TOPOLOGIE & CONTINUITÉE Une approche mathéematique et philosophique IV

Transcription

1 TOPOLOGIE & CONTINUITÉE Une approche mathéematique et philosophique IV 7. RELATIONS D ÉEQUIVALENCE. Une relation d éequivalence est une relation trèes naturelle. Elle consiste àa considéerer dans plusieurs sujets ce qu ils ont, tout ou en partie, de commun. C est essentiellement une relation d éegalitée partielle qui permet de regrouper, d une certaine façcon, des objets, et en particulier de créeer de nouveaux ensembles. Mais aussi comme on le verra, ce qui se rapproche le plus de la déenomination en langage courant. Déefinition. Relation d éequivalence. Soit A un ensemble non vide, R une relation sur A. On dit que R est une relation d éequivalence si a) R est réeflexive i.e. pour tout a A, on a : ara b) R est syméetique i.e. pour tout a, a A, on a : ara a Ra c) R est transitive i.e. pour tout a, a,a A, on a : ara et a Ra ara. Remarque 7.1. Soit G R le graphe de R relation sur A; R est une relation d éequivalence ssi pour tout a,a, a A, on a : a ) (a, a) G R (réeflexivitée) b ) (a, a ) G R (a, a) G R (syméetrie) c ) (a, a ),(a,a ) G R (a, a ) G R (transitivitée). Exemples 7.1. Dans les exemples 5.1 du paragraphe 5 préecéedent, quelles sont les relations d éequivalence? i) Pour, l ensemble G R ne véerifie pas b ) puisque l on a : (2, 1) G R et (1, 2) G R ; la relation n est donc pas syméetrique. En effet, si un nombre x est supéerieur àa un nombre y, cela n implique éevidemment pas que y soit supéerieur àa x. ii) Pour la relation, la condition c ) n est pas véerifiéee i.e. n est pas une relation transitive. En effet, x difféerent de y et y de z n implique pas que x soit difféerent de z. iii) ÉEquivalence linguisitique et éequivalence mathéematique. Soit la relation R : êetre le frèere de. Elle est considéeréee par L. Brunschvig, dans son chapîıtre sur les classes, comme le type de la relation syméetrique (qu il appelle encore éegale àa son inverse) (cf. Annexe IV). Si on ramèene la question de la syméetrie àa la suivante : si Jean est le frèere de Jacques alors Jacques est-il le frèere de Jean? ou plus géenéeralement si x est le frèere de y, alors y est-il le frèere de x? la réeponse est positive. Mais cette préesentation est 1

2 celle de la syméetrie dans un cadre qui, ou bien ignore le genre, ou bien strictement masculin. Cette dernièere hypothèese pouvant s entendre, ou bien qu il n est pas de féeminin, ou bien dont le féeminin est exclu. Dans ce denier cas, il serait impossible de la considéerer dans le cadre d une sociéetée exclusivement féeminine (réeelle ou mythique), par exemple les Amazones ou des abeilles. En françcais les deux genres existent, et dans les éenoncées préecéedents, les questions éetaient poséees en sorte de rester dans le domaine masculin. La premièere, parce que les préenoms éetaient masculins, la seconde parce qu on employait le pronom il (dans est-il ). Si par contre, on comprend ce il comme un pronom indéeterminée (selon le genre), toujours suivant la rèegle de la préeéeminence du masculin, la question est indéependante du genre, et la réeponse est alors néegative. En effet, la relation, dans un cadre féeminin/masculin, n est pas syméetrique. Sans doute, serait-il plus difficile (quoique certainement pas impossible) aujourd hui, àa l universitée, d affirmer que la relation êetre le frèere de est syméetrique. La population universitaire est difféerente d il y a un sièecle, et on pense en effet plus rapidement au cas du féeminin. Or si un frèere est le frèere de sa sœur, celle-ci n est pas le frèere de celui-làa. Pourtant au travers des méedias et autres moyens de communication éelectroniques, on s aperçcoit que cette relation est encore couramment considéeréee comme syméetrique, voire le modèele de la syméetrie. C est le gage d une tradition bien éetablie, et d un féeminin qui, au moins dans la langue, se fait facilement oublier. Quoiqu il en soit, àa parler strictement, contrairement àa ce que pouvait affirmer Léeon Brunschvicg en 1912, R n est pas une relation syméetrique. Elle est toutefois transitive car si x est le frèere de y, et y est le frèere de z, alors x est le frèere de z (que z soit il ou elle ). Par rapport au déebut du XXèeme, un phéenomèene nouveau s est toutefois imposée. Celui des familles dites recomposéees qui existaient certes, mais en bien plus petit nombre. La question porte alors sur le sens àa donner àa frèere. Est-ce que les demi (frèeres) doivent-êetre ou non considéerées comme des frèeres. Dans ce cas, la relation R n est pas transitive, puisqu il peut y avoir trois frèeres, dont le premier a un parent commun avec le second (par ex. ayant mêeme pèere) le second avec le troisièeme (ayant mêeme mèere), auquel cas le premier et le troisièeme n ont aucun parent commun. Toutefois, si on déefinit R par la relation de fratrie, àa savoir avoir les mêemes géeniteurs, on obtient une relation réeflexive, syméetrique et transitive donc d éequivalence. Mais si l on considèere les familles recomposéees, et la relation avoir (au moins) un mêeme géeniteur, cette relation ne serait toujour pas transitive, puisque ce qui se jouait, concernait non pas le genre (il y avait syméetrie par rapport au masculin/féeminin), mais la combinatoire. Ceci montre que les éenoncées linguistiques incluent àa la fois des préesupposées historiques, mais aussi des problèemes de constructions séemantiques et syntaxiques 2

3 (cf. exemples 2.1.vi)). iv) Soit R la relation êetre semblable sur les triangles (exemple 5.2 iii). En utilisant la 3èeme déefinition de cette relation, on voit imméediatement qu elle est réeflexive (l éegalitée des angles est réeflexive), syméetrique (l éegalitée des angles est syméetrique) et transitive (l éegalitée des angles est transitive). Ainsi sur l ensemble des triangles du plan, la relation êetre semblable àa est une relation d éequivalence. Il faut toutefois noter que la notion mêeme de triangle est ambiguëe et met en jeu celle d éequivalence. En effet, un triangle peut signifier a) la totalitée des figures àa 3 côotées dans le plan. Dans ce cas, en géenéeral, deux triangles semblables ne sont pas homothéetiques l un de l autre, et leurs sommets n appartiennent pas àa l intersection de 3 droites avec des droites parallèeles (cf. dessin de l exemple 5.2 iii)). En effet, deux triangles peuvent mêeme êetre éegaux sans véerifier ces propriéetées. Il suffit de considéerer les deux triangles rectangles obtenus en traçcant la hauteur d un triangle isocèele. En géenéeral, lorsqu il est questions des propriéetées des triangles, ce n est pas la totalitée des figures planes àa 3 côotées que l on considèere, mais ce qu on va appeler des triangles distincts. Un triangle est alors non plus une figure plane, mais : b)l ensemble des figures qui lui sont éegales. Et deux triangles sont dits distincts, si, en tant qu ensembles, ils sont distincts. Cela signifie qu ils n ont aucun éeléement (i.e. aucun triangle) en commun. Reste àa déefinir l éegalitée des triangles, c est-àa-dire l ensemble des triangles (au sens a)) contenus dans un triangle (au sens b)). C est l éegalitée au sens intuitif : des figures éegales sont des figures dont les angles et les côotées sont éegaux. Les difféerents cas d éegalitée des triangles montrent que lorsque certaines de ces éegalitées sont véerifiéees (par ex. les côotées éegaux), toutes le sont. Comment s interprèete cette notion intuitive d éegalitée? C est la superposition des figures. Cela revient encore àa dire qu on peut les déeplacer en sorte qu elles deviennent indiscernables. Les déeplacements éetant les applications du plan qui ne changent ni la longueur, ni l angle des droites. Ce sont les composéees de translations, rotations et syméetries (cf. Rappels de cours). La syméetrie est indispensable pour que des figures en miroir soient éegales (cf. figure ci-dessus). Remarque

4 Cette relation d éegalitée est une relation d éequivalence sur l ensemble T des triangles (en tant que toutes les figures planes ferméees àa 3 côotées, c est-àa-dire au sens a) de l exemple 7.1.iv)). La déemonstration est analogue au cas des triangles semblables, mais en ajoutant l éegalitée des côotées. Ainsi qu il a éetée remarquée dans l introduction, l éequivalence a pour but d identifier, au travers d une propriéetée commune, certains objets, et considéerer qu ils n en font qu un. C est elle qui donne un sens mathéematique àa l identification. Identifier deux objets (a et b) consiste àa éetablir une relation d éequivalence en sorte que ces deux objets soient éequivalents pour cette relation (i.e. on ait : arb). Dèes lors que l on a identifiée les triangles au travers de la déefinition d éegalitée préecéedente, un triangle n est plus une figure plane, mais un ensemble de telles figures, un modèele (paráadeigma) ou en quelque sorte une forme. En ce sens un triangle est un ensemble de toutes les figures planes qui s obtiennent par le déeplacement d un éeléement de T (formée des figures planes ferméees àa trois côotées). On peut alors déefinir la notion de triangle-modèele : Déefinition. Un triangle-modèele est l ensemble des figures planes ferméees àa 3 côotées éegales entre elles. Remarque 7.3. Un modèele consiste donc àa considéerer non plus des figures singulièeres mais des classes de telles figures. Pour distinguer figures et classes de figures, on note T l ensemble des modèeles et T l ensemble des figures planes triangulaires. On voit l intéerêet de travailler sur T plutôot que T pour éetudier les propriéetées des triangles en tant que figures. En effet, ces propriéetées ne déependant pas de la place de chaque triangle dans le plan, on peut d une part considéerer n importe quelle figure de ce modèele, d oùu une libertée de choix, et d autre part réeduire la diversitée des figures, puisqu il est néecessaire de seulement considéerer des figures distinctes. On est ainsi amenée àa l éegalitée au second sens de l exemple 7.1.iv) Ceci conduit àa géenéeraliser la notion de modèeles àa toute relation d éequivalence, au travers des ensembles saturées puis des classes d éequivalence. Déefinition Ensemble saturée pour une relation d éequivalence. Soit A un ensemble, R une relation d éequivalence sur A et A A un sousensemble de A. On dit que A est saturée pour R si pour tout a, a A, on a : [a A et ara ] a A. Cela est encore éequivalent àa : aucun éeléement de A\A n est éequivalent àa un éeléement de A. Exemples 7.2. i) Soit R une relation d éequivalence sur A et a A un éeléement de A; le sousensemble ȧ := {x A;xRa} est saturée pour R. Cela réesulte de la transitivitée de 4

5 R : en effet, si y A véerifie yrx pour un certain x ȧ, on a xra d oùu (transitivitée de R) yra, et par déefinition, y ȧ. ii) Soit T l ensemble des triangle du plan (au sens du a) de la remarque 7.1.iv)) et R la relation d éegalitée des triangles, qui, d aprèes la remarque 7.2, est une relation d éequivalence sur T. Pour tout triangle s T, ṡ := {t T; trs} est préeciséement l ensemble des triangles du plan éegaux àa s i.e. c est un triangle-modèele (dont un modèele est s! ). D aprèes i), ṡ est saturée pour R. iii) Soit T T le sous-ensemble de T formée des triangles (1er sens) rectangles et R la relation êetre semblable sur T ; T est un ensemble saturée pour la relation R. En effet, par déefinition, les angles de deux triangles semblables sont éegaux. En particulier, si l un des angles du premier est droit, il en est de mêeme de l autre. Cela signifie que pour tout t,t T, si on a : t T et trt, alors t T, d oùu T est saturée pour R. iv) L ensemble des frèeres d une mêeme famille n est pas saturée pour la relation de fratrie (avoir les mêemes géeniteurs), il manque comme on l a vu les sœurs (cf. exemple 7.1.iii)). Déefinition. Classe d éequivalence Soit R une relation d éequivalence sur un ensemble A. Pour tout a A, le sous-ensemble ȧ R A formée des éeléements de A éequivalents àa a est appelée la classe d éequivalence déefinie par a (pour la relation d éequivalence R). Lorsqu il n y a pas d ambiguïıtée sur la relation considéeréee, on éecrit ȧ pour ȧ R. Remarque 7.3. i) Par déefinition d une relation d éequivalence, on a A, aussi toute classe d éequivalence (par déefinition) contient au moins un éeléement de A (donc est non vide). ii) Une classe d éequivalence est déefinie comme l ensemble des éeléements de A éequivalents àa un éeléement de A. Mais c est aussi l ensemble des éeléements de A éequivalents àa n importe quel éeléement de cette classe. En effet, soit a appartenant àa une certaine classe d éequivalence A. Par déefinition d une classe d éequivalence (l ensemble des éeléements de A éequivalents àa un certain éeléement de A), il existe a A tq A := ȧ (1), d oùu : a Ra (2). Pour tout x A := (d aprèes (1)) ȧ, on a aussi xra d oùu, par syméetrie : arx. D aprèes (2), par transitivitée on obtient a Rx et donc x est éequivalent àa a. On a donc : A := ȧ ȧ. Inversement d aprèes (2), tout éeléement y A éequivalent àa a est, par transitivitée, éequivalent àa a, d oùu : ȧ A, et donc ȧ = A pour n importe quel éeléement a dans A (i.e. éequivalent àa a). On a vu (exemple 7.2.i)) qu une classe d éequivalence pour une relation d éequivalence est un ensemble saturée pour cette relation. On a inversement 5

6 Lemme 7.1. Soit R une relation d éequivalence sur un ensemble A. Un sous-ensemble A A de A est saturée pour R ssi c est une réeunion de classes d éequivalence. On éetudiera les réeunions quelconques plus en déetail dans la seconde partie, 1. i) Tout d abord toute classe d éequivalence éetant saturéee pour R, leur réeunion l est éegalement et A est saturée. ii) Réeciproquement, soit A saturée; pour tout a A et a A, on a donc : ara a A et donc ȧ A. Ceci éetant vrai pour tout a A, leur réeunion est contenu dans A. Inversement, par réeflexivitée de R, tout a de A appartient àa ȧ, et donc àa la réeunion des classe d éequivalence de tous les a A. Ce qui donne l éegalitée cherchéee. Déefinition Saturée d un ensemble. Soit A un ensemble, R une relation d éequivalence sur A et A A un sousensemble de A. On appelle saturée de A (pour la relation R) le sous-ensemble A contenant A formée de toutes les classes d éequivalence des éeléements de A i.e. A := {a ȧ ;a A } := a A ȧ. Proposition 7.2. Soit A un ensemble, R une relation d éequivalence sur A et A A un sousensemble de A. i) Le saturée A de A est un sous-ensemble saturée de A. ii) Le saturée A de A est l ensemble de tous les éeléements de A éequivalents (pour R) aux éeléements de A. A. iii) Le saturée Ȧ de A est le plus petit sous-ensemble saturée de A contenant iv) A = A ssi A est un sous-ensemble saturée de A. i) D aprèes le lemme 7.1, une réeunion de classes d éequivalence est saturéee, donc A est saturée. ii) En effet, un éeléement de A est éequivalent àa un éeléement a A ssi (déef. d une classe d éequivalence) il appartient àa ȧ (déefinition de A ) A. iii) D aprèes i), A est un sous-ensemble saturée; d autre part, par réeflexivitée, tout éeléement est éequivalent àa lui-mêeme. D oùu, suivant ii), A A. Enfin, soit B un sous-ensemble saturée de A contenant A. Suivant le lemme 7.1, B est une réeunion de classe d éequivalences, d oùu : pour tout a A B, on a : ȧ B (car B est saturée). Par déefinition de A, cela signifie que A B, et A est le plus petit sousensemble saturée de A contenant A. 6

7 iv) Si A est saturée, c est le plus petit sous-ensemble de A (pour l inclusion) contenant A, et d aprèes iii), on a : A = A. Inversement, si A = A, alors (d aprèes i)) A est saturée. ATTENTION. En géenéeral, il n existe pas de plus grand ou de plus petit objet (ensemble, éeléement,...) véerifiant une propriéetée donnéee. Ainsi, il n existe pas de plus petit rationnel strictement plus grand que ou strictement plus petit que 2. Ainsi, il n existe pas de plus grand ensemble contenant un ensemble donnée (par contre, si l on considèere les seuls sous-ensembles d un ensemble A donnée, il existe, c est l ensemble A lui-mêeme). De mêeme, il n existe pas de cercle contenant tous les cercles du plan. Mais il se peut aussi qu il existe bien de tels objets, mais qu ils ne soient pas uniques. Dans ce cas éegalement, il est impossible de déefinir le plus petit ou le plus grand d entre eux. Ainsi, soit A := {{1},{1, 2},{2, 3}, {2, 5}}, et considéerons l ensemble P des sous-ensembles de A contenant 2. On a : 2 {1, 2},{2, 3}, {2, 5}, d oùu P := {{1, 2},{2, 3},{2, 5}}. On ne peut donc pas déefinir le plus petit ou le plus grand éeléement de P. Par contre, il existe des plus petits et des plus grands éeléements de P, àa savoir n importe quel éeléement de P. Lorsqu on veut déefinir le plu petit (ou le plus grand) éeléement d un ensemble (pour une relation d ordre donnéee sur cet ensemble), il faut donc déemontrer auparavant son existence et son unicitée. Le lemme 7.2.iii) donne préeciséement la preuve de l existence d un unique plus petit ensemble saturée contenant un sous-ensemble donnée. L exercice 7.1 est une sorte de modèele pour s assurer de l existence d un plus petit ensemble véerifiant une propriéetée donnéee. Déefinition. Ensemble-quotient Soit R une relation d éequivalence sur un ensemble A. L ensemble des classes d éequivalence est appelée l ensemble-quotient de A par R et est notée A/R. ATTENTION. Pour tout a A, ȧ est un sous-ensemble de A; mais ȧ est aussi un éeléement de A/R. On doit donc considéerer ȧ àa la fois comme un sous-ensemble (de A) et un éeléement (de A/R P(A)). Cet aller-retour peut êetre source de nombreuses difficultées. Exemple 7.3. On reprend le cas des triangles du plan. On rappelle que l on note T l ensemble des triangles considéerées comme figures planes et T l ensemble des triangles considéerées comme modèeles (remarque 7.3). Soit R la relation d éegalitée des triangles sur T (donc au premier sens). Suivant la remarque 7.2, c est une relation d éequivalence sur T. Un éeléement ṫ T, i.e. un triangle-modèele, est la classe d éequivalence 7

8 déefinie par t T, et l ensemble de ces classes est, par déefinition, l ensemble-quotient T/R. On a donc T = T/R. Mais de mêeme qu on identifie souvent un ensemble àa 1 éeléement àa cet éeléement (i.e. {a} et a (cf. exemple 7.4), ce qui peut êetre source de difficultées (cf. remarques 4.1 et 4.2), il n est pas toujours éevident de comprendre, lorsqu on parle d un triangle, si c est en tant qu éeléement de T ou de T P(T). L ambiguïıtée joue encore entre éeléement et ensemble, mais cette fois l ensemble ne comporte pas un seul éeléement (celui avec lequel on le confond) mais un trèes grand nombre (en fait une infinitée). Cette identification (ou confusion), au moins dans le langage courant, entre triangles (éeléements de T) et triangles-modèeles (éeléement de T) consiste àa confondre l éeléement avec sa classe d éequivalence, ce qui est fait trèes souvent. Dans la suite, au contraire, nous distinguerons systéematiquement les deux cas. Cette situation n est pas particulièere àa une éepoque ou àa une langue. Déejàa Aristote se plaignait du manque de termes qui empêechait de distinguer le cercle géenéeral (modèele) d un cercle particulier : le nom du cercle est éequivoque : il signifie àa la fois, le cercle au sens absolu et le cercle individuel, parce qu il n existe pas de nom spéecial pour les cercles individuels (Méetaphysique, Z, 10, 1035a29-b3). Cette confusion (ou identification) est éegalement préesente dans des notions non mathéematiques, ainsi parle-t-on de table pour n importe quelle sorte de table et pour telle table déeterminéee (cf. Annexe VIII). Déefinition. Partition d un ensemble Soit A un ensemble. Une partition de A est un sous-ensemble P P(A)\{ } (i.e. les éeléements de P sont des sous-ensembles non vides de A) tel que i) Pour tout X,Y P, on a : X Y X Y = ii) Pour tout a A, il existe X P tq a X (et d aprèes i), X est unique). Remarque 7.4. i) Il faut remarquer que P est un sous-ensemble de P(A) et non pas de A. Autrement dit ses éeléements ne sont pas des éeléements de A, mais des sous-ensembles de A. ii) La condition ii) s éecrit encore X = A. X P En effet si X = A, alors, par déefinition d une réeunion, pour tout a A, il X P existe un certain X P tq a X. Et inversement, si pour tout a A, il existe X P tq a X, alors a X P d oùu : A X, et puisque pour tout X P, X A, on a bien l éegalitée. X P Proposition 7.3. Soit R une relation d éequivalence sur un ensemble A. i) les classes d éequivalence sont ou bien disjointes ou bien confondues i.e. 8 X,

9 pour tout A R,A R A/R, on a : ou bien A R A R = ou bien A R = A R. ii) L ensemble des classes d éequivalence forment une partition de A, i.e. A/R (sous-ensemble de P(A)) est une partition de A. iii) Inversement toute partition P P(A) de A déefinit une unique relation d éequivalence R p dont les classes d éequivalence sont les éeléements de P i.e. P = A/R p. Cette relation est donnéee par : pour tout a, a A, ar p a : il existe (un unique) X P avec a, a X. Dans iii), on note la relation d éequivalence R p pour rappeler qu elle déepend de la partition P. i) Soient A R et A R deux classes d éequivalence pour R. S il existe a A tq on ait a A R A R, suivant la remarque 7.3.ii), on a : A R = ȧ = A R. Ainsi deux seuls cas sont possibles : ou bien les classes A R et A R sont disjointes, ou bien elles sont confondues. ii) Par réeflexivitée, tout éeléement de a A appartient àa sa classe d éequivalence ȧ A/R et d aprèes i), il n appartient àa aucune autre classe. Les classes d éequivalence sont donc 2 àa 2 disjointes et leur réeunion donne A i.e. elles forment une partition de A. iii) a) R p est une relation d éequivalence sur A. Elle est en effet réeflexive et syméetrique, car l appartenance àa un mêeme ensemble l est trivialement. En outre, si a et a (resp. a et a ) appartiennent au mêeme X P (resp. X P), alors X et X ne sont pas disjoints (car contenant a ), donc ils sont éegaux (déefinition d une partition) i.e. a et a appartiennent àa X. Par déefinition de R p, on a donc ar p a, et R p est transitive. C est donc une relation d éequivalence sur A. X P. b) Il faut montrer que les classes d éequivalence de R p sont les sous-ensembles Par déefinition de R p, les classes d éequivalence sont forméees des éeléements de A appartenant àa un mêeme éeléement de P. Donc tout éeléement de P est une classe d éequivalence pour R p. Inversement, une classe d éequivalence est (par déefinition) l ensemble des éeléements de A éequivalent àa un certain éeléement a de A. Une classe d éequivalence pour R p est donc forméee des éeléements de A appartenant au mêeme ensemble que a, donc (déefinition de R p ) àa un certain X de P. Les classes d éequivalence de R p sont donc bien les éeléements de la partition P. c) Reste àa montrer l unicitée de R p. Soit donc R une autre relation d éequivalence sur A tq A/R = P = A/R p. Pour distinguer les classes d éequivalence pour R p et R, on les notera respectivement ȧ Rp et ȧ R. Pour tout a A, on a alors : ȧ Rp = ȧ R i.e. pour tout x A : ar p x ar x, 9

10 et donc R p = R. Corollaire 7.3. Une relation d éequivalence est complèetement déeterminéee par la donnéee de son ensemble-quotient i.e. par ses classes d éequivalence. Remarque. Cela signifie que si deux relations d éequivalence déefinissent le mêeme ensemble quotient, elles coïıncident. En effet, soient R et R deux relations d éequivalence sur A. Si l on a : A/R = A/R, les partitions déefinies respectivement par R et R sont éegales, d oùu par unicitée (prop. 7.3.iii)) : R = R. Remarque 7.5. i) Cette caractéerisation de la relation d éequivalence est fondamentale. Elle permet en particulier de rapprocher cette dernièere de la déenomination. Donner un nom, c est regrouper sous une unitée un ensemble d objets conçcus comme posséedant une certaine communautée. Ainsi dans les exemples 2.1, si on considèere l animal comme l ensemble de tous les animaux (avec les difféerents problèemes que cela peut comporter) le chien, l homme, mais aussi bien le cheval, le cochon ou l abeille seront comme des classes d éequivalence déefinies dans cet ensemble. Ils forment une partition car d une part, un homme ne saurait êetre un cochon, un chien un cheval, et d autre part, tout animal fait partie d une certaine espèece. Il n empêeche que l on traite parfois des hommes de cochons, de chiens ou mêeme de frelons. ii) Lorsqu on veut classifier un ensemble au moyen d une partition, une question se pose sur la qualitée de cette partition. Faut-il qu elle soit aussi homogèene que possible, ou bien quelconque? Par exemple, si l on se place dans le cadre des ensembles finis, doivent-ils avoir autant que possible le mêeme nombre d éeléements. Un cas extrêeme, est celui d une partition forméee de deux ensembles, l un àa seul éeléement, le second contenant tous les autres. Son intéerêet est trèes limitée, au moins pour connaîıtre les propriéetées de l ensemble, puisque cela revient simplement àa déesigner cet éeléement-ci parmi tous les autres conçcus seulement comme éetant difféerents de lui, autrement dit àa faire un choix en créeant une dissyméetrie. On en trouve un exemple dans la critique par Platon de la distinction entre Grecs et Barbares. Sa seule raison d êetre est la gloire des premiers en tant qu ils se considèerent difféerents de tous les autres. Mais ce faisant, ils éetablissent un voile d indifféerentiation sur ces autres, considéerées tous comme identiques. Cette fois, c est une question sur le langage qui conduit àa une question mathéematique (cf. Annexe IX). Il s agit alors d une mesure des partitions en fonction de leur qualitée. On en verra quelque chose d analogue en éetudiant la finesse des relations d éequivalence (cf. prop. 8.2). 10

11 Corollaire 7.3. Soit R une relation d éequivalence sur A. On déefinit une application p de A sur l ensemble-quotient A/R en posant p(a) := ȧ. i) Cette application est surjective; elle est appelléee la projection de A sur l ensemble-quotient A/R. ii) Pour toute classe d éequivalence A R A/R, et tout a A R A, on a : A R = ȧ := p(a). iii) Soit A un sous-ensemble A. L image par p de A (i.e P p (A ) A) est le saturée de A (pour R). C est donc le plus petit sous-ensemble saturée de A contenant A. i) Par déefinition (d une classe d éequivalence), pour toute classe d éequivalence A R A/R, il existe a A en sorte que A R := ȧ := p(a), et donc p : A A/R est surjective. ii) C est exactement ce que dit la remarque 7.3.ii) iii) Par déefinition, on a : P p (A ) := {p(a) A/R P(A);a A } := {ȧ A/R;a A } qui est, par déefinition, le saturée de A. Et suivant la prop. 7.2.iii), c est le plus petit sous-ensemble saturée de A contenant A. Exemples 7.4. i) Soit R la relation d éegalitée déefinie sur un ensemble A. Elle est trivialement réeflexive (a = a), syméetrique (a = b b = a) et transitive (a = b et b = c a = c), c est donc une relation d éequivalence sur A. Ses classes d éequivalence sont les suivantes : pour tout a, a A, alors a véerifie : a ȧ ssi (déefinition) a = a d oùu ȧ = {a} et la projection p : A A/R oùu p(a) := ȧ = {a} est non seulement surjective mais bijective. Son l ensemblequotient A/R est : A/R = {{a},a A} ( ). Ainsi on peut encore dire que la confusion (ou l identification) entre a et {a}, consiste àa confondre (ou identifier) un éeléement et sa classe d éequivalence pour l éegalitée (cf. aussi exemple 7.3). En outre, l éegalitée a une propriéetée trèes particulièere : c est la seule relation R sur A qui est àa la fois relation d ordre et relation d éequivalence. En effet, d une part, d aprèes ce qui préecèede, elle est réeflexive et transitive; elle est éegalement trivialement antisyméetrique (i.e. [a = a et a = a] implique éevidemment a = a ). Inversement, soit R une relation d éequivalence et d ordre total sur A. Pour tout a, a A, on a : ara (syméetrie de R) a Ra d oùu ara [ara et a Ra] (antisyméetrie de R) a = a et donc les classes d éequivalences de R sont forméees d un seul éeléement. On a donc : 11

12 A/R = {{a}; a A}. D aprèes ( ) les ensembles quotients de A pour R et pour l éegalitée sont donc identiques, d oùu (corollaire 7.3 ), les deux relations coïıncident. En particulier, sur n importe quel ensemble, l éegalitée est une relation d ordre. Par contre, la relation sur un sous-ensemble de N ayant au moins deux éeléements, n est jamais une relation d éequivalence (cf. exemple 7.1 i)). ii) On considèere A = N (ensemble des entiers positifs). Pour tout k, m,n N, soit R k la relation sur N déefinie par : mr k n signifie m n est un multiple de k dans N i.e. ou bien m n ou bien n m est un multiple entier (positif) de k (oùu m n déesigne la valeur absolue de m n). La relation R est une relation d éequivalence. En effet : 1) pour tout n N, n n = 0 k i.e. nr k n (réeflexivitée) 2) pour tout m, n N, mr k n signifie : il existe p N tq ou bien m n = kp ou bien n m = kp, et donc : ou bien n m = kp ou bien n m = kp i.e. on a : nr k m, et donc R k est syméetrique. 3) Pour tout l, m, n N, on a : lr k m (resp. mr k n) signifie : ou bien l m ou bien m l (resp. m n ou bien n m) est un multiple de k. La somme (et la difféerence si elle existe dans N) de deux multiples de k éetant encore un multiple de k, on a : lr k m et mr k n implique l n ou n l est un multiple de k i.e. lr k m, et donc R k est transitive. Pour certains k N, on va considéerer les classes d éequivalence et les ensembles quotients déefinis par ces relations R k iii) Si k = 0, mr 0 n éequivaut àa : il existe p N tq m n = 0 p = 0 ou bien n m = 0 p = 0; R 0 est donc l éegalitée sur N. Pour tout n N, on a alors suivant i) : ṅ R0 = {n} et N/R 0 = {{n}, n N}. iv) Pour k = 1, mr 1 n éequivaut àa l existence d un entier p N tq m n := 1 p ou bien n m := 1 p, ce qui est toujours le cas (en prenant p := m n ). Tous les éeléements de N sont donc éequivalents entre eux pour la relation R 1. Il y a donc une seule classe d éequivalence. Ainsi N/R 1 est éegal àa {N} est un ensemble àa un éeléement, àa distinguer de N qui est un ensemble àa une infinitée d éeléements. v) Pour k = 2, mr 2 n signifie qu il existe p N tq m n := 2p ou bien n m := 2p, ce qui éequivaut àa : m = n + 2p ou bien n := m + 2p, 12

13 i.e. m et n ont mêeme paritée (tous les deux sont simultanéement pairs ou impairs). La classe d éequivalence 0 contient tous les nombres pairs, puisque : mr 2 0 : m 0 = m = m = 2p, p N. La classe d éequivalence 1 contient tous les nombres impairs puisque, mr 2 1 : m 1 = 2p i.e. m 1 = 2p ou 1 m = 2p. Ainsi l ensemble-quotient N/R 2 := { 0, 1} est un ensemble àa 2 éeléements oùu 0 N (resp. 1 N) est le sous-ensemble de N des entiers positifs pairs (resp. impairs). Et N/R 2 donne bien (conforméement àa la proposition 7.3.ii)) une partition de N. vi) Plus géenéeralement, pour k N quelconque, l ensemble-quotient N/R k est un ensemble àa k éeléements formées des classes d éequivalence 0 Rk,..., (k 1) Rk. En effet, pour tout n N, on peut diviser n par k et on obtient n = kp + r, avec p, r N uniques véerifiant r < k. Il existe donc un (unique) r {0,..., k 1} tq on ait nr k r. Il y a donc au plus k classes d éequivalence de N pour R k, àa savoir 0 Rk,..., (k 1) Rk. En fait il y en a exactement k puisqu un entier, et a fortiori la difféerence de deux entiers strictement plus petits que k, ne peut êetre un multiple non nul de k i.e. pour i, j N tq i < k et j < k, on a : ir k j i = j. Suivant la proposition 7.3.i), on obtient : N/R k := { 0 Rk,..., (k 1) Rk }. Suivant la remarque 7.3.ii), il est possible de remplacer dans l éecriture des classesd éequivalence les r {0,...k 1} par n importe quel r éequivalent àa r (i.e. r := r + pk, p N). Ainsi on aurait éegalement : Remarque 7.6. N/R k := { 1 Rk,..., k Rk }. Au travers de cette notation des classes d éequivalence d une relation R sur un ensemble A, on est dans l arbitraire (ou la libertée) du symbole. Cela réesulte de l éecriture des classes d éequivalence, éeléements de A/R, sous la forme ȧ avec a A. En effet, suivant la remarque 7.3.ii), une classe d éequivalence est indéependante du choix de a A dans cette classe. La notation laisse pourtant supposer le contraire, et croire àa la néecessitée du choix d un éeléement déeterminée, pour déefinir cette classe d éequivalence. Cela revient àa inverser le rapport entre ensemble et éeléement, l éeléement déeterminant l ensemble et non pas l inverse; l ensemble n est plus alors considéerée comme totalitée de tous les éeléements éequivalents entre eux, mais éequivalents àa l un d entre eux. D oùu la question du choix, lorsqu il n est aucune raison (ou aucun moyen) pour y procéeder. Il est alors néecessaire de créeer une dissyméetrie. Ainsi dans l exemple préecéedent, lorsqu on déesigne l ensemble-quotient N/R k par { 0 Rk,...,(k 1) Rk }, cela revient àa choisir dans chaque classe d éequivalence le plus petit entier de cette classe. Mais créeer une dissyméetrie, implique sortir de la 13

14 relation d éequivalence dont l une des propriéetées est préeciséement la syméetrie. Il est dèes lors néecessaire d ajouter un critèere externe àa la relation. Or rien ne prouve que cela soit toujours possible, sauf àa se déebarrasser du problèeme en l éenonçcant sous forme d axiome. Si l on n y prend garde, cet arbitraire (ou cette libertée) peut êetre cause de graves difficultées. Pour des relations avec certaines questions touchant le langage, voir l Annexe XI. Lemme 7.4. Soit A,B des ensembles, R et R des relations d éequivalence respectivement sur A et B. La relation-produit notéee R R sur A B déefinie par : pour tout a, a A et b, b B, (a, b)r R (a, b ) : ara et br b est une relation d éequivalence sur le produit A B notéee R R. Pour tout (a,b), (a, b ), (a, b ) A B, on a : i) ara et br b (car R et R sont réeflexives), ce qui signifie : (a, b)r R (a,b), d oùu par déefinition, on obtient : ara et br b, et R R est réeflexive ii) (a, b)r R (a, b ) éequivaut par déefinition àa : ara et br b, d oùu (R et R éetant syméetriques) : a Ra et b R b, ce qui éequivaut par déefinition àa : (a, b )R R (a, b), et R R est syméetrique iii) (a, b)r R (a, b ) et (a, b )R R (a,b ) éequivaut àa : ara, br b, a Ra, b R b, d oùu par transitivitée de R : ara et br b i.e. (a, b)r R (a, b ), et R R est transitive. C est donc une relation d éequivalence sur A B. Déefinition. Relation d éequivalence produit. Soit A, B des ensembles, R et R des relations d éequivalence respectivement sur A et B. La relation d éequivalence R R déefinie sur A B est appeléee la relation d éequivalence produit. Par réecurrence, on peut déefinir le produit d un nombre (fini) quelconque de relations d éequivalence. Exemples 7.5. i) Les produits de relations d éequivalence sont utilisées pour la construction de l anneau de entiers relatifs (Z) et du corps des rationnels (Q) (cf. Rappels de cours I.3). ii) On transpose l exemple 7.4.ii) àa Z. Soit k Z un entier relatif. On note R k la relation déefinie par : 14

15 zr k z : z z est un multiple de k dans Z (i.e. il existe z Z tq z z = kz ). Cette relation est une relation d éequivalence sur Z. En effet, pour tout z,z, z Z, on a : zr k z : z z = 0 = 0k et R k est réeflexive; zr k z : z z = kn,(n Z) : z z = k( n) et R k est syméetrique; zr k z et z R k z : [z z = kn et z z = kn, (n,n Z)] : [z z = (z z ) + (z z )) = k(n + n )], et R k est transitive. L ensemble-quotient Z/R est souvent notée Z/kZ ou encore Z k. Remarque 7.7. Une fois encore, il faut insister sur l ambiguïıtée concernant les classes d éequivalence, déejàa vue àa propos des deux sens du terme triangle. Ainsi dans la construction de Z, un éeléement de Z est une classe d éequivalence z d un couple d entiers positifs (cf. Rappels de cours) i.e. un sous-ensemble (infini) de N N. En effet, si (m, n) z N N, on a éegalement : (n + 1,m + 1),(n + 2, m + 2), (n + 3, m + 3),... z. Mais d autre part, si n m, alors z est l entier positif n m (éeléement de N). Et pour n < m, on a encore : z est un entier néegatif, le syméetrique de z := m n N. De mêeme dans la construction de Q +, tout q Q + est un ensemble de couples d entiers, mais c est aussi un éeléement de Q +. En outre, si (n, 1) q, alors q est un entier, àa savoir n N. Il faut garder àa l esprit ce double point de vue lorsqu on a affaire àa une classe d éequivalence : le mêeme objet est àa la fois sous-ensemble et éeléement. Ceci provient d une suite d identifications. En fait, cela consiste àa oublier la construction de Q + àa partir de N pour considéerer N comme un sous-ensemble de Q +, c est-àa-dire les entiers comme des cas particuliers de rationnels (et non plus les rationnels comme des classes d éequivalence de couples d entiers). 15

16 8. RELATIONS D ÉEQUIVALENCE, COMPATIBILITÉE, ORDRE. Les classes d éequivalence permettent de déefinir un ordre (non total) sur les relations d éequivalence d un mêeme ensemble i.e. de les comparer (au moins certaines d ) entre elles. Déefinition. Ordre sur les relations d éequivalence Soit A un ensemble, R et R des relations d éequivalence déefinies sur A. On dit que R est moins fine que R (ou encore R est plus fine que R ) si le graphe de R est inclus celui de R (i.e. G R G R ). ATTENTION. Il faut êetre attentif au sens de l inclusion : la relation R est moins fine que R signifie que le graphe de R est plus grand que celui de R. Lemme 8.1. Soit A un ensemble, R et R des relations d éequivalence sur A. i) La relation R est moins fine que R ssi toute classe d éequivalence de R est contenue dans une classe d éequivalence de R i.e. pour toute A R A/R, il existe A R A/R tq A R A R. ii) Cela est encore éequivalent àa : pour tout a A, ȧ R ȧ R i.e. pour tout a, a A, ara ar a. Soient G R et G R les graphes respectifs de R et R. Pour tout a, a A, on a les éequivalences suivantes : [R moins fine que R] : [G R G R ] : [(a,a ) G R (a, a ) G R ] : [ara ar a ] : ȧ R ȧ R. Les deux dernièere éequivalences donnent ii). En outre, par déefinition d une classe d éequivalence, A R est, pour un certain a A, de la forme A R = ȧ R. L inclusion ȧ R ȧ R, pour tout a A, implique donc i), et le lemme est déemontrée. Proposition 8.2 La relation êetre moins fine que (resp. êetre plus fine que ) sur l ensemble des relations d éequivalence de A est une relation d ordre (large) notéee (resp. ). Soit E l ensemble des relations d éequivalence sur A. - Soit R E, on a G R G R, d oùu est réeflexive; - Soient R, R E. On a : R R et R R éequivaut (par déefinition) àa : G R G R et G R G R, d oùu G R = G R, donc (Remarque 5.1) R = R, et est anti-syméetrique; - Soient R, R, R E. On a : R R et R R éequivaut (par déefinition) àa : G R G R et G R G R, 16

17 d oùu G R G R, donc (par déefinition) R R, et est transitive. La relation est donc une relation d ordre sur E. Corollaire 8.2. i) Deux relations d éequivalence sur A ne sont pas toujours comparables (pour la relation d ordre déefinie ci-dessus), autrement dit la relation d ordre êetre moins fine que n est pas une relation d ordre total. ii) L éegalitée est la plus fine des relations d éequivalence sur A. i) On considèere àa nouveau l exemple 7.4.iii), oùu : A := N, k N, et les relations d éequivalences R k sont déefinies par : mr k n : m n est un multiple de k. On a alors : 0 R2 := {2z; z N}, 0 R3 := {3z;z N}, et ni 0 R2 n est inclus dans 0 R3, ni 0 R3 dans 0 R2. Suivant le lemme 8.1.i), cela signifie que ni R 2 n est moins fine que R 3, ni R 3 n est moins fine que R 2. Ces deux relations d éequivalence sur N ne sont pas comparables et donc n est pas un ordre total sur l ensemble des relations d éequivalence de N. ii) Soit A un ensemble et R une relation d éequivalence sur A. Pour tout a A, la classe d éequivalence de l éegalitée est {a} (cf. exemple 7.4.i)), et puisque R est réeflexive, on a a ȧ R i.e. {a} ȧ R. D oùu (lemme 8.1.ii)), l éegalitée est plus fine que R, et l éegalitée est la plus fine des relations d éequivalence sur A. Soient A et B deux ensembles, R (respectivement R ) une relation d éequivalence sur A (respectivement B) et f : A B une application de A dans B. Comme pour toute relation, on peut déefinir la compatibilitée de f avec (R, R ). Déefinitions Compatibilitée d une application avec des relations d éequivalence. a) On dit que f est compatible avec (R,R ) si pour tout a,a A, on a : ara f(a)r f(a ). En notant p la projection de B sur B/R qui àa tout b B lui associe sa classe d éequivalence ḃ (cf. coro. 7.3.ii)), cela éequivaut encore àa l implication : ara f(a ) p f(a). b) Si A = B et R = R, on dit simplement que f est compatible avec R. c) Si l on ne considèere pas de relation d éequivalence sur B (néecessairement difféerent de A), on dit encore que f est compatible avec R si elle est compatible avec (R,=) (autrement dit, on prend pour R l éegalitée sur B). L éequivalence de a) réesulte de ce que p f(a) est (par déefinition de p) la classe d éequivalence de f(a) i.e. (par déefinition) l ensemble des éeléements de B éequivalents àa f(a) (pour R ). Lemme

18 L application f est compatible avec (R, R ) ssi l image par f f du graphe G R de R est contenue dans le graphe G R de R i.e. P f f (G R ) G R. C est simplement le cas particulier de la proposition 6.1 lorsque R est une relation d éequivalence. Avec les mêeme notations, on a : Proposition 8.4 i) Si f est compatible avec (R, R ), elle induit une application f : A/R B/R entre les ensembles-quotients, déefinie par : pour tout A R A/R et a A R, on a : f(a R ) := (f(a)) R (1). ii) L éegalitée (1) est éequivalente àa la commutativitée du diagramme : f A B p p. f A/R B/R Pour que (1) déefinisse une application de A/R dans B/R il faut montrer (remarque I.3.2.ii)) qu àa tout éeléement de A/R on associe par (1) un unique éeléement de B/R. Le problèeme est qu il existe géenéeralement plusieurs éeléements de A appartenant àa une mêeme classe d éequivalence A R. Pour que (1) déefinisse une application, il faut donc que quelque soit l éeléement a choisi dans A R, le réesultat ((f(a)) R ) soit le mêeme. On dit encore que (f(a)) R ne doit pas déependre du choix de a dans A R. i) On va montrer que (f(a)) R ne déepend pas du choix de a A R. La compatibilitée de f avec (R, R ) signifie : pour tout a,a A, [ara f(a)r f(a )] i.e. (f(a)) R = (f(a )) R (2) Pour tout A R A/R et a A R, on a (coro. 7.3.ii)) : ȧ R = A R, et d aprèes (2), (f(a)) R ne déepend pas de a A R = ȧ R. La formule (1) déefinit donc bien une application f : A/R B/R. ii) a) La commutativitée du diagramme signifie : pour tout a A, f p(a) = p f(a) (3). Si le diagramme est commutatif, on a donc en particulier pour tout A R A/R et tout a A R : f(a R ) = (déefinition de p) f(p(a)) := f p(a) = (d aprèes (3)) p f(a) = p (f(a)) := (déefinition de p ) (f(a)) R, et la formule (1) est véerifiéee. b) Inversement, pour tout a A, on a : ȧ R A/R, et donc si (1) est vraie, on obtient : f(ȧ R ) = (f(a)) R (4). En outre, pour tout a A, on a les éegalitées : f(ȧ R ) = (déefinition de p) f(p(a)) =: f p(a) 18

19 et (f(a)) R = (déefinition de p ) p (f(a)) =: p f(a), d oùu, d aprèes (4), pour tout a A, on a : f p(a) = p f(a), i.e. f p = p f, et le diagramme de ii) est commutatif. Remarque 8.1. i) La proposition préecéedente donne un exemple de construction d une application en deux éetapes, suivant la remarque I.3.2.ii). La formule (1), associe en effet àa tout éeléement de A/R non pas un éeléement de B/R mais un sous-ensemble de B/R, àa savoir : {(f(a)) R ; a A R A} A/R P(A). Montrer que c est un sous-ensemble de P(A) àa un éeléement éequivaut àa véerifier la condition d unicitée ( ) de la remarque 3.2.ii, et en conséequence, àa montrer que la formule (1) de la proposition 8.4 déefinit bien une application de A/R dans B/R. C est préeciséement ce qui a éetée déemontrée àa la proposition 8.4.i). ii) Puisque A/R est un sous-ensemble de P(A), sans condition de compatibilitée sur f, on peut toujours déefinir une application F := P f A/R : A/R P(B), restriction de P f àa A/R. on a : Si f est compatible avec (R,R ), on pourrait penser que, pour tout A R A/R, F(A R ) := P f (A R ) = f(a R ). Mais cela est faux, en géenéeral. Ainsi on reprend les exemples 7.4.ii), avec A = N et les relations d éequivalence R k déefinies par : pour tout m, n N, mr k n signifie : m n est un multiple de k dans N. Soit f : N N déefinie par : pour tout n N, f(n) := 0 i.e. f est l application constante éegale àa 0. a) Pour tout m,n N, on a : f(m) = f(n) := 0, d oùu pour tout k N : f(m)r k f(n). L application f est donc compatible avec toutes les relations (R i, R j ), et en particulier avec (R 1,R 2 ). Suivant la prop. 8.4.i), il existe alors une application f : N/R 1 N/R 2 déefinie par : f( 0 R1 ) := 0 R2 (1). Par déefinition, on a : 0 R2 := { m = 2k; m,k N} = P, oùu P N déesigne l ensemble des entiers (positifs) pairs, d oùu (1) s éecrit : f( 0 R1 ) := 0 R2 = P (1 ). c) Par déefinition de P f, on a : P f ( 0 R1 ) := P f (N) := {f(n), n N} := {0} (2), ce qui donne : P f ( 0 R1 ) = {0} P = f( 0 R1 ). iii) Ainsi f(a R ) n est pas éegal, en géenéeral, àa P f (A R ). En fait, il est éegal au saturée de P f (A R ). En effet, par déefinition de f, pour tout a A R, on a : f(a R ) = (f(a)) R, d oùu : 19

20 f(a R ) = {(f(a)) R ; a A R } := {p (f(a)); a A R } := {p f(a);a A R } := P p f(a R ) = (prop. 4.4.i)) P p P f (A R ). Suivant le corollaire 7.3.iii), c est le saturée de P f (A R ) (pour la relation R ). Ainsi dans l exemple ii), le saturée dans N (pour la relation R 2 ) de P f ( 0 R1 ) = {0} est l ensemble des entiers éequivalents àa 0 pour R 2. C est donc 0 R2 = P qui est bien éegal (d aprèes (1 ) de ii)) àa f( 0 R1 ). Déefinition. Opéeration interne compatible avec une relation d éequivalence. Soit A un ensemble, R une relation d éequivalence sur A et une opéeration interne sur A. Par déefinition, est une application de A A dans A et on dit que est compatible avec R si elle est compatible avec (R R,R) i.e. pour tout a, a, b, b A, on a : (a,b)r R(a, b ) implique (a a )R(b b ). Cette déefinition est cohéerente avec les déefinitions préecéedentes de compatibilitée d une application avec des relations d éequivalence. Remarque 8.2. Si est une opéeration interne commutative sur A, pour déemontrer qu elle est compatible avec une relation d éequivalence R, il suffit de montrer que pour tout x,y, z A tq xry on a : (x z)r(y z) (1). En effet si (1) est véerifiée, alors pour tout a, a, b,b A tq brb, (en prenant : x := b, y := b et z := a), on a : (b a )R(b a ), ce qui éequivaut (commutativitée de ) àa : (a b)r(a b ) (2). Par déefinition de la relation d éequivalence produit, on a : (a, a )R R(b,b ) : ara et brb, d oùu (a, a )R R(b, b ) implique : d aprèes (1) et ara : (a b)r(a b) d aprèes brb et (2) : (a b)r(a b ), et par transitivitée, on obtient : (a b)r(a b ) i.e. est compatible avec R. poser : Pour les propriéetées des opéerations internes, voir les rappels de cours I. Une opéeration interne sur A éetant une application de A A dans A, on peut Déefinition. Opéeration induite sur les classes d éequivalence. Soit A un ensemble, R une relation d éequivalence sur A, une opéeration interne sur A. Si est compatible avec R, elle déefinit, d aprèes la proposition 8.4.i), une opéeration interne sur les classes d éequivalences A/R, appeléee opéeration induite sur A/R et notéee. Exemples 8.1 i) On reprend les relations d éequivalence R k de l exemple 7.4.ii) déefinies sur N i.e. pour tout k,m, n N, mr k n signifie n m est un multiple de k. 20

21 On note N k := N/R k, l ensemble quotient de N par R k i.e. les classes d éequivalence de R k. On va montrer que l addition et la multiplication sur N sont compatibles avec les relations R k. D aprèes la remarque 8.2, cela revient àa montrer que pour, k N éetant fixée, pour tout m,n, m,n N, on a : et (mr k n et m R k n ) ((m + m )R k (n + n )) (1) (mr k n et m R k n ) ((m m )R k (n n )) (2). Mais (1) (resp. (2)) signifie que la somme (resp. le produit) ou la difféerence, lorsqu elle existe, de deux multiples de k est encore un multiple de k, ce qui est clair. Ainsi, les opéerations internes d addition + et de multiplication sur N induisent des opéerations internes sur N notéees respectivement + k et k. Lorsqu il n y a pas trop d ambiguïıtée, on les note simplement + et. ii) En considéerant cette fois les relations d éequivalence R k déefinies sur Z de l exemple 7.5.ii), on obtient de mêeme des opéerations internes + k et k déefinies cette fois sur les ensembles quoitients Z k := Z/R k := Z/kZ. De mêeme, lorsqu il n y a pas trop d ambiguïıtée, on note ces opéerations + et. Et comme dans le cas de la multiplication usuelle, pour tout ṁ k, ṅ k N k ou Z k, on note souvent la multiplication ṁ k ṅ k par ṁ k ṅ k voire simplement ṁ k ṅ k. Proposition 8.5 Soit A un ensemble, R une relation d éequivalence sur A, une opéeration interne sur A compatible avec R et l opéeration interne induite sur A/R. Alors : i) si est commutative (resp. associative) il en est de mêeme de ; ii) si est associative, il en est de mêeme de ; iii) si # est une autre opéeration interne sur A compatible avec R et si est distributive par rapport àa # alors il en est de mêeme de par rapport àa #; iv) si e est l éeléement neutre de, alors sa classe d éequivalence ė est l éeléement neutre de ; v) soit a A ; si a a un syméetrique a A pour alors la classe d éequivalence de ȧ est le syméetrique de ȧ pour. Pour la clartée de la déemonstration, on notera pour a A, p(a) sa classe d éequivalence ȧ. La compatibilitée de avec R s éecrit alors pour tout a, a A : p(a a ) = p(a) p(a ). Soient A R, A R, A R A/R et a (resp. a, resp. a ) un éeléement de A R (resp. A R, resp. A R ). Suivant le corollaire 7.3.i), on a : A R = p(a), A R = p(a ) et A R = p(a ). i) si est commutative : 21

22 A R A R = p(a) p(a ) = p(a a ) = p(a a) = A R A R, et est commutative ii) si est associative : (A R A R ) A R = (p(a) p(a )) p(a ) = p(a a ) p(a ) = p((a a ) a )) = p(a (a a )) = p(a) p(a a ) = p(a) (p(a ) p(a )) = A R (A R A R ), et est associative iii) si est distributive par rapport àa # : A R (A #A R R ) = p(a) (p(a ) #p(a )) = p(a) p(a #a ) = p(a (a #a )) = p((a a )#(a a )) := p(a a ) #p(a a ) = (p(a) p(a )) #(p(a) p(a )) = (A R A R ) #(A R A R ) et (A R #A R ) A R = (p(a) #p(a )) p(a )) = p(a#a ) p(a ) = p((a#a ) a ) = p((a#a ) (a#a )) = p(a#a ) p(a#a ) = (p(a) #p(a )) (p(a) #p(a )) = (A R A R ) #(A R A R ), d oùu est distributive par rapport àa #. iv) Pour tout A R A/R, on a : p(e) A R := p(e a) = A R = p(a e) = A R p(e), d oùu ė := p(e) est un éeléement neutre. v) Si a a véerifie : a a = e = a a, on a : A R A R = p(a a ) = p(e) = p(a a) = A R A R, et A R est le syméetrique de A R pour. Corollaire 8.5 i) Soit (A, ) un groupe (resp. un groupe commutatif), R une relation d éequivalence sur A. Si est compatible avec R alors (A/R, ) est un groupe (resp. un groupe commutatif). ii) Soit (A, #, ) un anneau (resp. un anneau commutatif, resp. un anneau unitaire). Si # et sont compatibles avec une relation d éequivalence R sur A alors (A/R, #, ) est un anneau (resp. un anneau unitaire, resp. un anneau commutatif). iii) Si (A, #, ) est un corps (resp. un corps commutatif) alors (A/R, #, ) est un corps (resp. un corps commutatif). Cela réesulte aussitôot de la prop. 8.5 et de la déefinition d un groupe et d un anneau (cf. Rappels de cours I). Exemples 8.1 i) Construction des opéerations d addition et de multiplication sur Z et Q (cf. Annexe 2.II). ii) On reprend les relations d éequivalence R k de l exemple 7.4.ii) déefinies sur N i.e. pour tout k, m,n N, mr k n signifie n m est une multiple de k. Soit N k := N/R k. Les opéerations internes + k et k linduites sur N k par l addition et la multiplication de N (cf. exemple 8.1.ii)) sont appelléees respectivement l addition et la multiplication de N k. 22