Mécanique et Hydraulique avancées des Sols. Master-MSROE. A.Modaressi Laboratoire de Mécanique des Sols, Structures et Matériaux Ecole Centrale Paris

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1 U.M.R. n 8579 Mécanique et Hydraulique avancées des Sols Master-MSROE A.Modaressi Laboratoire de Mécanique des Sols, Structures et Matériaux Ecole Centrale Paris 16 novembre 2004

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3 Table des matières 1 Mise en equation du problème Conservation de la masse Lois de Comportement Hydrauliques Équation d équilibre Définition des contraintes dans un milieu non saturé Conditions aux limites Conditions aux limites mécaniques Conditions aux limites hydrauliques Conditions initiales Lois de Comportement Mécanique

4 4 TABLE DES MATIÈRES

5 Chapitre 1 Mise en equation du problème Nous souhaitons étudier l évolution dans le temps ([0, t f ]) d un milieu (Ω) occupant un domaine Ω régulier ouvert borné de frontière Γ ( Ω = Ω Γ), soumis aux chargements extérieurs qui provoquent des déséquilibres mécanique et hydraulique. Pour cela il faut écrire les équations de bilans. Si des discontinuités de déplacements existent, cette surface (Σ) décompose le domaine Ω en deux domaines Ω 1 et Ω 2 avec n le vecteur normal unitaire orienté du domaine Ω 1 vers Ω 2. On désigne le saut d une quantité par la différence de sa valeur de part et d autre de la surface dans les domaines Ω 1 et Ω 2. [f] = f 1 f 2 (1.1) A l échelle macroscopique, à laquelle la modélisation est envisagée, plusieurs milieux continus sont considérés simultanément en chaque point du milieu poreux saturé ou non saturé : les grains, l eau et éventuellement de l air. Cependant, les équations qui régissent le comportement du milieu se répartissent en deux grandes catégories, celles relatives au squelette et celles relatives au fluide constitué d eau (et d air). Nous nous contenterons des équations locales gouvernant le système. Dans notre démarche, les déplacements, les pressions et la températures sont les grandeurs qui décrivent l état du milieu. Cependant on va voir apparaître des grandeurs tels que les contraintes ou les flux de masse qui apparaîtront dans les équations de conservation. La liaison entre ces deux ensembles se fait par l intermédiaire des lois de comportement. Pour ce qui est des déformations, il faut ajouter la condition de compatibilité géométrique également. On a donc : le squelette dont les déformations sont reliées aux contraintes effectives par la loi rhéologique du matériau, le fluide interstitiel qui s écoule suivant la loi de Darcy généralisée. Tant que le milieu est saturé ce fluide est identifié par sa pression, et dès qu on devient non saturé, on identifie la pression capillaire. Nous avons donc un problème couplé, mécanique-hydraulique dans le domaine Ω de frontière Γ constitué des matériaux différents. Nous désignons par x la position d un point courant. On donne maintenant les équations générales du système. Pour chacune de ces deux "phases" sont écrites une loi de comportement, une équation de conservation de masse et une équation d équilibre. Cette modélisation peut être généralisée aux sols non-saturés 5

6 6 CHAPITRE 1. MISE EN EQUATION DU PROBLÈME sous certaines conditions. Il est utile de rappeler que les cas où le sol est saturé d eau ou saturé d air constituent des cas particuliers et sont naturellement pris en compte dans cette modélisation. Les hypothèses générales adoptées dans la modélisation macroscopique sont : H1 : La pression atmosphérique est choisie comme pression de référence : p atm = 0 ; H2 : La masse d air incluse dans un volume Ω est supposée négligeable devant la masse de l eau contenue dans ce même volume ; H3 : Aucun transfert de masse, dissolution d air ou vaporisation d eau, ne s effectue à l interface entre les deux fluides ; H4 : L air est supposé se déplacer à la même vitesse que l eau interstitielle ; H5 : La pression de l air est supposée être égale à la pression atmosphérique : p a = 0. Ces hypothèses conduisent à éliminer les termes concernant la phase gazeuse dans les équations du modèle macroscopique, car, en fait, l écoulement de l eau est prédominant dans la gamme des degrés de saturation en eau (S) envisagée. L hypothèse H3 signifie simplement que l équation de conservation de masse de fluide ne prendra pas explicitement en compte le volume d air dissout, mais la dissolution de l air dans l eau est implicitement prise en considération dans la fonction de variation de pression en fonction du degré de saturation p(s) et dans le coefficient de compressibilité du fluide. On se place dans l hypothèse des petites déformations de telle sorte que le tenseur des déformations est donné par : ε(u) ij = 1/2( i u j + j u i ) (1.2) 1.1 Conservation de la masse Dès lors qu on s interesse à l écoulement d un fluide la prise en compte de la conservation de la masse est nécessaire. On peut écrire la conservation de la masse de chaque phase individuellement ainsi que la conservation de la masse totale dans le milieu. La conservation de la masse du fluide doit exprimer un bilan entre les flux entrant et sortant et la variation instantanée du volume disponible dans les pores. Elle s écrit : où : n est la porosité du milieu, S est le degré de saturation en fluide, ρ w est la masse volumique du fluide, V est la vitesse du fluide dans le milieu poreux. t (nsρ w ) + div(nsρ w V ) = 0 (1.3) En développant le premier terme du membre de gauche de l équation ci-dessus : t (nsρ w ) = ns t ρ w + nρ w t S + Sρ w t n (1.4) on constate que la variation instantanée de la masse occupant les pores peut être due à trois causes :

7 1.1. CONSERVATION DE LA MASSE 7 compressibilité de l eau, variation de la saturation, variation du volume des pores, c est à dire de la porosité. Le premier terme dans l équation (1.4) concerne le fluide interstitiel mais le troisième terme est lié à la déformabilité du milieu poreux lui-même et introduit donc à ce niveau un couplage entre les aspects hydrauliques et les aspects mécaniques, car la variation de la porosité est directement liée à la variation de volume du squelette. Pour l obtenir, on écrit l équation de conservation de la masse du squelette : t ((1 n)ρ s ) + div((1 n)ρ s t u) = 0 (1.5) où ρ s représente la masse volumique des grains constitutifs de la matrice poreuse et u le champ de déplacements du squelette. On considère que le champ de déplacements du squelette est le champ de déplacements moyens de la structure constituée des grains. En développant les deux termes, l équation ci-dessus devient : ρ s ṅ + (1 n) ρ s + (1 n)ρ s div u + (1 n)gradρ s u = 0 (1.6) où l on constate que la variation de porosité est due à deux phénomènes : la compressibilité du squelette due au mouvement des grains, la compressibilité de la matrice solide : ce terme, qui intervient en Mécanique des roches, peut être négligé pour des applications en Mécanique des Sols. Cette hypothèse permet de négliger les termes dus à ρ s et gradρ s. Le premier terme de l équation (1.4) doit prendre en compte l influence de l air dissout et il peut être exprimé comme une fonction de la pression interstitielle p. Soit β = Kw 1 la compressibilité de l eau définie par : on en déduit que : d p ρ w = β(p)ρ w = ρ w K w (1.7) ρ w = β(p)ρ w ṗ (1.8) La compressibilité est souvent choisie uniforme et constante, c est-à-dire indépendante de la pression du fluide. Le second terme de l équation (1.4) est également une fonction de la pression lorsqu on est non saturé. En effet le taux de saturation est défini en fonction de la pression par un modèle macroscopique expérimental S(p) (voir la section??). On a alors : Ṡ = d p S(p)ṗ = S ṗ (1.9) Le troisième terme dans l équation (1.4) est lié à la déformabilité du milieu poreux lui-même et introduit donc à ce niveau le premier couplage entre les aspects hydrauliques et les aspects mécaniques, car la variation de la porosité est directement liée à la variation de volume du squelette. Pour l obtenir, on écrit l équation de conservation de la masse du squelette : t ((1 n)ρ s ) + div((1 n)ρ s t u) = 0 (1.10)

8 8 CHAPITRE 1. MISE EN EQUATION DU PROBLÈME où ρ s représente la masse volumique des grains constitutifs de la matrice poreuse et u le champ de déplacements du squelette. Si on considère que le champ de déplacements du squelette est le champ de déplacements moyens de la structure constituée des grains. En développant les deux termes, l équation ci-dessus devient : ρ s ṅ + (1 n) ρ s + (1 n)ρ s div u + (1 n)gradρ s u = 0 (1.11) où l on constate que la variation de porosité est due à deux phénomènes : la compressibilité du squelette due au mouvement des grains, la compressibilité de la matrice solide : ce terme, qui intervient en Mécanique des roches, sera négligé ici. Cette hypothèse permet de négliger les termes dus à ρ s et gradρ s. On développe enfin le dernier terme de l équation 1.5, grâce à l identité vectorielle : div(snρ w V ) = Snρ w divv + V grad(snρ w ) (1.12) Le dernier terme de cette équation est un terme de transport que l on ne peut négliger dans un certain nombre d applications telles le transport de polluants ou le Génie pétrolier. Il conduit d ailleurs à certaines difficultés numériques dues à un caractère non symétrique. Pour les applications en géotechnique et plus particulièrement pour les barrages, et compte tenu de la relation gradρ w = βgradp (1.13) de la faible compressibilité β de l eau pour les degrés de saturation envisagés et surtout de la faible vitesse de filtration, ce terme peut être négligé. Les équations précédentes (1.4 et 1.11) divisées par ρ w et ρ s respectivement et en utilisant la vitesse d infiltration du fluide dans le milieu donnée par : V rf = ns(v u) (1.14) donnent : n(u)(s(p)β(p) + S (p))ṗ + div(v rf ) = 0 (1.15) En posant : c(u, p) = n(u)(s(p)β(p) + S (p)) (1.16) on peut simplifier de manière à obtenir l équation finale de conservation de la masse : c(u, p)ṗ + S(p)divu. + divv rf = 0 (1.17) Enfin les flux entrant et sortant sont reliés aux gradients de charge hydraulique et donc de pression grâce à la loi de Darcy qu on peut généraliser aux sols non saturés.

9 1.1. CONSERVATION DE LA MASSE 9 Fig. 1 Degré de saturation en eau (phase mouillante) en fonction de la pression capillaire Lois de Comportement Hydrauliques Le comportement hydraulique d un système est défini par la détermination des lois d évolution des paramètres tels que la perméabilité, le degré de saturation, qui peuvent dépendre à la fois de la pression, de la température et de la géométrie des pores. Ces quantités diffèrent suivant qu il s agit d une phase mouillante (eau) ou non mouillante (air). Sur la Figure 1 nous présentons des courbes de variation du degré de saturation en eau (mouillante) avec la pression capillaire pour les chemins de drainage et d imbibition. On constate que la phase non mouillante à besoin d atteindre une certaine pression pour pouvoir pénétrer à l intérieur des pores. Cette pression dépend de la taille du pore le plus petit. Sur ces courbes, on distingue quelques points importants : p sat : la pression à laquelle on atteint la saturation, S r : le degré de saturation résiduel à partir duquel la perméabilité s annule. Très souvent S r est nul, p desat : la pression à laquelle la phase liquide devient discontinue. Par ailleurs, cette pression est importante pour le comportement mécanique des sols non saturés car c est à partir de cette pression que l introduction de l effet de la capillarité dans le modèle de comportement mécanique dévient nécessaire. On note le phénomène d hystéresis qui résulte de valeurs différentes suivant qu on suit un chemin de drainage ou d imbibition. Les valeurs de p sat et p desat ainsi que la forme de la courbe varient en fonction de la géométrie des pores, des tensions surfaciques des phases qui modifient l angle de contact suivant qu on rentre ou qu on sort du liquide et éventuellement des altérations chimiques. Plusieurs auteurs proposent des relations reliant S m et S nm à la pression capillaire. Dangla [DAN 02] donne une modélisation macroscopique du degré de saturation pour les sols non saturés inspirée de la plasticité. Il tient compte de la variation du degré de saturation avec la pression capillaire et de l indice des vides. Très souvent, l influence de l indice des vides a été négligée. On peut citer les relations

10 10 CHAPITRE 1. MISE EN EQUATION DU PROBLÈME suivantes qui relient le degré de saturation à la pression capillaire : 1 S r S m = S r + [VAN 80] (1.18) p 1 + (α c p 0 V G ρ m g )2 et S m = S r + 1 S r (p c ) β BC avec [BRO 66] (1.19) S nm = 1 S m (1.20) où p 0 présente la pression à laquelle le matériau devient saturé de la phase mouillante, ou la pression à laquelle la phase non mouillante pénètre les pores. Si on néglige le phénomène d hystéresis, on peut utiliser la même fonction pour le chemin de drainage et d humidification. Du point de vue numérique, il vaut mieux éviter les discontinuités et choisir des relations avec des pentes continues à la fois pour la relation S(p) que la relation p S. Pour cette raison, bien que des relations linéaires à l échelle logarithmique soit très appréciées en mécanique des sols, nous privilégions l utilisation de la relation de Van Genuchten 1.18 à celle de Brooks et Corey Il est courant de décomposer la perméabilité sous la forme suivante : K = k r K geo µ (1.21) où : µ est la viscosité du fluide i. k r est la perméabilité réduite du fluide dont elle traduit le mouvement dans le milieu poreux. Elle tient compte du fait que le volume des pores est occupé par un autre fluide. C est donc une fonction du degré de saturation du fluide. Ce dernier étant une fonction de la pression p, la perméabilité réduite est alors une fonction de la pression du fluide. La Figure 2 donne quelques exemples de telles courbes trouvées expérimentalement. On remarque les boucles d hystéresis liées aux cycles de drainage-humidification. Dans la littérature, on trouve une quantité importante de relations décrivant l évolution de ce facteur avec le degré de saturation pour les sols non saturés. On peut citer les relations suivantes : k rm = S e 3 [IRM 54] (1.22) k rm = S e 2+3β BC β BC (1.23) et k rnm = (1 S e ) 2 (1 S e (2+β BC )β BC ) [BRO 66] (1.24) k rm = a G b G + ( p c ρ w g )m G [GAR 58] (1.25) où S e = Sm Sr m 1 S r est appelé la saturation effective. β BC, a G, b G et m G sont des paramètres introduits par les différents m auteurs.

11 1.1. CONSERVATION DE LA MASSE 11 Fig. 2 Courbes de perméabilité relative en fonction du degré de saturation et phénomène d hystéresis d après Bear et Verruijt [BEA 87]. Les indices w et nw désignent les phases mouillante et non mouillante K geo est la perméabilité intrinsèque du milieu poreux. Cette perméabilité est fonction uniquement de la géométrie de l espace interstitiel ; c est-à- dire la taille, la forme et la distribution des pores. Si on se place dans le repère lié à la direction principale de l écoulement, le tenseur de perméabilité K ii se réduit à un tenseur diagonal. Selon l anisotropie du milieu, ce repère n est pas forcement orthogonal. Des relations empiriques différentes sont proposées pour les coefficients de perméabilité. Pour les sols isotrope, on peut citer par exemple la relation suivante qui relie les perméabilités géométriques à deux porosité n 0 et n, donnée par Van Genuchten : K geo (n) = K geo (n 0 )( n n 0 ) 3 ( 1 n 0 1 n )2 (1.26) Dans le cas de l écoulement saturé d un fluide non-newtonien (comme le bitume ou un liquide contenant des petites particules en suspension) pour lequel la viscosité varie en fonction de la vitesse de déformation, une étude bibliographique [SAV 69] montre qu on peut généraliser la loi de Darcy sous la forme : ou encore V = K geo grad(p + ρg x) (1.27) Cµ V n = K geo Ψµ grad(p + ρg x) (1.28) où C, Ψ et n sont des paramètres dépendant du comportement du fluide. Nous venons de voir les lois de comportement hydraulique qui gouvernent l écoulement et l emmagasinement dans un milieu poreux multiphasique dans les conditions isotherme.

12 12 CHAPITRE 1. MISE EN EQUATION DU PROBLÈME Si, la loi de Darcy peut être extrapolée lorsque la température change moyennant la variation de la viscosité avec la température, cette extrapolation n est pas évidente pour les lois de variation du degré de saturation. A l opposé du comportement mécanique pour lequel des cadres théoriques tels que la plasticité ou la viscoplasticité sont bien établis, les lois de comportement hydraulique semblent être très empiriques. La thermodynamique des processus irreversibles peut être une voie potentielle pour une description plus cohérentes des phénomènes. Il reste cependant la difficulté de l estimation des énergies libres ainsi que les dissipations. Une autre voie est la modélisation à l échelle des pores qui ne peut être fructueuse que si les hypothèses du calcul sont basées sur les observations à la même échelle. Une fois de plus nous insistons sur la nécessité de l adéquation entre le modèle, les données et les résultats recherchés. On remarque que dans l équation 1.17, si les fonctions S(p) et k r (p) sont monotones, le coefficient c(p) ne l est pas et il présente un maximum pour un degré de saturation différent de un, correspondant au changement de courbure de la fonction S(p). Cette propriété du coefficient d emmagasinement pourra poser quelques problèmes numériques. 1.2 Équation d équilibre Pour un milieu poreux déformable, on peut élaborer une définition fine des forces internes. La modélisation la plus simple consiste à employer un tenseur des contraintes tel qu il est utilisé habituellement pour décrire l équation d équilibre pour un milieu continu classique. Ce choix semble être satisfaisant si on juge par la qualité des résultats obtenus avec cette hypothèse. Ainsi, en régime statique, on écrit : Divσ + ρg = 0 sur Ω [0, t f ] (1.29) [ σ ] n = 0 sur Σ [0, tf ] (1.30) où g est l accélération de la pesanteur et [.] présente le saut. L équilibre mécanique gère le mouvement d un corps deformable. Dans le cas où le squelette peut être considéré indéformable sa prise en compte n est pas indispensable Définition des contraintes dans un milieu non saturé Pour modéliser le comportement mécanique d un sol saturé, on définit le tenseur des contraintes effectives qui s appliquent uniquement au squelette, grâce au postulat de Terzaghi : σ = σ p l I (1.31) où : σ est le tenseur de Cauchy des contraintes totales, σ est le tenseur de Cauchy des contraintes effectives, I est le tenseur unité d ordre 2. Selon notre convention de signes les tractions sont positives. Néanmoins, les pressions dans les fluides sont également positives.

13 1.2. ÉQUATION D ÉQUILIBRE 13 Biot [BIO 41, BIO 57] propose la relation suivante généralisant le postulat de Terzaghi aux matériaux dont la compressibilité de la phase solide est plus grande : σ = σ αp l I (1.32) α dépend du contraste entre la rigidité du matériau constituant la matrice (K s ) et celle du squelette (K). Ce coefficient peut varier entre zéro et un (α = 1 K K s ). Dans les sols non saturés, deux grandes familles d approches sont utilisées. Dans la première, la plus ancienne, on cherche à procéder de la même façon que dans les sols saturés. Le problème réside alors dans la définition du tenseur des contraintes effectives. Dans cette approche, on ne remet en cause le postulat de Terzaghi que partiellement. Avec σ le tenseur de Cauchy des contraintes nettes, on admet que la décomposition du tenseur des contraintes sous la forme : σ = σ + p g I = σ + σ f (1.33) est encore valable. Dans le cas d un sol non saturé, on peut distinguer deux formulations possibles de σ f : La formulation traditionnelle consiste à définir σ f sous une forme proche du cas saturé, du type : σ f = pi (1.34) où p représente la pression totale du fluide dans le milieu. Suivant la théorie des mélanges ou, plus généralement : p = S l p l + S g p g (1.35) p = S m p m + S nm p nm (1.36) Généralement, cette première approche est complétée par l introduction d un coefficient supplémentaire, fonction de S l, appelé coefficient de Skempton, obtenu expérimentalement de sorte que : σ f = B(S l )p l I (1.37) Là encore, il est courant d améliorer cette approche par l introduction de coefficients expérimentaux. Le coefficient le plus fréquemment utilisé est celui de Bishop : La formulation la plus simple du coefficient de Bishop est : σ f = p g I + χ(s l )(p g p l )I (1.38) χ(s l ) = S l (1.39) L expérience montre que le paramètre χ dépend du chemin de contraintes suivi. L inconvénient majeur de ces approches traditionnelles est qu elles ne permettent pas de décrire certains phénomènes observés dans les sols non saturés. C est pourquoi Abou-Bekr [ABO 92], Modaressi et Abou-Bekr [MOD 94], Kohgo [KOH 93] et Biarez et al. [BIA 93] proposent de définir une contrainte capillaire telle que le tenseur des contraintes effectives devient : σ = σ + p g I σ c (1.40)

14 14 CHAPITRE 1. MISE EN EQUATION DU PROBLÈME où σ c est une fonction de la pression capillaire ainsi que de la densité et de la granulométrie du matériau. La contrainte capillaire, dépendant de la géométrie des pores, n est pas forcement sphérique. Néanmoins, pour simplifier, et en absence de modèle validé expérimentalement, on ne considère que la partie sphérique de ce tenseur et on suppose : σ c = π c I. Cependant on garde la même terminologie pour ne pas créer de confusion avec la pression capillaire (p c ). Pour une densité et une granulométrie données, cette contrainte capillaire doit respecter les conditions obtenues à partir des modèles micro-structurels et des observations expérimentales. Les déductions faites à partir des courbes intrinsèques obtenues pour les échantillons non saturés [BIA 93] montrent que, pour une densité et une granulométrie données, la variation de la contrainte capillaire en fonction de la pression capillaire présente un palier pour les valeurs élevées de pression capillaire. Cette observation est également déduite par Taibi [TAI 94] en considérant un modèle micro-structurel. Pour un assemblage de billes indéformables en contact, il donne la relation suivante : π c = π max c (1 + 3(3T 8 T R p c + 9T 2 ) 4R p c ) (1.41) où πc max caractérise le palier de pression capillaire maximale, R est le rayon des billes et T est la tension superficielle à l interface eau-air. L influence de la densité et de la granulométrie sur la pression capillaire est prise en compte dans le paramètre πc max qui s écrit sous la forme suivante : π max c = 2πT K(e)R (1.42) où K(e) est une fonction de l indice des vides e donnée par : K(e) = 0.32e e Taibi montre que cette relation peut être généralisée aux sols en remplaçant le paramètre R par d 10 (diamètre maximal des particules présentant 10% du poids total) qui semble être le paramètre le plus représentatif. Des résultats récents sur le sable de Perafita [HAR 02] montrent qu en présence d une quantité importante de fines, le paramètre R peut être inférieure à d 10 (rapport de 1/20). Nous imposerons également une continuité entre la pression interstitielle et la contrainte capillaire entre les domaines saturé et non saturé. Cette condition déduite par l analyse des résultats à fort degré de saturation permet l utilisation d un cadre unique pour la modélisation des géomatériaux saturés et non saturés. En effet, les mêmes outils de modélisation peuvent être utilisés pour l analyse des cas réels où l état du matériau in-situ varie avec les conditions hydrologique et hydroclimatique. A titre d exemple on donne une expression de la fonction π c (p c ) qui assure ces conditions et qui peut être retenue comme une première approximation : π c = π max c tanh( p c p cd ) (1.43) πc max Cette relation mathématique simple, assure la continuité de la pression interstitielle et la contrainte capillaire dans les cas saturé et non saturé, mais elle peut s avérer trop raide ou ne pas être valable sur toute la gamme de pressions. Il faut alors l adapter en fonction du matériau et la gamme des pressions envisagées. O. Coussy et P. Dangla [Cou02] proposent une extension à l approche énergétique de la poroélasticité non linéaire des milieux saturés de M. Biot [BIO 41] au cas des sols non

15 1.3. CONDITIONS AUX LIMITES 15 saturés et donnent l expression de cette contrainte capillaire qui se réduit à une pression (π) par : π = S l p l + S g p g U(S l, T ) (1.44) où U est l énergie libre qu emmagasinent les interfaces. Dans certains travaux, on rejette l existence d une contrainte effective et on considère que le comportement peut être défini soit à partir d une surface d état qui relie les contraintes totales, l indice des vides et la pression capillaire (Bishop and Blight [BIS 63], Matyas and Radhakrishna [MAT 68], Fredlund et Morgenstern [FRE 77] et Lloret et Alonso [LLO 85]), soit à l aide des modèles élastoplastiques écrits en termes de contraintes totales (Alonso et al. [ALO 90], et Toll [TOL 90]). Le débat sur l utilisation du tenseur des contraintes effectives pour modéliser le comportement des sols non saturés reste encore ouvert. Cependant, de nombreuses publications récentes soutiennent l idée d utiliser cette notion [KHA 98, COU 02]. Notre expérience montre que le choix d un tenseur de contraintes effectives généralisées au sens précisé ci-dessus et associé à une loi de comportement tenant compte des effets capillaires aboutit à des résultats acceptables. Si on reporte la relation (1.40) dans (1.29) et en supposant χ = π c p g p l, on aura : Divσ grad(χp l ) grad((1 χ)p g ) + ρg = 0 sur Ω [0, t f ] (1.45) Si on reporte la relation (1.36) dans (1.29), on aura : Divσ grad(s m p m ) grad(s nm p nm ) + ρg = 0 sur Ω [0, t f ] (1.46) L équation d équilibre statique présentée dans cette section, comporte plusieurs hypothèses. Elles ne seront justifiées dans ce travail que par la comparaison des résultats globaux de modélisation avec des observations. Des études fines des micro-structures et des techniques théoriques/numériques sur le passage du comportement microscopique vers le comportement macroscopique, peuvent apporter un éclairage nouveau sur le comportement des milieux poreux multiphasiques déformables [CHA 02]. Elles apporteront au moins une information qualitative précieuse pour clarifier les phénomènes mis en jeu. De toutes les manières, la finesse de la modélisation dépendra de la qualité des données disponibles pour calibrer le modèle et la précision attendue pour la prédiction. 1.3 Conditions aux limites Dans ce qui suit, les conditions aux limites portant sur les équations d équilibre global (??) et la conservation de masse (??) seront qualifiées de conditions aux limites mécaniques et hydraulique respectivement. Par ailleurs pour chaque phase elles sont de plusieurs types. A cet effet, on introduit une partition de la frontière Γ du domaine Ω. Dans le cas particulier du barrage en remblai on note la diversité et la complexité des conditions aux limites possibles. Ces différentes parties de la frontière sont définies suivant le type de conditions aux limites. Ces frontières peuvent en outre évoluer au cours du temps. On peut également considérer des frontières intérieures qui se trouvent à l intersection de deux types de matériaux

16 16 CHAPITRE 1. MISE EN EQUATION DU PROBLÈME Fig. 3 Partition des frontières pour les conditions aux limites mécaniques différents où différents phénomènes règnent. Dans ce cas, des conditions de raccordement doivent être vérifiées Conditions aux limites mécaniques Les conditions aux limites mécaniques sont de deux types : soit en déplacements, soit en forces. Dans le contexte des barrages en terre, les conditions aux limites en déplacements correspondent en général à des conditions d encastrement à l interface avec le substratum rocheux. On peut également modéliser des conditions de contact ouverture/fermeture, et de frottement/glissement aussi bien sur les frontières extérieures que sur des frontières internes : interface noyau/recharges par exemple. En effet, la simulation numérique standard par éléments finis impose a priori la continuité des déplacements ; ce qui peut conduire à des contraintes de cisaillement trop importantes sur les interfaces. La présence d éléments particuliers d interface permet de relâcher cette restriction. On considère donc une décomposition de la frontière Γ du domaine : Γ = Γ u Γ σ Γ f Γ c et Γ u Γ σ Γ f Γ c = Conditions de déplacements imposés : Sur la partie Γ u de la frontière, on se donne une condition aux limites en déplacements : u(x, t) = u (x, t) sur Γ u ]0, t f ] La plupart du temps u (x, t) est identiquement nul ; par exemple à l interface entre le modèle et le substratum rocheux. Conditions aux limites en contraintes : Sur la partie Γ σ de la frontière, la structure est chargée par des forces de surface distribuées S (x, t). En appelant S le champ de vecteurs contraintes totales défini par : S = σ n où n est la normale extérieure à Γ σ, la condition aux limites s écrit donc : S(x, t) = S (x, t) sur Γ σ ]0, t f ]

17 1.3. CONDITIONS AUX LIMITES 17 Il est important de noter que cette condition est imposée au tenseur des contraintes totales et non au tenseur des contraintes effectives. En contact avec le réservoir, le chargement de surface est essentiellement celui introduit par la pression d eau sur cette dernière. Conditions liées à la pose de matériau : Lors de la construction, il faut simuler le placement des couches ainsi que le rythme de mise en place, puisque le comportement dépend du chemin de chargement suivi. Le domaine d étude se déforme continûment par l apport du matériau, mais aussi à cause du tassement du barrage sous l effet de son propre poids. Sur la frontière Γ c, on écrira une condition de surface libre, correspondant à la mise en place d une couche. S (x, t) = 0 sur Γ c ]0, t f ] Interface entre deux domaines : On définit le saut de déplacement ainsi que ses composantes normale et tangentielle : [u] = u 2 u 1 (1.47) [u n ] = [u] n (1.48) [u T ] = [u] [u n ] n (1.49) On peut à partir du vecteur contrainte totale σ n qui traduit l action superficielle du domaine Ω 2 sur le domaine Ω 1 envisager une décomposition similaire et définir les contraintes normale et tangentielle : σ n = n σ n (1.50) σ T = σ n σ n n (1.51) Le vecteur contrainte reste continu à l interface entre les matériaux différents même lorsqu il y a ouverture, en vertu du principe d action-réaction. Il ne peut donc y avoir que des discontinuités de déplacements sur cette interface. Un modèle de comportement cyclique d interface compatible avec le comportement volumique des sols a été développé [AUB 90]. Nous présenterons ce modèle dans le chapitre?? section?? Conditions aux limites hydrauliques Elles sont généralement de deux types : pressions imposées ou flux imposés. On introduit une partition de la frontière Γ du domaine Ω pour chaque phase : Γ = Γ p Γ φ Γ s et Γ p Γ φ Γ s = Pressions imposées : Les pressions dans le fluide sont imposées dans la partie qui est en contact avec le réservoir Γ p. Dans le procédé d infiltration elles sont pratiquement uniformes, bien qu elles puissent varier en fonction du temps. p(x, t) = p (x, t) sur Γ p ]0, t f ] (1.52) Dans les barrages en terre, la section d écoulement à travers le milieu poreux sur cette surface étant proportionnelle à la porosité du milieu (égale à nγ p ) est faible

18 18 CHAPITRE 1. MISE EN EQUATION DU PROBLÈME Fig. 4 Partitionnement des frontières pour les conditions aux limites hydrauliques devant la section d écoulement dans le réservoir (égale à Γ p ). La vitesse d écoulement dans le réservoir peut être négligée par rapport à la vitesse d infiltration dans le milieu. On peut donc admettre que la répartition des pressions dans le réservoir est hydrostatique et, par conséquent, ne dépend que de la hauteur de la retenue à l instant t. Nous noterons cette fonction p (x 3, t) où x 3 désigne la coordonnée selon la verticale. On a alors : p(x, t) = p (x 3, t) sur Γ p ]0, t f ] (1.53) Débits imposés : Dans les barrages en terre, les flux peuvent être imposés au contact avec le substratum rocheux (sources, ou couches imperméables) ainsi que sur la crête, sur le parement aval au-dessus de la surface de suintement éventuelle et sur le parement amont au-dessus de la hauteur maximale du réservoir. Nous exprimerons les conditions de débits imposés sous la forme suivante : V r n = K n n (p + ρ l g x) = φ surγ φ ]0, t f ] (1.54) où K n est la perméabilité dans la direction normale à la frontière. Remarque : Les flux sur la crête et sur le parement aval sont souvent négligés, car ils sont liés aux conditions microclimatiques d infiltration et d évaporation du barrage en contact avec l air ambiant. En effet, les précipitations et l évapotranspiration ont une influence essentiellement superficielle : de fortes pluies peuvent provoquer une érosion par ravinement et une forte sécheresse peut fissurer un matériau argileux. Mais, ces phénomènes ne modifient l état hydrique des matériaux que sur une épaisseur faible devant la taille d un ouvrage en terre. Leur aspect superficiel provient

19 1.4. CONDITIONS INITIALES 19 également du fait qu ils ont généralement une durée d action très courte devant les temps nécessaires à l eau pour pénétrer ou circuler dans le milieu poreux. Cependant, les flux d amplitude suffisante pour provoquer une variation significative de la hauteur d eau doivent être pris en compte dans l histoire du niveau de la retenue. Si la prise en compte de cette couche de surface n est pas souvent important sur l évaluation des tassements ou le comportement général de l ouvrage, elle peut être essentielle pour la prédiction des instabilités causant le mouvement du terrain. En fait, il est toujours nécessaire de respecter l adéquation du modèle avec les résultats recherchés. Interface entre deux domaines : Il faut assurer la continuité des flux et des pressions dans les fluides. Conditions aux limites sur la surface de suintement : Lors de la modélisation de l écoulement dans les milieux poreux non saturés, la surface de suintement pose un problème particulier : d une part sa position est inconnue au départ, d autre part, pendant la vidange et le remplissage du réservoir, elle évolue. L apparition et le déplacement d une surface de suintement se traduit par un changement de conditions aux limites : d une condition de flux imposé, on passe à une condition de pression imposée. Une telle surface apparaît le plus souvent sur le parement aval, mais parfois aussi sur le parement amont lors d une vidange. De plus, un changement de conditions aux limites se produit également sur la face amont lors du remplissage de la retenue, sans qu il y ait une surface de suintement. Chaque situation doit donc être étudiée de manière détaillée pour obtenir une formulation générale du traitement de cette condition aux limites hybride [OZA 88, AUB 89]. 1.4 Conditions initiales Elles définissent l état du milieux poreux à l instant initial. En ce qui concerne les inconnues directes du problème on a : u(x, 0) = u 0 (x) p(x, 0) = p 0 (x) x Ω Très souvent, on connaît la teneur en eau initiale ou le degré de saturation initial. Il faut alors initialiser les pressions à partir de ces données. S il s agit de la mise en place d un remblai, il faut initialiser l état de contraintes et les variables d état du matériau, par exemple la porosité. En pratique, la technique mise en oeuvre sur le terrain lors de la construction par couches des barrages en remblai, consiste à étendre successivement des couches de matériaux d une épaisseur variant de 10cm à 40cm, et à les compacter par des passages en aller-retour d un rouleau compresseur. Vu la taille de ces ouvrages, le nombre de ces couches peut être très important ce qui conduit à des temps de calculs très importants lors d une modélisation numérique fine. Il est alors courant de considérer dans la modélisation des couches plus épaisses. Or, si les contraintes peuvent être considérées comme presque nulles dans une couche de 30cm, il ne peut en être de même dans une couche de quelques mètres ou dizaines de mètres. Pratiquement, nous pouvons toutefois

20 20 CHAPITRE 1. MISE EN EQUATION DU PROBLÈME supposer que les contraintes initiales dans une couche au moment de sa pose sont faibles et, pendant l étape de pose, la couche s équilibre sous l effet de son poids propre. L initialisation des variables d état (α) présentes dans la loi de comportement est d une grande importance à cause du comportement non linéaire des sols, qu ils soient saturés ou non saturés. Ces variables d histoire sont à définir en fonction des conditions de compactage et de teneur en eau. On développera cette procédure d initialisation et d identification de l état initial dans le chapitre suivant. Se pose alors la question difficile de l initialisation des propriétés mécaniques en tenant compte de l histoire géologique du site (surconsolidation par exemple). Nous supposerons avoir à notre disposition les conditions initiales suivantes, statiquement admissibles, dans la partie du domaine existant au départ : u(x, 0) = 0 p(x, 0) = p 0 (x) σ (x, 0) = σ (x) 0 α(x, 0) = α 0 (x) x Ω si σ 0 est calculée en fonction de l histoire géologique du site, α 0 doit être donné de telle manière que pour des modèles basés sur la théorie de la plasticité l état soit plastiquement admissible. Il se peut que les conditions initiales soient les résultats d un calcul. Dans ce cas, il faudra pouvoir tout en conservant les pressions, les contraintes et les variables d état initiales annuler les déplacements initiaux avant la phase du calcul proprement-dit. Dans cette section, nous avons présenté le problème mathématique qui décrit l évolution d un milieu poreux en conditions isothermes. Il est constitué des équations différentielles aux dérivés partielles qu il faut résoudre connaissant les conditions aux limites et les conditions initiales décrites ci-dessus. Les inconnus principales du système sont le déplacement du squelette u et la pression interstitielle p. La méthode des différences finies est une des méthodes possibles pour la résolution de ce problème. Cependant, a cause des dérivés d ordre élevé figurant dans l équation d équilibre, la résolution numérique de ces équations, implique l utilisation des fonctions d ordre élevé. Par ailleurs, d autres problèmes techniques comme la difficulté d imposer les contraintes, dérivés des déplacements, sur la frontières alors qu il n y a pas de points de part et d autre, font que généralement le problème directe n est pas résolu numériquement. On écrit alors la formulation variationnelle du problème qui permet de diminuer l ordre des fonctions nécessaires à utiliser. Par ailleurs, comme on va le constater une partie des conditions aux limites est dans ce cas naturellement vérifiée. Pour les problèmes hydrauliques pures où la résolution de l équation de conservation de masse est suffisante, les dérivés d ordre moins élevé sont présentes. C est pourquoi l utilisation des méthodes de différences finies est plus courante pour l étude de tels problèmes. Cependant, dans cette méthode, imposer les conditions aux limites est toujours très délicat et fastidieux. 1.5 Lois de Comportement Mécanique De nombreux travaux ont porté ces dernières années sur le comportement mécanique des sols, tant du point de vue expérimental que du point de vue théorique. Nous résumons ci-dessous les aspects les plus fondamentaux.

21 1.5. LOIS DE COMPORTEMENT MÉCANIQUE 21 (a) (b) Fig. 5 Influence du confinement sur le comportement triaxial drainé [YAM 01] (a) Variation du déviateur de contraintes en fonction de la déformation axiale (b) Variation de la déformation volumique en fonction de la déformation axiale Les caractéristiques mécaniques suivantes jouent un rôle essentiel dans le comportement des sols : 1. En présence d eau, les contraintes totales à elles seules ne permettent pas de décrire convenablement le comportement des sols. Le comportement peut être décrit par les contraintes effectives qui sont obtenues à partir des contraintes totales et des pressions interstitielles. Dans des conditions non drainées et saturées, le comportement des sols suit assez bien le principe des contraintes effectives de Terzaghi avec une hypothèse d incompressibilité des grains. Le fait de travailler en contraintes effectives permettra en outre d éliminer la vraie cohésion pour de nombreux sols. On appelle vraie cohésion, la résistance au cisaillement (dans le plan de Mohr) à contrainte effective moyenne nulle pour un sol saturé, et non pas l extrapolation linéaire de la résistance vers l origine, à partir d un confinement non nul. Dans les sols non saturés, la capillarité peut créer une cohésion fictive (ou apparente), qui est modélisée par une pression interstitielle moyenne inférieure à la pression d air (une succion), 2. Le comportement des sols est extrêmement non linéaire. Cette non linéarité est due à quatre mécanismes principaux : les déformations réversibles des particules granulaires aux contacts, les glissements irréversibles aux contacts intergranulaires, les déformations irréversibles des particules elles-même, les déformations irréversibles dues à la rupture des particules. Dans les applications courantes de la mécanique des sols, vu la rigidité intrinsèque des particules du sol, le troisième type de déformation est négligeable. Ceci n est pas toujours le cas pour certains types de matériaux granulaires. 3. Le confinement effectif influence considérablement à la fois la rigidité et la résistance du sol. Cet aspect est représenté sur les Figures 5, 8 et La porosité (ou l indice des vides, ou la densité) à un niveau donné de confinement

22 22 CHAPITRE 1. MISE EN EQUATION DU PROBLÈME Fig. 6 Influence du confinement sur la rigidité du sol [JOV 97] (a) Sable Lâche (b) Sable moyen Fig. 7 Influence du confinement et de la densité sur le comportement triaxial non drainé du sable de Toyoura [ISH 93]

23 1.5. LOIS DE COMPORTEMENT MÉCANIQUE 23 modifie également le comportement. Cette modification se manifeste au niveau de la rigidité, tant sur la rigidité initiale que lors du chargement. Sur les Figures 8 et 9 nous avons illustré cet aspect. 5. La dilatance désigne la possibilité de produire des déformations volumiques, même à contrainte effective moyenne constante sous l effet de contraintes de cisaillement. Elle dépend à la fois de la porosité et du rapport entre le cisaillement moyen et la contrainte effective moyenne. 6. Lors du cisaillement, le matériau atteint un état à partir duquel dans les conditions drainées : la déformation s effectue sous contraintes constantes et sans variation de volume, et dans les conditions non drainées : la pression interstitielle n évolue plus et la déformation s effectue sous contraintes effectives constantes. Cet état que l on appelle l "état critique" se produit à un indice de vides ne dépendant que des contraintes. Les essais triaxiaux de révolution montrent que la relation entre l indice des vides critique et le confinement est unique pour un matériau donné. 7. Bien que de morphologies et de structures très différentes, les sables et les argiles ont des comportements mécaniques macroscopiques très analogues. Cette ressemblance n a pas toujours fait l unanimité auprès des mécaniciens des sols. Roscoe, Schofield et Wroth, les initiateurs du concept d état critique (l Ecole de Cambridge [ROS 58]) ont mis en évidence ce concept à partir des résultats obtenus sur les argiles (Cam Clay) dans les années 60. Auparavant, les chercheurs qui étudiaient la stabilité des pentes constituées de sables fins, avaient remarqué l importance de l indice des vides in-situ sur le potentiel de liquéfaction. Ils supposaient que la liquéfaction ne pouvait se produire que dans les matériaux ayant un indice des vides supérieur à une certaine valeur (Casagrande [CAS 38], Geuze [GEU 48] et Koppejan et al. [KOP 48]). Casagrande et ses collaborateurs ont formalisé cette notion d indice des vides critique sous forme des méthodes de conception "design". Cette méthode connue sous le nom de "steady state" ou "surface d effondrement" est décrite en détail par Castro et al. [CAS 82]. Elle consiste en l analyse limite des sols potentiellement liquéfiables et est basée sur le concept de "steady state of deformation" défini par Poulos [POU 81] comme un état dans lequel une masse de particules se déforme continuellement à volume, contrainte effective normale, distorsion et vitesse constants. Comme on le constate, ces deux concepts sont extrêmement analogues et le seul point de différence semble être l exigence de la vitesse constante présente dans le concept de "steady state" [SLA 85]. Dans la théorie de Cam-Clay, on suppose que le lieu de tous les états finaux d un matériau arrivé à la plasticité parfaite peut être défini par une courbe (voir Figure 10) dans l espace (e, p, q). La projection de cette courbe sur le plan (e, log p ) est une droite de pente C c. On peut ainsi caractériser le comportement du matériau, à un état donné, en fonction de sa position par rapport à cette surface. Une argile, à sa première consolidation isotrope, se trouvera toujours à droite de la droite critique dans le plan (e, log p ) à une distance d. Pour une argile qui n est pas dans cet état (surconsolidée par exemple), on peut identifier le caractère contractant ou dilatant du comportement à partir de la position du point par rapport à la courbe critique (voir Figure 10).

24 24 CHAPITRE 1. MISE EN EQUATION DU PROBLÈME (a) Sable de Toyoura d après [LOP 97] (b) Sable limoneux d après [SAL 00] Fig. 8 Influence du confinement et de l indice des vides sur la rigidité des sables

25 1.5. LOIS DE COMPORTEMENT MÉCANIQUE 25 q [MPa] Void Ratio Epszz [%] Epszz [%] q [MPa] Void Ratio p [MPa] p [MPa] Fig. 9 Influence de la densité et le confinement sur le comportement triaxial drainé d un sable [MOH 83] Étoiles : sable de Hostun lâche, Points : sable de Hostun dense.

26 26 CHAPITRE 1. MISE EN EQUATION DU PROBLÈME Fig. 10 Surface d état critique dans le modèle Cam-Clay [BIA 94] Pour les sables, il est très difficile voire impossible d obtenir cette droite de consolidation isotrope. Néanmoins, pour un sable donné, on peut évaluer sa capacité de dilatance ou contractance suivant son état initial (e 0, p 0, q 0 ) et sa position par rapport à la surface critique. 8. Le domaine du comportement déviatoire réversible des sols est très petit. Lors de chargements cycliques, on trouve que pour des amplitudes plus grandes de déformations de cisaillement, les boucles d hystérésis en contraintes-déformations sont modifiées à chaque cycle, soit à cause de la densification du matériau dans des conditions drainées, ou à cause de l évolution de la pression interstitielle, dans des conditions non drainées. Les courbes classiques (G γ) et (D, γ) sont essentiellement expliquées par la création de déformations irréversibles qui aboutissent aux phénomènes tels que la liquéfaction en conditions non drainées (Figure 13). (a) Le niveau de déformation plastique de cisaillement est un indicateur du type de comportement qui a une influence majeure sur les propriétés cycliques, et qui varie beaucoup d un endroit à l autre dans les analyses sismiques, (b) Les résultats expérimentaux montrent que lorsque la déformation de cisaillement cyclique est inférieure à 10 5 environ (10 3 %), la réponse du sol est à peu près réversible et l élasticité non linéaire liée aux effets du confinement décrit assez bien le comportement. (c) Entre 10 5 et 10 3 des déformations irréversibles apparaissent mais les cycles sont assez stables. La déformation se fait sans variation importante de volume

27 1.5. LOIS DE COMPORTEMENT MÉCANIQUE 27 q [MPa] Eps zz q [MPa] p [MPa] e 0.6 e Eps zz p [MPa] Fig. 11 La droite d état critique et identification des comportements lâche et dense pour un sable 1 q [MPa] q [MPa] Eps zz p [MPa] Epsv 3 4 e Eps zz p [MPa] Fig. 12 Comportement à la charge/décharge/recharge drainé (lâche ou dense)

28 28 CHAPITRE 1. MISE EN EQUATION DU PROBLÈME (a) (b) Fig. 13 Comportement cyclique non drainé d un sable lâche en condition drainée (faible variation de pression interstitielle en condition non drainée). Ici, une approche issue de la méthode linéaire équivalente avec un amortissement hystérétique, donne de bons résultats, (les codes de calculs Shake, Flush, Quad4 ou CyberQuake). (d) Pour des déformations cycliques plus grandes que 10 2, seule une loi de comportement élastoplastique cyclique peut fournir des résultats consistants, même d un point de vue qualitatif. Ces aspects sont illustrés sur les Figures 14 pour les argiles et 15 pour les sables. 9. La contrainte principale intermédiaire joue un rôle sur le comportement des sols et la surface de charge n est pas régulière [LAD 77]. 10. Dans le cas des sols non saturés, la succion joue un rôle important sur le comportement mécanique. L analyse du comportement des sols non saturés sur des chemins de contraintes divers ( succion contrôlée ou contraintes totales contrôlées) aboutit aux constatations suivantes : Lors des chemins de drainage à contrainte totale constante, aussi bien sur les pâtes que les sols normalement consolidé, le matériau se rigidifie dès que la succion atteint une certaine valeur (voir Figures 16 et 17), Cette rigidité est très similaire à celle observée lors d une humidification ou une décharge, Cette rigidification du sol non saturé est également présente lors des chemins de consolidation à succion contrôlée, (Voir Figure 18), Lors des essais triaxiaux à succion imposée, les points finaux des essais présente une "cohésion apparente". Cette cohésion apparente varie d une manière non linéaire avec la succion pour atteindre une asymptote pour des succions élevées voir la Figure Le rôle joué par le facteur temps dépend du type de sol et du domaine d application. On peut considérer que dans le domaine du Génie Parasismique, la fréquence a une influence assez faible, bien qu elle modifie des vitesses de déformations. Bien évidemment, le rôle joué par le facteur temps dans la génération des pressions interstitielles