Pour remettre un peu d ordre dans R

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1 Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci Relation d ordre sur R 1.1 Vocabulaire Pour remettre un peu d ordre dans R Sur R, on dispose de la relation de comparaison. On dit que c est une relation d ordre sur R, car elle vérifie les trois propriétés suivantes : réflexive, i.e. x R, x x, antisymétrique, i.e. (x, y) R, (x y et y x) (x = y) ; transitive, i.e. (x, y, z) R 3, (x y et y z) x z. Cet ordre est total, ce qui signifie que deux réels x et y quelconques sont comparables : on a toujours x y ou y x. Définition 1 (Notion de plus grand élément) Soit A une partie de R. 1. On dit que A est majorée s il existe M R tel que pour tout x A, x M. L élément M est alors appelé un majorant de A. On dit que A admet un plus grand élément M si M est un majorant de A et M A. 3. On dit que A est minorée s il existe m R tel que pour tout x A, m x. L élément m est alors appelé un minorant de A 4. On dit que A admet un plus petit élément M si M est un minorant de A et m A. Proposition Si A admet un plus grand élément (res. plus petit élément), alors celui est unique, et on le note max A (resp. min A). Preuve : Si M 1 et M sont deux plus grands éléments de A, alors M 1 M car M 1 A et M est un majorant de A et en échangeant le rôle de M 1 et M, on a aussi M M 1, d où M 1 = M par antisymétrie de la relation. 1. Aucun des ensembles N,Z,Q et R n admet de plus grand élément. Parmi eux seul N possède un plus petit élément.. Soit A =]0, 1]. On a max A = 1 car x A, x 1 et 1 A. Mais A n admet pas de plus petit élément. En effet, si m = min A, alors m ]0, 1] mais alors m < m et m A, ce qui contredit la minimalité de m. 3. Soit A = {e x +1 x [0, + [. Pour tout x 0, on a e x +1 e 0 +1 =. Donc est le mimimum de A. De plus, si on note f la fonction définie par f(x) = e x +1, on a f continue et strictement décroissante sur [0, + [, donc elle réalise une bijection de [0, + [ sur ] lim + f, f(0)] =]1, ]. Ainsi A =]1, ], et A n admet pas de minimum. 1. Cas des parties de N On admet le résultat «naturel suivant» sur lequel repose le raisonnement par récurrence. Proposition 3 L ensemble N des entiers naturels est un ensemble non vide totalement ordonné pour qui possède deux propriétés fondamentales : Toute partie non vide de N possède un plus petit élément.

2 Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci Toute partie non vide majorée de N possède un plus grand élément existence d un diviseur premier pour un entier n partie entière d un réel x : on a x = max{n Z vérifiant n x < n + 1. n x}. En particulier, x est l unique entier n Application : justifier que en général si x et y sont des réels, x + y = x + y mais qu il y a égalité si y est un entier. Proposition 4 (Récurrence simple) Soit P(n) une propriété dépendant de n N. On suppose que : P(0) est vraie n N, (P(n) vraie P(n + 1) vraie). Alors n N P(n) est vraie. Preuve : Sinon, l ensemble A = {n N P(n) faux} est non vide donc possède un plus petit élément N. Comme P(0) est vrai, on a N 1 et donc N 1 N. Alors P(N 1) est vraie (sinon N 1 < N est dans A) mais alors par hérédité ; P(N) est vraie contradiction. Proposition 5 (Récurrence double) Soit P(n) une propriété dépendant de n N. On suppose que : P(0) et P(1) sont vraies. n N, (P(n) et P(n + 1) vraies P(n + ) vraie). Alors n N P(n) est vraie. Preuve : On note Q(n) la propriété : «P(n) et P(n + 1) sont vraies». On montre par récurrence simple que Q(n) est vraie pour tout n N : Q(0) est vraie car P(0) et P(1) sont vraies. Supposons que Q(n) est vraie. Alors P(n) et P(n + 1) sont vraies et donc par l hypothèse d hérédité, P(n + ) est aussi vraie. Ainsi P(n + 1) et P(n + ) sont vraies, ce qui montre que Q(n + 1) est vraie. Ainsi pour tout n N, Q(n) est vraie, en particulier, P(n) vraie. Application : on note (F n ) la suite de Fibonacci définie par F 0 = 0, F 1 = 1 et pour n N, F n+ = F n+1 + F n. Démontrer que pour n N, on a F n φ n où φ est le nombre d or. Application : l algorithme récursif de calcul des nombres de Fibonacci a une complexité exponentielle. Proposition 6 (Récurrence forte) Soit P(n) une propriété dépendant de n N. On suppose que : P(0) est vraie n N, ( k {0,..., n}, P(k) vraie P(n + 1) vraie). Alors n N P(n) est vraie. Preuve : On note Q(n) la propriété : «k {0,..., n}, P(k) est vraie». On montre par récurrence simple que Q(n) est vraie pour tout n N : Q(0) est vraie car P(0) est vraie. Supposons que Q(n) est vraie. Alors par l hypothèse, P(n + 1) est vraie donc k {0,..., n + 1}, P(k) est vraie et donc Q(n + 1) est vraie. Ainsi pour tout n N, Q(n) est vraie, en particulier, P(n) vraie. Exemple : montrer que tout entier n de décompose en produit de nombres premiers.

3 Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci Notion de borne supérieure et de borne inférieure Le nombre 0 n est pas le plus petit élément de A =]0, 1] car 0 n est pas un élément de A. Nous allons néanmoins le qualifier de «borne inférieure» de A, ce sera le plus grand des minorants de A..1 Cas des parties de R Définition 7 (Notion de borne supérieure) Soit A une partie de R. 1. On dit qu un élément M de R est borne supérieure de A, si M est un majorant de A et si M est le plus petit des majorants de A. S il existe, un tel élément M est unique, on le note sup A.. On dit qu un élément m de E est borne inférieure de A, si m est un minorant de A et si m est le plus grand des minorants de A. S il existe, un tel élément m est unique, on le note inf A. Remarques : si M = max A, en particulier M = sup A, la réciproque étant fausse. Si A est une partie bornée, x A, infa x sup A. si E = R et A = [, 3[, 3 est un majorant de A et si M < 3 est un autre majorant de A, alors par exemple a = M+3 est dans A mais M+3 > M, contradiction. Donc 3 est le plus petit des majorants de A. Ainsi sup A = 3 mais 3 n est pas le plus grand élément puisque 3 / A. De même, on montre que min A = inf A =. A = { 1 n n N }. Pour tout n N, 1 n 1 et 1 A, donc 1 le plus grand élément de A. Montrons que la borne inférieure de A est 0. Déjà A est minorée par 0 car pour n N, 1 n 0 donc inf A existe. Supposons que 0 ne soit pas le plus grand des minorants de A, alors il existe m > 0 tel que pour tout n N 1, n m. Mais alors en faisant tendre x vers +, on obtient 0 m, contradiction. On admet le résultat fondamental suivant à la base de toutes les propriétés relatives à R. Théorème 8 (Axiome de la borne supérieure) Toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure. Proposition 9 (Caractérisation de la borne supérieure) Un réel M est borne supérieure d une partie A si et seulement si il vérifie les deux conditions suivantes : 1. M est un majorant de A.. ε > 0, a ε A M ε < a ε M. Preuve : Supposons que M est borne supérieure de A. Alors M est un majorant de A donc la condition 1. est vraie. Soit ε > 0. Supposons par l absurde que pour tout a A, on a a M ε. Alors M ε est un majorant de A strictement inférieur à M, impossible car M est le plus petit des majorants de A. Ainsi il existe a ε A tel que a ε > M ε, d où M ε < a ε M. Supposons qu un réel M vérfie les deux conditions. Alors M est un majorant de A. Soit M < M un autre majorant de A. Alors en choisissant ε = M M, il existe a ε A tel que M ε < a ε M. Mais par définition de ε, on a M ε > M, d où a ε > M ε > M, ce qui contredit le fait que M majore A.

4 Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci Remarque : la deuxième condition implique que si A est une partie non vide et majorée, alors il existe une suite de points de A qui converge vers M = sup A. On peut maintenant prouver le résultat fondamental suivant : Théorème 10 (Théorème de la limite monotone) Si u est une suite croissante et majorée alors elle converge vers l = sup{u n n N}. Preuve : Comme la suite u est majorée, l ensemble {u n n N} est une partie non vide et majorée de R, elle admet donc une borne supérieure que l on note l. On fixe ε > 0, d après la caractérisation de la borne supérieure, on peut trouver un élément de A entre l ε et l, il existe donc un entier naturel n ε tel que l ε < u nε l. Comme u est croissante, n n ε, u n u nε et comme u est majorée u n l, ce qui donne l ε < u n l. En particulier, n n ε, u n l ε.. Deux lacunes du corps Q Le corps Q ne possède pas comme R la propriété de la borne supérieure : par exemple la partie suivante A est une partie non vide et majorée (par exemple par ) de Q, mais elle ne possède pas de borne supérieure dans Q A = {x Q x > 0 et x < }. Preuve : On suppose par l absurde que a Q est la borne supérieure de A. Si a <, alors on peut trouver n N suffisament proche de 0 tel que a < (a + 1 n ) <, mais alors a + 1 n est un élément de A strictement supérieur à sup A, contradiction. De même, si a >, il existe n N suffisament proche de 0 tel que a > (a 1 n ) >, mais alors a 1 n est un majorant de A, strictement inférieur à a. Contradiction. Ainsi a = d où a =, ce qui est impossible car / Q. De plus, le corps Q possède une deuxième lacune fondamentale, il existe des suites de rationnels «convergentes» qui ne convergent pas vers un rationnel (par exemple u n = n k=0 1 k! qui converge vers e ou la suite de Héron qui converge vers ). On dit que le corps Q n est pas fermé. En fait le corps Q peut être vu comme un corps avec «des trous un peu partout». Le corps R des réels a été construit pour «boucher tous ses trous», on dit que c est le complété de Q. 3 Approximation des réels Définition 11 Soit x et a deux réels et n un entier naturel, on dit que a est une valeur approchée de x à 10 n près si x a 10 n. Par exemple, 0.3 et 0.4 sont deux valeurs approchées de 1 3 à 10 1 près. Si x = 65, , on pose a 0 = x = 65 ; a 1 = 10x 10 = 65, 1 ; a = 10 x 10 = 65, 1... b 0 = x + 1 = 66 ; b 1 = 10x = 65, ; b = 10 x = 65, Proposition 1 Soit x un réel et n N. Les nombres décimaux a n = 10n x 10 n et b n = a n + 10 n sont des «valeurs approchées décimales» de x à 10 n près, par défaut pour a n et par excès pour b n. De plus, les suites (a n ) et (b n ) convergent vers x. Preuve : Soit n N, on a 10 n x 1 < 10 n x 10 n x 10n x 1 10 n < 10n x 10 n 10n x 10 n x 1 10 n < a n x

5 Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci d où le résultat par le théorème des gendarmes. Remarque : ne pas confondre la valeur décimale a n et la n-ième décimale de x. Si x = 61, 5734, on a a = 61, 57 et la -ième décimale de x est 7. Si d n est la n-ième décimale de x après la virgule, on a d n = 10 n x mod 10. Si x est un nombre rationnel, la formule précédente n est pas très efficace pour déterminer ses décimales. En revanche, on peut procéder comme on le faisait à l école primaire, à l aide de divisions euclidiennes. On peut écrire l algorithme decimales correspondant : algorithme : decimales Entrées : a, b N et n N Variables : u, k, d N t un tableau d entiers de longueur (n + 1) u a t = [0,..., 0] de longueur (n + 1) Pour k de 0 à n Faire d le quotient de u par b t[k] = d u 10 (u mod b) Fin du pour Renvoyer s def decimales(a,b,n): """Entrées: a,b des entiers naturels non nuls Résultat: la liste de la partie entière et des n premières décimales du rationnel a/b """ u = a liste_decimales =[] for k in range(n+1): d = u // b # quotient de u par b liste_decimales.append(d) u = 10 * (u % b) return liste_decimales Ainsi decimales(5,7,5) renvoie [3, 5, 7, 1, 4, ]. Corollaire 13 (Densité de Q dans R) Tout nombre réel est limite d une suite de rationnels. On dit que Q est dense dans R. Preuve : Soit x un réel. On sait que la suite de terme général a n = 10n x 10 n converge vers x. D où le résultat car pour tout n N, le nombre a n est rationnel. Exercice : soit f : R R continue, nulle sur Q. Alors f est nulle sur R. Corollaire 14 (Densité du complémentaire de Q dans R) Tout nombre réel est limite d une suite d irrationnels. On dit que le complémentaire de Q est dense dans R. Preuve : Soit x un réel et (a n ) une suite de rationnels qui converge vers x. Pour n N, on pose c n = a n + n. Le nombre c n est irrationnel car sinon, comme une somme et un produit de rationnels est un rationnel, le nombre n(c n a n ) = serait rationnel ce qui n est pas. Comme lim n = 0, on conclut que lim c n = x + 0 = x. Corollaire 15 Tout intervalle ouvert ]a, b[ rencontre Q et son complémentaire. Preuve : On considère le milieu de ]a, b[ : m = a+b. Comme Q est dense dans R, il existe une suite (x n) de rationnels qui converge vers m. Ainsi pour ε = b a, il existe n 0 N tel que x n0 m < b a, ce qui montre que le rationnel x n0 est dans ]a, b[. On fait de même pour les irrationnels. On peut proposer une autre preuve : soit I =]x, y[. Pour p entier assez grand, p(x y) > 1, donc l intervalle ]px, py[ de longueur strictement suprérieur à 1, contient un entier k. Mais alors le rationnel k p est dans ]x, y[. 4 Généralisation du concept de relation d ordre 4.1 Ensembles ordonnés Définition 16 Soit E un ensemble et Γ une partie de E E. Si (x, y) E, on dit que x est en relation avec y si (x, y) Γ. On écrit alors xry. On dit que R est une relation binaire sur E.

6 Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci Définition 17 Une relation binaire R sur un ensemble E est une relation d ordre si elle est : réflexive, i.e. x E, xrx, antisymétrique, i.e. (x, y) E, (xry et yrx) (x = y) ; transitive, i.e. (x, y, z) E 3, (xry et yrz) xrz. On dit alors que (E, R) est un ensemble ordonné. 1. La relations sur N,Z,Q ou R (mais pas < car pas réflexive).. La relation d inclusion sur P(E). 3. La relation de divisiblité dans N (attention pas dans Z car pas antisymétrique) (voir exo). 4. La relation d ordre alphabétique sur l ensemble des mots de la langue française. 5. Sur C, il y a des relations d ordre mais aucune n est compatible avec la structure de corps de C. Définition 18 On dit que la relation d ordre définit un ordre total sur E si tous ses éléments sont comparables, i.e. : (x, y) E, (x y) ou (y x). On dit alors que (E, ) est totalement ordonné. Dans le cas contraire, on dit que c est un ordre partiel. 1. Les relations ou sur N,Z,Q ou R : total.. La relation d inclusion sur P(E) : partiel dès que E possède au moins deux éléments. 3. La relation de divisibilité dans N : partiel 4. La relation d ordre alphabétique sur l ensemble des mots de la langue française : partiel 4. Éléments remarquables d un ensemble ordonné Dans toute cette section, A désigne une partie d un ensemble ordonné (E, ). Définition 19 (Notion de plus grand élément) 1. On dit que A est majorée s il existe M E tel que pour tout x A, x M. L élément M est alors appelé un majorant de A. On dit que A admet un plus grand élément M si M est un majorant de A et M A. 3. On dit que A est minorée s il existe m E tel que pour tout x A, m x. L élément m est alors appelé un minorant de A 4. On dit que A admet un plus petit élément M si M est un minorant de A et m A. Proposition 0 Si A admet un plus grand élément (res. plus petit élément), alors celui est unique, et on le note max A (resp. min A). Preuve : Si M 1 et M sont deux plus grands éléments de A, alors M 1 M car M 1 A et M est un majorant de A et en échangeant le rôle de M 1 et M, on a aussi M M 1, d où M 1 = M par antisymétrie de la relation. Définition 1 (Notion de borne supérieure) 1. On dit qu un élément M de E est borne supérieure de A, si M est un majorant de A et si M est le plus petit des majorants de A. S il existe, un tel élément M est unique, on le note sup A.. On dit qu un élément m de E est borne inférieure de A, si m est un minorant de A et si m est le plus petit des minorants de A. S il existe, un tel élément m est unique, on le note inf A.

7 Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci Notion de relation d équivalence Pour ranger les éléments d un ensemble E, on peut les trier si E est muni d une relation d ordre. Mais on peut aussi faire autrement et les classer par paquets de sous-ensembles où les éléments à l intérieur d un sous-ensemble sont «semblables» ou «équivalents». Reste à définir ce que signifie «semblable». Par exemple, si l on regarde les entiers modulo 5, on peut les ranger en 5 sous-ensembles, les entiers congrus à 0, 1,, 3 ou 4 modulo 5. On appelle ces «paquets» des classes d équivalence. Leur réunion forme une partition de E. Définition Une relation binaire R sur un ensemble E est une relation d équivalence si elle est : réflexive, i.e. x E, xrx, symétrique, i.e. (x, y) E, (xry) (yrx) ; transitive, i.e. (x, y, z) E 3, (xry et yrz) xrz. si n N et E = Z, la relation «être congru modulo n» est une relation d équivalence. si E est l ensemble des suites réelles, la relation «être équivalents» est une relation d équivalence.

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