CALCUL DE PRIMITIVES, V Primitives de fonctions usuelles. Arcsin(x) 1 x 2 1 x x x 2 ( x 1) 1

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1 L Math MA/MG Intégrale CALCUL DE PRIMITIVES, V0. Avertissement : ce document a été tapé trop rapidement et inclut donc un nombre conséquent d erreurs en tout genre. L auteur décline toute responsabilité dans l usage de ce document. Rappel. Soit f I R R. On appelle primitive de f toute application g I R dérivable sur I telle que, x I g (x) = f(x). Si g est une primitive de f alors pour tout λ R g + λ est une primitive de f. Si g et h sont primitives de f alors il existe µ R tel que h = g + µ. Une primite de f est notée f(x). Ce qui suit est un rappel.. Primitives de fonctions usuelles x m, m x m+ m + + λ x ln x + λ exp(x) exp(x) + λ cos(x) sin(x) + λ + cotan (x) = sin(x) cos(x) + λ + tan (x) = sin (x) cos (x) tan(x) + λ cotan(x) + λ ch(x) sh(x) + λ sh(x) ch(x) + λ th(x) = coth (x) = sh (x) coth(x) + λ + x Arctan(x) + λ ch (x) ( x < ) Arcsin(x) x x + x (x > ) Argch(x) + λ (x < ) x ( x > ) x ln x + x + λ th(x) + λ + λ Argsh(x) + λ = ln (x + x + ) + λ Argch(x) + λ ( x < ) Argth(x) + λ x x ( x > ) Argcoth(x) + λ x ( x ) ln x + x + λ. Changement de variables dans une intégrale indéfinie Rappel sur l intégrale de Riemann. Si f [a, b] R, f continue, et g [α, β] g([α, β]) [a, b], g dérivable sur [α, β] et g continue alors Si g(α) = a et g(β) = b alors α β a f(g(t))g (t) = b f(x) = α β g(β) g(α) f(x). f(g(t))g (t). Intégrale indéfinie. Primitive de f sur I intervalle réel, F(x) = f(x) avec f C(I, R).

2 CALCUL DE PRIMITIVES, V0. Soit g J I, g C(J, I) telle que g réalise une bijection de J sur I. Ainsi x = g(t) équivaut à t = g (x) et on a F(g(t)) = f(g(t))g (t) et (F g g )(x) = F(x). Autrement dit le changement de variables x = g(t) permet de calculer F g(t) et en composant (F g) g on obtient finalement F(x). Exemple.. F(x) = x, x. Posons x = sin(t). Or la fonction sin [ π/, π/] [, ] est définie continue strictement croissante de [ π/, π/] sur [, ], elle réalise une bijection de [ π/, π/] sur [, ] et est continûment dérivable sur [ π/, π/]. Dans ce cas F(g(t)) = sin (t) cos(t) = cos (t) = + cos(t) = t + sin(t) + λ. 4 Ajoutons que x = sin(t), t [ π/, π/], équivaut à t = Arcsin(x) et que sin(t) = sin(t) cos(t) = x x. Donc F(x) = Arcsin(x) + x x + λ... Calcul des primitives de α + x, α x, α x, α + x,. On suppose que α > 0 x + α et α. Effectuons le changement de variable x = αt, = α. Alors x < α α + x = α x = α α + α t = α + t = α Arctan t + λ α α ( t ) = t = Arcsin t + λ x α α + x = α x = α t = + t ln α t + λ α α ( + t ) = + t = ln (t + t + ) + λ D où x > α x α = α + x = α Arctan x α + λ, α x = α ln α + x α x + λ, x α = ln x + x α + λ. α α t = ln t + t + λ α x = Arcsin x α + λ α + x = ln (x + x + α ) + λ.. Calcul des primitives de on écrit ax + bx + c, ax + bx + c. Le triplet (a, b, c) R R. Tout d abord ax + bx + c = a(x + b a x + c a ) = a((x + b 4ac a ) b + 4a ). Clairement tout dépendra du signe de la quantité 4ac b (et de celui de a pour la racine). ax + bx + c

3 CALCUL DE PRIMITIVES, V0. er cas : 4ac b > 0. Le trinôme n a pas de racine ; soit α R tel que 4ac b 4a x + b a = t, = on a a((x + b a ) + 4ac b 4a ) = a t + α = ème cas : 4ac b = 0. Pour x R { b/a} = = aα Arctan t α + λ = ε (ax + b)ε Arctan + λ 4ac b 4ac b Arctan ax + b + λ. 4ac b 4ac b a(x + b a ) = a(x + b a ) + λ = a 4ac b 4a = α. Alors en posant Arctan où ε = sign(a) a ax + b + λ. x + b a 4ac b ème cas : b 4ac > 0. Soient x et x les deux racines disctinctes de notre trinôme. Pour x x et x x, si α = b 4ac et x + b 4a a = t ( = ) alors 4a + λ a((x + b a ) b 4ac) = a t α = aα ln t α α + t + λ = a ln x + b a b 4ac εa 4a x + b + λ a + b 4ac εa = + b ε b ln ax 4ac aα ax + b + ε b 4ac + λ. = ε b 4ac ln ax + b ε b 4ac ax + b + ε b 4ac + λ J(x) = x + bx + c Il y a quatre cas, 4ac b > 0 (qui entraîne a > 0), b 4ac > 0 et a > 0, b 4ac > 0 et a < 0, et enfin b 4ac = 0 (qui entraîne a > 0). er cas : 4ac b > 0 et a > 0. Posons α = 4ac b 4a, α = J(x) = a 4ac b a, t = x + b a : t + α = ln (t + t + α ) + λ a = ln x + b a a + (x + b 4ac a ) b + 4a + λ = ln (x + b ax a a + + bx + c ) + λ a ème cas : b 4ac > 0 et a > 0. Le trinôme possède deux racines distinctes x < x et bien sûr le trinôme est strictement positif dans R [x, x ] : J(x) = a = (x + b a ) b 4ac 4a a = ln x + b ax a a + + bx + c + λ. a t α = ln t + t α + λ a

4 4 CALCUL DE PRIMITIVES, V0. ème cas : b 4ac > 0 et a < 0. Le trinôme possède deux racines distinctes, x < x et est strictement positif pour x ]x, x [ : J(x) = a (x + b a ) + b 4ac = Arcsin ax + b a b 4ac + λ. 4a = a t + α = a Arcsin t α + λ 4ème cas : b 4ac = 0 et a > 0. Clairement J(x) = ε ln (ε(x + b )) + λ a a avec b ε(x + a ) > 0... Primitives des fractions rationnelles en x. a(x) b(x) où a R[X] et b R[X]. On décompose la fraction rationnelle en éléments simples (ce thème sera abordé (après!) en algèbre) : pgcd(a, b) = si deg a deg b alors il y a une partie entière (non nulle), q(x), q R[X] et on a a = bq + r, avec r = 0 ou deg r < deg b. Le polynôme q étant facilement intégrable, il reste à calculer la primitive de la fraction rationnelle r(x) b(x). si deg a < deg b on calcule la primitive de a(x) b(x). Dans tous les cas, on décompose la fraction rationnelle (r/b ou a/b) en éléments simples sur R[X]. Il faut donc calculer les primitives d élements simples de ère espèce et de ème espèce : élts simples de ère espèce qui s intègre en élts simples de ème espèce On écrit tout d abord λ (x α) n λ 0, n, λ ln x α + β si n =, λ + β n (x α) n si n. λx + µ ((x m) + n ) p (λ, µ) R, (m, n) R R, p N. λx + µ ((x m) + n ) p = λ (x m) ((x m) + n ) p + µ + λm ((x m) + n ) p. Le premier terme s intègre selon que p = ou p : λ λ (x m) ((x m) + n ) p = ln ((x m) + n ) + β si p =, λ + β si p. ( p) ((x m) + n p ) Reste le calcul de I(x) = ((x m) + n ) p,

5 CALCUL DE PRIMITIVES, V0. 5 qui peut se faire par un changement de variables algébriques ou trigonométriques. Voyons les deux solutions. Changement de variables algébriques. En posant x m = nt, = n le calcul se ramène à celui de Posons A p = et une intégration par partie A p = I(g(t)) = n (n t + n ) p = n p (t + ) p. Le calcul de A p se fait par récurrence avec t (t + ) p + A = + t = Arctan t + λ (t + ) p. t p t ( + t ) p+ = t (t + ) p + p (t + ) ( + t ) p+ = t (t + ) p + p(a p A p+ ), qui donne la relation pa p+ = (p )A p + t (t + ) p. Changement de variables trigonométriques. On pose x m = n tan θ = h(θ), θ ] π/, π/[, = n( + tan θ) dθ. Alors I(h(θ)) = n( + tan θ) (n tan θ + n ) p dθ = n p sin θ = tan θ ( + tan θ = dθ ( + tan θ) p = n p cos p θ dθ. Si p =, la primitive est déjà connue ou se retrouve avec l expression ci-dessus. Si p = on a cos + cos θ θ dθ = dθ = θ + sin θ + λ 4 et comme x m n ) finalement p = et briévement : soit I(x) = Arctan x m n + ( x m n ) = + n n(x m) (x m) + n x m (x m) + n + λ. cos 4 θ dθ = 8 (cos 4θ + 4 cos θ + ) dθ = sin 4θ + sin θ + θ + λ 8 4 I(x) = 8 ( n(x m)(n (x m) ) n(x m) ((x m) + n ) + (x m) + n + Arctan x m + λ). n D une façon générale on pose B p = cos p θ dθ et par intégration par partie on obtient B p = cos p θ cos θ dθ = cos p θ sin θ + sin θ (p ) cos p θ sin θ dθ soit = cos p θ sin θ + (p )(B p B p ). pb p = cos p θ sin θ + (p )B p.

6 6 CALCUL DE PRIMITIVES, V0. Exemple.. Calculons où J(x) = I(x) = = 4 x + 4 (x + x + ) = x + (x + x + ) + 5 (x + x + ) + 5 J(x), (x + x + ) ((x + ) +. En posant x + 4 ) = t = g(t), =, on obtient J(g(t)) = Pour A on écrit que A = A + puis que 4A = A + t t + + ( 4 t + = 4 ) (4 ) t t + soit A = A + t t +, t (t +), ce qui donne finalement A = 8 A + t 8 t + + t 4 (t + ). (t + ) = 7 A. Il ne reste plus qu à remplacer t par son expression en x : J(x) = 7 A = 7 ( x + Arctan x + 4 x + x + + 6(x + x + ) + λ) x + = (4 Arctan + x + 9 x + x + + (x + ) (x + x + ) + λ). Ainsi finalement I(x) = 40x + (x + x + ) x + x + x Arctan x + + λ.. Fonctions composées de fonctions trigonométriques.. Calcul de cos(ax + b) cos(cx + d), cos(ax + b) sin(cx + d), sin(ax + b) sin(cx + d). On transforme en somme, ce procédé s applique aussi au cas de facteurs. Exemple.. Calculons I = sin x sin x sin x. Successivement sin x sin x = (cos x cos x) sin x sin x sin x = ( cos x sin x + cos x sin x) = ( sin 6x + sin 4x + sin x), 4 d où I = 4 cos 6x 6 cos 4x 8 cos x... Fonction polynôme en sin x et cos x. Soit la fonction f définie par f(x) = 0 h p 0 k q a hk sin h x cos k x. Le calcul de la primitive de sin h x cos k x dépend de la parité des entiers h et k. Cas h ou k impair. Si h = α +, la primitive à calculer s écrit A = sin α+ x cos k x = ( cos x) α cos k x sin x

7 CALCUL DE PRIMITIVES, V0. 7 Par changement de variable u = cos x, du = sin x on obtient qui se calcule aisément. Si k = β + alors qui se calcule aisément. A = ( u ) α u k du, A = sin h x cos β+ x = sin h x( sin x) β cos x = u h ( u ) β du, Cas h et k sont impairs. L intégrale s écrit sin α+ x cos β+ = (sin x) α (cos x) β sin x cos x = ( cos x ) α ( = 4 ( u )α ( + u )β du, + cos x ) β sin x où u = cos x et du = sin x. En développant le calcul se poursuit. La méthode précédente s applique aussi, c est une question de goût. Cas h et k sont pairs. On écrit k = α et h = β. Si h et k sont assez petits on remplace sin x par cos +cos x x par et on linéarise. Par exemple calculons I(x) = sin 4 x cos x. Sachant que (sin x cos x) = 4 sin x = 4 cos 4x on a (rappelant que cos(a) cos(b) = (cos(a + b) + cos(a b))) d où et sin x = ( cos x) cos x et sin 4 x cos x = 6 ( cos x cos 4x + (cos 6x + cos x)) = 6 ( cos x cos 4x + cos 6x), I(x) = x 6 sin x sin 4x + sin 6x + λ Si h et k sont grands la situation se complique. Posons I α,β = sin α x cos β x et établissons une formule de récurrence : I α,β = sin α x(sin x cos β x) = cosβ+ x sin α x β + I α,β = cosβ+ x sin α x β + + α β + I α,β+. Par itération le calcul de I α,β se ramène à celui de I 0,β+α = cos (β+α) x. + α β + cos β+ x sin α x.. Fonction rationnelle en sin x et cos x. Soit f(x) avec f(x) = P(cos x, sin x) Q(cos x, sin x).

8 8 CALCUL DE PRIMITIVES, V0.... Méthode brutale. On fait le changement de variable t = g (x) = tan x x ] π + kπ, π + kπ[, k Z. Les calculs donnent Ainsi sin x = t t, cos x = + t + t, = ( + t ) et = + t. I(g(t)) = P( t +t, Q( t +t, t +t ) t ) +t + t, qui est une fraction rationnelle en t. Ce changement de variable aboutit dans tous les cas. Si f(x) vérifie certaines propriétés le calcul peut être simplifié (un peu). C est l objet des règles de Bioche qui suivent dans La notion de plus simple tient en fait dans le degré des fractions rationnelles obtenu in fine et un peu moins de calcul.... Si la différentielle f(x) est invariante lorsqu on change x en x, alors on peut poser u = cos x, u nouvelle variable. On obtient une primitive d une fraction rationnelle en u à calculer. En effet P et Q se décomposent en P(cos x, sin x) = P (cos x) + sin xp (cos x) Q(cos x, sin x) = Q (cos x) + sin xq (cos x). P (cos x) est obtenu en considérant les termes ne contenant pas sin x, ou le contenant à une puissance pair, i.e. sin x = cos x donne des termes en cos x uniquement. sin xp (cos x) est obtenu en considérant les termes contenant sin x à une puissance impaire et grace à l égalite sin α+ x = sin x( cos x) α. De même pour Q et Q. Ainsi par l hypothèse f( x)( ) = f(x) f(x) = P (cos x) + sin xp (cos x) Q (cos x) + sin xq (cos x) = P (cos x) sin xp (cos x) ( ) Q (cos x) sin xq (cos x) = P (cos x) + sin xp (cos x) Q (cos x) sin xq (cos x). On utilise ensuite le fait que si A+ B C + D = A B alors AD = BC et C D Donc si Q 0 où u = cos x et du = sin x. Si Q = 0 et Q 0 alors f(x) = A+ B A C + D = C si C 0, B D si D 0. f(x) = sin x P (cos x) Q (cos x) = P (u) Q (u) du, P (cos x) sin xq (cos x) = P (cos x) sin x ( cos x)q (cos x) = Dans les deux cas le changement de variables aboutit. P (u) ( u )Q (u) du.

9 CALCUL DE PRIMITIVES, V Si la différentielle f(x) est invariante lorsqu on change x en π x, alors on peut poser v = sin x, v nouvelle variable. On obtient une primitive d une fraction rationnelle en v à calculer. Par une technique similaire à ce qui précède on peut écrire P et Q sous la forme P(cos x, sin x) = P (sin x) + cos xp 4 (sin x), Par l hypothèse on obtient et finalement f(x) = P (sin x) + cos xp 4 (sin x) Q (sin x) + cos xq 4 (sin x) Q(cos x, sin x) = Q (sin x) + cos xq 4 (sin x). = P (sin x) + cos xp 4 (sin x) (+ ) Q (sin x) cos xq 4 (sin x) f(x) = cos xp 4(sin x) si Q 0. Q (sin x) Il suffit de poser v = sin x, dv = cos x : f(x) = cos xp 4(sin x) Q (sin x) = P 4(v) Q (v) dv. Si Q = 0 alors Q 4 0 et le même changement de variable aboutit à une fraction rationnelle en v...4. Si la différentielle f(x) est invariante par les deux changements de variables précédents, on peut poser w = cos x, w nouvelle variable et le calcul se ramène à une fraction rationnelle en w. En effet d après.. on a f(x) = sin xp (cos x) Q (cos x) et on peut transformer P et Q de telle sorte que P (cos x) = P (cos x) + cos xp (cos x) et Q (cos x) = Q (cos x) + cos xq (cos x). Le fait que le changement de variable de x en π x laisse invariant f(x) implique f(x) = sin xp (cos x) + sin x cos xp (cos x) Q (cos x) + cos xq (cos x) = sin xp (cos x) + sin x cos xp (cos x) Q (cos x) cos xq (cos () x) = sin x cos xp (cos x) Q (cos x si Q 0 et le changement de variable w = cos x, cos x = ( + w)/, dw = sin x donne f(x) = 4 P ( +w ) Q ( +w ) dw. Si Q = 0 alors Q 0 et le calcul aboutit avec le même changement de variables...5. Si la différentielle f(x) est invariante lorsqu on change x en π + x, alors on peut poser t = tan x, t nouvelle variable. On obtient une primitive d une fraction rationnelle en t à calculer. On écrit P(cos x, sin x) = P (cos x) + sin xp (cos x) = (P (cos x) + cos xp (cos x)) + sin x(p (cos x) + cos xp (cos x)) Q(cos x, sin x) = Q (cos x) + sin xq (cos x) = (Q (cos x) + cos xq (cos x)) + sin x(q (cos x) + cos xq (cos x)).

10 0 CALCUL DE PRIMITIVES, V0. Sachant que f(x) est invariante lorsqu on change x en π + x alors f(x) = (P (cos x) + cos xp (cos x)) + sin x(p (cos x) + cos xp (cos x)) (Q (cos x) + cos xq (cos x)) + sin x(q (cos x) + cos xq (cos x)) = (P (cos x) cos xp (cos x)) sin x(p (cos x) cos xp (cos x)) (Q (cos x) cos xq (cos x)) sin x(q (cos x) cos xq (cos x)) = P (cos x) + sin x cos xp (cos x) Q (cos x) + sin x cos xq (cos x) En posant t = tan x, cos x = /( + t ), sin x cos x = sin x = t/( + t ), = ( + t ), = /( + t ), si Q (cos x) + sin x cos xq (cos x) 0 alors f(x) = P ( ) + t P +t +t ( ) +t ( + t )Q ( ) + tq +t ( ). +t Sinon c est la quantité cos xq (cos x) sin xq (cos x) qui est non nulle et le même changement de variables aboutit à une fraction rationnelle en t...6. Deux exemples. Exemple.. Soit à calculer F(x) = x kπ. sin x La quantité sin x est invariante quand on change x en x. Posons donc u = cos x, du = sin x. On obtient sin x F(x) = sin x = du ( u ) = + u ln u + λ = + cos x ln cos x + λ. De plus + cos x cos x = cos (x/) sin d où F(x) = ln tan(x/) + λ. (x/) Comme exercice tester le changement de variable dit brutal pour obtenir le même résultat. Exemple.. Soit à calculer F(x) = cos x cos x. Ici f(x) est invariante quand on change x en π x. Posons v = sin x, dv = cos x. Quelques relations trigonométriques nous donnent : cos x cos x = sin x sin x. Donc et Finalement on obtient F(x) = G(v) = 4 sin x sin x = 4 cos x sin x cos x = 4 dv v ( v ) = 4 ( v + / v + / + v ) dv = 4 ( v ln v + F(x) = 4 sin x + 8 cos x sin x( sin x) ln + v ) + λ = 4v + + v ln 8 v + λ. ln + sin x sin x + λ. 4. Fonctions composées de fonctions hyperboliques Les versions hyperboliques équivalentes aux sections. et. pour les fonctions trigonométriques se traîtent à l identique.

11 CALCUL DE PRIMITIVES, V Fractions rationnelles en ch x et sh x. Soit f(x) = P(ch x, sh x) Q(ch x, sh x). Posons τ = th(x/), dτ = ( x dτ th ), =. Les formules des fonctions hyperboliques nous τ donnent ch x = + τ τ, sh x = τ τ. La primitive f(x) devient donc P( +τ τ, Q( +τ τ, τ τ ) τ ) τ dτ τ. D autres changements de variables sont possibles, du type règles de Bioche. Pour cela il faut considérer la version trigonométrique associée, i.e. on remplace ch par cos et sh par sin et on regarde les propriétés de P(cos x,sin x) la forme Q(cos x,sin x) : invariant par chgt en trigonométrique chgt en hyperbolique x x u = cos x u = ch x x π x v = sin x v = sh x les deux précédents w = cos x w = ch x x π + x t = tan x t = th x Exemple 4.. Reprendre les deux cas trigonométriques et calculer sh x ch x ch x. 4.. Remarques sur certaines primitives. Soit P n un polynome de degré n et cherchons Q n de degré n tel que exp(αx)p n (x) = exp(αx)q n (x). Si P n et Q n s écrivent P n = n k=0 a kx k, Q n = n k=0 b kx k alors ( exp(αx)) = exp(αx)(αb n x n + (αb k + (k + )b k+ )x k ). Par identification, αb n = a n et pour tout k {0,..., n } αb k + (k + )b k+ = a k, ce qui permet de trouver les coefficients b k du polynôme Q n. Pour calculer les primitives de C(x) = exp(αx) cos βx P n (x) on associe S(x) = exp(αx) sin βx P n (x) et on se ramène au cas précédents à l aide des complexes : n k=0 C(x) + is(x) = exp ((α + iβ)x)p n (x). Exemple 4.. Si C = x exp(x) cos x et S = x exp(x) sin x alors C = exp(x)( x cos x + ( x x + x ) sin x), S = exp(x)(( + x ) cos x + ( x ) sin x).

12 CALCUL DE PRIMITIVES, V0. 5. Calcul de primitives de certaines fonctions irrationnelles f(x, y) est une fonction rationnelle en x et y. La quantité y est l une des deux quantités suivantes, () la racine n-ème d une fonction homographique en x, y = n ax + b cx + d () la racine carrée d un trinôme du nd degré en x : y = ax + bx + c. 5.. Cas y = n ax + b cx + d. avec n N et (a, b, c, d) R 4 tels que ad bc 0. Calculons I(x) = f(x, n ax + b cx + d ) La quantité y n = ax+b cx+d est égale à a/c si et seulement si bc = ad. Donc x(a cy n ) = y n d b x = yn d b a cy n = g(y) et = nn d(a cy n ) + ncy n (y n d b) n(ad bc)yn (a cy n ) dy = (a cy n ) dy. Le calcul de I(x) se ramène à celui de I(g(y)) I(g(y)) = qui est une fraction rationnelle en y. Exemple 5.. Calculons I(x) = Posons y = x f(x) = f( yn d b n(ad bc)yn, y) a cyn (a cy n ) dy + x. Posons x x + x x, D f = [, [ { }. +x x ; y ( x) = + x équivaut à x( + y ) = y, soit x = y y + = g(y) (fonction paire), dy = 4y g (y) = (y + ). La fonction g (y) est strictement positive sur ]0, + [, donc g est strictement croissante sur [0, + [ et réalise une bijection de [0, + [ sur [, [. Ajoutons que g(y) = / équivaut à y =. Ainsi I(g(y)) = y + y y 4y (y + ) dy = 4 y R + { }. La théorie des fractions rationnelles nous dit que y (y )(y + ) = a y + y (y )(y + ) dy, b y + + cy + d y +, et on trouve b = a, c = 0 =, a = /8 et d = /4. Ainsi / / I(g(y)) = y + y + + y + dy = ln y ln y + + Arctan y + λ

13 CALCUL DE PRIMITIVES, V0. et finalement I(x) = ln +x x +x x + + Arctan + x x + λ. 5.. Cas y = ax + bx + c. avec (a, b, c) R R. Posons I(x) = f(x, ax + bx + c) Changements de variable algébrique. On propose deux changements de variables algèbriques, le premier général, le second dans le cas particulier où > 0. () Selon la valeur de = b 4ac, il y a deux racines disctinctes avec choix de x dans ], x ) (x, + [, une seule (i.e. on supprime la racine) ou aucune racine (x R). Ici ], x ) (x, + [ veut dire que selon la fonction f, x est inclus ou non inclus, de même pour x : il suffit de comparer ax + bx + c définie pour ax +bx+c 0 et / ax + bx + c définie pour ax +bx+c > 0. On pose ax + bx + c = a(x + t) et on peut prendre t comme nouvelle variable : ax + bx + c = a(x + tx + t ), x(at b) = c at, x = c at t b at b a = at(at b) (c at a (at b) = a t + abt ac (at b) = a(at bt + c) (at b). Attention x = c at at b n est pas équivalent à ax + bx + c = a(x+t), il y a une question d intervalle pour t à préciser! Si = b 4ac < 0, alors < 0. Selon le tableau de variations ci-dessous, t b/a x(t) et on se ramène à x en fonction de t, strictement monotone dans ]b/a, + [. Si = b 4ac > 0, alors posons t = b + a, t = b. a Il faut faire très attention et bien déterminer quel intervalle en t réalise une bijection sur ], x ) et lequel réalise une bijection sur (x, + [. Nous avons alors le tableau de variations suivant

14 4 CALCUL DE PRIMITIVES, V0. t t b/a t x x(t) x Posons x(t ) = x et x(t ) = x. On peut prendre l intervalle ( x, + [ ], x ) et sachant que x + t = at bt+c at b, on obtient que I(g(t)) = f( c at at b, a( at bt + c bt + c) at b ))( a)(at (at b), qui est une fraction rationnelle en t, avec t = ax +bx+c ax a. () On suppose ici > 0 et selon le signe de a, a > 0 et x ], x ) (x, + [ ou a < 0 et x (x, x ). Si a > 0 posons ax + bx + c = a(x x )t (ou bien a(x x )t), avec t la nouvelle variable. Pour mener correctement l étude de ce changement de variable il faut bien remarquer que si x > x alors t > 0 et si x < x alors t < 0. En élevant au carré ax + bx + c = a(x x )t on obtient successsivement Ainsi ax + bx + c = a(x x )(x x ) = a(x x )t, x x = (x x )t x( t ) = x t + x, x = x t x t, t ±. = tx (t ) t(x t x ) (t ) = t(x x ) (t ). Dans le cas où x (x, + [ on a t (0, [ et le tableau de variation donne t x x(t) x Ainsi si x (x, + [ alors t (0, [, la bijection est bien réalisée et comme x x = x t x x t + x t = x x t

15 CALCUL DE PRIMITIVES, V0. 5 on obtient avec I(g(t)) = f( x t x a(x x )t t, t ) t(x x ) (t ) ax t = + bx + c = a(x x ) a(x x )(x x ). a(x x ) Dans le cas où x ], x ) on a par la même méthode t ], ). Dans tous les cas le changement de variable aboutit à une fraction rationnelle en t. Si a < 0 alors x (x, x ) et ax + bx + c = a(x x )t, t > 0 (ou a(x x )t, < 0) Successivement les calculs donnent ax + bx + c = a(x x ) t, x x = (x x )t, x = x t + x + t = x t( + t ) t(x t + x ) ( + t ) = t(x x ) ( + t ), d où le tableau de variation t x(t) x Finalement avec I(g(t)) = f( x t + x + t, t = a(x x ) + t t) t(x x ) ( + t ) ax + bx + c a(x x ) = x x x x, x x = x x + t. I(g(t)) est bien une fraction rationnelle en t Changements de variable trigonométrique. Le point de départ est toujours ax + bx + c = a((x + b 4ac a ) b + 4a ). er cas : a > 0 et on doit distinguer deux sous cas, > 0 et < 0. < 0. On constate que (x + b a ) + 4ac b est la somme de deux termes positifs donc de deux 4a carrés. On peut poser x + b 4ac b a = 4a tan θ x

16 6 CALCUL DE PRIMITIVES, V0. Comme le trinôme ne possède pas de racine réelle, x décrit R, d où θ décrit ] π/, π/[ et ax 4ac b + bx + c = a( 4a ( + tan 4ac b θ)) = ( 4a cos θ ) 4ac b = a cos θ dθ ax + bx + c = 4ac b a cos θ. On obtient alors I(g(θ)) = f( b 4ac b a + tan θ, 4ac b 4ac b a a cos θ ) a cos θ dθ qui a le bon goût d être une fraction rationnelle en sin θ et cos θ! autre changement de variable possible x + b 4ac b a = 4a sh u avec u décrivant ], [. Brièvement ax + bx + c = a( 4ac b 4a )(sh 4ac b u + ) = a( 4a ) ch u, 4ac b ax + bx + c = 4ac b ch u, = ch u du. a a d où I(g(u)) = f( b 4ac b a + sh u, 4ac b 4ac b ch u) ch u du a a a qui a le bon goût d être une fraction rationnelle en sh u et ch u! > 0. Dans ce cas x varie dans ], x ( (x, + [ et ax + bx + c = a((x + b a ) b 4ac 4a ) est la différence de deux termes positifs donc de deux carrés. On pose x + b a = ε b 4ac ch u a avec u dans R +, ε = + si x est strictement croissant de x à + et ε = si x est strictement décroissant de x à. Sachant que ch u = sh u + on obtient ax + bx + c = a( b 4ac 4a sh u), ax + bx + c = b 4ac sh u a b = ε 4ac sh u du. a D où I(g(u)) = f( b a + ε b 4ac ch u, b 4ac b sh u)ε 4ac sh u du a a a qui est une fraction rationnelle en sh u et ch u! autre changement de variable possible x + b b a = 4ac avec θ ] π/, π/[ {0}. a sin θ

17 CALCUL DE PRIMITIVES, V0. 7 ème Cas : a < 0 et nécessairement > 0, ce qui donne deux racines distinctes x < x pour notre trinôme. Ajoutons que nécessairement x (x, x ). On écrit que ax + bx + c = ( a)( b 4ac 4a (x + b a ) ) est la différence de deux termes positifs donc de deux carrés et on pose x + b b a = 4ac 4a sin θ, θ [ π/, π/] x étant strictement croissant de x à x. Par la suite ax + bx + c = a( b 4ac 4a cos θ) ax + bx + c b 4ac cos θ a b = 4ac 4a cos θ dθ et I(g(θ)) = f( b b a + 4ac sin θ, b 4ac b cos θ) 4ac a a 4a cos θ dθ qui est bien une fraction rationnelle en cos θ et sin θ. Pour le calcul d intégrale, on utilise le changement de variable trigonométrique ou algébrique, en changeant les bornes et il est donc inutile de «repasser» en x. Par contre pour la recherche de primitive il est nécessaire de «repasser» en x in fine. Dans tous les cas il faut bien préciser les bijections, les intervalles, Exemple. Calculons x (x )(x ) x ], 0[ ]0, [ ], + [. Suivons ce qui précède et posons (x )(x ) = x + t, x(t + 5) = 6 t, Le tableau de variations de x en fonction de t t 5/ x = 6 t t + 5 = t(t + 5) (6 t ) (t + 5) = (t + 5t + 6) (t + 5). t 5/ x(t) 0 0

18 8 CALCUL DE PRIMITIVES, V0. Ainsi x + t = t +5t+6 t+5 et ce qui donne I(g(t)) = 5.. Exemple. Calculons (t + 5t + 6) (t + 5) 6 t = t + t t +5t+6 t+5 6 t 6 = 6 ln t 6 t λ, 6 (x )(x ) x 6 I(x) = 6 ln + λ. (x )(x ) x + 6 x x + 4x + 5. Le trinôme x + 4x + 5 = (x + ) + n admet pas de racines réelles, la primitive est donc définie sur R. Posons x + = sh u, u R. On a = ch u du et x + 4x + 5 = ch u, d où I(g(u)) = (sh u ) ch u ch u = 4 sh u 4 ch u + 7 u + λ. du = (sh u 4 sh u + 4) du = ( ch u 4 sh u + 7 ) du Sachant que sh u = sh u ch u = (x + ) x + 4x + 5, sh u = x + et u = Argsh(x + ) on obtient finalement I(x) = (x + ) x + 4x x + 4x Argsh(x + ) + λ = ( x ) x + 4x Argsh(x + ) + λ. Une autre méthode est de poser x(t 4) = 5 t, ce qui demande à calculer 4 (5 t ) (t )...