ESPACES PROBABILISES FINIS
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- Marc Gervais
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1 Lycée de l'essouriau Année PCSI ESPACES PROBABILISES FINIS Exercice 1 Langage ensembliste. Trois enfants, Arthur, Béatrice et Cécile, lancent chacun un ballon en direction d'un panier de basket. Il est convenu que celui qui marquera gagnera un paquet de bonbons, et qu'en cas d'ex-aequo les vainqueurs se partageront le paquet. Si personne ne réussit son panier, chacun obtiendra le tiers des bonbons. 1. Quel espace de probabilité (Ω, P(Ω), P ) choisiriez-vous pour décrire cette expérience aléatoire? 2. En utilisant les événements : A = {Arthur marque un panier}, B = {Béatrice marque un panier}, écrire de façon ensembliste les événements suivants : C = {Cécile marque un panier}, D = {tous les trois réussissent à marquer}, E = {aucun ne réussit à marquer}, F = {Béatrice obtient tous les bonbons}, G = {les trois enfants obtiennent des bonbons}, H = {Cécile obtient au moins un bonbon}, I = {Arthur ne reçoit aucun bonbon}. 3. Ecrire les événements ci-dessus comme sous-ensembles de Ω, préciser ceux qui sont des événements élémentaires et donner l'expression de leur probabilité en fonction des probabilités notées a, b et c qu'arthur, Béatrice et Cécile respectivement marque un panier. On suppose maintenant que les enfants répètent n fois l'expérience précédente dans les mêmes conditions (on suppose que l'on dispose de n paquets de bonbons). 1. (a) Quel espace de probabilité (Ω n, P(Ω n ), P n ) choisiriez-vous pour décrire cette expérience aléatoire? (b) Ecrire l'événement J = {Cécile n'a pas gagné lors des deux premières parties} comme sous-ensemble de Ω n : 2. On s'intéresse désormais uniquement aux succès éventuels de Cécile. On suppose de plus que Cécile a une probabilité p de marquer à chaque partie. (a) Proposer un nouvel espace de probabilité. (b) Soit i {1,..., n}. Décrire dans cette nouvelle modélisation les éléments de l'événement, C i = {Cécile a gagné lors de la i-ème partie}. (c) Ecrire à l'aide des événements C i, l'événement J puis les événements suivants K = {Cécile a gagné au moins une fois lors des n premières parties} L = {Cécile a gagné au moins deux fois lors des n premières parties}. (d) Donner les événements contraires des événements J, K et L. (e) Donner les expressions des probabilités des événements J, K et L en fonction de p. 1
2 Exercice 2 On pose au hasard n 2 livres côte à côte sur une étagère. Parmi ces livres, il y en a k {2,..., n} qui sont de l'auteur M. 1. Proposer un codage de la disposition des livres de l'auteur M sur cette étagère n'utilisant que les symboles 0 et Quelle est la probabilité pour que tous les livres de l'auteur M soient côte à côte? 3. Soit r k. Quelle est la probabilité pour que tous les livres de l'auteur M soient dans les r premiers livres de l'étagère? 4. Soit l {k 2,..., n 2}. Quelle est la probabilité qu'il y ait l livres entre le livre de l'auteur M qui se trouve le plus à gauche sur l'étagère et celui qui se trouve le plus à droite sur l'étagère? Si k = 2, combien de livres est-il le plus probable de trouver entre les deux livres de l'auteur M sur l'étagère? Exercice 3 On choisit au hasard deux sous ensembles A et B d'un ensemble E à n éléments. Calculer la probababilité que : 1. A B soit un singleton. 2. A B = E. 3. A B soit un singleton. 4. A B. Exercice 4 On répartit au hasard r boules dans n cases. On s'intéresse au nombre de boules présentes dans chaque case. 1. Décrire un espace de probabilité associé à cette expérience. 2. Calculer la probabilité, notée µ r,n (k), que k boules tombent dans la case 1. Montrer que, si r et n tendent vers +, de sorte que r n tend vers λ > 0, on a : µ r,n (k) µ(k) = λk k! e λ, k N. 3. Soient r 1,..., r n des entiers tels que r r n = r. Calculer la probabilité d'obtenir r 1 boules dans la case 1,..., r n boules dans la case n. 4. Application 1 : quelle est la probabilité que parmi r personnes, au moins deux personnes aient leur anniversaire le même jour? Pour quelles valeurs de r cette probabilité est-elle supérieure à 0.5? 5. Application 2 : les messages électroniques envoyés à une entreprise sont dirigés aléatoirement vers la boîte aux lettres d'une des cinq secrétaires de l'entreprise. Quelle est la probabilité que chaque secrétaire reçoive au moins un des n messages envoyés? Exercice 5 Une urne contient 10 boules blanches, 4 noires, 6 rouges. 1. On tire au hasard 3 boules successivement et avec remise.calculer la probabilité des événements suivants : (a) Tirage contenant une noire exactement (b) Tirage bicolore (c) Tirage tricolore 2. Reprendre les questions dans le cas d'un tirage successif sans remise, puis dans le cas d'un tirage simultané. 3. On tire maintenant toutes les boules de l'urne successivement et sans remise. Calculer la probabilité que la dernière boule blanche apparaîsse au tirage numéro k 2
3 Exercice 6 Une armoire contient 10 paires de chaussure. On choisit au hasard 8 chaussures parmi les 20. Calculer la probabilité des évévnements suivants ; 1. Parmi les 8 chaussures ne gure aucune paire 2. Parmi ces 8 chaussures gure exactement une paire. 3. Parmi ces 8 chaussures gure au moins une paire? Exercice 7 Une compagnie d'assurances répartit ses clients en trois classes R 1, R 2 et R 3 : les bons risques, les risques moyens et les mauvais risques. Les eectifs de ces trois classes représentent 20% de la population totale pour la classe R 1, 50% pour la classe R 2 et 30% pour la classe R 3. Les statistiques indiquent que les probabilités d'avoir un accident au cours de l'année pour une personne de l'une de ces trois classes sont respectivement de 0, 05, 0, 15 et 0, 30. Si M. Martin,n'a pas eu d'accident dans l'année, quelle est la probabilité qu'il soit un bon risque? Exercice 8 Un service après-vente dispose d'équipes de dépannage qui interviennent auprès de la clientèle sur appel téléphonique. Les appels se produisent de façon indépendante, et la probabilité qu'un retard se produise dans le dépannage à la suite d'un appel est p = 1/4. 1. Un même client a appelé le service à 8 dates diérentes. Soit X le nombre de retards que ce client a subi. Dénir la loi de probabilité de X. Calculer E(X) et V (X). 2. On considère un ensemble de 8 clients diérents. 2 d'entre eux sont mécontents parce qu'ils ont subi un retard. On contacte 4 clients parmi les 8. Soit M le nombre de clients mécontents parmi les 4 contactés. Dénir la loi de M. La donner explicitement. Calculer E(M). Exercice 9 Une urne contient 2 boules blanches et 8 boules noires. Un joueur tire successivement n boules avec remise. S'il tire une boule blanche, il gagne 2 points, sinon il en perd 3. Soit X n le nombre de boules blanches et Y n le nombre de points obtenus. Déterminer la loi de X n, puis E(X n ) et V (X n ). Exprimer Y n en fonction de X n. En déduire la loi de Y n, puis E(Y n ) et V (Y n ). Exercice 10 Une piste rectiligne est divisée en cases numérotées 0, 1, 2,..., n, de gauche à droite. Une puce se déplace vers la droite de une ou deux cases au hasard à chaque saut. Au départ, elle est sur la case 0. Soit X n le numéro de la case occupée par la puce après n sauts et Y n le nombre de fois où la puce a sauté d'une case au cours des n premiers sauts Donner la loi de Y n, E(Y n ) et V (Y n ). Exprimer X n en fonction de Y n et n. En déduire E(X n ) et V (X n ) puis la loi de X n. Exercice 11 Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n, p). Calculer E( 1 1+X ). Exercice 12 On dispose de n + 1 urnes U 0, U 1,..., U n telles que pour tout k de {0, 1,..., n} l'urne U k contient k boules blanches et n k boules noires. On eectue des tirages d'une boule, au hasard et avec remise dans ces urnes de la façon suivante : si après les lancers de la pièce décrits dans la première question, la variable Z prend la valeur k (avec k 1), alors on tire 3
4 une par une et avec remise, k boules dans l'urne U k et l'on note X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues à lissue de ces tirages. Si la variable Z a pris la valeur 0, aucun tirage n'est eectué et X prend la valeur Déterminer X (Ω). 2. (a) Déterminer, en distinguant les cas i = 0 et 1 i n, la probabilité P Z=0 (X = i). (b) Déterminer, en distinguant les cas i = n et 0 i n 1, la probabilité P Z=n (X = i). (c) Pour tout k de {1, 2,..., n 1} déterminer, en distinguant les cas 0 i k et k < i n, la probabilité conditionnelle P Z=k (X = i). n 1 ( ) n k k 3. (a) Montrer que P (X = 0) = + 1 2n 2 n k=1 (b) Montrer que P (X = n) = 1 2 n (c) Exprimer, pour tout i de {1, 2,..., n 1}, P (X = i) sous forme dune somme que l'on ne cherchera pas à réduire. 4. Vérier, avec les expressions trouvées à la question précédente, que n i=0 P (X = i) = 1. Exercice 13 On tire, avec remise, cinq boules d'une urne contenant dix boules numérotés de 1 à 10. On note X la var égale au maximum des deux numéros obtenus et Y la var égale au minimum des cinq numéros obtenus. 1. Déterminer soigneusement X(Ω) et Y (Ω). 2. Calculer P (X k) pour k X(Ω) et P (Y k) pour k Y (Ω). En déduire les lois de X et Y. 3. Les variables X et Y sont-elles indépendantes? Exercice 14 Une urne contient n 2 boules blanches et 2 boules noires. On tire les boules une à une sans remise. Soient X et Y les variables aléatoires réelles égales respectivement au rand d'apparition de la première et de la seconde boule noire. 1. Les variables X et Y sont-elles indépendantes? 2. Déterminer la loi jointe du couple (X, Y ). 3. En déduire les lois marginales de X et Y ainsi que leus espérances et variances. 4. Calculer cov(x, Y ). Exercice 15 On considère une urne contenant quatre boules rouges et trois boules noires. On pioche une à une sans remise les boules de l'urne. Pour tout entier i [[1, 3]]On note X i le nombre de tirages nécessaires pour obtenir la ième boule noire. 1. Donner la loi de X 1 ainsi que son espérance et sa variance. 2. Expliciter la loi conjointe de (X 1, X 2 ). En déduire la loi de X On note T la variable aléatoire dénie par T = X 2 X 1. (a) Que représente T? Donner son espérance et sa variance. (b) Donner la loi conjointe de (T, X 1 ) puis la loi de T. 4. Donner la loi de X 3. 4
5 Exercice 16 On dispose de deux urnes U 1 et U 2, de six boules numérotées de 1 à 6 ainsi que d'un dé équilibré. Initialement, l'urne U 1 contient les boules numérotées 1 et 2, l'urne U 2 contient les boules numérotées 3, 4, 5 et 6. On appelle échange l'expérience consistant à lancer une fois le dé et à changer d'urne la boule portant le numéro obtenu avec le dé. Pour n N, on note X n la variable aléatoire égale au nombre de boules contenues dans U 1 après n échanges successifs. 1. Les cinq premiers lancers du dé donnent : 1, 3, 2, 3, 5. Quel est le contenu de U 1 à l'issue du cinquième échange? 2. Quelle est la loi de X 1? Calculer son espérance mathématique E(X 1 ). 3. Déterminer la loi du couple (X 1, X 2 ). En déduire la loi de X 2. Calculer la covariance du couple (X 1, X 2 ). 4. Montrer que pour tout entier n de N, on a : P (X n+1 = 0) = 1 6 P (X n = 1), P (X n+1 = 6) = 1 6 P (X n = 5) k {1,.., 5}, P (X n+1 = k) = 7 k 6 P (X n = k 1) + k P (X n = k + 1). 5. En déduire que, pour tout entier n de N : E(X n+1 ) = 2 3 E(X n) + 1. Calculer alors E(X n ) en fonction de n, puis lim n + E(X n). Exercice 17 On veut transporter entre deux villes A et B dans des conditions de confort acceptables 1600 voyageurs se présentant pratiquement en même temps à la gare de A. On met à leur disposition deux trains identiques. On suppose que chaque individu choisit au hasard l'une ou l'autre rame et qu'il n'a pas le temps d'en changer. Combien faut-il prévoir de places assises dans chaque rame si l'on veut qu'il y ait moins de 1% de chance que des voyageurs soient obligés de rester debout? (utiliser l'inégalité de Bienaymé-Chebychev pour répondre). Exercice 18 Un joueur lance une pièce équilibrée autant de fois que nécessaire. On note X N la variable aléatoire réelle discrète égale au nombre de fois où, au cours des N premiers lancers, deux résultats successifs ont été diérents (On peut appeler X N le " nombre de changements " au cours des N premiers lancers ). Par exemple, si les 9 premiers lancers ont donné successivement : Pile, Pile, Face, Pile, Face, Face, Face, Pile, Pile alors la variable X 9 aura pris la valeur 4 (quatre changements, aux 3 ième, 4 ième, 5 ième et 8 ième lancers). 1. Déterminer la loi de X 1, X 2, X 3, X Justier que X N (Ω) = {0,..., N 1}. ( ) 1 N 1 ( ) 1 N 3. Montrer que P (X N = 0) = et P (X N = 1) = 2(N 1) (a) Justier que pour tout entier k de {0,..., N 1} : P (XN =k)(x N+1 = k) = 1 2 (b) En déduire que pour tout entier k de {0,..., N 1} P (X N+1 X N = 0 X N = k) = 1 2 P (X N = k). (c) En sommant cette relation de k = 0 à N 1, montrer que P (X N+1 X N = 0) = 1 2. (d) Que représente la variable X N+1 X N. En déduire que X N+1 X N suit une loi de Bernoulli de paramètre 1 2. En déduire la relation E(X N+1 ) = E(X N), puis donner E(X N ) en fonction de N. 5. (a) Montrer grâce aux résultats 4(b) et 4(c) que les variables X N+1 X N et X N sont indépendantes. (b) En déduire par récurrence sur N que X N suit une loi binômiale B(N 1, 1 2 ). 5
6 Exercice 19 Un sac contient n billes numérotées de 1 à n. On tire une bille au hasard, on note son numéro et on la remet dans le sac. On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur ce numéro. Lorsque ce numéro estk, on tire sans remise k billes que l'on distibueau hasard dans p boites B 1,..., B p. On désigne par Y i la variable aléatoire égale au nombre de billes reçues par la boite B i (i {1,..., p}). 1. Déterminer la loi du couple (X, Y i ) pour (i {1,..., p}). 2. En déduire pour (i {1,..., p}) la loi de Y i ainsi que son espérance et sa variance. 3. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire Y i X. Exercice 20 Une urne contient 2 boules blanches et n 2 boules rouges. On eectue des tirages sans remise de cette urne. On appelle X le rang de sortie de la première boule blanche, Y le nombre de boules rouges restant à ce moment dans l'urne et Z le rang de sortie de la deuxième boule blanche. 1. Déterminer la loi de X,son espérance et sa variance. 2. Calculer E(Y ). 3. Déterminer la loi de Z ainsi que son espérance et sa variance. 4. Reprendre les questions précédentes dans le cas d'un tirage avec remise. Exercice 21 On considère une suite de lancers successifs (supposés indépendants) d'une pièce de monnaie, pour laquelle la probabilité d'apparition de pile, noté P, est p et celle de face, noté F, est q, avec 0 < p < 1 et p + q = 1, et on s'intéresse à l'apparition de deux piles consécutifs. Par exemple, si l'on considère les seize premiers lancers suivants : F P P F P P P F P F P P P P P F deux piles consécutifs sont réalisés aux rangs 3, 6, 12 et 14, mais non aux rangs 7, 13 et 15 (car un pile ne peut pas participer à la réalisation de deux piles consécutifs plus d'une fois). On notera, pour tout entier naturel n non nul : A n l'événement : deux piles consécutifs sont réalisés au rang n. B n l'événement : deux piles consécutifs sont pour la première fois réalisés au rang n. Enn on désigne par a n et b n les probabilités de ces événements A n et B n. 1. On a bien sûr a 1 = 0. Calculer de plus a 2, a 3, a Démontrer, pour tout nombre entier naturel n non nul : a n+2 = p 2 a n + qp 2. 6
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