1 + φ 2 (t) dt. b) En utilisant un raisonnement similaire, calculer l intégrale : cos(t) 4 + sin 2 (t) dt. (sin(sin(2x))) 2 lim

Transcription

1 Analyse Série 1, juillet 2012 Question 1 1. Soit une fonction φ : [a, b] R de classe C 1 (c est-à-dire dérivable et dont la dérivée première est continue) telle que φ(a) = 1 et φ(b) = 1. a) Calculez l intégrale : b φ (t) 1 + φ 2 (t) dt. b) En utilisant un raisonnement similaire, calculer l intégrale : 2. Calculez la limite suivante a π/2 0 cos(t) 4 + sin 2 (t) dt. (sin(sin(2x))) 2 lim x 0 x Démontrez que la fonction f : R R définie par f(x) = x 3 + x est bijective. On note g sa fonction réciproque. Exprimez g et g en fonction de g.

2 Analyse Série 1, juillet 2012 Question 2 On considère la fonction f : R \ {0} R définie par f(x) = x 1 + e 1/x. a) Démontrez que f est prolongeable par continuité à l origine. b) Démontrez que le graphe de f admet à l origine des demi-tangentes à gauche et à droite distinctes. c) Étudiez les variations de f et tracez sa courbe représentative. On précisera le domaine de définition, les éventuelles asymptotes, les domaines de croissance et de décroissance et les extrémas éventuels. On n étudiera ni la concavité ni les points d inflexion.

3 Analyse Série 1, juillet 2012 Question 3 Descente en douceur On désire concevoir une rampe qui permet à un chariot de descendre en douceur une marche de hauteur H sur une distance L (voir Figure). Pour cela, on veut que la rampe ait une pente horizontale aux points A et B. 1. Dans l hypothèse où f(x) = p a n x n n=0 est un polynôme, quel est le degré minimal p de ce polynôme pour qu il satisfasse aux différentes contraintes, i.e. qu il passe par les points A et B et qu il ait une pente horizontale en A et en B? 2. Calculez les coefficients a n de ce polynôme de degré minimal en fonction de H et de L. y A H y = f(x) B x L

4 Analyse Série 2, juillet 2012 Question 1 1. Étudiez la dérivabilité à l origine de la fonction f définie par 2. Calculez les intégrales suivantes a) b) 1 1 f(x) = cos x. 2 (x 2 x ) 3 x 2 dx. 2 (x 3 3 x)x 2 dx. 3. Le théorème de Rolle s énonce ainsi : si f :[a, b] R est continue sur l intervalle fermé [a, b], dérivable sur l intervalle ouvert ]a, b[ ettellequef(a) =f(b), alors il existe c ]a, b[ telque f (c) = 0. Utilisez ce résultat pour prouver que l équation x 3 3x = 0 ne possède pas deux solutions distinctes dans l intervalle [ 1, 1].

5 Analyse Série 2, juillet 2012 Question 2 On considère la fonction f définie par f(x) = 1 x (ln x x2 1). a) Donnez le domaine de définition de f. b) Démontrez que la dérivée de f s annule pour une seule valeur α et que cette valeur est comprise entre 1 et 2. c) Étudiez les variations de f et tracez sa courbe représentative. On précisera les éventuelles asymptotes, les domaines de croissance et de décroissance et les extrémas éventuels. On n étudiera ni la concavité ni les points d inflexion.

6 Analyse Série 2, juillet 2012 Question 3 Ellipse On considère une ellipse E dont la longueur du demi-grand axe vaut a et celle du demi-petit axe vaut b. On considère un rectangle R inscrit dans E dont les côtés sont de longueurs r et s, r s. 1. Trouvez r et s, fonctions de a et b, qui maximisent l aire de R. 2. Trouvez r et s, fonctions de a et b, qui maximisent le périmètre de R. 3. Trouvez r et s, fonctions de a et b, quiminimisentlepérimètreder.

7 Analyse Septembre 2012 Question 1 a) On note R l ensemble des nombres réels et on considère la fonction f définie sur R définie par : f(x) =xe x On note C sa courbe représentative. Soit a un nombre réel positif. Démontrez qu il existe une seule valeur de a pour laquelle la courbe C admet une tangente au point d abscisse a passant par l origine. b) Pour tout nombre réel x, la partie entière de x notée E(x) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x, c est-à-dire x R ; E(x) x<e(x)+1. On note également E(x) la fonction de Démontrez que On utilisera la relation : x 1 <E(x) x. R Z : x E(x). lim xe(1/x) =1. x 0 c) On fait tourner autour de l axe des x la région bornée par les courbes d équation x 2 = y 2et 2y x 2 = 0 et par les droites verticales x =0etx = 1. Calculez le volume de révolution ainsi généré. d) Calculez l intégrale définie suivante : 2 1 x ln x x +1 dx.

8 Analyse Septembre 2012 Question 2 On considère la fonction f définie par f(x) =x +ln(x 2 1). a) Donnez le domaine de définition de f. b) Étudiez les variations de f et tracez sa courbe représentative. On précisera les éventuelles asymptotes, les domaines de croissance et de décroissance et les extrémas éventuels. On étudiera aussi la concavité de la fonction et ses points d inflexion.

9 Analyse Septembre 2012 Question 3 On désire concevoir une cuve cylindrique dont le volume est V. Sachant que le revêtement de la paroi latérale de la cuve est quatre fois plus cher par mètre carré que le revêtement de sa base, calculez, en fonction de V, la hauteur h de la cuve qui minimise son coût.