Intégrales généralisées.

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1 Chpire Inégrles générlisées. I. Inrodcion. e pr sie e pr sie Nos svons qe >, lim + d = +. Nos svons églemen qe > lim + d =. d = ln d = +, Nos écrirons De même, nos écrirons d = +, e nos dirons qe l'inégrle diverge. d =, e nos dirons qe l'inégrle converge. Considérons le problème de convergence sivn: d. Nos voyons, qe dns ce cs, on ne éde à fire voisinge de e ne éde à fire voisinge de. Por cel, on édier séprèmen les de inégrles d e e on fer endre vers. Il s'vère qe d, por <, d = [Arc sin ] e pr sie, comme Arc sin end vers π, on voi qe cee première inégrle es convergene. De même, on des conclsions nloges por l deième inégrle. On concl lors qe l'inégrle iniile es convergene e on écri d = π.

2 II. Déniions e eemples Déniions: Soi f ne foncion dénie sr n inervlle de l forme [, b[ vec b +. On di qe f es loclemen inégrble sr [, b[ si f es inégrble sr o inervlle fermé borné conen dns [, b[. Soi f ne foncion dénie e loclemen inégrble sr n inervlle de l forme [, b[ vec b +. On di qe l'inégrle de f sr [, b[ es convergene si l foncion F dénie sr [, b[ pr F () = f()d end vers ne limie l nie lorsqe end vers b. Cee limie es l'inégrle générlisée de f sr [, b[. On écri f()d = l. Eemples: Comme l'inégrle es convergene e on e d = e, e lim + e =, e d =. En ee, Pr conre,, <, e l divergence résle d fi qe d diverge. d = [ ln( )], lim ln( ) =. Déniion. Soi f ne foncion dénie e loclemen inégrble sr n inervlle de l forme ], b[ vec < b + e c n élémen qelconqe de ], b[. On di qe l'inégrle de f sr ], b[ es convergene si chcne des inégrles c f()d, e c f()d es convergene. On noer qe l déniion es indépendne d choi de c.

3 Mises en grde:. Il se pe qe α α f()d, por α >, ende vers ne limie nie lorsqe α + sns qe l'inégrle f()d soi convergene. considérer ne foncion impire conine. Pr eemple, + d =, >. En ee, il s de d diverge lors qe. Si f es ne foncion dénie, loclemen inégrble e bornée sr ], b[, on pe rmer direcemen qe f()d es convergene. En ee, on pe prolonger f en e en b pr n'impore qelles vlers, l'eisence de l'inégrle ser ssrée cr, en fi, l foncion es inégrble sr [, b]. Comme eemple, on porr édier l foncion sin( ), por ], ]. Clcl priqe: Lorsqe f es conine sr ], b[, si F es ne primiive de f, F () = c f()d, por < c < b, lors l'inégrle f()d es convergene si e selemen si F dme ne limie nie à droie en e ne limie nie à gche en b e on F (b ) F (+) = f()d. Remrqe: L formle de chngemen de vrible perme de rmener dns cerins cs l'éde de l convergence sr n inervlle non borné à n inervlle borné. L formle d'inégrion pr pries pe êre ssi d'ne grnde ilié por édier l convergence de cerines inégrles. Eemple : ln d es convergene. Grâce à ne inégrion pr pries e en se plçn d'bord sr n inervlle de l forme [, ] vec < <, on ln d = [ ln()] d = [ ln() ]. On voi bien qe lorsqe end vers, l'inégrle end vers ne limie nie. Pr conséqen, l'inégrle converge. Eemple : Por o n, I n = n e d es convergene e v n!. 3

4 En ee, on se plce d'bord sr n inervlle de l forme [, ] vec > sr leqel on pe éblir, grâce à ne inégrion pr pries, ne relion de récrrence enre I n e I n+ qi es I n+ = (n + )I n vec I =. L convergence de I n enrine celle de I n+. III. Crières génér de convergence: Soi f ne foncion loclemen inégrble sr ], b[ e c n élémen qelconqe de ], b[, on noe F () = c f()d. On rppelle qe l convergence de f()d éqiv à l'eisence de l limie à droie F (+) e de l limie à gche F ( ). d'bord éblir des résls vlbles por les foncions posiives. Nos llons. Cs d'ne foncion posiive loclemen inégrble: On se plce sr n inervlle de l forme [, b[, le cs d'n inervlle de le forme ], b] se rmène cs précéden vec n chngemen de vrible convenble. Soi f ne foncion loclemen inégrble e posiive sr [, b[, on noe F () = f()d. On rppelle qe l convergence de F (b ). f()d éqiv à l'eisence de l limie à gche Proposiion: Si F es mjorée lors l'inégrle es convergene. Sinon, on f()d = +. Crières de comprison: Soien f e g son de foncions posiives, loclemen inégrbles sr [, b[ vérin f() g(), [, b[, lors - Si - Si g()d converge lors f()d diverge lors f()d converge. g()d diverge. Remrqe: Il s de spposer f() g() voisinge de b. Eemple : f() = e e g() = e vérien f() g() por o [, ] vec > qelconqe. L proposiion précédene ssre l convergence de e d. Eemple : π d es divergene. sin 4

5 Por cel, on < sin < ], π ] e pr sie sr le même inervlle Comme π sin. d diverge, pr conséqen π d diverge ssi. sin. Cs d'ne foncion loclemen inégrble qelconqe: Dns ce qi si, f désigne ne foncion dénie loclemen inégrble sr l'inervlle considéré, non nécessiremen posiive. Proposiion: I = [, b[ e l'inégrle considérée es noée f()d. f()d converge si e selemen si por oe sie ( n) n convergene vers b, l sie (F ( n )) n dénie pr F ( n ) = n f()d es convergene. Démonsrion: Si l'inégrle es convergene, lors por oe sie ( n ) n convergene vers b, l sie (v n ) n dénie pr v n = n f()d end vers f()d. Inversemen, si ( n ) n e (y n ) n son de sies convergenes vers b, les sies (F ( n )) n e (F (y n )) n son nécessiremen convergenes vers l même limie.(sinon on porri consrire à prir de ( n ) n e de (y n ) n ne re sie (z n ) n convergene ssi vers b mis por lqelle (F (z n )) n seri divergene.) Crière de Cchy: Soi f ne foncion loclemen inégrble sr [, b[. f()d es convergene si e selemen si ε >, δ >,, v ;, v ]b δ, b[ ; f()d < ε. Si b = +, lors on remlcer, v ]b δ, b[ pr, v > δ. Démonsrion: Por l première implicion, on écri f()d = f()d f()d f()d + En pssn vlers bsoles e en mjorn, on obien: f()d < f()d f()d + 5 f()d f()d. f()d < ɛ.

6 Inversemen, si l'inégrle de f vérie le crière de Cchy, cel signie qe por oe sie ( n ) n convergen vers b, l sie (F ( n )) n es de Cchy donc convergene vers ne limie. De pls, cee limie ne dépend ps de l sie de ( n ) n choisie. Ainsi, F dme bien ne limie nie en b ce qi impliqe l convergence de l'inégrle. 3. Convergence bsole e semi convergence: Déniion: Soi f ne foncion loclemen inégrble sr n inervlle over o semi over I d'erémiés e b, on di qe l'inégrle de f sr I es bsolmen convergene si f() d converge. Le crière de comprison por les foncions posiives perme de dédire le héorème sivn: Théorème: S'il eise ne foncion ϕ elle qe f() ϕ() I e ϕ()d convergene, lors f()d es bsolmen convergene. e Eemples:. ln sin d es bsolmen convergene. En ee, ln d = ln sin d ln d, lnd qi converge d'près n eemple déjà rié.. Ede de l convergence de sin d. On se plce donc sr n inervlle de l forme [, ], vec >, e on fi ne inégrion pr pries: D're pr, Ce qi prove bien qe sin d = [ cos ] cos d cos d. cos d d [ ]. sind es convergene modlo l proposiion sivne. Proposiion Si ne inégrle converge bsolmen lors elle converge. 6

7 Démonsrion L convergence de l'inégrle en o en b résle d crière de Cchy: f() d f() d, ceci por o cople (, v) I. Pr sie, pisqe le crière de Cchy es vérié pr f, il ser vérié pr f e donc l'inégrle es convergene. Remrqe imporne L réciproqe es fsse en générl comme le monre l'eemple sivn. sin d es convergene sns êre bsolmen convergene. Nos rierons pls rd ce eemple. 4. Foncions éqivlenes: Proposiion: Soien f e g de foncions dénies, loclemen inégrbles e qi grden n même signe consn sr n inervlle I = [, b[. Si f e g son éqivlenes voisinge de b lors f()d, e g()d son de même nre. Démonsrion: On rppelle qe de foncions son éqivlenes voisinge de b s'il eise n voisinge de b de l forme ]b η, b[ e ne foncion ψ dénie sr ce voisinge els qe f() = g()( + ψ()) vec lim b ψ() =. Sr n voisinge convenble, e en spposn, pr eemple, f e g posiives, on donc g() f() 3 g(). On voi bien qe l convergence por f impliqe l convergence por g e l divergence por f impliqe l divergence por g. Eemples:. n d es de même nre qe d. D'près le résl précéden, il s de vérier qe les foncions f e g dénies pr f() = / e g() = / n son éqivlenes e grden n signe consn voisinge de (où se pose le problème de convergence.). cos d es divergene cr 7 d es divergene.

8 En ee, les foncions correspondnes son éqivlenes voisinge de +. Mise en grde: Le résl précéden n'es pls vlble por les foncions ne grdn ps n signe consn. On déjà vérié qe sin ( + sin )d diverge ln sind converge mis bien qe les foncions ssociées soien éqivlenes voisinge de +. sin ln sin d es divergene, en ee ln sin (k + )π ln((k + )π) por [kπ, (k + )π], en sommn les inégrles sr k, on obien l divergence de l'inégrle qi résle de l divergence de n k= (k + )π ln((k + )π). (Eercice) L proposiion sivne donne d'res crières qi permeen dns cerins cs de rier rpidemen le problème de convergence. Proposiion:. Soi f ne foncion loclemen inégrble sr n inervlle de l forme ], b] vec ni. On sppose q'il eise α IR el qe lim ( ) α f() eise e v k. - Si α <, lors f()d converge bsolmen. - Si α e k, f()d diverge.. Soi f ne foncion dénie e loclemen inégrble sr n inervlle de l forme [, + [. On sppose q'il eise α IR el qe lim + α f() eise e v k. - Si α > lors f()d es bsolmen convergene. - Si α e k lors f()d es divergene. Eemples: On pe édier les inégrles de Riemnn e de Berrnd à l'ide de ces crières. Por on pe rover α vec β < α < el qe d, si β <, β lim α β =, 8

9 ce qi ssre l convergence de l'inégrle lorsqe β <. Por les inégrles de Berrnd, c'es à dire de l forme d, β vec ], b[=], [ o ], b[=], [, ( ln ) γ e si on se plce dns le cs = e b =, on pe donner les vlers de β e de γ por lesqelles l'inégrle de Berrnd es convergene. Le cs = e b = + se rie de l même mnière. (Eercice.) 5. Inégrles semi convergenes. Règle d'abel. Règle d'abel: Soi f ne foncion loclemen inégrble sr n inervlle de l forme [, + [, posiive, décroissne e elle qe f() end vers lorsqe vers +. Soi g ne foncion loclemen inégrble sr [, + [. On sppose q'il eise n réel M > el qe [, + [, g()d M, lors f()g()d es convergene. Démonsrion Por monrer l convergence, on v iliser le crière de Cchy por l convergence des inégrles e l deième formle de l moyenne. On se plce sr n inervlle [, v] [, + [ e on considère f()g()d. D'près l deième formle de l moyenne, il eise n poin c [, v] el qe f()g()d = f(+) Ainsi f()g()d = f(+) c Pr sie, si ε >, lors por ssez grnd, on r c f()g()d < ε. g()d. g()d M f(+). Le crière de Cchy es vérié e donc l'inégrle es convergene. Eemples:. Nos vons déjà v qe sin d es convergene en ilisn ne inégrion pr pries. Le crière d'abel perme d'boir à l même conclsion. En ee, d'ne pr l foncion 9

10 es loclemen inégrble, posiive décroissne e end vers lorsqe + e d're pr on ébli fcilemen qe Pr pplicion de l règle d'abel, d sin d ; (c, d) IR. c sind es convergene. Remrqe: Cee inégrle n'es ps bsolmen convergene. Por voir cel, on se plce sr des inervlles de l forme I n = [nπ, (n + )π], vec n IN. Por o I n, sin sin e pr sie (n+)π (n+)π nπ sin d (n+)π sin d (n + )π nπ (n + )π. L dernière inéglié pe êre obene en disingn les cs n pir o n impir, e en inégrn selon le cs f() = sin o f() = sin. Chsles, on obien: nπ On rerove l sie hrmoniqe qi diverge. π n sin d k= (k + )π. Enn, en ilisn l relion de. Por édier l convergence de sin ( 3 )d, e n d'iliser l règle d'abel, on fi d'bord n chngemen de vrible en posn = 3 qi perme d'obenir On pose f() = 3 /3 e g() = sin. On lors l convergence de l'inégrle pr pplicion de l règle d'abel. sin d. 3/3 6. Comprison séries-inégrles. Théorème Soi f ne foncion posiive, décroissne e loclemen inégrble sr [, + [. On considère l sie o série ( n ) n dénie pr f()d e ( n ) n son de même nre. n n = f(k). k=

11 Démonsrion. On n n n f()d k f()d. k= Por voir cel, il s de considérer n k= k comme l'inégrle d'ne cerine foncion en esclier, c'es à dire comme somme de srfces de recngles. L décroissnce de f donne lors l doble inéglié précédene. Ainsi, si l'inégle converge lors l sie es convergene cr croissne e mjorée. Inversemen, si l sie converge lors l'inégrle es mjorée. Pisqe f es posiive, l'inégrle converge. es Eemple e n L sie ( k= + k= k ln(k) ) n es divergene. + k ln(k) ln() d d = [ln( ln() )]+ = +. ln() Remrqe Por voir l convergence, ne condiion nécessire mis non ssne lim + f() =. En ee end vers mis d es divergene.