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1 EM1 : Induction électromagnétique Loi de modération de Lenz Les effets magnétiques, électrocinétiques et mécaniques de l induction s opposent à la cause qui les a produits. 1 Circuit fixe dans un champ variable 1.1 fem induite Partons de la loi de Maxwell-flux : ÖÓØ = Ø = Ë Ë ÖÓØ = Ø Ð et déterminons un flux au travers d une surface Ë : Or la grandeur Ð est homogène à une tension. Il en résulte que sur un contour fermé dans une zone de champ magnétique variable apparaît une fem dite induite Loi de Faraday Dans le cas d un circuit fermé fixe de contour orienté, placé dans un champ magnétique variable, la f.e.m induite Ò est donnée par la loi de Faraday = = ( Ë) s appuyant sur le contour, orienté selon la règle du tire bouchon Le contour doit théoriquement être fermé afin d appliquer la loi de Faraday. En pratique, on pourra l utiliser entre deux point et sur un contour quasiment refermé. Loi d Ohm généralisée Pour une portion de circuit de résistance Ê pour lequel le phénomène d induction est traduit par la fem induite, 1.2 Auto-induction Inductance propre Ù = Ê Il existe un phénomène d induction du à l apparition d un champ magnétique crée par le courant circulant dans le circuit lui-même. Ce phénomène est alors appelé auto-induction. L intensité parcourant un circuit créant un champ magnétique, celui-ci va avoir les mêmes conséquences sur le circuit qu un champ extérieur.

2 On peut quantifier cet effet : Le courant (Ø) traversant le circuit crée en tout point Å un champ (Å Ø) En orientant le contour selon le sens choisi pour (Ø), on peut calculer le flux propre pour le circuit È= Ë (Å Ø) Ë Å Or les ligne de champ sont orientées de l intérieur vers l extérieur de la surface, donc (Å Ø) Ë Å > ¼ Å Ë D autre part, en tout point Å, le champ magnétique est proportionnel à l intensité du courant (Ø) traversant le circuit. Bilan : È= Ä(Ø) On se situe ici dans le cas de Neumann : Ô (Ø)= È = Ä (Ø) Le flux du champ magnétique induit par le courant (Ø) traversant le circuit, nommé flux propre, est proportionnel à (Ø). On définit l inductance propre, L, exprimée en Henry (H) ce coefficient. Alors È= Ä(Ø) L effet sur le circuit est alors caractérisé par une f.e.m induite : (Ø) Ê Ô = Ä (Ø) Ô = Ä (Ø) Loi d Ohm généralisée Î Î = Ê+Ä ÜØ avec ÜØ : fem induite par d autres phénomènes que l auto-induction Circuit Ê Ä soumis à un échelon de tension On alimente une bobine de résistance Ê et d inductance Ä par un générateur fournissant un échelon de tension entre ¼ et. Il n existe aucun champ magnétique extérieur. Loi d Ohm généralisée : (Ø)=Ê+Ä Pour Ø>¼, (Ø)= ce qui donne avec les Á : (Ø)= Ø ½ Ê = Ä Ê

3 Le bilan de puissance nous donne P ÂÓÙÐ = Ê ¾ = Ø ¾ ½ Ê P Ò = = Ø ¾ ½ Ê P Ó =P Ò P ÂÓÙÐ = Ø ¾ ½ Ø ½ ½ Ê En réarrangeant l expression, on obtient alors Energie électromagnétique P Ó = Ä = ( ½ ) ¾ ľ Une bobine crée en tout point Å de l espace un champ magnétique (Å) auquel on associe une énergie magnétique volumique Ù Ñ = ½ ¾ ¼ ¾ (Å) L énergie totale associée au champ magnétique, et donc au phénomène d auto-induction, correspond à E Ñ = ¾ (Å) Ô ¾ ¼ Or on a vu dans l étude précédente que l énergie emmagasinée par un tel système s exprime en fonction du coefficient Ä. On peut donc comparer les deux expressions Énergie emmagasinée par la bobine Une bobine d inductance Ä emmagasine une énergie à un instant Ø telle que ½ E Ñ = ½ ¾ ľ (Ø)= ¾ (Å) Ô ¾ ¼ On peut considérer qu il s agit là d une seconde définition du coefficient d auto-induction. 1.3 Couplage magnétique de circuits Inductance mutuelle Considérons deux circuits fermés, chacun comportant une bobine. On note respectivement Æ ½ et Æ ¾ leur nombre de spire et Ë ½ et Ë ¾ leurs sections. ½ ¾

4 Ö ½ Ä ½ Ö ¾ Ä ¾ ½ (Ø) Ù ½ (Ø) Ù ¾ (Ø) ¾ (Ø) La bobine (1) crée au niveau de la bobine (2) un champ magnétique ½. Alors ½ ¾= ½ (È Ø) Ë ¾ Æ ¾ D après la loi de Biot et Savart, L intensité du champ ½ sera proportionnel, en tout point de l espace, à l intensité ½ traversant la bobine créeant le champ. On peut donc définir une céractéristique Å ½¾ de la géométrie des circuits (1) et (2) et écrire ce flux sous la forme ½ ¾= Å ½¾ ½ (Ø) De la même manière, on définit Å ¾½ tel que ¾ ½= Å ¾½ ¾ (Ø). Inductance mutuelle Deux circuits couplés sont caractérisés par leur inductance mutuelle dépendant de la géométrie des circuits Å= Å ½¾ = Å ¾½ On admet l égalité des deux grandeur (Théorème de Neumann) Alors ½ ¾=Å ½ (Ø) ¾ ½= Å ¾ (Ø) Le coefficient Å est une grandeur algébrique. En effet, si l on choisit d inverser le sens de "rotation" de l intensité dans l une des bobines, le champ crée par cette bobine changera de sens et par conséquent l effet sur la seconde sera inversé Equations électriques On a désormais pour chacune des bobines les effets cumulés de l auto-induction et de la mutuelle induction. = Ô + Ce qui donne d après la loi d Ohm généralisée vu précédemment : De même pour le second circuit. ½ Ù ½ (Ø)=Ö ½ ½ + Ä ½ + Å ¾

5 On peut donc retenir l analogie suivante : ½ ¾ ½ ¾ Å Ù ½ Ä ½ Ö ½ Aspect énergétique Ä ¾ Ö ¾ Si l on reprend l exemple précédent, on aura Ù ¾ ½ ½ = Ä ½ Å ¾ Ö ½ Ö ¾ ¾ ¾ = Ä ¾ Å ½ ½ P ÓÙÖ = Ù ½ ½ + Ù ¾ ¾ =(Ö ½ + Ä ½ + Å ¾ ) ¾ ½+(Ö ¾ + Ä ¾ + Å ½ ) ¾ Or le bilan peut également s écrire P ÓÙÖ =P ÓÙÐ + E Ñ CommeP ÓÙÐ = Ö ½ ¾+ Ö ½ ¾ ¾, on obtient par identification l énergie magnétique d un tel système ¾ L énergie magnétique d un système de deux circuits couplés, en l absence d autres sources magnétiques, s écrit E Ñ = ½ ¾ Ä ½ ¾ ½+ ½ ¾ Ä ¾ ¾ ¾+ Å ½ ¾ 2 Circuit mobile dans un champ statique fem induite On admettra que pour les circuits étudiés, la loi de Faraday et la loi d Ohm généralisée sont applicables. 2.1 Conversion électromécanique : le haut-parleur Analyse de la réponse Schéma du haut-parleur 1 Aimant Bobine Membrane Ü Aimant Bobine Ü Ressort Coupe transversale de l aimant Vue de face de l aimant 1. Ce schéma est mis à disposition sur ce site. Merci à l auteur!

6 Modélisation : Ä Ö Ù(Ø) ( Ð ¼ ) Ð ¼ Mise en équations Ü(Ø) Fem induite : = Ä Ü Équation électrique : Ù(Ø)=Ä Ü+Ö+Ä Équation mécanique : ÑĐÜ=Ä Ü Ü Bilan de puissance On exprime les puissances sous deux formes : Puissance électrique générée par la f.e.m induite Puissance des forces de Laplace Bilan des forces pour le système barre : Poids et réactions se compensent Force de rappel du ressort( Ð ¼ ) (modélisant la membrane ainsi que la pression de l air) Frottements fluides de coefficient Forces de Laplace Fonction de transfert electro-mécanique : P Ò = = Ä Ü P ÄÔÐ = ÐÔÐ Ú=+Ä Ü Ü Ù = Ä Ä ¾ ¾ +(Ö+ Ä)(+ (Ñ )) Conversion d énergie Le phénomène d induction prélève l énergie au circuit électrique pour la restituer sous forme mécanique. Ce couplage est parfait

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