Primitives et intégrales

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1 Primitives et intégrles Je donne ici des éléments pour triter l exposé de CAPES 76 (liste 2007) : Primitives d une fonction continue sur un intervlle ; définition et propriétés de l intégrle, inéglité de l moyenne. Applictions. Je trouve cet intitulé un peu curieux. C est le même depuis une onne dizine d nnées, lors que les progrmmes de TS ont évolué sur le sujet. Avnt 2002, on y définissit l intégrle comme différence entre deux vleurs d une primitive. On préfère mintennt une pproche pr les ires. Je propose ici une sorte de compromis, inspiré pr mon texte [AIP] Aires, intégrles et primitives, voir http :// perrin/conferences.html. Dns tout ce qui suit, I désigne un intervlle de R (ni vide, ni réduit à un point). 1 Primitives 1.1 Définition. Soit f : I R une fonction définie sur un intervlle de R (ou une réunion d intervlles). On dit que l fonction F : I R est une primitive de f si F est dérivle et si l on F (x) = f(x) pour tout x I. 1.2 Proposition. 1) Si F est une primitive de f il en est de même de F + k où k est une fonction constnte. 2) Si F et G sont deux primitives de f sur un intervlle I, l différence F G est une constnte. Soit c I et k R. Si f dmet une primitive F, il existe une unique primitive G de f qui vérifie G(c) = k. Démonstrtion. Le point 1) est clir. Pour 2) on (F G) = 0, donc F G est constnte. 1.3 Remrques. 1) Dns 2), on utilise de mnière essentielle le fit que I est un intervlle. Sur une réunion d intervlles disjoints on peut voir plusieurs primitives. Pr exemple, l fonction nulle sur ] 1, 0[ ]0, 1[ dmet comme primitives les fonctions qui vlent une certine constnte sur ] 1, 0[ et une utre sur ]0, 1[. Un exemple peut-être plus nturel est celui de l fonction x 2 1 qui est définie sur l réunion des intervlles ], 1] [1, + [. 2) Une fonction qui dmet une primitive est l dérivée d une fonction, donc elle vérifie le théorème des vleurs intermédiires. Il en résulte que l fonction prtie entière sur [0, 2] n ps de primitive. 1

2 2 Aires Nous dmettrons l existence de l notion d ire et ses propriétés essentielles. Précisément, on dmet qu il existe une ppliction µ : Q R +, ppelée mesure d ire, définie sur certines prties de R 2 dites qurrles et qui vérifie les propriétés suivntes 1 : 1) Les polygones sont qurrles, insi que l hypogrphe d une fonction f continue et positive sur un segment (l prtie limitée pr l xe des x, le grphe de f et les droites d équtions x = et x =, voir figure ci-dessous). f(x) Figure 1: L hypogrphe de f x L démonstrtion de cette dernière propriété repose sur l continuité uniforme de f. 2) L mesure du crré unité âti sur les xes est égle à 1. 3) L mesure est dditive : si A, B sont des prties qurrles disjointes, on µ(a B) = µ(a)+µ(b). C est encore vri si les prties sont presque disjointes i.e. si leur intersection est une réunion finie de segments. Un corollire de cette propriété est l croissnce de µ : si on A B on µ(a) µ(b). 4) L mesure est invrinte pr isométrie : si g est une isométrie on µ(g(a)) = µ(a). 5) Elle est homogène : si h est une homothétie de rpport k on µ(h(a)) = k 2 µ(a). On montre que l mesure d un rectngle R dont les côtés sont de longueurs et est égle à. Il fut être conscient que ce résultt, vec lequel 1 Voir pr exemple, sur ce thème, mon livre Mthémtiques d École, Cssini, 2006, cité [ME] dns ce qui suit. 2

3 chcun est fmilier depuis l école primire, s il est trivil lorsque les longueurs sont des multiples entiers de l unité et fcile lorsque ce sont des multiples rtionnels, nécessite un pssge à l limite pour le cs générl, voir [ME] p Intégrle d une fonction continue positive 3.1 Définition 3.1 Définition. Soient, R vec <. Soit f : [, ] R une fonction continue 0. On ppelle intégrle de à de f et on note mesure de l ire de l hypogrphe de f défini ci-dessus. C est l définition du progrmme ctuel de TS. 3.2 Lien vec les primitives f(t)dt l Le théorème essentiel est le suivnt. À l différence de ce que suggère le progrmme de TS, je propose de prouver tout de suite ce théorème et de l utiliser pour donner l définition de l intégrle dns le cs générl. Voir une rgumenttion là-dessus dns [AIP]. 3.2 Théorème. Soit f : [, ] R une fonction continue 0. L fonction F définie sur [, ] pr F (x) = x f(t)dt est une primitive de f. Précisément, c est l unique primitive de f qui s nnule en. Si G est une primitive quelconque de f on f(t)dt = G() G(). Démonstrtion. On trite seulement le cs monotone, disons croissnt. On clcule le tux F (x + h) F (x) d ccroissement, disons pour h > 0. L quntité F (x + h h) F (x) est l ire de l hypogrphe entre les scisses x et x + h. Comme cette prtie est comprise entre deux rectngles de lrgeur h et de longueurs f(x) et f(x + h) on : hf(x) F (x + h) F (x) hf(x + h), d où f(x) F (x + h) F (x) f(x + h). Qund h tend vers 0, comme f est continue, h les deux extrêmes tendent vers f(x), donc ussi le tux d ccroissement et on donc, pr définition de l dérivée, F (x) = f(x). 3

4 f(x+h) f(x) x x+h Figure 2: L preuve de 3.2 On l formule F () = f(t)dt. Comme F () est nulle2, on donc encore F () F () = f(t)dt. Si G est une utre primitive de f, l formule vut ussi vec G cr on G(x) = F (x) + k où k est une constnte. 3.3 Remrques. 1) Il fut être cple de triter les cs f continue non monotone et h < 0 si le jury le demnde. Pour h < 0 il n y ps de difficulté. On les inéglités : hf(x + h) F (x) F (x + h) hf(x) et l inéglité est l même qu uprvnt pour le tux d ccroissement. Pour une fonction continue quelconque, il y deux voies. On introduit le minimum m h et le mximum M h de f sur [x, x + h], en supposnt qu ils existent, ce qu un élève de TS dmettr sns peine. On les inéglités : hm h F (x + h) F (x) hm h et l conclusion vient du fit que, comme f est continue en x, m h et M h tendent tous deux vers f(x) qund h tend vers 0. On utilise directement l continuité de f en ɛ, η (ce qui disqulifie cette preuve u niveu TS). On se donne ɛ > 0 et on doit montrer que, pour h < η, on F (x + h) F (x) f(x) h < ɛ. Comme f est continue, il existe η tel que, si t est dns [x, x + h] vec h < η on f(x) ɛ < f(t) < f(x) + ɛ. L ire de l hypogrphe entre x et x + h est lors comprise entre h(f(x) ɛ) et h(f(x) + ɛ) et on le résultt. 2 Il fut svoir justifier le fit qu un segment est d ire nulle, pr exemple, s il est de longueur l, en l englont dns des rectngles de longueur l et de lrgeur ɛ et en fisnt tendre ɛ vers 0. 4

5 2) Il y des fonctions non continues qui dmettent des primitives. Pr exemple l fonction définie pr f(x) = 2x sin 1 cos 1 pour x 0 et pr x x f(x) = 0 n est ps continue en 0 mis dmet l primitive F définie pr F (x) = x 2 sin 1 pour x 0 et F (0) = 0. x 3.4 Corollire. 1) Soit f : [, ] R une fonction continue. Alors, f dmet des primitives. 2) L même ssertion est encore vlle sur un intervlle I quelconque. Démonstrtion. 1) On dmet 3 que f est minorée pr une constnte m. On considère g = f m qui est continue 0. L fonction g dmet une primitive G et f dmet l primitive F (x) = G(x) + mx. 2) On définit une primitive F de f comme suit. On fixe un point c I. Soit x un point de I et soient, I vec < tels que x, c [, ]. Il existe une unique primitive G, de f sur [, ] qui est nulle en c. On pose F (x) = G, (x). Cette définition est indépendnte du choix de et. En effet, si on deux utres points et vérifint les mêmes conditions, les primitives G, et G, coïncident sur [, ] [, ] en vertu de 1.2, donc elles sont égles en x. Il est clir que F convient. 4 Intégrle d une fonction continue de signe quelconque 4.1 Définition Pour une fonction positive, les choses sont clires, l intégrle c est l ire sous l coure. On vu en 3.2 que, si F est une primitive de f, on lors f(t)dt = F () F (). Cette formule est une première justifiction de l définition suivnte, qui vut pour une fonction de signe quelconque et sns supposer l condition < sur les ornes : 4.1 Définition. Soient f : I R une fonction continue, et des points de I et soit F une primitive de f sur I. On définit l intégrle de à de f pr l formule f(t)dt = F () F (). 4.2 Remrque. Avec l définition ci-dessus, on vérifie que x f(t)dt est une primitive de f sur I. 3 Il fut svoir le prouver si le jury le demnde. On peut pr exemple le fire pr dichotomie. 5

6 4.2 Discussion On peut donner une justifiction supplémentire de l définition ci-dessus en voynt l intégrle comme une ire orientée. On considère une fonction continue définie sur sur un intervlle I, de signe constnt, mis ps nécessirement 0, et deux points, I (on ne suppose ps < ). On considère son hypogrphe H et le ord orienté H qui est l coure fermée simple constituée du segment [, ], mis prcouru de vers, puis du segment verticl qui v de (, 0) à (, f()), puis du grphe de f llnt jusqu à (, f()) puis du segment verticl qui joint ce point à (, 0). L intégrle f(t)dt ser lors l ire de l hypogrphe, mis comptée positivement (resp. négtivement) si H tourne dns le sens trigonométrique (resp. dns le sens des iguilles d une montre). En prticulier, l ire ser négtive si on < et f 0 ou > et f 0. Exminons ces deux cs et montrons que l intégrle est encore donnée pr l formule F () F () où F est une primitive de f. Si on < et f négtive, l ire de l hypogrphe, en vleur solue est l même que celle de l hypogrphe de f en vertu de l invrince de l ire pr symétrie. Notons α cette ire. Si F est une primitive de f, F en est une de f et on α = ( F )() ( F )() en vertu de 3.2. Comme l intégrle, pr convention, doit être négtive, c est ien α = F () F (). Si mintennt on >, mis f 0, c est l intégrle de à qui est positive et vut F () F (). Comme l intégrle de à correspond à l même ire, comptée négtivement, c est donc encore F () F (). ire positive ire négtive ire négtive Figure 3: Aires orientées 4.3 Propriétés 4.3 Proposition. Soient I un intervlle de R et f, g : I R deux fonctions continues et,, c I. On les propriétés suivntes : 1) (Reltion de Chsles) On f(t)dt = c f(t)dt+ f(t)dt, c 6 f(t)dt =

7 f(t)dt, f(t)dt = 0. 2) (Linérité) Pour tous λ, µ R on µ g(t)dt. (λf(t)+µg(t))dt = λ f(t)dt+ 3) (Positivité) On suppose. Si f(t) est 0 pour tout t [, ], f(t)dt est 0. Si on f g, on f(t)dt g(t)dt. Démonstrtion. Avec l définition 4.1 les preuves sont très fciles. En revnche, vec l définition 3.1 ce n est ps le cs, même en se limitnt ux fonctions positives. Le lecteur réfléchir pr exemple à l formule (f + g) = f + g. Montrons Chsles. Si F est une primitive de f, il s git de prouver les formules : F () F () = F (c) F ()+F () F (c), F () F () = (F () F ()) et F () F () = 0. On devrit y rriver. Pour l linérité, on note que λf + µg est une primitive de λf + µg et il s git de vérifier lors (λf + µg)() (λf + µg)() = λ(f () F ()) + µ(g() G()). Là non plus il n y ps de difficulté. Enfin, l positivité est évidente vec l définition Remrques. 1) Pour l positivité, ttention à l condition. Une question piège est l suivnte : soit x un réel positif. Quel est le signe de x 2 x ln x dx? 2) On peut ussi énoncer des résultts concernnt l prité, les périodes, etc. 5 Applictions 5.1 Formule de l moyenne Il s git de l énoncé suivnt : 5.1 Proposition. Soit f : [, ] R une fonction continue. Il existe un point c [, ] qui vérifie : f(c) = 1 f(t)dt. L vleur f(c) est ppelée vleur moyenne de f sur [, ]. 7

8 Démonstrtion. Soient m et M les ornes de f. On dmet qu elles existent et sont tteintes. Alors, l intégrle I est comprise entre m( ) et M( ). I Il en résulte que est compris entre m et M. Le théorème des vleurs intermédiires ssure qu il existe c [, ] tel que f(c) = 5.2 L inéglité des ccroissements finis I. 5.2 Proposition. Soit f : [, ] R une fonction de clsse C 1. On suppose qu il existe m et M tels que l on it m f (x) M pour tout x [, ]. Alors, on l inéglité des ccroissements finis : m( ) f() f() M( ). Démonstrtion. Il suffit d écrire f() f() = f (t)dt et d ppliquer l positivité de l intégrle. 5.3 Définition de nouvelles fonctions Notmment des fonctions réciproques : logrithme, Arcsinus, Arctngente, etc. 5.4 L qudrture de l prole On considère l prole d éqution y = x 2 et on cherche à clculer, pr exemple, l ire de l prtie située u-dessus de l coure et en dessous de l droite d éqution y = 1, ou, ce qui revient u même, l ire de l prtie limitée pr l xe des x, les droites d équtions x = 1 et x = 1 et l coure. Pr symétrie, cette ire est doule de celle de s moitié droite E, définie pr x 0. Pour l clculer, deux méthodes. On encdre E pr des rectngles, voir figure ci-dessus. Si l on prtge le segment [0, 1] en n prties égles, l somme des ires des rectngles situés en-dessous de l coure est égle à s n = 1 n u-dessus de l coure est égle à S n = 1 n n k=1 n se souvenir de l formule k 2 = k=1 n 1 k=0 k 2 n 2 et celle des ires situées k 2. Pour fire ce clcul, il fut n2 n(n + 1)(2n + 1). On otient lors : 6 (n 1)n(2n 1) 6n t 2 dt 8 n(n + 1)(2n + 1) 6n 3.

9 0-1 1 Figure 4: L prole et les rectngles Lorsque n tend vers +, le théorème des gendrmes montre qu on 1 0 t2 dt = 1/3. On remrque que x 3 /3 est une primitive de x 2 et on le résultt. 5.3 Remrque. L première méthode ne doit être proposée à des élèves que comme repoussoir, pour montrer comien l méthode utilisnt les primitives est plus simple. L procédure de découpge, qui remonte à Archimède 4 et qui rmène le clcul à l somme des termes d une suite, est eucoup plus compliquée que le clcul des primitives (méthode plus récente puisqu elle remonte à Newton et Leiniz, vers 1650). Encore, dns le cs de l prole, prvient-on à fire reltivement isément le clcul de n 2, mis on penser à l difficulté du clcul de n 23 pr rpport à celle de x 23 dx pour mesurer le progrès ccompli vec l invention du clcul infinitésiml. 4 Attention, Archimède clcule effectivement l ire d un segment de prole pr une méthode de découpge et pssge à l limite, mis ps du tout en encdrnt pr des rectngles comme ci-dessus. Voir [ME] p. 249 pour un perçu de ce que fit Archimède et dont le ressort lgérique n est ps le clcul de l somme des crrés des premiers entiers mis celui de l somme d une série géométrique. En revnche, Archimède utilise une méthode très voisine de celle évoquée ici, et notmment l somme des k 2, pour le clcul de l ire de l spirle dite d Archimède, voir [AIP]. 9