémnts du montag. ) alculr l courant complx équivalnt d Norton du dipôl. 3) n déduir la tnsion complx équivalnt d Thévnin du dipôl. 4) alculr dirctmnt la tnsion complx équivalnt d Thévnin du dipôl. UT n lign - aslcpro

11 hapitr 7 - Théorèms d suprposition, Thévnin t Norton - résau élctriqu linéair QU J TNU DU HPT «THOMS D THVNN, NOTON T SUPPOSTON V DS SUX TQUS NS». ) crir l théorèm d suprposition. ( théorèm doit êtr énoncé sans oublir un sul ds mots mis n gras dans l txt du cours) (il st consillé d illustrr clui-ci par un ptit xmpl). théorèm s appliqu-t-il uniqumnt pour ds sourcs continus ou uniqumnt pour ds sourcs altrnativs sinusoïdals? ) crir, pour l régim altrnatif sinusoïdal, la définition d la tnsion équivalnt d Thévnin, d l impédanc équivalnt t du courant équivalnt d Norton. Qull rlation xist-t-il ntr cs trois grandurs? 3) vc qul typ d dipôl utilis-t-on l théorèm d Millman? n quoi consist c théorèm? (s rportr évntullmnt à l xrcic hap 7. xrcic 6 : ). Ds tsts intractifs sont disponibls sur l sit «378» ou «36» ou «39». Dans l onglt «rssourcs», indiqur ou sur l sit G/lctricité/ ircuits t composants linéairs n altrnatif 6 PONSS UX QUSTONS DU OUS épons : v o v v o ( t ) v ( t ) = v ( t ). o Par ls lois d Kirchhoff : i o v = v( t ) = 5.cos( ω.t ) 5 ( t ) =.i( t ). v( t ) =.i( t ) ( i( t ) o) ( t ).o ( t ).o i( t ) = v( t ) =. (.t ) 5 = 5.cos ω. tour UT n lign - aslcpro

12 hapitr 7 - Théorèms d suprposition, Thévnin t Norton - résau élctriqu linéair - 0 épons : v c i v(t) i i i v(t) di n régim continu : = 0 : inductanc s comport donc comm un court-circuit. dv c = 0 dt dt : condnsatur s comport donc comm un circuit ouvrt. i = n régim altrnatif sinusoïdal, on utilis ls complx t l pont divisur d courant. j0 j0 j0 Vˆ. Vˆ. Vˆ. ' = =. = j j j ω j jω ω jω ω j j. j j0 j0 Vˆ. Vˆ. Vˆ Vˆ = = i ( t) =.cos ω. ( j j ) tour ( ω. t) i( t) =.cos(. t). épons 3: montag comport trois sourcs indépndants, on put lui appliqur l théorèm d suprposition : i i i i (t) st la composant d i(t) ngndré par la sourc (t) sul. Si i(t) n dépnd pas d (t), alors i (t) = 0 i i i ' = jω jω = 0 jω jω st jω jω = 0 j ω jω = 0.. ω. tour = UT n lign - aslcpro

13 hapitr 7 - Théorèms d suprposition, Thévnin t Norton - résau élctriqu linéair - épons 4: solution ourant d court-circuit : q q q q = q q =. =. q q = q = q. q =. solution Dualité Thévnin Norton :. =. 3 solution a tnsion équivalnt d Thévnin st la tnsion aux borns du dipôl lorsqu il st à vid : 0 0 D après la loi ds nœuds t la loi ds maills :. q q =. onclusion : a prmièr solution n st pas forcémnt la millur. l faut s ntraînr. tour UT n lign - aslcpro

14 hapitr 7 - Théorèms d suprposition, Thévnin t Norton - résau élctriqu linéair - épons 5: (t) n st pas un fonction altrnativ sinusoïdal. a notion d complx t donc d impédanc n a pas d sns ici.. ttntion! mélang d fonctions non sinusoïdals t d complxs st un rrur courant. tour épons 6: k. q ttntion! montag comport un sourc d courant linéairmnt dépndant. l n st donc pas possibl d dissocir ls dux sourcs pour appliqur l théorèm d suprposition. ( k).. =. = ( k).. q =. =. Pour l calcul d ( k) q, l n st pas possibl d rmplacr la sourc d courant linéairmnt dépndant par un circuit ouvrt. On utilis donc l princip d l ohmmètr qui consist à appliqur V s un tnsion aux borns t à fair l rapport. k. V s s s Vs = s. Vs s =. = Vs Vs ( k). = ( k). Vs ( k) ( k) q = k. cc On put égalmnt calculr l courant d court-circuit : q. cc = q = =.. k cc ( ) q = ( k).. ( k) = typ d problèm avc ds sourcs linéairmnt dépndants sra souvnt rncontré n élctroniqu. Dans c chapitr, on insistra pu sur c gnr d difficultés. Mais il convint néanmoins d êtr vigilant quand l circuit comport ds sourcs linéairmnt dépndants. tour UT n lign - aslcpro