Dipôles électriques. Dipôles magnétiques.

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1 Chaptre C-I Dpôles électrques. Dpôles magnétques. Joël SORNETTE met ce cours à votre dsposton selon les termes de la lcence Creatve Commons : Pas d utlsaton commercale. Pas de modfcaton, pas de coupure, pas d ntégraton à un autre traval. Pas de communcaton à autru sans cter son nom, n en suggérant son autorsaton. Retrouvez l ntégralté du cours sur le ste joelsornette.fr

2 RÉSUMÉ : On défnt un dpôle électrque comme un ensemble de charges occupant un volume restrent et de charge totale nulle. On étude le potentel et le champ électrque qu un tel édfce crée à grande dstance (dpôle actf) pus l acton d un champ électrque créé par d autres charges sur un tel édfce (dpôle passf). On évoque les dstrbutons quadrpolares, la polarsablté électrque et les forces de an der Waals étudées dans d autres chaptres. On défnt un dpôle magnétque comme une répartton volumque de courants occupant un volume restrent et non par le modèle classque de la spre de courant. Cela complque sngulèrement les calculs mas est plus conforme à la réalté. On étude le potentel-vecteur et le champ magnétque qu un tel édfce crée à grande dstance (dpôle actf) pus l acton d un champ magnétque créé par d autres courants sur un tel édfce (dpôle passf). Pour la parte concernant les dpôles magnétques, une certane asance en analyse vectorelle est requse.

3 Table des matères C-I Dpôles électrques. Dpôles magnétques. Dpôle électrque «actf» a Potentel créé à grande dstance par une dstrbuton de charges.. 5.b Champ créé à grande dstance par une dstrbuton dpolare c Surfaces équpotentelles et lgnes de champ d Dstrbutons quadrpolares Dpôle électrque «passf» a Force exercée sur un dpôle par un champ b Moment dynamque exercé sur un dpôle par un champ c Energe d nteracton entre un dpôle et un champ d Retour sur la force exercée sur un dpôle par un champ Autres aspects du dpôle électrque a Dpôle déformable b Forces de an der Waals Dpôle magnétque «actf» a Potentel-vecteur créé à grande dstance par une dstrbuton de courants b La boucle de courant, vue comme un dpôle c Champ magnétque créé à grande dstance par une dstrbuton de courants Dpôle magnétque «passf» a Force exercée sur un dpôle par un champ b Moment dynamque exercé sur un dpôle par un champ

4 5.c Energe d nteracton entre un dpôle et un champ Dpôle déformable

5 Dpôle électrque «actf». Il s agt c de consdérer un dpôle exerçant une acton sur d autres charges..a Potentel créé à grande dstance par une dstrbuton de charges. Sot un ensemble de charges, sot ponctuelles (charges q en des ponts A ), sot répartes en volume (densté volumque au pont A notée ρ(a)) et contenues dans un volume borné de l espace. On se propose de calculer le potentel en un pont M dont la dstance à la plus proche des charges est grande devant la dstance maxmale qu sépare les charges entre elles. Remarque : Dans la pratque, un dpôle est censé représenter la répartton des charges dans un édfce atomque ou moléculare. Dans le fl du chaptre, quand j écrs «molécule», entendez «molécule ou atome». Le potentel recherché est donné rgoureusement par l une des formules qu sut, selon le contexte : (M) = q 4 π ε 0 A M ρ(a) d (M) = 4 π ε 0 AM mas sous cette forme, l est nexplotable. Nous allons remplacer cette expresson par une approxmaton plus pratque. Sot O un pont chos arbtrarement au beau mleu de la régon qu content les charges. On note r = OM et u = OM ans que a = OA comme sur la fgure p. 5. r M A! a! u r O Fgure Approxmaton de la dstance.. Ne pas comprendre «au mleu», ce qu serat une localsaton précse à défnr plus correctement, mas une vague localsaton. 5

6 On commence par calculer A M pus développement lmté à l ordre en r : A M, rgoureusement pus sous forme de A ( M ) = OM OA = (r u a ) = r r u a + u a = r ( r a + A M = r ( u r a + a r d où l on tre selon le contexte : Deux cas se présentent : ) = r (M) = 4 π ε 0 [ (M) = ρ(a) d + 4 π ε 0 r ou ben la charge totale Q = q ou Q = ( u r ) a + = r [ q + ( q a ) ] u r r ρ(a) OA d u r ] a r ) ( u + r ) a + ρ(a) d est non nulle et dans ce cas, l est partculèrement futé de chosr le pont O non plus arbtrarement mas au barycentre des charges, donc tel que q OA = 0 (une des deux défntons équvalentes du barycentre). Dès lors, à l ordre, on a : (M) = Q 4 π ε 0 r + 0 r ce qu sgnfe qu à cet ordre, on peut remplacer la dstrbuton de charge par la charge totale placée au barycentre. On écrt + 0 pour nsster que c est à l ordre r donc une excellente approxmaton. ou ben la charge totale est nulle et l on sat alors que la quantté p = q OA ou p = ρ(a) OA d est ndépendante du chox du pont O et est donc caractérstque de la dstrbuton de charge qu on appelle alors dpôle électrque ; on appelle p moment dpolare électrque. On a donc, à l ordre : (M) = p u 4 π ε 0 r Dans tout ce qu sut, on se place dans le cadre d une dstrbuton dpolare (c est-à-dre de charge totale nulle). Remarque : S l on sépare les charges du dpôle en charges postves et charges négatves, on pose (on ne trate, pour alléger, que le cas dscret) q = q >0 q et donc, pusque la. car alors P q OA P q O A = P q OA O A = P q OO = `P q OO = 0 pusque P q = 0. 6

7 charge totale est nulle q = q <0 q. Appelons A et B les barycentres respectfs des charges négatves et postves, alors le moment dpolare du dpôle peut se réécrre ans : p = q OA = OA + q OA = q OB q OA q >0 q <0 qu est le moment dpolare d une dstrbuton à deux charges q en A et q en B ; en poursuvant on arrve à p = q ( ) OB q OA = q OB OA = q AB. On peut donc remplacer une dstrbuton dpolare quelconque par la somme des charges postves concentrée en leur barycentre et la somme des charges négatves concentrée en leur barycentre et se ramener ans à la premère approche tradtonnelle du dpôle : un ensemble de deux charges ponctuelles 3 opposées placées en deux ponts proches, ben qu aucun dpôle réel ne sot ans consttué..b Champ créé à grande dstance par une dstrbuton dpolare. La formule donnant le potentel ndque une symétre de révoluton autour de la drecton du moment dpolare, pusqu en ntrodusant l angle θ entre p et OM, on a, en notant p = p : (M) = p cos θ 4 π ε 0 r r! u! e " M! e r O! p " Fgure Notatons utlsées. L expresson du champ sera donc smple en cordonnées sphérques où la drecton de p est prse comme axe Oz. Le pont M est repéré par r et θ déjà défns et enfn ϕ angle entre le plan défn par p et OM et le plan xoz (Ox est arbtrare). La base locale est notée tradtonnellement e r qu se confond avec notre u, e θ qu lu est orthogonal dans le plan défn par p et OM et e ϕ qu leur est orthogonal. On a E = grad dont les composantes sur la base locale sont : 3. C est un dpôle de Moldu, dt-on à Pouldard. E r = r = p cos θ 4 π ε 0 r 3 7

8 E θ = r E ϕ = r sn θ θ = p sn θ 4 π ε 0 r 3 ϕ = 0 Pusque E ϕ = 0, on peut se contenter d une fgure (la p. 7) dans un plan mérden. On peut préférer à l expresson du champ qu en résulte, sot : E = 4 π ε 0 r 3 ( p cos θ e r + p sn θ e θ ) une expresson ntrnsèque, c est-à-dre ne fasant pas référence à un répère partculer. Dans l expresson qu précède, r ne pose pas de problème pusque c est OM et u = OM r non plus. On peut remarquer que (cf fgure) : p = p cos θ er p sn θ e θ d où p sn θ e θ = p cos θ e r p ce qu permet d escamoter le sn θ et enfn escamoter le cos θ grâce à p u = p cos θ (rappelons que e r = u ). Allons-y : E = 4 π ε 0 r 3 [ p cos θ e r + (p cos θ e θ p )] E = 4 π ε 0 r 3 (3 p cos θ e r p ) E = 4 π ε 0 r 3 [3 ( p u ) u p ].c Surfaces équpotentelles et lgnes de champ. Surfaces équpotentelles. On a, en coordonnées sphérques (cf supra) : (M) = p cos θ 4 π ε 0 r qu ndque une symétre de révoluton autour de l axe portant le vecteur moment dpolare p ; l ntersecton de la surface avec le plan mérden sufft donc à la défnr. Il s agt d une courbe d équaton polare : p cos θ r = 4 π ε 0 = Cte cos θ 8

9 Le tracé est de routne 4, lassons fare un logcel ad hoc pour dfférentes valeurs 5 du potentel, postves ou négatves. On obtent la fgure 3 p. 9 où l ne faut surtout pas oubler que, près du pont O (là où se regroupent toutes les courbes), l approxmaton n est plus valable et le tracé non plus. Fgure 3 Quelques équpotentelles. Lgnes de champ. La symétre ndque qu une même lgne de champ est contenue dans un plan mérden. Par défnton, une lgne de champ est parallèle en chacun de ses ponts au champ électrque. Un déplacement élémentare dl = dr e r + r dθ e θ (expresson classque en coordonnées polares) est parallèle au champ E = 4 π ε 0 ( p cos θ e r 3 r + p sn θ e θ ) donc auss à cos θ e r + sn θ e θ, ce qu se tradut par : dr cos θ = r dθ sn θ dr r = cos θ dθ sn θ d où par ntégraton : ln r = ln(sn θ) + Cte r = Cte sn θ Le même logcel, ms à contrbuton, condut, avec pluseurs valeurs pour la constante, à la fgure 4 p. 0 où, là non plus, l ne faut surtout pas oubler que, près du pont O (là où se regroupent toutes les courbes), l approxmaton n est plus valable et le tracé non plus. 4. Il faut se rafraîchr la mémore sur le tracé de courbes en polares. 5. s > 0, l faut cos θ > 0 sot, à π près, π < θ < π et s < 0, l faut cos θ < 0 sot, à π près, π < θ < 3 π. 9

10 Fgure 4 Quelques lgnes de champ..d Dstrbutons quadrpolares. Certanes dstrbutons 6 de charges sont telles que q = 0 et q a = 0 ; on appelle un tel édfce un quadrpôle. En électrostatque, leur effet est en pratque néglgeable mas en électromagnétsme, les dstrbutons quadrpolares peuvent générer une onde électromagnétque (vor chaptre C-XI) et c est pourquo nous ne les passons pas sous slence c. Pour calculer une bonne approxmaton du potentel créé, l faut alors poursuvre le développement lmté, effectué c-dessus, un cran plus lon. Reprenons donc : A M = r [ ( u + r a + = r [ a r )] = ( u r a + a r ) ( u r a + a r ) ] sot en ne conservant que les termes d ordre au plus : A M = r [ u + r a a r + 3 ( u a ) ] r + 6. C est le cas, par symétre, de molécules lnéares symétrques comme CO (mas pas H O coudée) ou planes avec tros lasons à 0 comme NO 3 (mas pas NH 3 non plane). 0

11 d où par sommaton, avec q = 0 et q a = 0 et en ntrodusant artfcellement u = pour donner une allure plus homogène : (M) = 4 π ε 0 r 3 [ 3 q ( u a ) ] q a u Après quelques calculs de routne, en notant x, y et z les composantes de a et u x, u y et u z celles de u, on peut présenter le résultat comme une forme quadratque des composantes de u notée matrcellement : q (M) = 4 π ε 0 r 3 t ( u ) (Q) ( u ) où Q = ( x y z ) et analogues et où, avec une matrce symétrsée, Q = Q = q (3 x y ) et analogues. En pratque, on sat qu une forme quadratque a une matrce dagonale dans une base orthonormée ben chose, en physque celle qu respecte les symétres du problème ; dans cette base, seuls Q, Q et Q 33 sont non nuls. Remarque : notez l analoge, quoqu mparfate, avec la matrce d nerte d un solde (vor chaptre B-III). Remarque : notez que la trace de la matrce Q (c est-à-dre Q + Q + Q 33 ) est nulle, ce qu est anecdotque. Dpôle électrque «passf» Il s agt c de consdérer un dpôle subssant l acton d autres charges par l ntermédare du champ qu elles créent..a Force exercée sur un dpôle par un champ. Un dpôle est réputé tout pett. En bonne premère approxmaton, on peut consdérer que le champ E (créé par les charges autres que celles qu consttuent le dpôle) est unforme dans la régon restrente occupée par le dpôle. Par addton 7 des forces subes par les charges du dpôle, on a : F = F = q E = ( q ) E = 0 E = 0 7. ou par ntégraton pour une dstrbuton de charges, ce qu ne change pas la méthode de calcul, mas sa présentaton.

12 car la charge totale q est nulle par défnton. Lorsqu une approxmaton condut un résultat nul, celu-c n est pas valable quanttatvement (horms c le cas d un champ unforme, comme celu qu règne dans un condensateur plan) mas quanttatvement : l faut comprendre que la force est très pette. Détallons sur l une des composantes de la force, celle sur x par exemple, avec une approxmaton plus fne : F x = q E x (A ) Entre un pont O «au beau mleu du dpôle» et un pont A où se trouve la charge q la varaton de E x est assez fable pour qu on pusse l assmler à une dfférentelle, sot E x (A ) E x (O) = de x ; or une proprété du gradent est que de x = grad E x dl avec c dl = OA et le gradent calculé en O, d où E x (A ) E x (O) = de x = grad E x dl = OA grad E x Reportons dans l expresson de F x, en tenant compte que q = 0, on arrve à : F x = q E x (O)+ ( ) OA q grad E x = q E x (O)+ ( = 0 E x (O) + p grad E x = p x E x x + p y ) q OA grad E x = E x y + p E x z y L approche énergétque (cf nfra) donne une approche possble qu, cerse sur le gâteau, donnera faclement l effet de cette force ; patence!.b Moment dynamque exercé sur un dpôle par un champ. La force sube est quasment nulle, l en résulte que le moment dynamque est quasment ndépendant du pont de calcul (vor chaptre B-II en mécanque) et l on parle alors de couple. Son moment est calculé par addton des moments élémentares calculés en un même pont arbtrare nommé c O. On a donc, avec, par défnton p = q OA : Γ = M (O) = Retenons : OA q E = ( q OA E = Γ = p E q OA ) E = p E Ic le résultat est non nul et l approxmaton commse ( E unforme) donne donc un résultat acceptable.

13 Quel effet ce couple va-t-l avor? Dans la pratque un dpôle est une molécule pas ou peu déformable se comportant à peu près comme un solde et le couple le fera tourner dans le sens qu amène p vers E (vor la drecton et le sens du produt vectorel et le sens de rotaton assocé par la règle du tre-bouchon). Formellement, pusque Γ = p E = p E sn θ où θ est l angle entre p (qu tourne) et E (fxe par hypothèse), on a le même type de moment que dans le mouvement du pendule ; les névtables phénomènes dsspatfs vont aboutr à un équlbre où p se sera algné (en drecton et sens) avec E (sot θ = 0)..c Energe d nteracton entre un dpôle et un champ. Il sufft de se souvenr que l énerge d nteracton d une charge q en M et d un champ E dérvant du potentel est E = q (M). Dès lors par sommaton, on a, pour un dpôle : E = E = q (A ) Entre un pont O «au beau mleu du dpôle» et un pont A où se trouve la charge q la varaton de est assez fable pour qu on pusse l assmler à une dfférentelle (même démarche que plus haut), sot (A ) (O) = d ; or une proprété du gradent est que d = grad dl avec c dl = OA et le gradent calculé en O (on notera grad ) ; enfn O O E (O) = grad par défnton du potentel. Résumons : (A ) (O) = d = grad dl = OA grad = OA E (O) O Reportons dans l expresson de l énerge, en tenant compte que q = 0, on arrve à : E = q (A ) = ( ) = q ( q (O) OA ) E (O) = ( ) (O) q OA E (O) = 0 (O) p E (O) = p E Retenons : E = p E.d Retour sur la force exercée sur un dpôle par un champ. Imagnons que l ensemble des charges qu consttuent le dpôle est «gelé» de sorte que celu-c se comporte comme un solde, susceptble de se déplacer en translaton et rotaton sans déformaton (en partculer le module (la norme) p du moment dpolare p est constante). 3

14 On rappelle (vor chaptre B-III) que la pussance d une acton dont la résultante (force totale) est F et le champ de moment est M, applquée à un solde soums dont le centre de gravté G a une vtesse v (G) et dont le vecteur rotaton est ω est donnée par la formule : P = F v (G) + M(G) ω Imagnons mantenant un déplacement élémentare en translaton sans rotaton (cette, non seulement p mas auss p est constant), alors par défnton de l énerge potentelle, on a, en n oublant pas que, dans ce type de mouvement, tous les ponts d un solde ont la même vtesse et le même déplacement : de = δw = P dt = F v dt = F dl Par comparason avec de = grad E dl, on en dédut, en rappelant les condtons de la dérvaton : F = grad E p = Cte oyons ce que cela donne pour l une des composantes de F (les autres se tratent de la même façon), par exemple sur x : F x = E x = p = Cte x (p x E x + p y E y + p z E z ) (px,p y,p z)=(cte) E x F x = p x x + p E y y x + p E z z x où l on notera 8 que la dérvaton est par rapport à x pour les tros termes. On retrouve pas la même expresson que dans le résultat obtenu plus haut, au paragraphe.a p.. Les deux expressons de F x dffèrent de : ( Ey p y x E ) ( x Ex p z y z E ) z x qu n est autre que la composante sur Ox de p rot E, or en régme statonnare, qu est le cadre de cette étude, on sat que rot E = 0. Tout va ben, donc. Remarque : s l on magne une rotaton sans translaton autour d un axe Gz perpendculare à p et E dans le sens de E p, la même méthode condut à : de = δw = P dt = M z ω z dt = M z dθ 8. Par expérence, on commet souvent des fautes d nattenton à ce sujet. 4

15 où θ est l angle entre E (fxe) et p (en rotaton) ; d où M z condtons, E = p E = p E cos θ = p E cos θ, d où : = E θ. Or dans ces M z = p E cos θ θ = p E sn θ ce qu est une formulaton équvalente à Γ = p E ; là auss, une fos maîtrsée, la méthode est plus rapde. Remarque : Dès qu une acton dérve d une énerge potentelle, elle fat évoluer le système vers un mnmum d énerge, c de p E cos θ. Dans l hypothèse d un moment p pas ou peu varable (c est toujours le cas en fat), d un pont de vue orentaton à poston fxe (donc avec E fxe) le mnmum est obtenu pour θ = 0 sot le dpôle algné avec le champ, ce que l on a établ plus haut. Pour un dpôle orenté parallèlement au champ, l énerge est p E et dans l hypothèse d un déplacement de dpôle orenté, le mnmum est obtenu pour E maxmum. Résumons : dans un champ créé par d autres charges, le dpôle s algne avec le champ pus se drge vers les zones où le champ est fort. 3 Autres aspects du dpôle électrque. 3.a Dpôle déformable. Lorsqu un dpôle est placé dans un champ, unforme en bonne approxmaton, dans l espace qu l occupe, les charges postves sont attrées dans le sens du champ et les charges négatves dans le sens opposé, l en résulte des déplacements dans ces mêmes sens qu aboutssent, s le champ n est pas trop fort, à un nouveau équlbre nterne lorsque les forces ntéreures compensent les forces extéreures. Au cours de ce déplacement le vecteur moment dpolare vare d une valeur ntale p = q OA à une valeur p = q OA où les A A sont les déplacement des charges. Il en résulte que la varaton du moment dpolare est : p = p p = q A A Au vu des remarques précédentes les q A A sont dans le sens du champ, que la charge sot postve ou négatve et donc la varaton du moment auss. Cette varaton reçot le nom de moment dpolare ndut, l se superpose (s ajoute) au moment préexstant en champ nul, appelé dans ce contexte moment dpolare permanent (éventuellement nul pour une dstrbuton quadrpolare). Un molécule qu acquert un moment ndut sous l acton d un champ est dte polarsable (en fat, toutes le sont) et le phénomène que l on vent de décrre s appelle la polarsaton électrque. Un mleu contenant des molécules électrquement polarsables est un délectrque (en fat, tous le sont). 5

16 Le len entre champ sub et moment ndut relève de pluseurs mécansmes qu seront étudés dans le chaptre C-XII consacré aux proprétés électrques de la matère, c est-à-dre aux délectrques. La logque de mon cours autorse des copés-collés entre chaptres ; c ce n est pas pertnent, car ça alourdrat trop ce chaptre. Admettons smplement ce résultat : en général, l y a proportonnalté entre le champ et le dpôle ndut, noté plus haut p, et plus couramment p. On note tradtonnellement p = α E où α s appelle la polarsablté électrque de la molécule. Je passe volontarement sous slence les cas plus exotques. Remarque : s le champ est trop ntense, les déformatons sont s grandes qu elles condusent à la rupture, c est-à-dre l onsaton de la molécule. 3.b Forces de an der Waals Quand on consdère l nteracton entre deux dpôles, on peut étuder l acton sube par l un (en tant que dpôle passf) de la part du champ créé par l autre (en tant que dpôle actf). L applcaton des formules étables plus haut aboutt asément à des résultats mas dans la pratque, ce serat calamteux de s en satsfare béatement : en effet, l agtaton thermque vent perturber ce bel édfce, essentellement en fasant tourner les dpôles sur eux mêmes, ce qu change du tout au tout l énerge d nteracton. Un tratement thermodynamque s mpose ; l est réalsé dans le chaptre E-I consacré, entre autres, aux gaz de an der Waals. Là encore le copé-collé alourdrat trop ce chaptre. 4 Dpôle magnétque «actf». 4.a Potentel-vecteur créé à grande dstance par une dstrbuton de courants. Développement lmté. Sot un ensemble de courants réparts en volume (densté de courant au pont P notée j (P ) ou jp ) et contenus dans un volume borné de l espace dont ls ne sortent pas. On se propose de calculer le potentel-vecteur en un pont M dont la dstance à est grande devant la talle de. Ce modèle est plus complexe à gérer que la tradtonnelle boucle de courant, mas l est beaucoup plus proche de la réalté. Remarque : Dans la pratque, un dpôle est censé représenter la répartton des courants électronques dans un édfce atomque ou moléculare. En régme permanent car le dpôle est réputé fxe, le potentel-vecteur recherché est donné rgoureusement par la formule : µ 0 j (P ) d A (M) = 4 π P M 6

17 Nous allons remplacer cette expresson par une approxmaton plus pratque, par la même méthode que pour le dpôle électrque. Sot O un pont chos arbtrarement au beau mleu de la régon qu content les courants. On note r = OM et u = OM r ans que r P = OP comme sur la fgure p. 5 (où P remplace A ). On reprend sans le redémontrer le résultat établ plus haut : P M = ( u + r r ) r P + d où l on tre le résultat suvant où u et r sont relatfs au pont M où l on calcule le potentel-vecteur et où les ntégratons portent sur les coordonnées du pont P du domane où crculent les courants : A (M) = µ 0 4 π r Etude du premer terme. j P d + µ 0 4 π r j P ( u r P ) d Le premer terme est nul mas ce n est pas asé 9 à montrer mathématquement de façon smple. Le meux est de trater composante par composante. Selon Ox, la composante de j P est, en notant j pour j P et x pour x P : j x = e x j = grad x j = grad x j + x dv j = dv(x j ) où l on a utlsé dfférentes astuces : le fat que grad x = e x (l sufft d effectuer le calcul) le fat qu en régme permanent ou quas-permanent, on sat que dv j = 0 la formule d analyse vectorelle dv(f ) = grad f + f dv S l on appelle Σ la surface lmtant, au nveau de laquelle, par constructon de qu englobe les courants sans les lasser sortr, les courants sont nuls ou à la rgueur tangentels, on a, avec le théorème de Green-Ostrogradsk : j x d = dv(x j ) d = O x j d Σ = 0 Σ Il en est de même pour les autres composantes et fnalement, on a j P d = 0 On préférerat quelque chose de plus physque. On peut magner que les courants s organsent en tubes de courant fermés, assmler un de ces tubes parcouru par une ntensté 9. L étude du second l est encore mons. Un grand merc à Davd Auger pour sa préceuse collaboraton à ce calcul du potentel-vecteur. 7

18 I, unforme en régme permanent ou quas-permanent, à un courant flforme en remplaçant l élément de courant j P d par I dl. La contrbuton du tube est alors I dl = I dl = 0 pusque le crcut est fermé. Par sommaton sur tous les tubes, on obtent ben un résultat nul. Etude du second terme. Intéressons nous au terme j P ( u r P ) = j P ( r P u ) dont la stucture ne permet pas de «sortr» le terme constant u de l ntégrale. L astuce consste à partr de la formule du double produt vectorel 0. On a donc, en réorgansant l ordre des termes : j P ( r P u ) r P ( u j P ) = u ( j P r P ) Une seconde astuce, beaucoup mons mmédate consste à mettre les composantes sur les tros axes du premer membre de ce résultat, en changeant la dfférence en somme (notée S ), sous forme de la dvergence d une foncton dont le flux est nul sur Σ comme plus haut. En notant j pour j P et x pour x P, la composante S x sur x de S = j P ( r P u )+ r P ( u j P ) est : S x = j x ( r P u ) + x ( u j ) = ( e x j ) ( r P u ) + x ( u j ) = = ( grad x j ) ( r P u ) + u (x j ) = = ( grad x j + x dv j ) ( r P u ) + grad( r P u ) (x j ) = = dv(x j ) ( r P u ) + grad( r P u ) (x [ j ) = dv ( r P u ) (x ] j ) où l on a utlsé dfférentes astuces : une nouvelle fos le fat que grad x = e x une nouvelle fos le fat qu en régme permanent ou quas-permanent, on sat que dv j = 0 une nouvelle fos la formule d analyse vectorelle dv(f ) = grad f + f dv le fat que grad( r P u ) = u (l sufft d effectuer le calcul, sans oubler que vs-à-vs des dérvatons par rapport aux coordonnées de P, u, lé à M, pont où l on calcule le potentel-vecteur, est constant) une dernère fos la formule dv(f ) = grad f + f dv au «nveau de jeu supéreur» La projecton sur x de l ntégrale de S sur est : [ S x d = dv ( r P u ) (x ] j ) d = O ( r P u ) (x j ) d Σ = 0 Σ 0. Une des formulatons est a ( b c ) = b ( c a ) c ( a b ) utlsée c avec a = u, b = j P et c = r P 8

19 et de même pour les autres projectons, d où sont nuls ou à la rgueur tangentels sur Σ (cf supra). S d = 0, parce que les courants Synthèse. Le premer terme du développement du potentel-vecteur est nul, on a donc, au premer ordre non nul : µ 0 A (M) = 4 π r j P ( u r P ) d On a les deux relatons suvantes : j P ( r P u ) r P ( u j P ) = u ( j P r P ) j P ( r P u ) + r P ( u j P ) = S où l ntégrale de S est nulle. Par dem-somme pus ntégraton on en dédut : j P ( u r P ) d = u ( jp r P ) d = u ( j P r P ) d On appelle moment dpolare magnétque de la dstrbuton de courants et l on note habtuellement m la quantté (attenton à la permutaton de termes du produt vectorel) : m = ( r P j P ) d d où et j P ( u r P ) d = u m = m u A (M) = µ 0 4 π m u résultat que l on a encadré parce qu on a beaucoup souffert pour l obtenr. r Le moment dpolare est ntrnsèque. Il nous reste un pont à régler : la défnton du moment dpolare dépend d un pont orgne arbtrare O cachée par la notaton r P. Au leu d écrre : m = ( r P j P ) d 9

20 l eût été prudent de noter : m(o) = ( OP j (P )) d Nous allons montrer que m est ndépendant du chox de O, donc qu l ne dépend que de la dstrbuton. Pour cela, l sufft de monter qu avec deux orgnes O et O quelconques m(o) m(o ) = 0. En explotant un résultat ntermédare établ un peu plus haut, à savor j P d = 0, c est asé : m(o) m(o ) = [( OP = O P ) j (P )] d = ( OO j (P )) d = OO j (P ) d = 0 Désormas le dpôle sera décrt par la seule donnée de son moment dpolare qu s avère ne dépendre que de la répartton des courants et est donc une grandeur ntrnsèque. 4.b La boucle de courant, vue comme un dpôle. Un spre flforme, plane ou non, de secton néglgeable, est un cas partculer. On a vu dans le chaptre sur le magnétsme que l élément de courant j d peut être réécrt sous la forme I dl sans modfcaton de la réalté physque sous-jacente ; parallèlement l ntégrale trple de volume se tradut par une ntégrale smple curvlgne sur une courbe fermée. Sans qu l sot beson de redémontrer quo que ce sot, l on peut affrmer que dans ce contexte, le moment dpolare magnétque de la spre est défn par : m = I r P dl et que l on a toujours : A (M) = µ 0 4 π m u Une spre de courant, quelles que soent sa forme et même sa talle, pourvu qu on mesure le champ lon d elle (à une dstance grande devant sa talle), est auss un dpôle magnétque. r Autre présentaton du moment dpolare d une spre. Un élément de crcut dl est un segment P P élémentare et r P n est autre que OP. On sat alors que r P dl = OP P P est le vecteur surface du trangle OP P. Géométrquement, la juxtaposton de tous les trangles OP P reconsttue le cône de sommet 0

21 O et de base la spre et la somme des r P dl n est donc autre que le vecteur surface de ce cône. S l on se souvent que toutes les surfaces de même contour (c la spre) ont même vecteur surface, défnssant pso facto le vecteur surface S de la spre, on a donc tout smplement : m = I S Pour termner, un pett dessn sur un tcket de métro usagé sufft à monter qu ans défn, le vecteur surface est conforme à la règle du tre-bouchon applquée au sens du courant dans la spre. Indcatons sur les calculs à partr de la spre. S l on décde dans un cours de premère approche de prendre la spre comme modèle de dpôle, les calculs devennent beaucoup plus asés. Je sus part d un modèle plus réalste car l s agt c d un cours d approfondssement. Je donne c-après quelques ndcatons pour ceux qu en auraent beson. La clef est qu un élément de crcut dl est un segment P P élémentare, d où : dl = P P = OP OP = d OP = d rp Le développement du potentel vecteur aboutt par le même type de calcul à : µ 0 I A (M) = d r P + µ 0 I 4 π r 4 π r d r P ( u r P ) Le premer terme est nul car : d r P = [ r P ] fn début = 0 car le crcut est fermé et la fn en est auss le début. Pour le second terme, la formule du double produt vectorel donne c : u ( rp d r P ) = r P (d r P u ) d r P ( u r P ) sot en ntrodusant d S = r P d r P (cf supra) pus en changeant de sgne par permutaton des facteurs du produt vectorel : u d S = r P (d r P u ) d r P ( u r P ). Evdemment, s la spre est plane, on chosra la surface dans son plan, l ntégraton vectorelle se résumera alors à une ntégraton scalare.

22 d S u = d r P ( u r P ) r P (d r P u ) Par alleurs, la dérvaton d un produt de tros termes dont un constant ( u ) pus une réécrture en permutant les deux facteurs d un produt scalare donne : d [ r P ( u r P )] = d r P ( u r P ) + r P ( u d r P ) d [ r P ( u r P )] = d r P ( u r P ) + r P (d r P u ) On effectue la dem-somme des résultats des deux approches pus on ntègre sur le crcut fermé : d r P ( u ( r P ) = d ) S u + d [ r P ( u r P )] = et en multplant par le coeffcent ms de côté : A(M) = µ 0 I S u 4 π r = µ 0 4 π = S u + [ r P ( u r P )] fn début = S u m u C est plus smple et plus rapde, ben sûr, mas avec un modèle peu réalste. r 4.c Champ magnétque créé à grande dstance par une dstrbuton de courants. Calcul drect. Le champ magnétque se calcule par B = rot A, les dérvatons portant sur les coordonnées de M pont où l on calcule le champ. En coordonnées sphérques, d orgne le pont O chos au beau mleu du dpôle et en prenant Oz parallèle à m, dont on note m le module (la norme), on a, en remarquant que u n est autre que le vecteur untare radal er et avec les notatons classques : A = µ 0 4 π m u r = µ 0 4 π m e z e r r = µ 0 4 π donc de composantes A r = 0, A θ = 0 et A ϕ = µ 0 m sn θ 4 π. r B ϕ = r m sn θ e ϕ r Le formulare sur le rotatonnel en coordonnées sphérques donne c : B r = r sn θ θ (sn θ A ϕ) A θ ϕ = r sn θ θ (sn θ A ϕ) = µ 0 m cos θ 4 π r 3 B θ = A r r sn θ ϕ r r (r A θ) r r (r A ϕ) = r A r θ = 0 r (r A ϕ) = µ 0 m sn θ 4 π r 3

23 ce qu est formellement dentque au champ créé par un dpôle électrque en y remplaçant 4 π ε 0 par µ 0 4 π et p par m. Les rasons profondes de l analoge. Cette dentté formelle semble c le frut d un hasard de calcul ; nous nous proposons mantenant de montrer qu au vu de l analyse vectorelle c est une nécessté. Nous utlserons les remarques suvantes : les expressons du champ et du potentel électrques créés par une charge ponctuelle permettent d affrmer que u = grad ( r r ) la formule d analyse vectorelle rot(f ) = f rot + grad f qu devent, s est un vecteur constant comme m, la formule smplfée rot(f ) = grad f la formule d analyse vectorelle rot rot = grad dv la formule d analyse vectorelle dv(f ) = f dv + grad f qu devent, s est un vecteur constant comme m, la formule smplfée dv(f ) = grad f la formule d analyse vectorelle, valable dans le cas où est un vecteur constant, (f ) = f l équaton de Laplace (vor le chaptre sur l électrostatque) applquée au potentel électrque créé par une charge ponctuelle permet d affrmer que ( ) r = 0, sauf en r = 0, ce qu n est pas le cas à grande dstance On peut donc dre que : ( µ 0 m ) u B = rot 4 π r = µ [ ( )] 0 rot m grad = 4 π r = µ [ ( ) 0 rot grad ] m = µ 0 rot ( ) rot m = 4 π r 4 π r = µ ( ) 0 grad dv m µ ( ) 0 4 π r 4 π m = r = µ [ ( ) 0 grad grad ] m µ ( ) ( 0 4 π r 4 π m µ 0 m ) u = grad r 4 π r L analoge entre B = µ ( 0 m ) 4 π grad u et E = ( p r 4 πε 0 grad u et l on peut en transcrte pont par pont toutes les conséquences. r ) est dès lors flagrante L expresson ntrnsèque du champ magnétque créé par le dpôle sera donc : B = µ 0 4 π r 3 [3 ( m u ) u m] L équaton polare, dans un plan mérden, des lgnes de champ sera donc r = Cte sn θ. S vous n avez pas encore lu «Le hasard et la nécessté» de Jacques Monod, l n est pas encore trop tard. 3

24 5 Dpôle magnétque «passf». Il s agt c de consdérer un dpôle subssant l acton d autres courants par l ntermédare du champ qu ls créent. 5.a Force exercée sur un dpôle par un champ. Un dpôle est réputé tout pett. En bonne premère approxmaton, on peut consdérer que le champ B (créé par les courants autres que ceux qu consttuent le dpôle) est unforme dans la régon restrente occupée par le dpôle. Il sufft de sommer les forces de Laplace sur les dfférents éléments de courant, sot, selon que l on préfère le modèle volumque ou le modèle de la spre : F = j P d B ou F = I dl B ( ) j F = P d B = 0 ou F = I ( dl ) B car j P d et dl sont nuls (cf supra). Comme pour le dpôle électrque, cela sgnfe que la force est pette et qu l faut revenr sur l hypothèse du champ unforme ou trouver une autre approche, énergétque par exemple (cf nfra) s l on veut un résultat plus fn. 5.b Moment dynamque exercé sur un dpôle par un champ. La force sube est quasment nulle, l en résulte que le moment dynamque est quasment ndépendant du pont de calcul (cf chaptre B-II) et l on parle alors de couple. Son moment est calculé par addton des moments élémentares calculés en un même pont arbtrare, par exemple le pont O qu a serv au calcul du moment dpolare, d où, en notant encore r P = OP : rp ( j Γ = P d ) B ou rp ( Γ = I dl ) B En utlsant la formule du double produt vectorel, on a, selon le contexte, l une ou l autre des formules suvantes : jp Γ = ( B r P ) d rp B j P d 4

25 ou, en rappelant que dl = d r P Γ = I d r P ( B r P ) I B rp d r P De la même façon qu avec jp u ndépendant du pont P, on avat ( u r P ) = m u et I d r P ( u r P ) = m u, le premer terme des deux expressons est m B. Le second terme est nul, dans le cas flforme c est smple : rp d [ rp r P = et dans le cas volumque, on met ce terme sous forme d une dvergence d un vecteur nul en dehors du dpôle. On ne fat pas c le calcul ntégralement du même type que ceux déjà effectués, on se contente de donner quelques jalons : etc. x j x = grad ( x ] fn début = 0 r P j P = x j x + y j y + z j z ) j = grad ( x ) j + x dv ( ) x j = dv j On arrve donc à un résultat analogue à celu d un dpôle électrque dans un champ électrque : F = 0 et Γ = m B dont l effet est d algner par rotaton le dpôle sur le champ. 5.c Energe d nteracton entre un dpôle et un champ. Trouver l expresson d une énerge potentelle, c est montrer qu un traval élémentare est la dfférentelle d une foncton de la poston. On a vu dans le chaptre sur la magnétostatque que le traval des forces de Laplace est dans le cas général δw = I δϕ coupé où δϕ coupé, de par sa défnton, est certes un nfnment pett mas pas une varaton élémentare d une grandeur foncton de la poston. S le champ est statonnare, alors, ce traval a une autre expresson, δw = I dφ, où dφ est ben la varaton du flux magnétque à travers le crcut, mas I dφ n est pas en général une dfférentelle. S le champ et l ntensté sont statonnares, alors δw = d(i Φ) et U = I Φ est une énerge potentelle mécanque. N exultons pas pour autant car dans ce contexte, les phénomènes d nducton ont des effets énergétques mportants. Bref, pour des crcuts flformes, en partculer une boucle de courant, ce n est que dans le cadre du chaptre 5

26 C-II sur l nducton que l on pourra mener à ben une étude énergétque rgoureuse. Ce sera fat. Pour une répartton volumque de courant, on peut arrver à mener à ben les calculs s cette répartton est celle d un dpôle rgde, c est à dre une répartton qu se comporte comme un solde, c est-à-dre encore une répartton statonnare dans un référentel moble. C est le cas en très bonne approxmaton. Par ntégraton des pussances élémentares (c le passage par la pussance plutôt que le traval est plus asé), on obtent : P = ( j P d B ) v P Pusque le dpôle se comporte comme un solde, les dfférentes vtesses sont lées ; du reste, s ce n état pas le cas, aucun espor d en dédure quo que ce sot. On reporte donc v P = v O + ω r P où O est le pont précédemment chos comme orgne et ω le vecteur rotaton. L ntégrale se scnde en somme de deux ntégrales. La premère est : ( j P d B ) v O = v O jp d B = v O F = 0 car on a reconnu l expresson de la force calculée plus haut. La pussance recherchée est donc égale à la seconde ntégrale : P = ( j P d B ) ( ω r P ) = ( ω r P ) ( j P d B ) = [ = ω rp ( j P d ] B ) = ω rp ( j P d B ) = ω Γ = ω ( m B ) car on a reconnu l expresson du couple calculée plus haut. Ben sûr, on aurat pu retrouver ce résultat sans calcul car on sat que la pussance exercée sur un solde par un couple est ω Γ, mas c état ntéressant c d aller y vor de plus près. Reste à mettre le résultat sous la forme de la dérvée temporelle d une énerge potentelle. Il sufft de se souvenr que la dérvée temporelle d un vecteur lé à un solde, c m, est d m dt = ω m, donc dans l hypothèse d un champ magnétque statonnare : P = ω ( m B ) = B ( ω m) = B d m dt = d dt ( m B ) = d dt ( m B ) L energe potentelle d un dpôle dans un champ magnétque statonnare est donc : E = m B 6

27 Comme cette formule est formellement la même que E = p E pour un dpôle électrque, on en trera les mêmes conséquences, en partculer l attracton vers les zones de champ fort et l expresson de la force dans un champ nhomogène est : et analogues pour F y et F z. B x F x = m x x + m B y y x + m B z z x Ô mon lecteur, tu émets un murmure de protestaton car la formule de l énerge nécesste un champ statonnare. C est vra mas ça ne pose aucun problème. En effet, la force à un nstant donné ne dépend que de cet nstant, parfos du passé mas jamas de l avenr, causalté oblge. Donc s l on change, par la pensée, d avenr, on ne change ren à la valeur nstantanée de la force ; l sufft donc d magner un avenr où B est statonnare et le tour est joué! 6 Dpôle déformable. Comme pour un dpôle électrque, l acton d un champ sur un dpôle, outre les effets d orentaton et d attracton vers les champs forts, provoque des modfcatons nternes dans la répartton des courants, toutefos extrêmement fables sauf exceptons dans le cas des dpôles magnétques. La valeur du moment dpolare magnétque vare donc d une grandeur vectorelle, appelée moment ndut. Un molécule qu acquert un moment ndut sous l acton d un champ est dte polarsable (en fat, toutes le sont) et le phénomène que l on vent de décrre s appelle la polarsaton magnétque. Un mleu contenant des molécules magnétquement polarsables est un mleu magnétque (en fat, tous le sont). Le len entre champ sub et moment ndut relève de pluseurs mécansmes qu seront étudés dans le chaptre C-XII consacré aux proprétés magnétques de la matère, c est-àdre aux mleux magnétques. 7