ESPACES PROBABILISÉS CHAPITRE 7. 1 Dénombrement. 1.1 Cardinaux. Dans tout le chapitre, n désignera sauf mention contraire un entier naturel.

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1 CHAPITRE 7 ESPACES PROBABILISÉS Dans tout le chapitre, n désignera sauf mention contraire un entier naturel. 1 Dénombrement 1.1 Cardinaux Définition 7.1 Soient E et F deux ensembles. On dit que E est en bijection avec F s il existe une bijection de E dans F. E est en bijection avec F ssi F est en bijection avec E (en utilisant la bijection réciproque). On pourra donc simplement dire que E et F sont en bijection. Définition 7.2 Soit E un ensemble. On dit que E est fini s il existe un entier naturel n tel que E soit en bijection avec 1, n. Dans ce cas, n est unique et appelé cardinal de E. On le note Card E. Il faut surtout retenir que le cardinal d un ensemble fini est son nombre d éléments. Proposition 7.3 Soient E et F deux ensemble finis. Toute partie de E est finie. Card E = 0 ssi E =. Card E = Card F ssi E est en bijection avec F. Proposition 7.4 Soient n N et A 1, A 2,..., A n des ensembles finis deux-à-deux disjoints. On a Card (A 1 A n ) = Card A Card A n Lycée du Parc 851 1

2 Proposition 7.5 Lemme des bergers Soient n, k N et A 1,..., A n des ensembles finis deux-à-deux disjoints de même cardinal k. Card(A 1 A k ) = n k Sous les hypothèses du théorème (pas de mouton à cinq pattes, pas de patte partagée par plusieurs moutons), un berger peut donc déterminer le nombre de moutons en comptant le nombre de pattes (ou inversement, bien entendu). Proposition 7.6 Soient n N et E, F deux ensembles finis. Card(E F) = Card E Card F. Card(E n ) = Card(E) n s Le premier point découle du lemme du berger : en effet, E F = x E({x} F) donc E F est la réunion disjointe de Card E ensembles dont chacun est de cardinal Card F. Le deuxième point découle directement du premier. Plus généralement, si A 1,..., A n sont des ensembles finis, on a Card(A 1 A n ) = Card A 1... Card A n. Exercice 7.1 Soit E un ensemble de cardinal n N. 1. Déterminer le nombre de couples d éléments distincts de E. 2. Pour p N, déterminer le nombre de p-uplets d éléments distincts de E. Proposition 7.7 Soient E un ensemble fini et A, B E. Card A = Card E Card A Card(A \ B) = Card A Card(A B) Card(A B) = Card A + Card B Card(A B) s Si A E, alors Card A Card E avec égalité ssi A = E. Card(A B) Card A + Card B avec égalité ssi A et B sont disjoints. Théorème 7.8 Formule du crible Soient n N et A 1,..., A n des ensembles finis. n n k Card A i = ( 1)k+1 Card A im i=1 1 i 1 < <i k n k=1 m=1 Lycée du Parc 851 2

3 s Pour n = 2, on retrouve la formule Card(A 1 A 2 ) = Card A 1 + Card A 2 Card(A 1 A 2 ). Pour n = 3, on obtient Card(A 1 A 2 A 3 ) = Card A 1 + Card A 2 + Card A 3 Card(A 1 A 2 ) Card(A 1 A 3 ) Card(A 2 A 3 ) + Card(A 1 A 2 A 3 ). Il est possible de retrouver rapidement la formule générale si l on en comprend le principe. Si vous n êtes pas sûr de pouvoir le faire, il faut l apprendre... Exercice 7.2 Sur un échantillon de chats noirs, jugé représentatif de la population féline, on a dénombré 423 mâles, 655 chats à poils ras et 259 mâles à poils ras. Il y a 312 chats courageux, 148 mâles courageux, 114 chats courageux à poils ras et 58 mâles courageux à poils ras. Combien y a-t-il de femelles froussardes à poils longs? 1.2 Liens avec les applications Théorème 7.9 Soie E, F deux ensembles finis et f : E F. On a Card E = Card ( f 1 ({y}) ). y F Attention, f 1 ({y}) désigne l ensemble des antécédents de y par f (ensemble qui peut contenir zéro, un ou plusieurs éléments). f n étant pas supposée bijective, l application réciproque f 1 n existe a priori pas. Proposition 7.10 Lemme du berger, bis Soient E et F deux ensembles finis et f : E F. Si chaque élément de F admet exactement k antécédents par f, alors Card E = k Card F. Exemple 7.3 Soit E un ensemble à n éléments et p 0, n. On souhaite déterminer le nombre de parties de E à p éléments. On commence par dénombrer les p-uplets d éléments distincts de E (cf exercice 7.1), puis l on considère l application qui va de l ensemble des p-uplets d éléments distincts de E dans l ensemble des parties de E à p éléments qui à un p-uplet (x 1,..., x p ) associe la partie {x 1,..., x p }. Chaque partie {x 1,..., x p } a exactement p! antécédents par cette application, on en déduit le nombre de parties de E à p éléments grâce au lemme des bergers. Proposition 7.11 Soient E, F deux ensembles finis et f : E F. Si f est injective, alors Card E Card F. Si f est surjective, alors Card E Card F. Si Card E = Card F, alors f est bijective ssi elle est injective ssi elle est surjective. Lycée du Parc 851 3

4 Par contraposée du premier point, on obtient le principe des tiroirs : si Card E > Card F, alors il n y a pas d application injective de E dans F. Si l on range des chaussettes dans des tiroirs et qu il y a plus de chaussettes que de tiroirs, alors il y a forcément au moins un tiroir qui contient au moins deux chaussettes. Exercice 7.4 Soient n N et x 1,..., x n+1 dans [0, 1]. Montrer qu il existe deux éléments i et j distincts de 1, n tels que x i x j 1 n. Exercice 7.5 Montrer que dans un groupe de n personnes, on peut toujours en trouver 2 qui connaissent le même nombre de personnes (en supposant que si A connaît B, alors B connaît A). On pourra commencer par supposer qu il n y a pas d individu «isolé» (ne connaissant personne d autre). 1.3 Dénombrement usuels Définition 7.12 Soient E un ensemble et p N. Une p-liste d éléments de E est un p-uplet d éléments de E. Un arrangement de p éléments de E est un p-uplet d éléments distincts (deux-à-deux) de E. Une combinaison de p éléments de E est une partie de E de cardinal p. Proposition 7.13 Soient E un ensemble fini de cardinal n, p N et k 0, n. Le nombre de p-listes d éléments de E est n p. Le nombre d arrangement de k éléments de E est A k n = n(n 1)... (n (k 1)) = n! (n k)!. Le nombre de combinaisons de k éléments de E est ( n k). Si k < 0 ou k > n, il n y a bien sûr pas d arrangement ni de combinaison de k éléments de E. Ces différents types d objets correspondent à différents types de tirages. Considérons par exemple une urne contenant n boules deux-à-deux distinctes (numérotées de 1 à n par exemple) dans laquelle on effectue un tirage de p boules. Si le tirage est fait avec remise et que l on tient compte de l ordre, un tirage correspond à une p-liste (d éléments de 1, n ). Si le tirage est fait sans remise et en tenant compte de l ordre, un tirage correspond à un arrangement de p éléments de 1, n. Si le tirage est fait sans remise, sans tenir compte de l ordre (typiquement un tirage simultané de p boules), un tirage correspond à une combinaison de p éléments de 1, n. Exemple 7.6 Exercice 7.7 Choisir une main de 5 cartes dans un jeu de 32 cartes, c est effectuer un tirage simultané (i.e. sans remise et sans tenir compte de l ordre) de 5 cartes parmi 32. Il y a donc ( 32 5 ) = mains différentes. On considère des mains de 5 cartes tirées parmi un jeu de 52 cartes. Combien y a-t-il de mains avec : 1. un carré d as? 2. un carré? Lycée du Parc 851 4

5 3. un full? 4. un brelan (et pas de carré)? 5. une double paire (et ni full ni carré)? 6. exactement deux as et deux cœurs? On peut associer naturellement (et bijectivement) les p-listes d éléments de E avec les applications de 1, p dans E et les arrangements de p éléments de E avec les applications injectives de 1, p dans E. On en déduit les théorèmes suivants. Théorème 7.14 Soient E et F deux ensemble finis. On note F E l ensemble des applications de E dans F. On a alors Card ( F E) = (Card F) Card E. En particulier, si E et F sont finis, l ensemble des applications de E dans F est fini. Exemple 7.8 On considère un ensemble E de cardinal n et l on souhaite dénombrer l ensemble P(E) de ses parties. On peut remarquer que P(E) = n P k, où P k est l ensemble des parties de E à k éléments. Cette k=0 réunion étant disjointe, on a Card P(E) = n Card P k = n ) = (1 + 1) n = 2 n. k=0 On peut aussi remarquer qu on a une bijection entre l ensemble des parties de E et l ensemble des applications de E dans {0, 1} (en associant à une partie sa fonction indicatrice). On a donc Card P(E) = Card ( {0, 1} E) = (Card{0, 1}) Card E = 2 n. k=0 ( n k Proposition 7.15 Soient E et F deux ensembles finis. Si Card E Card F, le nombre d injections de E dans F est A Card E Card F. Si Card E > Card F, il n y a aucune injection de E dans F (et l on pose d ailleurs usuellement An p p > n). = 0 si Proposition 7.16 Soit E un ensemble fini de cardinal n N. Le nombre de bijections de E dans E est n!. s Une bijection d un ensemble E dans lui-même est couramment appelée permutation de E. Dans le cas particulier où E = 1, n, une permutation σ : E E est habituellement notée (σ(1),..., σ(n)). Exemple 7.9 L ensemble des permutations de 1, 3 est {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)}, où (2, 1, 3) désigne l application σ : 1, 3 1, 3 telle que σ(1) = 2, σ(2) = 1 et σ(3) = 3. Exercice 7.10 Combien y a-t-il de manières de mélanger un jeu de 32 cartes? Lycée du Parc 851 5

6 2 Espaces probabilisés Une expérience aléatoire est une expérience dont les résultats possibles sont connus a priori mais dépendent du hasard. Ces résultats possibles sont appelés issues, et l ensemble de toutes les issues est appelé univers, et noté Ω. On se limitera cette année au cas où Ω est fini. Un événement est une propriété que l issue de l expérience peut ou non avoir. On identifie un événement avec l ensembles des issues qui le réalisent : un événement sera donc une partie de Ω. Dans le cas qui nous intéresse cette année (Ω fini), l ensemble des événements sera exactement l ensemble P(Ω) des parties de Ω. Dans toute cette partie, Ω désignera un ensemble fini. 2.1 Univers et événements Définition 7.17 Ω est l événement certain. est l événement impossible. {ω}, où ω Ω est un événement élémentaire. Si A est un événement, A est l événement contraire de A. Deux événements A et B tels que A B = sont dits incompatibles. Exercice 7.11 Soient A 1,..., A n des événements d un univers Ω. Exprimer en fonction de A 1,..., A n les événements suivants. 1. Tous les A i sont réalisés. 2. L un au moins des A i est réalisé. 3. Aucun des A i n est réalisé. 4. L un au moins des A i n est pas réalisé. Définition 7.18 Soient n N et A 1,..., A n des événements. On dit que la famille (A 1,..., A n ) forme un système complet d événements (ou sce) si : n A i = Ω i=1 Les A i sont deux-à-deux incompatibles : i, j 1, n, i j A i A j =. s Pour tout événement A, le couple (A, A) est un sce. Si Ω = {ω 1,..., ω n }, alors ({ω 1 },..., {ω n }) est un sce. 2.2 Loi de probabilité Définition 7.19 On appelle probabilité (ou loi de probabilité) sur Ω toute application P : P(Ω) R + telle que : P(Ω) = 1 ; si A et B sont incompatibles, alors P(A B) = P(A) + P(B). s Étant donné une expérience aléatoire, le choix d une probabilité sur les événements est une modélisation de l expérience aléatoire. En cela, ce n est pas une activité purement mathématique. Lycée du Parc 851 6

7 On appelle espace probabilisé fini un triplet (Ω, P(Ω), P), où Ω est un ensemble fini, P(Ω) l ensemble de ses parties et P une probabilité sur Ω. Proposition 7.20 Soit P une probabilité sur Ω. P( ) = 0 A Ω, P(A) = 1 P(A) A Ω, 0 P(A) 1 A, N Ω, A B P(A) P(B) A, B Ω, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) On a donc P(A B) P(A) + P(B) avec égalité ssi A et B sont incompatibles. Exercice 7.12 On considère un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P) et deux événements A et B tels que P(A) = 1 2 et P(B) = Donner un encadrement de P(A B) et de P(A B). 2. A et B peuvent-ils être incompatibles? 3. Déterminer quand P(A B) = 1 4. Proposition 7.21 Soient (Ω, P(Ω), P) un espace probabilisé, n N et A 1,..., A n des événements deux-à-deux incompatibles. P(A 1 A n ) = n P(A i ) i=1 Théorème 7.22 Soient n N, Ω = {ω 1,..., ω n } et p 1,..., p n R. Si i 1, n, p i 0 n p i = 1 i=1 alors il existe une unique probabilité P sur Ω telle que P(ω i ) = p i pour tout i de 1, n. La réciproque est vraie et découle directement des propriétés qui précèdent. Exercice 7.13 On lance un dé truqué tel que, pour k 1, 6, la probabilité d obtenir k soit proportionnelle à k. Quelle est la probabilité d obtenir un nombre pair? Proposition 7.23 Soient (A 1,..., A n ) un système complet d événements et P une probabilité sur Ω. P(A 1 A n ) = 1 B Ω, P(B) = n P(A i B) i=1 Lycée du Parc 851 7

8 Théorème 7.24 Formule du crible Soient n N, A 1,..., A n des événements et P une probabilité sur Ω. n P(A 1 A n ) = ( 1)k+1 k=1 1 i 1 < <i k n k P A im m=1 2.3 Équiprobabilité Définition 7.25 Soit P une probabilité sur Ω. On dit qu il y a équiprobabilité, ou que P est uniforme, si ω Ω, P({ω}) = 1 Card Ω Proposition 7.26 Soit P une probabilité sur Ω. On suppose que P est uniforme. On a alors, pour tout événement A, P(A) = Card A Card Ω s nombre de cas favorables Usuellement, on retient que, en situation d équiprobabilité, P(A) = nombre de cas possibles. En situation d équiprobabilité, déterminer la probabilité d un événement A revient donc à dénombrer A et Ω. En pratique, on choisira souvent Ω de manière à avoir l équiprobabilité (cf exemple 7.14). Exemple 7.14 On lance simultanément deux dés identiques et équilibrés et l on fait la somme des résultats obtenus. On souhaite déterminer la probabilité d obtenir 10. A priori, on pourrait être tenté de poser Ω = 2, 12. L événement «obtenir 10» est alors l événement élémentaire {10}, mais comme on n est pas en situation d équiprobabilité, on ne peut pas directement déterminer sa probabilité. Il est plus judicieux de «faire comme si» on effectuait deux tirages successifs et de poser Ω = 1, 6 2. Cette fois, l expérience est correctement modélisée par la probabilité uniforme sur Ω. On a Card Ω = 36, et en notant A l événement «obtenir 10», on a A = {(6, 4), (5, 5), (4, 6)}, d où P(A) = Card A Card Ω = 3 36 = Lycée du Parc 851 8

9 3 Probabilités conditionnelles Dans toute cette partie, Ω désignera un ensemble fini et P une probabilité sur Ω. 3.1 Conditionnement 3.1.a Définition 7.27 Probabilité de A sachant B Soient A, B Ω tels que P(B) 0. On définit la probabilité de A sachant B par P(A B) = P B (A) = Les notations P B (A) et P(A B) sont interchangeables. Si P(B) 0, on a donc P(A B) = P(B) P(A B). Théorème 7.28 P(A B) P(B) Soit B un événement tel que P(B) 0. L application P B : P(Ω) R A P B (A) est une probabilité sur Ω. Cela signifie que P B a les propriétés d une loi de probabilité. Par exemple, on a P B (A) + P B (A) = b Théorème 7.29 Probabilités composées Probabilités composées Soient n N et A 1,..., A n des événements tels que P(A 1 A n ) 0. On a k 1, n, P(A 1 A k ) 0 ; P(A 1 A n ) = P(A 1 ) P(A 2 A 1 ) P(A 3 A 1 A 2 ) P(A n A 1... A n 1 ). Exercice 7.15 Une urne contient 3 boules vertes, quatre boules rouges, cinq boules bleues et six boules noires. On tire successivement trois boules sans remise. Quelle est la probabilité d obtenir successivement des boules de couleur verte, rouge et bleue? 3.1.c Théorème 7.30 Probabilités totales Probabilités totales Soient n N et (A 1,..., A n ) un système complet d événements tel que P(A i ) 0 pour tout i de 1, n. B Ω, P(B) = n P(B A i ) = i=1 n P(A i ) P(B A i ) i=1 Lycée du Parc 851 9

10 En particulier, si P(A) {0, 1}, pour tout B Ω, P(B) = P(A)P(B A) + P(A)P(B A). Exercice 7.16 Une urne contient 10 dés. 4 de ces dés sont normaux, les autres sont équilibrés mais ont deux faces marquées 6 et aucune face marquée 1. On prend un dé au hasard dans l urne et on le lance. Quelle est la probabilité d obtenir 6? 3.1.d Proposition 7.31 Formule de Bayes Formule de Bayes Soient A, B Ω tels que P(A)P(B) 0. P(B A) = P(A B)P(B) P(A) Proposition 7.32 Formule de Bayes, bis Soient (A 1,..., A n ) un système complet d événements tel que i 1, n, P(A i ) 0 et B un événement tel que P(B) 0. On a i 1, n, P(A i B) = P(B A i)p(a i ) n P(B A j )P(A j ) En particulier, si P(A) 0 et P(A) 1, alors j=1 P(B A)P(A) P(A B) = P(B A)P(A) + P(B A)P(A) Exercice 7.17 Exercice 7.18 Une urne contient 10 dés. 4 de ces dés sont normaux, les autres sont équilibrés mais ont deux faces marquées 6 et aucune face marquée 1. On prend un dé au hasard dans l urne et on le lance. On obtient 6. Quelle est la probabilité que le dé soit truqué? Une maladie affecte une personne sur mille. On dispose d un test de dépistage qui a les caractéristiques suivantes : si la personne est malade, le test a une fiabilité de 99% ; si la personne est saine, le test a une fiabilité de 99,5%. On choisit un individu au hasard dans la population et le test a un résultat positif. Quelle est la probabilité que l individu soit effectivement porteur de la maladie? 3.2 Indépendance Définition 7.33 Deux événements A et B sont dits indépendants si P(A B) = P(A)P(B). Lycée du Parc

11 Le fait que deux événements soient indépendants dépend du choix de la probabilité P (et donc de la modélisation que l on fait de l expérience aléatoire). Exercice 7.19 On dispose d une urne contenant deux pièces. On choisit au hasard l une des pièces et on la lance deux fois de suite. On considère les événements suivants : A : «on obtient face au premier lancer» ; B : «on obtient face au deuxième lancer». Les événements A et B sont-ils indépendants : 1. si les deux pièces sont équilibrées? 2. si l une des pièces est équilibrée et l autre truquée (avec une probabilité 1/3 d obtenir face)? Proposition 7.34 Soient A et B deux événements tels que P(B) 0. A et B sont indépendants ssi P(A B) = P(A). Proposition 7.35 Soient A et B deux événements. Si A et B sont indépendants, alors A et B sont indépendants ; A et B sont indépendants. Définition 7.36 Soient n N et A 1,..., A n des événements. A 1,..., A n sont dits mutuellement indépendants si, I 1, n, P A i = P(A i ). i I i I s Deux événements sont mutuellement indépendants ssi ils sont indépendants. Si des événements A 1,..., A n sont mutuellement indépendants, alors ils sont deux-à-deux indépendants. Attention, des événements A 1,..., A n peuvent être deux-à-deux indépendants sans être mutuellement indépendants (cf exercice 7.20). Exercice 7.20 On lance deux fois de suite un dé à six faces équilibré. On considère les événements suivants : A : «le premier chiffre obtenu est pair» ; B : «le deuxième chiffre obtenu est pair» ; C : «la somme des deux chiffres obtenus est paire». Montrer que A, B et C sont deux-à-deux indépendants, mais pas mutuellement indépendants. Lycée du Parc

12 Définition 7.37 Soient Ω 1,..., Ω n des ensembles finis et P 1,..., P n des probabilités sur Ω 1,..., Ω n respectivement. Il existe une unique probabilité sur Ω 1 Ω n, appelée probabilité produit telle que (A 1,..., A n ) P(Ω 1 ) P(Ω n ), P(A 1 A n ) = n P(A i ) i=1 Cette probabilité produit est adaptée au cas où les n expériences aléatoires sont mutuellement indépendantes, ce qui en règle générale ne peut pas se prouver (c est du domaine de la modélisation). Si par exemple on joue n fois de suite à pile ou face, on supposera que les lancers sont indépendants (la pièces n a pas de mémoire...) et l on modélisera l expérience par l espace {P, F} n muni de la probabilité produit. Lycée du Parc

13 Travaux dirigés Dénombrement Exercice 7.21 Combien y a-t-il d anagrammes du mot «chat»? Du mot «abracadabra»? Exercice 7.22 On monte un escalier en grimpant à chaque pas soit une soit deux marches. On note p n le nombre de façons d enchaîner les pas de une et deux marches pour monter un escalier de n marches. 1. Déterminer, pour n N, une relation entre p n, p n+1 et p n+2. Exercice En déduire l expression de p n en fonction de n. On veut répartir en trinômes les 45 élèves d une classe. De combien de manières différentes cette répartition peut-elle se faire? Exercice 7.24 On considère un entier naturel n et n points distincts du plan. On relie ces points deux-à-deux par des arêtes soit rouges soit bleues. 1. De combien de manières peut-on colorier les arêtes? Exercice On considère un groupe de n personnes. Montrer que si n 6, il est toujours possible de trouver 3 personnes parmi les n telles que soit les 3 personnes se connaissent toutes, soit aucune des trois ne connaît aucune des 2 autres. 3. Le résultat de la question précédente reste-t-il valable pour n = 5? Combien y a-t-il de n-uplets (x 1,..., x n ) 1, n n tels que max k 1,n x k = n? Exercice 7.26 Soit n N. Combien y a-t-il de triplets (x 1, x 2, x 3 ) d entiers naturels tels que x 1 + x 2 + x 3 = n? Exercice 7.27 Soit Ω l ensemble des entiers naturels formés de 4 chiffres pris dans {1, 2, 3, 4, 5}. On considère les parties de Ω : A des nombres formés de 4 chiffres distincts ; B des nombres qui ont exactement un chiffre doublé ; C des nombres qui ont exactement deux chiffres doublés ; D des nombres qui ont exactement un chiffre triplé ; E des nombres formés de 4 fois le même chiffre. 1. Dénombrer les ensembles Ω, A, B, C, D et E. 2. Calculer la somme des éléments de Ω. Lycée du Parc

14 Probabilités Exercice 7.28 On considère une classe de n élèves. Pour chaque élève, on suppose que chaque jour de l année a la même probabilité d être le jour de son anniversaire et l on considère que l année comporte 365 jours. 1. a. Calculer la probabilité qu au moins deux élèves de la classe aient leur anniversaire le même jour. Exercice 7.29 b. À partir de quelle valeur de n cette probabilité devient-elle supérieure à 0,5? à 0,8? 2. Déterminer la probabilité qu au moins un élève soit né le même jour que le professeur. n femmes et n hommes s assoient autour d une table. Quelle est la probabilité qu on ait une alternance parfaite homme-femme? Exercice 7.30 On considère un groupe de n personnes. Tout le monde dépose ses clés dans une urne, puis chacun récupère un trousseau au hasard. 1. Quelle est la probabilité que tout le monde ait la bonne clé? Exercice Quelle est la probabilité que personne n ait la bonne clé? On utilisera la formule du crible. On considère une urne contenant n jetons numérotés de 1 à n (n 2). On tire successivement tous ces jetons, sans remise, et l on note (x 1,..., x n ) la liste des résultats obtenus. Pour i 1, n, on dit que l instant i est un instant record si le i-ème jeton tiré est plus grand que tous ceux tirés précédemment (en particulier, l instant 1 est forcément un instant record). 1. Pour 1 i n, calculer la probabilité que l instant i soit record. 2. Calculer la probabilité qu il y ait au cours des n tirages a. exactement 1 instant record ; b. n instants records ; c. exactement 2 instants records. Probabilités conditionnelles Exercice 7.32 Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules noires. On tire successivement trois boules sans remise. Quelle est la probabilité d obtenir la suite «rouge, noir, rouge»? Exercice 7.33 Exercice L un de mes voisins a deux enfants, dont (au moins) une fille. Quelle est la probabilité qu il ait un fils? 2. Mon autre voisin a aussi deux enfants, dont la plus âgée est une fille. Quelle est la probabilité qu il ait un fils? On dispose de deux dés A et B. Le dé A a 4 faces blanches et deux faces noires, le dé B 2 faces blanches et 4 faces noires. On lance une pièce truquée qui tombe sur «face» avec une probabilité 1 4. Si l on obtient «face», on joue uniquement avec le dé A. Si l on obtient «pile», on joue uniquement avec le dé B. Lycée du Parc

15 Exercice Quelle est la probabilité d obtenir «blanc» au premier lancer? 2. Les résultats des lancers successifs sont-ils a priori indépendants? 3. Quelle est la probabilité d obtenir «blanc» au troisième lancer? 4. On a obtenu «blanc» aux deux premiers lancers. Quelle est la probabilité d obtenir «blanc» au troisième lancer? 5. On a obtenu «blanc» aux n premiers lancers (n 1). Déterminer la probabilité p n d avoir obtenu «face» au lancer de pièce. On dispose de deux pièces : la pièce A est équilibrée, la pièce B donne face avec une probabilité 3 4. On commence par choisir l une des deux pièces au hasard, puis, après chaque lancer, si l on obtient face, on conserve la pièce pour le lancer suivant ; si l on obtient pile, on change de pièce. On effectue ainsi une suite de lancers. Exercice Pour n N, on note p n la probabilité de jouer avec la pièce A au n-ième lancer. Montrer que (p n ) est arithmético-géométrique, et en déduire la valeur de p n pour n N. 2. Déterminer pour n N la probabilité d obtenir face au n-ième lancer, puis la limite de cette probabilité quand n +. On considère une urne blanche contenant une proportion a de boules blanches et une urne noire contenant une proportion b de boules noires (a, b ]0, 1[). Ces deux urnes ne contiennent que des boules noires et des boules blanches. On effectue une suite de tirages avec remise dans ces urnes en commençant par l urne blanche et en tirant ensuite dans l urne de la couleur de la boule que l on vient de tirer. 1. Calculer la probabilité p n de tirer une boule blanche au n-ième tirage. 2. Déterminer la limite de p n quand n +. Lycée du Parc

16 Exercice 7.37 Études Combinaisons avec répétitions Un enfant dispose de n euros et souhaite les dépenser pour acheter des bonbons choisis parmi p types différents mais de même prix ; un euro pièce. L objet de cet exercice est de déterminer le nombre d(n, p) de façons de dépenser l intégralité de ces n euros. Attention, rien n oblige l enfant à acheter au moins un bonbon de chaque type. 1. Déterminer d(n, 1) et d(n, 2). 2. On suppose dans cette question que p = 3. On note n 3 le nombre de bonbons du troisième type achetés. a. Quelles sont les valeurs possibles de n 3? b. L entier n 3 étant fixé, combien y a-t-il de manières différentes de dépenser l argent restant pour acheter des bonbons des deux autres types? c. En déduire la valeur de d(n, 3). 3. a. En discutant le nombre de bonbons du p + 1-ème type achetés, montrer que d(n, p + 1) = n d(n k, p) k=0 b. Montrer par récurrence sur n que s N, n ( ) ( ) s + k n + s + 1 = s s + 1 k=0 Exercice 7.38 c. En déduire que d(n, p) = ( ) n+p 1 n. d. Retrouver directement ce résultat en codant un achat par un mot formé de n fois la lettre o et p 1 fois la lettre. 4. On suppose désormais que l enfant ne dépense pas forcément tout son argent (il achète néanmoins au moins un bonbon). Combien d achats différents peut-il effectuer? Marche aléatoire Une puce se déplace sur un carré ABCD. Elle se trouve sur le sommet A à l instant 0, et à chaque étape elle saute vers l un des deux sommets adjacents avec une probabilité 1 3 pour chaque sommet, ou reste sur son sommet actuel avec probabilité 1 3. Ainsi, si à un instant donné la puce se trouve sur le sommet D, elle se trouvera à l instant suivant sur l un des sommets A, C ou D avec probabilité 1 3 pour chacun des sommets. Pour n N, on note A n l événement «la puce se trouve sur le sommet A à l instant n (i.e. après n sauts)» et a n la probabilité de cet événement. On définit de même les événements B n, C n et D n et les probabilités b n, c n et d n. 1. Donner les relations de récurrence reliant, pour n N, les probabilités a n+1, b n+1, c n+1 et d n+1 à a n, b n, c n et d n. 2. On définit les matrices M = B = 3M I 4 J = K = a. Réécrire les relations trouvées à la question précédente sous forme d une équation matricielle. Lycée du Parc

17 b. Montrer que, pour n 1, on a Exercice 7.39 c. En déduire que pour n 1, on a M n = 1 3 n I B n = 2 n 2 J + ( 1) n 2 n 2 K. (1 13 n ) J (( ) n 1 3 d. En déduire les expressions de a n, b n, c n et d n en fonction de n. ( ) n ) 1 K. 3 e. Déterminer les limites de ces expressions quand n tend vers +. Comment interpréter ce résultat? En étudiant le stationnement à Lyon, on a constaté que : un véhicule sur dix est en stationnement irrégulier ; parmi ces infractions aux règles de stationnement, les trois quarts sont dues à des contrevenants volontaires ; les véhicules en stationnement régulier, ainsi que ceux en infraction involontaire, ont une chance sur quarante d être contrôlés ; les véhicules des contrevenants volontaires, garés stratégiquement, n ont eux qu une chance sur soixante d être contrôlés. On notera I l événement «le véhicule est stationné irrégulièrement» ; V l événement «le véhicule est stationné irrégulièrement de manière volontaire» ; C l événement «le véhicule est contrôlé» Justifier que la probabilité qu un véhicule en stationnement irrégulier soit contrôlé vaut 160, i.e. que P I (C) = Quelle est la probabilité qu un véhicule en stationnement soit contrôlé? 3. Cécile a reçu une contravention pour stationnement irrégulier. Quelle est la probabilité qu elle ait volontairement commis une infraction N 4. Nicolas est un contrevenant volontaire compulsif : il se gare tous les jours sans payer le stationnement, sauf s il a été verbalisé la veille. Pour n N, on note N n l événement «Nicolas est un contrevenant volontaire le jour n» et l on suppose que Nicolas fraude le jour 0. On pose p n = P(N n ). a. Pour n N, exprimer p n+1 en fonction de p n. b. En déduire l expression de p n en fonction de n puis la limite de p n quand n +. Lycée du Parc

18 Dénombrement Exercice 7.40 Exercices supplémentaires On considère deux points A et B situés sur une grille régulière sur laquelle A a pour coordonnées (0, 0) et B (n, p), où n et p sont dans N.. On appelle chemin monotone de A à B un chemin reliant A à B suivant la grille et tel que le déplacement à chaque «pas» se fasse soit vers la droite, soit vers le haut. Le schéma suivant montre deux chemins monotones possibles de A à B (avec n = 4 et p = 3). Exercice 7.41 Exercice Dénombrer les chemins monotones de A à B. 2. On considère un point C(l, k) avec 0 l n et 0 k p. Déterminer le nombre de chemins monotones reliant A à B en passant par C. 3. On se place à présent dans le cas n = p. En considérant les points C k (k, n k) pour k 0, n et en dénombrant de deux manières les chemins monotones de A à B, retrouver la formule de Van der Monde : n k=0 ( ) 2 n = k ( ) 2n n 1. De combien de manières peut-on payer 2ne en n utilisant que des pièces de 1e ou 2e? 2. De combien de manières peut-on payer 1e en n utilisant que des pièces de 1, 2 ou 5 centimes? On considère un carré de taille n. 1. Combien y a-t-il de carrés inscrits dans ce carré de taille n? Par exemple, pour n = 2, on a 4 carrés de taille 1 et 1 carré de taille 2, donc 5 carrés au total. Pour n = 3, on a au total 14 carrés... Exercice 7.43 Exercice Combien y a-t-il de rectangles inscrits dans le carré? 1. Combien y a-t-il d entiers d exactement 10 chiffres? 2. Combien y a-t-il d entiers d exactement 10 chiffres ne contenant pas de 8? 3. Combien y-a-t-il d entiers d au plus 10 chiffres ne contenant pas de 0? Soient E un ensemble de cardinal n et A une partie de E de cardinal p. 1. Dénombrer les parties B de E telles que A B. 2. Dénombrer les parties B de E telles que A B =. Lycée du Parc

19 Exercice Dénombrer les parties B de E telles que Card(A B) = 1. De combien de manières peut-on paver un rectangle de taille 2 n avec des dominos de taille 2 1? Exercice 7.46 On a représenté ici les 3 pavages possibles pour n = 3. Un groupe de n personnes souhaite aller voir un film pour lequel deux séances sont proposées. 1. De combien de manières différentes peuvent-ils se répartir entre les deux séances si chacun va à exactement l une des deux séances? 2. Même question s il on considère que certains peuvent souhaiter aller aux deux séances (chacun va à au moins l une des deux séances). Probabilités Exercice 7.47 On considère un groupe de 2n personnes constitué de n hommes et n femmes. On tire successivement et sans remise 2 personnes au hasard parmi les membres du groupes, jusqu à avoir choisi tous les individus. Quelle est la probabilité que tous les couples ainsi tirés soient constitués d un homme et d une femme? Exercice touristes arrivent dans une ville contenant 3 hôtels, dans lesquels ils se répartissent de manière aléatoire. 1. Quelle est la probabilité qu ils soient tous dans le même hôtel? Exercice Quelle est la probabilité que l un (au moins) des hôtels soit vide? 3. Quelle est la probabilité qu exactement l un des hôtels soit vide? Deux enfants, prénommés Alice et Bob, se trouvent de part et d autre d une rivière et jouent à se passer une balle. À chaque fois qu Alice a la balle, elle tente de la passer à Bob et y parvient avec une probabilité de ; avec une probabilité de 10, la balle tombe dans la rivière. Il en est de même pour Bob, sauf que sa probabilité de succès n est que de 4 5. La rivière étant infestée de piranhas et animée d un courant violent, il est malheureusement impossible de récupérer une balle qui y serait tombée. Alice commence avec la balle. Au bout de n étapes, quelle est la probabilité que la balle soit dans les mains de Bob? Exercice 7.50 On dispose de deux urnes, la première contenant 1 boule noire et 4 boules blanches et la deuxième 2 boules noires et 3 boules blanches. On choisit au hasard l une des deux urnes puis l on effectue des tirages avec remise dans cette urne (qui est choisie une fois pour toutes). Lycée du Parc

20 Exercice Quelle est la probabilité que la première boule tirée soit blanche? 2. Les événements «tirer une boule blanche en premier» et «tirer une boule blanche en deuxième» sont-ils indépendants? 3. Quelle est la probabilité d obtenir une boule blanche au deuxième tirage? 4. On obtient une boule blanche au n-ème tirage. Quelle est la probabilité d obtenir une boule blanche au n + 1-ème tirage? 5. On n a obtenu que des boules blanches lors des n premiers tirages. Quelle est la probabilité que la n + 1-ème soit également blanche? Quelle est la limite de cette probabilité quand n tend vers +? On dispose de m dés à 6 faces équilibrés. On les lance une première fois, on met de côté ceux qui ont amené 6 et l on relance les autres. On laisse de nouveau de côté ceux pour lesquels on obtient 6 et l on relance les autres, et ainsi de suite jusqu à obtenir m On fixe un dé et l on note A n l événement «le dé est lancé au plus n fois». Calculer P(A n ). Exercice Déterminer la probabilité de l événement B n : «on obtient les m 6 en au plus n lancers». 3. Déterminer la probabilité de l événement C n : «on obtient les m 6 en exactement n lancers». Un candidat joue à un jeu télévisé dont la règle est quelque peu contre-intuitive : il a face à lui 3 portes ; derrière l une de ces portes se trouve une voiture, derrière les deux autres un Kleenex ; il commence par désigner l une des 3 portes ; le présentateur ouvre alors l une des deux autres portes, derrière laquelle se trouve un Kleenex (ce qui est toujours possible) ; le candidat a donc à présent deux portes devant lui, celle qu il a déjà désignée et une autre ; le candidat choisit alors l une de ces deux portes, que le présentateur ouvre, et gagne ce qui se trouve derrière cette porte. Le candidat a donc essentiellement deux stratégies : soit il choisit la même porte les deux fois, soit il change de porte. Ces deux stratégies se valent-elles, ou l une est-elle meilleure que l autre? On fera l hypothèse que le candidat préfère gagner une voiture qu un Kleenex. Lycée du Parc