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1 Seulement les équivalences logiques simples sont utilisées dans les preuves mathématiques. Il faut les reconnaître. Par exemple : (P Q) ((P Q) (Q P)) ; (Sont déjà montrés.) (P Q) ( Q P) ( P Q). MAT of 51

2 Soient P et Q deux proposition logiques en mathématiques. Supposons on veut montrer : Théorème P Q. C.-à-d., on veut montrer que cette proposition logique P Q est vraie (preuve directe). À cause de l équivalence avant, il suffit de montrer que l implication ( Q P) est vraie (preuve indirecte), ou que la proposition ( P Q) est vraie. Donc il y a logiquement trois façons de montrer le théorème. MAT of 51

3 Exemple. Soit donné un nombre n Z. Il faut montrer : S il existe un nombre m Z tel que n = m 2 alors n 0. Il y a trois façons! (Ce qui a été fait au tableau noir en classe.) MAT of 51

4 Exemple. Soit donné un nombre n Z. Il faut montrer : Si n est premier et n > 2 alors n est impair. Il y a trois façons. (Ce qui a été fait au tableau noir en classe.) MAT of 51

5 Preuve directe typique : Si P est fausse, l implication P Q est automatiquement vraie et il y aura rien à faire (Cette phrase est souvent omise). Supposons P est vraie. Puis (avec cette hypothèse et avec de l aide des théorèmes déjà montrés), on montre que Q serait en conséquence aussi vraie. Ainsi on aura montré que P Q est vraie. En math : si on écrit "On veut montrer P" ça veut dire "On veut montrer que la proposition logique P est vraie." MAT of 51

6 Preuve indirecte typique : Il suffit de montrer la contraposé ( Q) ( P). Si Q est faux (c.-à-d., Q est vraie), l implication est automatiquement vraie. (Cette phrase est souvent omise). Supposons Q est fausse. Puis (avec cette hypothèse et avec de l aide des théorèmes déjà montrés), on montre que P sera aussi fausse. On aura montré que P Q est vraie. Différence : avec une preuve directe on peut travailler avec l hypothèse que P est vraie pour montrer qu alors Q est aussi vraie. Avec une preuve indirecte on peut travailler avec l hypothèse que Q est faux pour montrer qu alors P est aussi faux. MAT of 51

7 Troisième type de preuve : Il suffit de montrer que ( P Q) est vraie ou que ce n est pas fausse. On montre qu en supposant par contre que c est fausse, c-à-d. P soit vraie ET Q soit fausse on pourrait déduire une absurdité, comme un certain nombre entier serait au même temps pair et impair. Absurde. Alors on conclut. Différence : avec une telle preuve on commence par l hypothèse généreuse que P est vraie ET Q est fausse. Avec cette hypothèse on travaille pour obtenir une absurdité. MAT of 51

8 Mais faites attention : on ne doit pas mixer les hypothèse et les conclusions des trois types de preuves! MAT of 51

9 Rappel : La contraposée de p q est par définition la proposition ( q) ( p). (faute d écriture du manuel p. 7 : ne laissez-vous pas distraire). La réciproque de p q est par définition la proposition q p. Montré : la proposition p q et sa contraposée sont logiquement équivalentes : (p q) ( q p). MAT of 51

10 Et p q est vraie si et seulement p q et sa reciproque sont vraies : (p q) ((p q) (q p)) MAT of 51

11 Qu est-ce que vous en pensez : q p est une sorte d opposé de p q (sa réciproque) et l opposé de (q p) est (q p) et donc p q est la même chose que (q p). Ou, dans la langue de la semaine passée, ça semble que Raisonable? Logique? (p q) (q p)? MAT of 51

12 Vous avez des doutes? Vérifions : p q p q q p (q p) (p q) ( (q p)) V V V V F F V F F V F V F V V F V V F F V V F F NON, c est une contre-vérité! Il faut aiguiser le sens critique. En effet : q p n est pas l opposé de p q. MAT of 51

13 Qu est-ce que vous en pensez : E : "... on a déjà montré que p implique q... alors q est vraie et..." P : "Non, on n a pas le droit" E : "Mais, en supposant que p est vraie j ai montré que q est vraie, n est-ce pas? Alors q est vraie, non?" P : "Non!, seulement en supposant p vrai, mais si p est faux?! " MAT of 51

14 C est incontestablement vrai que : ( 0 = 1 ) "Dieu existe". Bon. Il suit donc que "Dieu existe"?! Non. Il suit que "Dieu n existe pas"?! Non. MAT of 51

15 Mais "...on sait que p est vraie et que ça implique q, donc q est vraie..." ou "... on a déjà montré que p implique q, et on a montré que p est vraie... alors q est vrai et..." sont des raisonnements logiquement corrects, basée sur la tautologie modus ponens : (p (p q)) q (c.-à-d, toujours vraie, n importe p et q). MAT of 51

16 Considérons P :="S il fait beau je vais nager cet après-midi. Il fait beau. Donc je vais nager cet après-midi." Vraie ou Fausse? Analyse. Posons : p :="il fait beau" q :=" je vais nager cet après-midi". Donc : p q = "S il fait beau je vais nager cet après-midi." P = [(p q) p] q. Donc P est vraie par modus ponens!! Est-ce que "il fait beau"? est-ce que " je vais nager cet après-midi"? est ce que "" S il fait beau je vais nager cet après-midi"? Qui sait. Mais P est vraie. MAT of 51

17 Est-ce que la preuve suivante est logiqement correcte? Proposition Soit A, B deux ensembles finis et F : A B une fonction donnée par la notation "deux-lignes" (sans répétitions dans la première ligne). Cette fonction est injective si et seulement si chaque élément de B se trouve au maximum une fois sur la 2-ième ligne. MAT of 51

18 Démonstration. Montrons par une preuve directe que l hypothèse que chaque élément de B se trouve au maximum une fois sur la deuxième ligne implique la conclusion que F est injective. Soient a et a des éléments de A tels que b = F (a) = F (a ). Ces deux éléments a et a se trouvent sur la première ligne, c est à dire ils existent i et j tels que a = a i et a = a j et donc F (a) = F (a i ) = f i, F (a ) = f (a j ) = f j. Nous avons que b = f i = f j. Mais b se trouve au maximum une fois sur la 2-ième ligne. Ça veut dire i = j et donc a = a i = a j = a. Alors nous avons montré que F est injective (si chaque élément de B se trouve au maximum une fois sur la deuxième ligne). MAT of 51

19 Démonstration. Puis, nous allons montrer par une preuve indirecte que si on suppose que F est injective alors chaque élément de B se trouve au maximum une fois sur la deuxième ligne. Supposons b B se trouve au moins deux fois sur la 2-ième ligne, disons à positions i et j (i j). Donc b = f i = f j. Mais f i = F (a i ) et f j = F (a j ), alors F (a i ) = F (a j ) et a i a j. Donc F n est pas injective. On conclut la preuve indirecte que si F est injective alors chaque élément de B se trouve au maximum une fois sur la deuxième ligne. Ça finit la preuve de la proposition! MAT of 51

20 Analyse logique. P :=" La fonction F est injective " et Q :="Chaque élément de B se trouve au maximum une fois sur la 2-ième ligne". Il faut montrer P Q est vraie. Parce que (P Q) ((P Q) (Q P)) il suffit de montrer que P Q et Q P sont vraies. On montre les deux implications. Q P par une preuve directe et P Q par une preuve indirecte. MAT of 51

21 Pour la preuve Q P : On suppose que Q est vraie. Sous sette hypothèse on montre que P n est pas fausse, donc vraie. Donc sous l hypothèse que Q est vraie, on a montré que P serait nécessairement vraie aussi. Ainsi Q P est montré. Pour la preuve P Q : On suppose que Q est fausse. Sous cette hypothèse que Q est fausse on montre que P est fausse aussi. Ainsi P Q est montré. MAT of 51

22 Il faut remarquer plus. Dans la preuve Q P on suppose Q vraie. Puis on suppose P fausse. En utilisant ça on montre Q fausse. Mais Q ne peut pas être simultanément vraie et fausse : absurde, impossible! Donc (sous l hypothèse que Q vraie, ce n est pas possible que P est fausse. Donc P vraie. Ceci est une preuve du troisième type "par l absurde" d un sous-résultat (ou un lemme si vous voulez). MAT of 51

23 Plus généralement : Preuve par l absurde. Si en supposant qu une proposition P soit fausse, on peut argumenter qu une autre proposition soit simultanément vraie et fausse (une contradiction), ce qui est absurde. Dans ce cas P est nécessairement vraie!! C est une preuve par l absurde, ou une preuve par contradiction. MAT of 51

24 Règles d inférence Si P et Q sont deux formules logiques telles que P Q est une tautologie, on dit que c est une règle d inférence et on écrit P Q alors si P est vraie alors AUTOMATIQUEMENT aussi Q est vraie. Mais si P est fausse, nous ne pouvons rien conclure a propos Q. Par exemple, proposition logique : (p (p q)) q une règle d inférence appelée classiquement modus ponens. MAT of 51

25 Règles d inférence déjà utilisés correctement par vous tous les jours : p (p q) (p q) p (p q) ( p) q. MAT of 51

26 Un peu d attention, mais bien "connues" aussi : et ( q (p q) p (modus tollens) (p q) (q r) (p r) (syllogisme par hypothèse) MAT of 51

27 Pour montrer modus tollens en utilisant modus ponens (p (p q)) q. Faisons les substitutions p par q et q par p (on a le droit!) : ( q ( q p)) p. Puis utilisons l équivalence logique ( q p) (p q) nous obtenons modus tollens : ( q (p q) p. Autre preuve par tableau! MAT of 51

28 On peut combiner des règles d inférence et les équivalences logiques : Si P Q et Q R alors aussi P R. Et P Q si et seulement si P Q et Q P. Exemple : implique la règle d inférence [(p q) r] (p r) (q r) [(p r) (q r)] [(p q) r] MAT of 51

29 Preuve algébrique de l équivalence logique [(p q) r] (p r) (q r). [(p q) r] (p q) r ( Car p q p q) ( p q) r ( Par De Morgan) ( p r) ( q r) ( Par distr.) (p r) (q r) ( Car p q p q) MAT of 51

30 Rappel : (p (p q)) q est une proposition logique toujours vraie, n importe les propositions p et q. Preuve par tableau : p q p q p (p q) [p (p q)] q V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V MAT of 51

31 Une preuve directe : Supposons l hypothèse est vraie ; c.-à-d., p et p q sont supposés vraies. p q vraie veut dire par définition : soit (i) p est fausse, soit (ii) p et q sont vraies. Un des deux cas. Mais on a supposé p est vraie, donc c est cas (ii). Ce qui implique que q est vraie aussi. Donc si l hypothèse est vraie, la conclusion est vraie aussi. Cet implication est vraie. MAT of 51

32 (p (p q)) q est une proposition logique toujours vraie, n importe les propositions p et q. En particulier, si p est remplacé par une autre proposition logique, et q aussi par une autre proposition logique alors l implication reste vraie. MAT of 51

33 Exemple : remplace "p" partout dans la formule par q (r s) et "q" partout par p s. On obtient que la proposition logique suivante est aussi automatiquement VRAIE : ([q (r s)] ([q (r s)] [p s])) [p s] Une autre règle d inférence (mais pas intéressante) : ([q (r s)] ([q (r s)] [p s])) [p s] (attention aux () s et [ ] s). MAT of 51

34 Preuve de ( q (p q)) p (modus tollens), Commençons par modus ponens (p (p q)) q. Faisons partout les substitutions p par q et q par p (on a le droit!) : ( q ( q p)) p. Puis utilisons l équivalence logique ( q p) (p q) nous obtenons modus tollens : ( q (p q)) p. MAT of 51

35 "S il fait beau je vais nager cet après-midi. Je ne vais pas nager cet après-midi. Donc il ne fait pas beau." Cette proposition composée (ou cet argument) est vraie par modus tollens. Mais je ne sais pas si "S il fait beau je vais nager cet après-midi" est vraie ou fausse!! MAT of 51

36 "S il fait beau je vais nager cet après-midi. Si je vais nager cet après-midi, je dormirai bien ce soir. Donc s il fait beau je dormirai bien se soir." Cette proposition composée (ou cet argument) est vraie, par ((p q) (q r)) (p r) (syllogisme par hypothèse) MAT of 51

37 On peut combiner des règles d inférence et les équivalences logiques : Si P Q et Q R alors aussi P R. Et P Q si et seulement si P Q et Q P. Exemple : implique la règle d inférence [(p q) r] (p r) (q r) [(p r) (q r)] [(p q) r] MAT of 51

38 Preuve algébrique de l équivalence logique [(p q) r] (p r) (q r). [(p q) r] (p q) r (Car (p q) ( p q)) ( p q) r (Par De Morgan) ( p r) ( q r) (Par distr.) (p r) (q r) (Car (p q) ( p q)) MAT of 51

39 Qu est-ce que vous pensez : "C est certain que si quelqu un fait beaucoup des haltères il sera fort. Vous êtes fort. Donc vous devez avoir faites beaucoup des haltères. Non?" Non, ce n est pas un argument acceptable. MAT of 51

40 Une formule qui n est pas une tautologie est appelée : contrevérité. Par exemple : P(p, q) := [(p q) q] p n est PAS une tautologie, donc une contrevérité, car si p est fausse et q vraie, alors P est fausse. Si on sait seulement que q est vraie, on ne sait pas encore si P est vraie ou fausse! Considérons : "... ainsi on a montré que p implique q. Parce que on sait aussi que q est vraie, on conclut que p est aussi vraie. " cet argument n est pas logiquement correct, évidemment. MAT of 51

41 Qu est-ce que vous pensez : "C est certain que si quelqu un fait beaucoup des haltères il sera fort. Vous ne faites pas beaucoup des haltères. Donc vous ne serez pas fort!" "L argument" est basée sur une autre contrevérité "utilisée" souvent : P := [(p q) p] q Donc ce n est pas acceptable comme argument. MAT of 51

42 Considérons l argument : P :=" Si est divisible par 13, alors est divisible par 13 2 = 169. Le nombre est divisible par 13. Par conséquent, est divisible par 169". Analyse : posons p ="32085 est divisible par 13", q :=" est divisible par 13 2 = 169". Alors P = [(p q) p] q. Donc P est vraie par modus ponens! Cet argument P est valide, alors on peut conclure que est divisible par 169. Qu est-ce que vous pensez? MAT of 51

43 Calculatrice : = Hè?! On doit avoir fait une petite erreur quelque part! En effet. "Cet argument est valide, alors est divisible par 169" est basée sur une contre-vérité ([(p q) p] q) q (si c est une tautologie et son hypothèse P est vraie (ce qui est le cas), alors par modus ponens, en effet q serait vraie aussi. Mais...) MAT of 51

44 Partie d un argument : "... bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla supposons p vraie bla bla bla Puis on donne encore plus d arguments, bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla ce qui montre finalement que p est vraie. Donc nous avons montré que p est vraie!" On suppose p est vraie pour montrer que p est vraie. Hmmm. Raisonnement circulaire. MAT of 51

45 Preuve par l absurde ou Reductio ad absurdum Une telle preuve peut être basée sur la règle d inférence : [( p (q q)] p ou sur la règle [( p q) q] p MAT of 51

46 Supposons on veut montrer qu une proposition p est vraie. En supposant p est fausse, on montre une proposition auxiliaire disons q. Alors que p q est vraie. Puis on montre (ou on sait déjà) que son opposé q est vraie. Donc l hypothèse de la règle d inférence est vraie : [( p q) q] p. C est une règle d inférence, donc aussi la conclusion p est vraie. MAT of 51

47 Soient A et B deux ensembles et F : A B et G : B A deux fonctions telles que G F = 1 A. Considérons la proposition logique p :="F est injective". Preuve par l absurde : Supposons p est faux, c.-à-d., F n est pas injective. Par définition d injectivité, ils existent deux éléments a 1, a 2 de A telles que F (a 1 ) = F (a 2 ), mais a 1 a 2. Parce que G F = 1 A on a a 1 = 1 A (a 1 ) = G(F (a 1 )) = G(F (a 2 )) = 1 A (a 2 ) = a 2. Donc sous l hypothèse que p est fausse, on a montré la proposition q :="ils existent a 1, a 2 dans A tels que a 1 = a 2 et a 1 a 2 " est vraie. Ce qui est absurde, car son opposé, q, est vraie. On conclut p est vraie. MAT of 51

48 Soit P une proposition en mathématiques. Théorème P Preuve par l absurde typique. Supposons P est fausse. Puis (avec cette hypothèse et avec de l aide de théorèmes déjà montrés) on montre une proposition auxiliaire, disons q. Puis on montre directement (sans utiliser l hypothèse que P est fausse) que q est fausse. Ce qui serait absurde. On conclut : P est vraie. MAT of 51

49 Un cas spécial. Soient P et Q deux propositions en mathématiques. Théorème P Q Preuve par l absurde typique. Supposons P Q est fausse, c.-à-d., supposons P vraie et Q fausse. Puis (avec ces deux hypothèses et avec de l aide de théorèmes déjà montrés) on montre une proposition auxiliaire, disons r. Puis on montre directement (sans utiliser l hypothèse que P Q est fausse) que r est fausse. Ce qui serait absurde. On conclut : P Q est vraie. MAT of 51

50 Si on veut montrer P Q il y a trois types de preuves typiques, trois stratégies. Preuve directe. Avec l hypothèse P on montre (avec de l aide de théorèmes déjà établis) Q. Preuve indirecte. Avec l hypothèse Q on montre (avec de l aide de théorèmes déjà établis) P. Preuve par l absurde. Avec les hypothèse P et Q on montre (avec de l aide de théorèmes déjà établis) une absurdité auxiliaire. MAT of 51

51 Il y a des liens entre la logique et la théorie des ensembles. Soit A U et B U deux sous-ensembles. Fixons un u U et considérons : p :="u A" q :="u B". Alors p q= "u A" "u B" = "u A et u B"="u A B" (par définition de. Et p q= "u A" "u B" = "u A ou u B"="u A B" (par définition de. MAT of 51

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