LA GEOMETRIE AU CYCLE III

Transcription

1 LA GEOMETRIE AU CYCLE III PLAN 1. Appréhensions des figures 2. Modifications des figures 3. Obstacles en rapport avec la géométrie 4. Les programmes 2008 par thèmes 5. Les variables didactiques en géométrie 6. Approche expérimentale des relations, des figures et des solides en géométrie 1

2 1. LES APPREHENSIONS Appréhension perceptive (visuelle ou instrumentée) Permet d identifier ou de reconnaître une forme ou un objet grâce à des éléments intrafiguraux. Exemples tirés des programmes (2002) : CE2 : «Reconnaître qu une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie.» CM1 : «Décrire une figure en vue de l identifier parmi d autres figures ou de la faire reproduire.» CM2 : «Reconnaître que des droites sont parallèles.» 2

3 Appréhension discursive Consiste à regarder une figure par rapport à - une dénomination (soit ABC un triangle ), - une légende - ou une hypothèse qui fixent explicitement ses propriétés. Exemple tiré des programmes (2002) : CM2 : «Tracer une figure (sur papier uni, quadrillé ou pointé) à partir [ ] d un dessin à main levé (avec des indications relatives aux propriétés et aux dimensions).» 3

4 Appréhension séquentielle Concerne l ordre de construction d une figure. Elle est sollicitée dans les tâches de construction ou de description de figure ayant pour but la reproduction d un dessin donné avec un modèle, une description écrite ou orale, un dessin à main levée. Exemples tirés des programmes (2002) : CE 2 : «Construire un carré ou un rectangle de dimensions données.» CM 1 : «Tracer (Construire) une figure simple à partir d un programme de construction ou en suivant des consignes.» CM 2 : «Décrire une figure en vue de l identifier parmi d autres figures ou de la faire reproduire.» 4

5 Appréhension opératoire Fonde la fonction heuristique d un dessin. Elle donne la possibilité de modifier une figure donnée pour en déduire une autre. Trois modifications sont possibles. Discipline qui se propose de dégager les règles de la recherche et de la découverte 5

6 2. MODIFICATIONS DE FIGURES Modifications optiques Consistent dans l agrandissement, la diminution ou la déformation des figures. Il est important de proposer des déformations de figures usuelles afin de ne pas renforcer les représentations archétypales. 6

7 Modifications positionnelles Consistent dans le déplacement des figures dans le plan d une feuille, du tableau, de l écran d ordinateur, dans l espace. L intérêt des logiciels de géométrie dynamique : résistance des figures aux déplacements. Il est également fondamental de ne pas privilégier des directions particulières lors de représentations de figures usuelles. 7

8 Modifications méréologiques Consistent à partager une figure en sous-figures pour les recombiner en une autre figure. Exemple : découpage et recollement pour les comparaison d aires avant de les mesurer. 8

9 A l école primaire toutes les appréhensions et toutes les modifications de figures ne sont pas travaillées de la même façon. Le problème est que les diverses appréhensions ne demandent pas le recours aux mêmes capacités cognitives. 9

10 3. LES OBSTACLES Un obstacle est une connaissance erronée qui : - fonctionne sur des situations et pour certaines valeurs des variables de ces situations, - en tentant de s adapter à d autres situations, va provoquer des erreurs caractéristiques reproductibles et persistantes, - est stable, - ne peut être franchi que dans des situations spécifiques de rejet. 10

11 DIFFERENTS TYPES D OBSTACLES Obstacles ontogénétiques ou cognitifs : ils sont liés au développement psychologique de l individu. Exemples : prégnance de la «verticale» et de «l horizontale» ou des parallèles aux bords de la feuille que nous retrouvons : - dans le placement erroné de l équerre pour construire une droite perpendiculaire à une autre, - dans le tracé stéréotypé de parallèles et de perpendiculaires 11

12 Variation aire / périmètre. Exemple : ne pas pouvoir considérer qu un carré est un rectangle, qu un triangle équilatéral est isocèle etc. (Principe d information maximale non valide en mathématiques). Exemple : «Je ne porte jamais de lentille de contact.» Principe d information maximale ou principe d exhaustivité est en vigueur dans la vie de tous les jours mais pas en mathématiques. 12

13 Ce principe a été étudié par le linguiste O. Ducrot. Lorsque deux informations sont vraies, la plus informative sera la meilleure, donc l autre sera considérée comme fausse ce qui n est pas vrai en mathématiques. Cet obstacle est difficile à surmonter avant l accès à une pensée formelle et même après. 13

14 Obstacles épistémologiques : ils sont historiquement attestés par une réelle difficulté de conceptualisation de la part des mathématiciens. Dans l enseignement, il y a ceux - qui ne sont pas évitables et qui ne doivent pas être ignorés - et ceux qui peuvent être contournés. Exemples : le concept d angle a été très difficilement défini au cours de l histoire. (contourné) Deux droites sont parallèles si elles ne se rencontrent pas à l infini. (assumé). Aspect ensembliste de objets. 14

15 Obstacles didactiques : ils sont le résultat d un enseignement particulier. Obstacles didactiques liés au langage En rapport avec des mots tels que : chaque, le, un, chacun, tous, les, certains, plusieurs, et, quelques. «Et» est un connecteur positionnel à une ou à deux places. Éric et Nathalie sont amis. (à une place) Éric et Nathalie sont mariés. (à deux places (chacun de leur côté) ou à une place(ensemble)) 15

16 Le seul cas d ambiguïté du «et» en mathématiques concerne la symétrie (axiale à l école). Les figures A et B sont symétriques : séparément ou l une par rapport à l autre? La droite et une droite En rapport avec des règles de syntaxes : Trace la perpendiculaire à la droite (d) passant par le point A. Il faut parfois isoler deux informations. 16

17 En rapport avec des interférences entre les mots courants et les mots mathématiques : direction/sens, droite, arc, hauteur, rayon grandir (aspect additif), Sommet (de la montagne, du triangle), Côté (à côté de, le côté d un triangle) 17

18 Obstacles didactiques liés à des variables Représentations archétypales de figures (rectangle, losange, triangle etc.) Reconnaissance d un losange mais pas d un carré (représentation prototypique) Mais les figures clés sont nécessaires Non reconnaissance d un rectangle 18

19 Pour la symétrie axiale avec quadrillage : 19

20 Pour la symétrie axiale avec quadrillage : (d) (d) (d) (d) 20

21 21

22 PROCESSUS D APPARITION D OBSTACLES Amalgame de notions sur un support donné Exemple : la variation aire/périmètre est traitée de la même façon par les élèves : si on augmente l aire le périmètre augmente aussi et inversement. Ou : l aire d un cube est égale à la somme des aires de ses faces et son périmètre est égal à la somme des périmètres. Il a été démontré qu en séparant la comparaison des grandeurs de leur mesure, en faisant en sorte de comparer des surfaces sans les mesurer, il est possible aux élèves de dépasser cet obstacle. 22

23 Fixation sur une contextualisation particulière La comparaison d angles est souvent associée par les élèves à la mesure de longueurs. Les élèves ont tendances à comparer des mesures de longueurs particulières pour comparer deux angles. C est en dépassant cette conception qu ils apprendront à les comparer (École) puis à les mesurer (Collège). 23

24 Généralisation abusive, régularisation formelle abusive Exemple : Le pied de la hauteur d un triangle issue d un sommet est placé sur le côté opposé au sommet. 24

25 4. LES PROGRAMMES 2008 PAR THEMES Reproduction de figures CE2 : Reproduire des figures, carré, rectangle, losange, triangle rectangle (sur papier uni, quadrillé ou pointé) à partir d un modèle. CM 2 : Tracer (reproduire) une figure (sur papier uni, quadrillé ou pointé) à partir d un dessin à main levée (avec des indications relatives aux propriétés et aux dimensions). Reproduire un triangle à l aide d instruments. 25

26 Construire CE 2 Construire un carré ou un rectangle de dimensions données. Construire un cercle avec un compas. Tracer (Construire),, sur papier quadrillé, la figure symétrique d une figure donnée par rapport à une droite donnée. Tracer (Construire),, des figures géométriques carré, rectangle, losange, triangle rectangle. 26

27 Construire CM 1 Tracer (Construire) une figure simple à partir d un programme de construction ou en suivant des consignes. CM 2 Tracer (Construire) une figure (sur papier uni, quadrillé ou pointé) à partir d un programme de construction. Construire une hauteur d un triangle. 27

28 Compléter CM 1 : Compléter une figure par symétrie axiale. Compléter un patron du cube ou de pavé. CM 2 : Compléter un patron de solide droit. Dans les programmes du 19 juin 2008, il y a confusion entre des termes bien distincts (tracer, construire, reproduire) ce qui risque d entretenir la confusion chez les élèves. 28

29 Reconnaître, décrire et nommer CE 2 Reconnaître des figures géométriques (carré, rectangle, losange, triangle rectangle) Reconnaître qu une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie, par pliage ou à l aide du papier calque. Reconnaître, décrire et nommer des figures géométriques planes : carré, rectangle, losange, triangle rectangle dans l espace : cube, pavé droit. 29

30 Reconnaître, décrire et nommer CM 1 Reconnaître que des droites sont parallèles. Reconnaître un patron de cube ou de pavé. 30

31 Reconnaître, décrire et nommer CM 2 Décrire une figure en vue de l identifier parmi d autres figures ou de la faire reproduire. Reconnaître décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, cylindre, prisme. Reconnaître un patron de solide droit. 31

32 Vérifier CE2 : Vérifier la nature d une figure plane en utilisant la règle graduée et l équerre. (Appréhension perceptive instrumentée) CM 1 : Vérifier la nature d une figure plane en utilisant la règle graduée, l équerre, le compas. (Appréhension perceptive instrumentée) CM 2 : Vérifier la nature d une figure en ayant recours aux instruments. (Appréhension perceptive instrumentée) 32

33 Utiliser le vocabulaire de géométrie CE 2 : Utiliser en situation le vocabulaire de géométrie plane : côté, sommet, angle, milieu dans l espace : face, arête, sommet. CM 1 : Utiliser en situation le vocabulaire de géométrie : points alignés, droite, droites perpendiculaires, droites parallèles, segment, milieu, angle, axe de symétrie, centre d un cercle, rayon, diamètre. 33

34 Symétrique d une figure Axe de symétrie CE 2 : Reconnaître qu une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie, par pliage ou à l aide du papier calque. Tracer (Construire),, sur papier quadrillé, la figure symétrique d une figure donnée par rapport à une droite donnée. CM 1 : Compléter une figure par symétrie axiale. 34

35 Droites parallèles CM 1 : Reconnaître que des droites sont parallèles. CM 2 : Utiliser les instruments pour vérifier le parallélisme de deux droites (règle et équerre) et pour tracer des droites parallèles. 35

36 Angles CE 2 : Utiliser en situation le vocabulaire de géométrie plane : angle. CM 1 : Comparer les angles d une figure en utilisant un gabarit. (Grandeurs et mesure). Estimer et vérifier en utilisant l équerre qu un angle est droit, aigu ou obtus. (Grandeurs et mesure) CM 2 : Reproduire un angle donné en utilisant un gabarit. 36

37 Patrons CM1 : Reconnaître un patron de cube ou de pavé. Compléter un patron du cube ou de pavé. CM 2 : Reconnaître un patron de solide droit. Compléter un patron de solide droit. 37

38 5. LES VARIABLES DIDACTIQUES EN GEOMETRIE Quatre variables principales a) Les supports b) Les figures c) La taille des figures d) Les instruments 38

39 Les supports Proposer des support variés : papier blanc, papier quadrillé, papier calque. Exemple : pour la symétrie axiale : - papier calque (retournement) - quadrillé (même perpendiculaire et distance à l axe) - papier blanc (connaissances structurales (propriétés de la symétrie) et procédurale (maîtrise des tracés effectifs)) 39

40 Les figures - Relations et propriétés en jeu dans la figure (alignement, perpendicularité, parallélisme, symétrie axiale). Exemple : la position de l axe de symétrie par rapport au quadrillage. Modification positionnelle. - Complexité de la figure (extraire une figure d une figure complexe). Modification méréologique. - Absence de certains tracés : points d intersection par exemple. 40

41 La taille des figures Modifications optiques Exemples : construire le symétrique d une figure par rapport à une droite est plus ou moins facilité par la position de la figure par rapport à l axe de symétrie. De même, construire une droite perpendiculaire à une droite et passant par un point est plus ou moins facile suivant la position du point en question par rapport à l axe. 41

42 Les instruments Les principaux instruments : La règle non graduée, (tracer droites et segments) La règle graduée, (tracer, mesurer et reporter) Le compas, (reporter des longueurs, tracer cercle) Les gabarit d angles, (reporter et comparer). Exemple : construire le symétrique d une figure par rapport à une droite en utilisant une règle et une équerre ou une règle et un compas constituent des tâches bien différentes. 42

43 6. APPROCHE EXPERIMENTALE Dans les éléments d Euclide Le point est ce dont la partie est nulle. Une ligne est un longueur sans largeur. La ligne droite est ce qui est également placé entre deux points. Un angle plan est l inclinaison mutuelle de deux lignes qui se touchent dans un plan, et qui ne sont point placées dans la même direction. Lorsqu une droite tombant sur une droite fait deux angles de suite égaux entre eux, chacun des angles égaux est droit. 43

44 Les parallèles sont des droites, qui, étant situées dans un même plan et étant prolongées à l infini de part et d autre, ne se rencontrent ni d un côté ni de l autre. Une surface est ce qui a seulement longueur et largeur. De nos jours L approche est «ensembliste». A l école, l expérience et l intuition fondent les objets de la géométrie. Elle donne du sens aux instruments et aux figures. Ligne : séparation de deux régions contiguës du plan. 44

45 Point : intersection de deux lignes. (Justifie sa représentation par une croix). Nom statut d objet géométrique. Segment : corde tendu entre deux piquets ou plus court chemin Nouveau statut du point : arrêt. (premier sens pour la règle et le compas reporter des longueurs) Droite : autre niveau d abstraction plus détaché de la perception (prolongement). Angle : émerge de plusieurs expériences. Deux droites sécantes quatre régions : parties pleines (secteurs angulaires), demi-droites (angles rentrants école primaire). 45

46 Deux baguettes (ou deux coudes) dont deux extrémités coïncident : notion de grandeur (ouverture plus ou moins grande). Comparaison par superposition (gabarit, calque). Angle droit : plus court chemin pour aller d un point à une droite qui ne contient pas ce point. Ou : faire tourner une demi-droite (deux angles superposables) Ou : par pliage (équerre : gabarit de trois angles) Droites parallèles : deux droites qui ne se coupent pas (bords de la règle). Ou : glissement d un gabarit d angle le long d une droite (angles correspondants). Cas particulier : l équerre. 46

47 Surface : rouleau de peinture, coloriage Triangles : baguettes : cas possibles et impossibles. Puis nouveau sens du compas. Trois côtés, deux angles et un côté, un angle et deux côtés. Trois angles ne suffisent pas (gabarits). Quadrilatères : baguettes la donnée des quatre longueurs ne suffit pas. Un angle et quatre côtés, une diagonale et quatre côtés. Quadrilatères particuliers : losange deux triangles isocèles de part et d autres : losange 47

48 Deux demi-droites à l aide d un gabarit d un angle quelconque puis on déplace ce gabarit le long de ces deux demi-droites : parallélogramme. On constate les propriétés. (losange cas particulier). Deux demi-droites à l aide d un gabarit d un angle droit puis on déplace ce gabarit le long de ces deux demi-droites : rectangle puis carré. C est au fil des expériences que l élève enrichit ses connaissances sur les figures. 48

49 Symétrie axiale : par pliage et découpage. Puis : sur papier blanc hypothèse sur l existence d un ou plusieurs axes de symétrie et vérification par découpage et superposition. Pour un polygone, en pliant selon les sommets symétriques on voit apparaître des droites perpendiculaires et des points situés à même distance de l axe. Axes de symétrie des figures usuelles. Solides simples : non polyèdres (sphère, cylindre, cône) difficile. Polyèdres : nature des faces : empreintes. Organisation des faces (sommets arrêtes) : représentations en perspective 49

50 Exemple historique d appui sur le réel : Alexis Clairaut (1741). Deux problèmes non traités : Mesures d angles et de longueurs dans le méso- espace. Modélisation dans le micro-espace. C A B 50

51 Une particularité de la géométrie est qu une figure n est pas qu une représentation mais un signe ou un ensemble de signes. Il s agit de reconnaître des signes à l intérieur du dessin. La figure est un interface entre le dessin et le signe. Dans la reconnaissance de figure, l élève doit avoir intériorisées les propriétés de cette dernière sans en rajouter (archétype et prototype). 51

52 Conclusion partielle Tout au long de l école, on passe d une géométrie perceptive visuelle à une géométrie perceptive instrumentée et on prépare le passage, qui se fera plus tard au collège, à une géométrie hypothético-déductive. Trois questions peuvent alors se poser : Comment donner le goût de la géométrie aux élèves? Quelles sont les principales difficultés auxquelles les élèves sont confrontés? Comment enseigner la géométrie? 52

53 Atelier 1 : 1. Les difficultés des élèves en géométrie 2. Les items aux évaluations 6 ème 3. Hypothèses et remédiations ème. 4. Comment tenter de donner le goût de la géométrie aux élèves (aux enseignants )? 53

54 Atelier 2 : 1.L espace (micro, méso, macro) 2.Les problématiques (pratique, géométrique ) 3. 3.Quelles situations mettre en place (Trois exemples)? 4.Utilisation d un logiciel de géométrie dynamique Comment introduire Application des programmes 2008 Géométrie Cycle 3 54

55 FIN Merci de votre attention 55