Rappel pour le cours Finance ( ) 1. Propriétés des exposants et des logarithmes

Transcription

1 Rappel pour le cours Finance ( ) 1. Propriétés des exposants et des logarithmes (Très utile pour isoler certains termes de la formule VV nn = VV 0 (1 + ii) nn )) aa 0 = 1 aa mm aa nn = aa mm+nn aa mm = aamm nn aann 1 = aa nn aann (aa mm ) nn = aa mmmm (aaaa) nn = aa nn bb nn aa bb nn = aann bb nn In(aa bb ) = bb In(aa)

2 2. Résoudre une équation Résoudre une équation, c est trouver toutes les de cette équation. Pour résoudre une équation, il suffit de la transformer en une équation équivalente plus simple, de façon à pouvoir isoler l inconnue. En mathématiques financières, une des équations fréquemment utilisée est l équation des intérêts composés : FFFF = PPPP(1 + ii) nn Dans cette équation, il y a 4 variables : 1 er cas : on cherche la valeur de FV ( ) 2 e cas : on cherche la valeur de PV ( ) 3 e cas : on cherche la valeur de i ( ) 4 e cas : on cherche la valeur de n ( ) 2

3 3. Utilisation de l équation des intérêts composés Exemple 1 a) Un investisseur place un montant de $ à la banque. Celle-ci offre un taux d intérêt i = 8 % par année. Quelle est la valeur du placement 4 ans plus tard? b) Une personne souhaite s acheter une motocyclette dont la valeur est de $. Afin d accumuler cette somme, elle place un montant VA à la banque, qu elle laisse fructifier pendant 5 ans au taux d intérêt de 7,5 % par année. Trouver VA. Remarque Le calcul des intérêts n est pas seulement fait à chaque année, dans certains cas, il peut se faire à chaque trimestre, à chaque semestre, Semestriel : taux par tranche de Trimestriel : taux par tranche de Mensuel : taux par tranche de Les méthodes de calcul demeurent les mêmes : il suffit de s assurer de travailler avec des taux cohérents avec les périodes. 3

4 Exemple 2 (voir document Utilisation d Excel_rappel.xlsx) Un individu décide aujourd hui de placer un certain montant d argent à la banque afin de pouvoir s acheter une voiture dans quelques années. a) Si l individu place aujourd hui 8 000$ dans une banque qui lui offre un taux de 4,5% capitalisation semestrielle, combien aura-t-il accumulé après 5 années complètes? Combien accumulera-t-il si la capitalisation est mensuelle? b) Si l individu place aujourd hui 8 000$ en espérant pouvoir disposer de $ après 5 années complètes et si la capitalisation est semestrielle, quel devrait être le taux d intérêt nominal offert par la banque? Quel devrait être ce taux si la capitalisation était trimestrielle? c) Si l individu place aujourd hui 8 000$ au taux de 4,5% capitalisation semestrielle, dans combien de temps aura-t-il accumulé $? d) Quel montant doit-il placer pour pouvoir disposer de $ après 5 ans si la banque lui offre un taux de 4,5% capitalisation semestrielle? 4

5 4. Rappel des formules d annuité PVA = FVA = Pour une série de n versements : La PVA est calculée au temps : Le premier paiement est effectué au temps : Donc une période avant le premier versement. La FVA est calculée au temps : Donc immédiatement après le dernier versement. Exemple 3 Un jeune diplômé d HEC décide de mettre de l argent de côté dans un compte pour faire un voyage dans un an. Il dépose 100$ le dernier jour de chaque mois dans un compte spécifique avec un intérêt au taux de 6% capitalisation mensuelle. a) Quelle est la valeur actuellement de ses 12 premiers versements? b) Quel montant aura-t-il accumulé dans un an pour son voyage? c) Quel devrait être la valeur de chaque versement s'il veut accumuler 2 500$ dans son compte après un an? d) Quelle serait la valeur actuellement de ses 12 premiers versements s ils sont faits au premier jour de chaque mois? 5

6 5. Rappel de la formule de perpétuité PVP = La PVP est calculée au temps : Le premier paiement est effectué au temps : Exemple 4 Un individu dépose 50$ le dernier jour de chaque mois dans un compte qui porte intérêt au taux annuel de 4,8%. a) Quelle est la valeur actualisée de cette perpétuité? b) Quelle est la valeur actualisée de cette perpétuité si les dépôts sont effectués au début du mois? Exemple 5 La société ABC vend des actions privilégiées ayant un dividende constant annuel de 9%. Quel dividende annuel devrait être versé pour que le prix du titre soit de 120$? 6

7 6. Exemple récapitulatif Déterminer la valeur actualisée des flux monétaires suivants à la période 0 pour un taux périodique de 2% : Période et + Flux 800$ 400$ 400$ 600$ 600$ 700$ 600$ 100$ 600$ 400$ 7

8 7. Taux équivalent Il faut toujours respecter la relation suivante : (1 + ii aaaaaaaaaaaa ) = (1 + ii ssssssssssssssssssss ) 2 = (1 + ii tttttttttttttttttttttt ) 4 = (1 + ii mmmmmmmmmmmmmm ) 12 Exemple 6: a) Soit un taux de 5% à capitalisation semestrielle. Trouver le taux équivalent pour une capitalisation mensuelle. b) Soit un taux de 7% à capitalisation trimestrielle. Trouver le taux équivalent pour une capitalisation annuelle. c) Soit un taux de 12% à capitalisation mensuelle. Trouver le taux équivalent pour une capitalisation semestrielle. d) Soit un taux de 18% à capitalisation mensuelle. Trouver le taux équivalent pour une capitalisation trimestrielle. e) Soit un taux de 6% à capitalisation trimestrielle. Trouver le taux équivalent pour une capitalisation semestrielle. 8

9 8. Valorisation d une obligation (résolution à l aide de la valeur cible d Excel) Déterminer le taux de rendement à l'échéance d'une obligation à coupon semestriel ayant une échéance de 9 ans et un taux de coupon de 12% si l obligation a une valeur au marché de 1 070$. (RAÉ = taux nominal à capitalisation semestrielle) 9

10 Annexe sur l utilisation du solveur d Excel SOLVEUR 1- Construction de la feuille d'excel 1. Déterminer la fonction que l'on doit optimiser. Ex. : On vous demande de trouver la solution au problème suivant : max ff(xx) = xx 2 yy 2 sous la contrainte 3xx + 4yy 25 = 0 Écrire dans deux cellules de colonnes différentes l'étiquette de chaque variable : 2. Les cellules sous ces étiquettes contiendront les valeurs des variables. Dans plusieurs cours, ces cellules sont identifiées par la couleur «bleue». 10

11 3. Écrire dans deux cellules de la ligne suivante «coefficient de la fonction objectif» et écrire aux endroits appropriés la valeur de chaque coefficient : 4. Choisir une cellule dans laquelle la valeur de la fonction objectif sera calculée (identifiée par une cellule jaune) et calculer la valeur de cette fonction : 11

12 5. Écrire dans deux cellules d une même ligne «coefficient de la contrainte» et écrire aux endroits appropriés la valeur de chaque coefficient : 6. Désigner une cellule qui contiendra la valeur du côté gauche (ici, c est la valeur de 3x + 4y) de votre contrainte (identifiée par une cellule orange) et calculer cette valeur : 12

13 2- Utilisation du solveur 1. Cliquer sur l onglet Données. 2. Dans le sous-menu Analyse, cliquer sur le solveur. 3. La fenêtre suivante va s ouvrir : 4. Dans l emplacement Cellule cible à définir, indiquer l adresse de la cellule contenant la valeur de la fonction objectif (cellule jaune). 5. Indiquer si vous voulez maximiser (Max) ou minimiser (Min) la valeur de cette cellule. 6. Dans l emplacement Cellules variables, indiquer l adresse des cellules contenant la valeur de vos variables x et y; ce sont les cellules bleues. 13

14 7. Dans la section Contraintes, cliquer sur ajouter. La fenêtre suivante va alors apparaître : 8. Dans l emplacement Cellule, indiquer l adresse de la cellule contenant la valeur du côté gauche de votre contrainte (cellule orange) : 9. Indiquer ensuite que vous voulez que c est une contrainte d égalité en choisissant «=» dans le menu déroulant. 10. Indiquer que vous voulez que cette contrainte soit égale à 25 en inscrivant «25» dans l emplacement Contrainte : 11. Appuyer ensuite sur «ok» pour revenir à la fenêtre du solveur. 14

15 12. Cliquer sur Résoudre et Excel vous donnera le résultat. Le résultat peut être interprété de la façon suivante : la valeur maximale de notre problème est -25; la valeur de la contrainte est de 25, c est la valeur que l on voulait; la valeur de x donnant un résultat optimal est 3 et la valeur de y donnant un résultat optimal est 4. Remarque : La procédure décrite précédemment afin d utiliser le solveur d Excel n est pas unique. Il s agit d une proposition, mais il existe plusieurs façons d entrer les données requises dans le tableur. 15