M 4 Mouvement d une particule chargée dans un champ électrique E ou dans un champ magnétique B

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1 Mouvement d une particule chargée dans un champ électrique E ou dans un champ magnétique PCSI I Produit vectoriel Le produit vectoriel d un vecteur u avec un vecteur donne un vecteur w noté u. Le vecteur résultant possède les propriétés suivantes : direction : orthogonale à u et ; très important sens : tel que u,, w forme un trièdre direct (comme vu en SI) norme : u v = u sin( u,) (en particulier, le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est le vecteur nul) Le produit vectoriel est une opération linéaire à gauche et linéaire à droite, c est à dire : (λ a + µ b) c = λ a c + µ b c a (λ b + µ c) = λ a b + µ a c e x e e e x 0 e e e e 0 e x e e e x 0 Le produit vectoriel est antismétrique : a b = b a. Les bases usuelles sont orthonormées directes donc e x e = e ( + permutation circulaire). Il faut donc se rappeler de l ordre usuel des coordonnées : cartésien : (x,,) clindro-polaire : (r,θ,) sphérique : (r,θ,φ) On écrit ensuite les coordonnées dans le bon sens en les "répétant", puis si on fait le produit vectoriel de deux vecteurs successifs "dans le bon sens" (vers la droite), alors le signe est "+" et le vecteur est le "suivant", si on est dans le mauvais sens le signe est "-". Par exemple : x,,,x, : e }{{} e = + e x x,,,x, : e }{{} e = e x Cartésien : e e x = e Clindro-polaire : e r e = e θ Sphérique : e r e φ = e θ Exemple : (3 e x + 2 e ) 2 e x = 4 e e e x = e e θ e r = e e θ e φ = e r (3 e x + 2 e ) 3 e = 9 e 6 e x (3 e x + 2 e ) (2 e x + 3 e ) = 9 e + 4 e 6 e x ( e x ( e e )) e x = 0 car le résultat du produit scalaire de gauche est orthogonal à e x (4 e x + 2 e ) ( 2 e x e ) = 0 car les deux vecteurs sont colinéaires En cartésien (en fonction de ẋ, ẏ, ż) : (t) B e = (ẋ e x + ẏ e + ż e ) B e = Bẋ( e ) + Bẏ e x + 0 En clindro-polaire dans le cas d un mouvement circulaire (en fonction des coordonnées et de leur dérivées) : (t) ( B) e = r θ e θ ( B) e = Br θ e r + 0 1

2 M 4 II Position du problème, forces en présence 1. Hpothèses de travail Étude dans R galiléen. R E Particule M de masse m et de charge électrique q constantes. Pour un électron, m kg et q 1, C. Le poids de la particule est toujours négligeable devant les autres interactions. ODG à faire. Champ électrique E asse faible pour que la particule ne soit pas relativiste (v c). O M(m,q) Champs E et magnétique B uniformes (identiques en tout point de l espace considéré) et permanents (indépendants du temps). x Exemple : E dans un condensateur plan ou B dans un solénoïde infini en régime permanent. Définition : M subit la force de LORENTZ F L = F e + F m = q E + q B F e selon ± E selon le signe de q et F m normale au plan défini par B et : F m est toujours normale au déplacement. Exemples : F m = 0 F m q > 0 q < 0 q < 0 q > 0 F m F m q > 0 E Fm F e F L 2. Aspect Énergétique Remarque : d après le théorème de la puissance cinétique, de c dt = P( F) = F. = q E. + q( B). = q E. Seul le champ E peut modifier E c et donc la norme de la vitesse de la particule, le champ B ne peut que la dévier. Pour déterminer la vitesse (en norme) d une particule, on utilisera donc souvent le théorème de la puissance cinétique ou un théorème dérivé (énergie cinétique, énergie mécanique...). PCSI Page 2/6

3 Énergie potentielle : On considère une particule immobile au point O de charge Q et une particule de charge q (qui sera notre sstème) à une distance r de la première. Montrer que la partie électrique de la force de Lorent dérive d une énergie potentielle (on utilisera les coordonnées sphérique) F = Qq 4πǫ 0 e r 2 r et dr = dr e r + rdθ e θ + r sin θdφ e φ donc F dr = Qqdr 4πǫ 0 r 2 On cherche à résoudre de p = δw = Qqdr 4πǫ 0 d où dep = Qqdr 1 r 2 dr 4πǫ 0 donc E r 2 p (r) = Qqdr 4πǫ 0 + cte. On choisit r comme convention E p = 0 quand r donc cte = 0. Définition : On définit le potentiel électrique V tel que la variation de V entre deux points est égale à l opposé de la circulation de E sur un contour reliant ces deux points. On admet que E est à circulation conservative, c est-à-dire que sa circulation ne dépend pas du chemin choisi. B A E dr = (V (B) V (A)) E dr = dv Cette définition «ressemble» beaucoup à celle donnée pour l énergie potentielle. On remarque d ailleurs qu en multipliant les deux membres par q la charge de la particule on obtient dans le membre de gauche la circulation de F e. On en déduit que Énergie potentielle électrostatique : L énergie potentielle d une particule de charge q dans un champ électrique est simplement E p,el = qv III Particule chargée dans un champ E seul 1. Détermination de v : aspect énergétique On peut produire E constant entre deux plaques métalliques chargées et distantes de d. On a alors E orienté de l anode + vers la cathode (toujours dans le sens des potentiels décroissants) et a pour norme E = U = V A V C. d d Cathode C F = q E d U U E = U e d Vide poussé Anode A PCSI Page 3/6

4 F = q E est constant et dérive d une énergie potentielle E p telle que δw = F. dr = qed = dep avec E p () = qe + Cte Relation analogue à celle de l énergie potentielle de pesanteur E p,pes = ±mg + Cte Exemple : si un électron (q = e) part de C avec une vitesse nulle, il arrive en A avec la vitesse v A telle que, d après le théorème de l énergie cinétique, E c = W 1 2 mv2 A 1 2 mv2 C = A C F.d r 1 2 mv2 A 0 = ( e)e E c = qu v A = 2e m U 0 d d va 2 = 2e 2e Ed = m m (V A V C ) et E c (A) = eu J = U ev avec 1 ev = 1, J : énergie cinétique acquise par un électron accéléré entre deux électrodes sous une différence de potentiel de 1 V. A.N : Si U = 220 V, E c = 220 ev et v A = 8, m.s 1. L électron devient relativiste si v proche de c m.s 1 E c > 500 kev. 2. Trajectoire : application du PFD. R On peut choisir R tel que M en O à t = 0, dans O et E = E e. mẍ = 0 ẋ = 0 x = 0 mÿ = 0 ẏ = v 0 cos α = v 0 t cos α m = qe ż = qe t + v m 0 sin α = qe 2m t2 + v 0 t sin α Pour déterminer la trajectoire, on doit éliminer le paramètre t. Si α = ± π 2, MRUA. Sinon, t = v 0 cos α et = qe2 + tan α 2mv0 2 cos2 α Application : déviation d un faisceau de particules. U d 0 Cathode Parabole Anode p F q > 0 S E = U d e v S parabole Entre les deux plaques, E = U d e et E = 0 partout ailleurs. v D MRU On recherche la déviation Z sur l écran. On se retrouve dans le cas précédent avec x β E O α Z Z Écran α = 0 = qe2 2mv 2 0 = qu2 2dmv 2 0 tant que 0 p PCSI Page 4/6

5 tan β = ( ) v v S = ( ) d/dt = d/dt S Z = qup dmv 2 0 D + (p) = q m ( ) d = qup d dmv 2 S 0 p U d v 2 0 (D + p 2 ) = Z S D Utilisations : Oscilloscope car Z proportionnel à U. En plaçant une fente en Z, on peut obtenir un filtre de particules car Z proportionnel à q m ou un filtre de vitesse car Z dépend de v 0. IV Action de B 1. Aspect énergétique : conservation de l énergie cinétique Si F L = F m = q B, dec = P( F) = F. = 0 et comme m = Cte et q = Cte, v = Cte. dt Remarque : peut varier car a = F 0. m 2. Trajectoire : PFD + méthode classique ou des complexes. R On peut choisir R tel que B = B e, M en O à t = 0 et dans xo. Par utilisation du PFD v x v x 0 qbv m a = q B m v = q v 0 = qbv x v v B 0 α O Et en posant = qb m (s 1 ) la pulsation dite cclotron, v x v (1) x sstème d équations couplées suivant : v = v x (2) v 0 (3) (3) v = v 0 cos α = v 0 t cos α Pour résoudre le sstème {(1) + (2)}, on peut utiliser deux méthodes : Méthode classique : par dérivation temporelle de (1), v x = v = 2 v x en utilisant (2). On en déduit v x = Cte. cos t et comme v x (t = 0) = v 0 sin α, v x (t) = v 0 sin α cos t. En reprenant (2), on obtient v = v 0 sin α cos t et par integration, v (t) = v 0 sin α sin t + 0 Méthode des complexes on peut retrouver ce résultat en passant par l intermédiaire de calcul, qui n a pas de signification phsique, C tel que C = v x + jv Ċ = v x + j v = v jv x = jc On se ramène ainsi à une équation différentielle (complexe) : Ċ = jc C = C 0e jt et à t = 0, C = C 0 = v x0 + jv 0 = v 0 sin α d où C = v 0 sin αe jt = v 0 sin α(cos( t) + j sin( t)) = v x + jv PCSI Page 5/6

6 M 4 et par identification, v x = v 0 sin α cos t et v = v 0 sin α sin t Équations paramétriques : et en utilisant les conditions initiales, x = v 0 sin α sin t et = v 0 sin α cos t + Cte = v 0 sin α (cos t 1) = v 0 t cos α C est l équation paramétrique d une hélice de raon R = v 0 sin α 2πv 0 cos α. = v 0m sin α qb et de pas h = v 0 cos αt = Pour q < 0 R e r H e θ x t F C x α H M C Remarque : on a superposition d un MCU autour de C et d un MRU suivant O, la trajectoire de la particule tourbillonne autour de la direction du champ magnétique (lignes de champ Cf. EM). 3. Cas particulier de la trajectoire circulaire (cas au programme) Dans le cas particulier mais asse courant où est dans le plan Ox, α = π et on a un MCU dans 2 xo de raon R = v 0 = v 0m q B Vous deve être capable de retrouver rapidement le raon de la trajectoire en admettant qu elle est circulaire. On se place dans la base polaire de centre C, d après le théorème de la puissance cinétique, la vitesse est constante en norme. On a donc un MCU. L accélération s exprime facilement : a = r θ 2 e r = v 2 0/r e r. D après le PFD, qv B = m a, soit en norme (comme B et sont orthogonaux) q v 0 B = m v2 0 r d où r = mv 0 q B PCSI Page 6/6

7 4. Applications Figure ci-dessous à gauche : détermination de la quantité de mouvement (p = mv) ou de la charge d une particule dans une chambre à bulles, par mesure de R = p q B Spectrographes de masse, figure ci-dessus à droite. R dépend de M = mn A où N A est la constante d Avogadro et filtres de vitesse. Accélérateurs de particules non linéaires : exemple du cclotron. D 1 D 2 u(t) PCSI Page 7/6

8 Table des matières I Position du problème, forces en présence 1. Hpothèses de travail 2. Aspect Énergétique II Particule chargée dans un champ E seul 1. Détermination de v : aspect énergétique 2. Trajectoire : application du PFD. III Action de B 1. Aspect énergétique : conservation de l énergie cinétique 2. Trajectoire : PFD + méthode classique ou des complexes. 3. Cas particulier de la trajectoire circulaire (cas au programme) 4. Applications PCSI Lcée Poincaré