Intégrale Simple. par Alain Prouté Université Denis Diderot Paris 7

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1 Ce ours peut être librement opié et distribué. L version l plus réente peut être télérgée à prtir de : ttp:// Prière d dresser les remrques, orretions ou suggestions à l uteur : lp@mt.jussieu.fr Tble des mtières Intégrle Simple. pr Alin Prouté Université Denis Diderot Pris 7 Préliminires.. Quelques questions de topologie Le téorème des roissements finis Fontions réglées Intégrle d une fontion réglée. 5. Définition Primitives Teniques de lul Mjortion des intégrles Applition ux nombres omplexes Primitives des frtions rtionnelles Exeries Intégrles générlisées Convergene et ritère de Cuy Critère d Abel Exeries Intégrles dépendnt d un prmètre Cs d un intervlle ompt Cs d un intervlle non ompt Un exemple Exeries Solution des exeries. 6 Tble des mtières Nous tritons ii l intégrle de Cuy, est-à-dire l intégrle de Riemnn restreinte ux seules fontions réglées. Cei suffit à ouvrir les besoins de l intégrtion élémentire. Dns tout e pitre, [, b] ( b) désigne un intervlle ompt de R, et I un intervlle quelonque de R. On prendr grde u fit que ertins résultts ne sont vlbles que sur des intervlles ompts.

2 Intégrle Simple. Préliminires.. Quelques questions de topologie. Une fontion f, définie sur un intervlle I de R et à vleurs dns un espe métrique E, en x une limite à droite, notée f(x + ), si f(x + ) = lim x x x>x f(x). On une notion nlogue de limite à gue, notée f(x ) : f(x ) = lim f(x). x x x<x Remrque : f est ontinue en x si et seulement si f(x + ) = f(x ) = f(x ). Rppellons le lemme de Lebesgue, dont on ur besoin à plusieurs reprises. Téorème. (Lemme de Lebesgue) Soit A une prtie ompte d un espe métrique E, et soit (U i ) i I une fmille de prties ouvertes de E, telle que A i I U i. Alors il existe un réel ρ stritement positif (ppelé nombre de Lebesgue pour le reouvrement donné), tel que toute boule ouverte de ryon ρ ynt son entre dns A soit ontenue dns l un des ouverts de l fmille (U i ) i I. Risonnons pr l bsurde, et supposons qu ussi petit que soit ρ, il existe une boule ouverte de ryon ρ ynt son entre dns A et non ontenue dns l un des ouverts de l fmille. Alors, pour tout entier n, il existe une boule B(x n, n ), de entre x n et de ryon n, telle que x n soit dns A, et qui n est ps ontenue dns l un des ouverts de l fmille. L suite (x n ) un point d umultion γ dns A (pr définition des ompts). Comme l fmille d ouverts ouvre A, il existe un ouvert de l fmille qui ontient γ, et qui ontient don une boule B(γ, ε) de entre γ, et de ryon ε >. Coisissons n ssez grnd pour que, d une prt l distne de x n à γ soit plus petite que ε, et d utre prt n soit lui-même plus petit que ε. Alors, l boule B(x n, ) est ontenue dns l boule B(γ, ε), don dns l un des ouverts de l fmille, e qui ne n se peut ps. Corollire. (Téorème de Borel-Lebesgue) Soit A une prtie ompte d un espe métrique E, et soit (U i ) i I une fmille d ouverts de E reouvrnt A. Alors il existe une prtie finie J de I, telle que l fmille (U i ) i J reouvre A. Risonnons pr l bsurde, et supposons qu uune sous fmille finie de (U i ) i I ne suffise à ouvrir A. Soit ρ > un nombre de Lebesgue pour le reouvrement donné. On v onstruire pr réurrene une suite {x n } n N de points de A, telle que p N q N p q d(x p, x q ) ρ. Cei impliquer qu uune sous suite de l suite {x n } n N ne peut onverger et don que A n est ps ompt. Comme l sous fmille vide de (U i ) i I ne reouvre ps A, A n est ps vide et ontient don un point x. Supposons mintennt x,..., x n ontruits, tels que d(x p, x q ) ρ pour tous p et q tels que p < q n. Pour que p, tel que p n, l boule ouverte de entre x p et de ryon ρ est ontenue dns l un des ouverts (ppelons le U p ) de l fmille d ouverts (U i ) i I. Comme les ouverts U,..., U n ne surient reouvrir A, il existe un point x n+ dns A dont l distne à un des x,..., x n est u moins ρ. Rppelons églement le téorème suivnt de prolongement pr ontinuité (dpté ii ux pplition lipsitziennes). Téorème. (Téorème du prolongement pr ontinuité) Soient E et F des espes métriques, D une prtie dense de E, et f : D F une pplition k-lipsitzienne. On suppose F omplet. Alors, il existe

3 Intégrle Simple. 3 une unique pplition ontinue f : E F, prolongent f (i.e : telle que x D f(x) = f(x)), et ette pplition est k-lipsitzienne. Soit x un point quelonque de E. Comme D est dense dns E, il existe une suite (x n ) de points de D qui onverge vers x. Cette suite est évidemment de Cuy, puisqu elle onverge. L suite (f(x n )) est lors une suite de F, qui est de Cuy r f est k-lipsitzienne (vérifition isée). Elle onverge don vers un élément de F que l on noter f(x). Cette onstrution est indépendnte du oix de l suite (x n ). En effet, si (x n) est une utre suite onvergent vers x, lors d(x n, x n) tend vers qund n tend vers l infini, et omme f est k-lipsitzienne, il en est de même de d(f(x n ), f(x n)). L fontion f : E F est don bien définie. Il reste à montrer qu elle est k-lipsitzienne (e qui impliquer qu elle est ontinue). Soient x et y des points de E, (x n ) et (y n ) des suites de points de D onvergent respetivement vers x et y. Alors, pour tout ε >, il existe n ssez grnd pour que d(f(x), f(x n )) < ε, d(f(y), f(y n )) < ε, d(x, x n ) < ε et d(y, y n ) < ε. On lors d(f(x), f(y)) d(f(x), f(x n )) + d(f(x n ), f(y n )) + d(f(y n ), f(y)) ε + kd(x n, y n ) ε + k(ε + d(x, y)) Comme ε est rbitrire, on voit que f est k-lipsitzienne. L uniité de f ontinue prolongent f est onséquene immédite de l ontinuité et du fit que D est dense dns E.. Le téorème des roissements finis. On onnit bien sûr le téorème des roissements finis pour des fontions à vleurs dns R : Téorème. Soit [, b] ( < b) un intervlle ompt de R non réduit à un point, et f : [, b] R une pplition ontinue sur [, b], dérivble sur ], b[. Alors il existe ], b[, tel que f(b) f() b = f (). Ce téorème (qui résulte filement du téorème de Rolle) n dmet qu une version plus fible pour les fontions à vleurs dns un espe de Bn quelonque : Téorème. (Téorème des roissements finis) Soit F un espe de Bn, [, b] ( b) un intervlle ompt de R, et f : [, b] F une pplition ontinue sur [, b], dérivble sur ], b[ et dont l dérivée est bornée sur ], b[. On lors : f(b) f() b sup x ],b[ f (x). Le résultt étnt trivil pour = b, on peut supposer < b. Posons M = Il suffit de montrer que b pprtient à l ensemble A suivnt : sup x ],b[ A = {x [, b] f(x) f() x M + ε(x + )}. f (x). Soit ε >. En effet, si b A, on f(b) f() b M + ε(b + ), et omme ε est rbitrire, on le résultt nnoné. A n est ps vide, puisqu il ontient. Il est pr illeurs mjoré pr b et don une borne supérieure γ telle que γ b. A est fermé, puisque les deux membres de l inéglité lrge f(x) f()

4 4 Intégrle Simple. x M + ε(x + ) qui le définit sont des fontions ontinues de x. γ pprtient don à A. De plus, A ontient un voisinge de, pr ontinuité de f en ( est à el que sert le + dns l définition de A). On voit don que < γ. Comme γ A, il suffit mintennt de montrer que γ = b. Supposons γ < b. Alors γ ], b[, et f est dérivble en γ. Il existe don un η >, tel que pour < η, on it : f(γ + ) f(γ) f (γ) < ε. On lors, pour < < η : f(γ + ) f() f(γ + ) f(γ) + f(γ) f() M + ε + γ M + ε(γ + ) = γ + M + ε(γ + + ), est à dire γ + A, e qui ontredit le fit que γ est l borne supérieure de A..3 Fontions réglées. Définition. Une fontion f définie sur un intervlle quelonque I de R, et à vleurs dns un espe de Bn E, est dite réglée, si elle dmet en tout point intérieur à I une limite à gue et une limite à droite, insi qu une limite à droite en inf(i) si elui-i est dns I et une limite à gue en sup(i) si elui-i est dns I. Définition. Une fontion f définie sur [, b], et à vleurs dns un espe de Bn E, est dite en eslier, si elle est lolement onstnte, suf en un nombre fini de points de [, b]. L réunion de deux ensembles finis étnt un ensemble fini, il est lir que l somme de deux fontions en eslier est enore une fontion en eslier. On vérifie lors filement que l ensemble des fontions en eslier définies sur [, b] et à vleurs dns E est un espe vetoriel réel. Si on note x,..., x n, les points où l fontion en eslier f n est ps lolement ontnte, (ve x < < x n ), on voit que f est onstnte dns que intervlle ]x i, x i+ [ (pour i < n). Remrque : Une fontion en eslier est réglée. Une fontion ontinue est réglée. Une fontion en eslier sur [, b] est bornée, puisqu elle ne prend qu un nombre fini de vleurs. On rppelle que l norme de l onvergene uniforme (sur l espe des fontions bornées définies sur l intervlle I et à vleurs dns un espe vetoriel normé E), est définie pr : f = sup f(x). x I Le fit que f soit bornée sur I ssure que ette définition bien un sens. Téorème. Pour tout ε >, et toute fontion réglée f sur [, b] à vleurs dns l espe de Bn E, il existe une fontion en eslier g définie sur [, b], et à vleurs dns E, telle que f g soit bornée, et f g < ε. Remrque : ei implique que toute fontion réglée sur un intervlle ompt [, b] est bornée. Pour tout point de [, b], posons f( ) g (x) = f() f( + ) si x < si x = si x > Pr définition des limites à gue et à droite, il existe un intervlle ouvert non vide V de entre, tel que x V f(x) g (x) < ε.

5 Intégrle Simple. 5 En ppliqunt le lemme de Lebesgue à l fmille (V ) [,b], on voit qu il existe un entier n, tel que un des intervlles U i =] + i i + (b ), + n n (b )[ ( i < n) soit ontenu dns l un des V, disons V i. L fontion g égle à g i stisfisnt l inéglité f g < ε. sur U i, et à f en un des points + i (b ) est une fontion en eslier n On noter E([, b], E) l ensemble des fontions en eslier sur [, b] à vleurs dns E, C([, b], E) l ensemble des fontions ontinues sur [, b] à vleurs dns E, et R([, b], E) l ensemble des fontions réglées sur [, b] à vleurs dns E. Tous es ensembles sont des sous-espes vetoriels de l espe vetoriel des fontions bornées sur [, b] à vleurs dns E, et sont don tous des espes vetoriels normés. Le téorème i-dessus peut enore s exprimer insi : E([, b], E) est dense dns R([, b], E). Intégrle d une fontion réglée.. Définition. Commençons pr définir l intégrle d une fontion en eslier. Définition. Soit g : [, b] E une fontion en eslier (où E est un espe vetoriel normé) onstnte et égle à y i sur un des intervlles ]x i, x i+ [ ( i < n, x = et x n = b). L intégrle de g sur [, b] est définie pr : g(t)dt = (x i+ x i )y i. et Dns l expression Il est file de vérifier que : i<n f(t)dt, l vrible t est muette. De plus, l intégrle est linéire, est à dire que : omme on le vérifie filement. g(t)dt + g(t)dt (b ) g. (t)dt = αg(t)dt = α (g + )(t)dt g(t)dt, Il en résulte imméditement que l fontion de E([, b], E) vers E définie pr g g(t)dt est une pplition linéire ontinue, dont l norme est inférieure ou égle à b. En fit s norme est extement b, omme on peut le onstter en intégrnt une fontion ontnte sur [, b]. Cette pplition est don (b ) lipsitzienne. En onséquene, d près e qui été prouvé préédemment, elle se prolonge d une fçon unique en une pplition (b )-lipsitzienne de R([, b], E) vers E, que l on note enore f f(t)dt.

6 6 Intégrle Simple. L linérité est onservée grâe à l ontinuité de l somme et de l multiplition pr un réel. Ce qui vient d être dit vut don pour toute fontion réglée. L intégrle vérifie de plus les reltions suivntes f(t)dt + f(t)dt = f(t)dt ( ) b L f(t)dt = b b f(t)dt = f(t)dt f(t) dt f(t)dt L(f(t))dt l première pouvnt être prise omme une définition, puisque nous vons supposé dès le début que < b, et où L est une pplition linéire ontinue. En effet, es reltions sont lirement stisfites pr les fontions en eslier. Elle sont don stisfites pr toutes les fontions réglées pr densité de E([, b], E) dns R([, b], E), r que membre de es églités est fontion ontinue de f.. Primitives. Définition. Soit I un intervlle quelonque de R, et f : I E une fontion réglée. On ppelle primitive de f sur I, toute fontion de l forme où C est un réel et x un point de I. x C + x x f(t)dt Il est isé de onstter que deux primitives quelonques de f ne diffèrent que d une onstnte. En effet C + x x f(t)dt C x x f(t)dt = C C + x x f(t)dt. L dernière expression i dessus est une onstnte, puisqu elle ne dépend ps de x. L fontion x L expression x x f(t)dt est l seule primitive de f qui s nnule en x. f(t)dt sert à désigner une primitive quelonque de f. Cette expression n est bien définie que modulo l jout d une fontion onstnte (si on est sur un intervlle ; en générl elle n est bien définie que modulo l jout d une fontion lolement onstnte). Aussi, pour rppeler ette indétermintion, note-t-on f(t)dt + C une primitive de f, où C désigne une onstnte indéterminée. Il est immédit que si F est une primitive quelonque de f, on f(t)dt = F (b) F ().

7 Intégrle Simple. 7 (Formule de Stokes). L expression F (b) F () est souvent notée [F (x)] b, ou si une onfusion est à rindre [F (x)] x=b x=. Lemme. Toute primitive F de l fontion réglée et bornée f sur I est f -lipsitzienne sur I (don en prtiulier ontinue). Cei résulte imméditement de F (y) F (x) = y x f(t)dt y x f. Lemme. Toute primitive F de l fontion réglée f est dérivble en tout point de I en lequel f est ontinue, et en un tel point x, on F (x ) = f(x ). En effet, on F (x) F (x ) f(x ) x x = x x x x f(t)dt f(x )dt x x x = x x (f(t) f(x ))dt x Soit ε >. On un η > tel que f(t) f(x ) < ε dès que t x < η. Alors, pour x x < η, l dernière expression i-dessus est mjorée pr ε. Remrque : Une primitive n est don ps néessirement une fontion dérivble prtout. Penser pr exemple à une primitive de fontion en eslier. Toutefois, elle est ontinue prtout. En prtiulier, si f est ontinue en tout point de I, lors une primitive quelonque de f est dérivble en tout point de I, et s dérivée est f. Voii l réiproque de ette ssertion. Lemme. Si F est ontinuement dérivble sur I, lors elle est une primitive de s dérivée. En effet, soit x un point de I. L dérivée de (notez que l ontinuité de F implique que l intégrle à un sens) x x g(x) = F (x) F (t)dt x est x F (x) F (x), et est don nulle. Il en résulte que g est une fontion onstnte (téorème des roissements finis), et que F (x) est de l forme C +.3 Teniques de lul. x x F (t)dt. Le dernier lemme nous donne bon nombre de primitives, puisqu il suffit de lire à l envers une tble de dérivées, pour voir une tble de primitives. Pr exemple, π sin(x)dx = [ os(x)] π =. On retiendr en prtiulier les primitives suivntes. dx dx = Ar tg(x) + C = Ar sin(x) + C + x x dx = Arg s(x) + C + x L règle de dérivtion d un produit (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) nous donne : f (t)g(t)dt = [f(t)g(t)] b f(t)g (t)dt

8 8 Intégrle Simple. (intégrtion pr prties). Noter que f et g sont supposées être à vleurs dns une lgèbre de Bn (qui peut être R), pour que le produit it un sens. Soit f : [, d] E une pplition ontinue, et soit F une primitive de f. Comme f est ontinue, f est l dérivée de F en tout point. L règle de dérivtion des fontions omposées (F (ϕ(x))) = ϕ (x)f(ϕ(x)) nous donne : F (ϕ(b)) F (ϕ()) = ϕ (t)f(ϕ(t))dt. Si ϕ : [, b] [, d] envoie sur et b sur d, on lors F (ϕ(b)) F (ϕ()) = formule dite de ngement de vrible suivnte : d f(t)dt = f(ϕ(t))ϕ (t)dt. d f(t)dt, e qui donne l En prtique, ette formule s utilise en fisnt l uisine suivnte. Posons t = ϕ(u), lors dt = ϕ (u)du, et qund t vrie de à d, u vrie de à b. L substitution de ϕ(u) à t donne don : d f(t)dt = f(ϕ(u))ϕ (u)du. Nous n vons ps donné de sens à l expression dt dns l expression Exemples d utilistion des deux métodes i-dessus. ln(x)dx = [xln(x)] x x dx (intégrtion pr prties) = ln() + f(t)dt qui un sens globl. x dx = = π sin (t) os(t)dt (en posnt x = sin(t), on dx = os(t)dt) π os (t)dt (r os(t) entre et π ) = π (os(t) + )dt = 4 [sin(t)] π + π 4 = π 4..4 Mjortion des intégrles. L mjortion des intégrles se fit essentiellement ve les formules f(t)dt (b ) f f(t)dt f(t) dt.

9 Intégrle Simple. 9 L reltion de Csles f(t)dt + b f(t)dt = f(t)dt est ussi souvent utile en ombinison ve l une des préédentes, pr exemple pour montrer (sns utiliser de primitive) que x n dx tend vers qund n tend vers l infini. Soit en effet ε >, lors ε x n dx = x n dx + x n dx ε L première intégrle se mjore pr sup x ε x n, est-à-dire pr ( ε) n, qui tend vers qund n tend vers l infini, et l deuxième se mjore pr ε. Le déoupge en deux prties étit ii néessire, r l formule de mjortion ppliquée à x n dx ne donne qu une mjortion pr. Une métode très utilisée onsiste à mjorer l intégrle pr une utre intégrle qu on sit luler. L première et l seonde formule de l moyenne sont ussi souvent utiles pour mjorer des intégrles. Lemme. (Première formule de l moyenne) Si f et g sont réglées sur [, b], f à vleurs dns R, et g à vleurs dns un espe de Bn E, et si f un signe onstnt sur [, b], lors ( b ) b f(t)g(t)dt = f(t)dt K f,g, où K f,g est dns l dérene de l enveloppe onvexe de l imge de g. On peut supposer que f est non nulle en u moins l un des points où elle est ontinue, sinon les deux intégrles sont nulles, et le résultt est trivil. Dns es onditions, l intégrle du membre de droite ne peut ps être nulle. Si f et g sont des fontions en eslier, le quotient : K f,g = f(t)g(t)dt b f(t)dt représente le bryentre d une fmille finie de points de l imge de g, ve des poids qui sont tous de même signe. Ce quotient est don dns l enveloppe onvexe de l imge de g. Pr illeurs, le numérteur et le dénominteur sont des fontions ontinues des f et g, e qui donne le résultt. Lemme. (Seonde formule de l moyenne) Si f et g sont réglées sur [, b], toutes deux à vleurs dns R, et si f est positive et déroissnte (u sens lrge) sur [, b], lors ve [, b]. f(t)g(t)dt = f() g(t)dt Quitte à multiplier f pr une onstnte, on peut supposer que f() =. Posons G(x) = x g(t)dt. Alors, G est ontinue sur [, b], don bornée, et prend toute vleur omprise entre ses bornes. De plus G() =. On noter respetivement m et M les bornes inférieure et supérieure de G sur [, b]. Comme G est ontinue, il nous suffit de prouver que m f(t)g(t)dt M.

10 Intégrle Simple. Supposons d bord g en eslier. On don une suite x < x < < x n, ve x =, x n = b et g onstnte égle à g i sur que intervlle ]x i, x i [ (pour i n). Posons µ i = x i x i on xi De plus G(x i ) G(x i ) = g i (x i x i ). On don f(t)dt. Alors, d près les ypotèses et l première formule de l moyenne, x i f() = µ µ µ n. f(t)g(t)dt = = = n xi g i f(t)dt i= x i n (G(x i ) G(x i ))µ i i= ( n ) G(x i )(µ i µ i+ ) + G(x n )µ n, i= ve l onvention que µ = (notez que G(x ) = ). Comme G est une fontion ffine pr moreux, elle tteint néessirement ses bornes en des points de l suite x... x n. ( n Or l expression ) G(x i )(µ i µ i+ ) + G(x n )µ n est un bryentre à oeffiients positifs des i= G(x )... G(x n ) (l somme des oeffiients vut µ = ). Elle représente don un réel ompris entre les bornes de G. Supposons mintennt que g est une fontion réglée quelonque. Soit ε >, et soit une fontion en eslier telle que g < ε. Posons H(x) = [, b]. On vient de voir que H(x) G(x) (b )ε. Comme on ussi f(t)g(t)dt on voit qu (b )ε près, est démontré. x (t)dt. On noter enore m et M les bornes de H sur f(t)(t)dt est entre les bornes de H. Pr illeurs, pour tout x de [, b], on f(t)(t)dt (b )ε, f(t)g(t)dt se situe entre les bornes de G. Comme ε est rbitrire, le lemme Exerie : Dns une glerie de mine retiligne, il y deux voies ferrées prllèles sur une desquelles roule un wgonnet téléommndé. Les deux wgonnets reçoivent les ordres sur l même fréquene et sont don sensés voir les mêmes mouvements. Ces ordres onsistent uniquement en un réglge de l vitesse qui peut être positive ou négtive (mre rrière). On fit prtir les deux wgonnets d un même point de l glerie. Le deuxième wgonnet une trnsmission qui ptine, et e de plus en plus u ours de l mnœuvre. Démontrer que le seond wgonnet ne surit tteindre un point de l glerie où le premier wgonnet ne soit déjà pssé..5 Applition ux nombres omplexes. Téorème. L pplition exponentielle de C vers C est surjetive. Soit D le omplémentire de l ensemble des réels négtifs ou nuls dns C, et soit z D. Alors le

11 Intégrle Simple. segment joignnt à z est dns D. Pour [, ], posons (on remrquer que t + ( t)z ne s nulle ps) En dérivnt, on obtient : g() = g () = z t + ( t)z dt. z + ( )z. Posons () = e g() ( + ( )z). Alors, () = g ()e g() ( + ( )z) + e g() ( z) =. En onséquene, () = (), et z = () = () = e g(). Il reste à triter le s des réels stritement négtifs. On = i, don est dns l imge de l pplition exponentielle. Comme tous les réels positifs y sont ussi, tous les réels négtifs y sont. Comme onséquene, on voit que pour tout entier k, tout omplexe z à u moins une rine k ième. En effet, il suffit d érire z = e u, et on ( e u k ) k = z. Téorème. (Téorème de d Alembert) Tout polynôme non onstnt à oeffiients omplexes u moins une rine omplexe. Comme P (z) tend vers l infini qund z tend vers l infini, l imge de z P (z) est fermée. En effet, si y est un point dérent à l imge de ette pplition, il est l limite d une suite de l forme ( P (z n ) ) n N. L ypotèse implique que l suite (z n ) ne peut ps voir de sous suite tendnt vers l infini. Elle est don bornée, et un point d umultion γ qui vérifie néessirement P (γ) = y. On voit don que l fontion z P (z) doit tteindre son minimum en un point z de C. Si P (z) est sns rine, on néessirement P (z ), et onsidérons le polynôme Q(z) = P (z + z ). P (z ) Q(z) tteint son minimum en et elui-i vut. On peut don érire Q(z) = z k ( + ε(z)) où ε(z) tend vers qund z tend vers, et k. Comme peut s érire b k, on Q(z) = (bz) k ( + ε(z)). Soit u réel positif, tel que ε( u b ) <, lors Q( u b ) = uk u k ε( u b ) e qui est ontrditoire. u k + u k u k + uk uk <.6 Primitives des frtions rtionnelles. On ppelle frtion rtionnelle un quotient de deux polynômes P (x). Nous supposerons ii que les Q(x) oeffiients de es polynômes sont réels.

12 Intégrle Simple. Les frtions rtionnelles des types suivnts sont ppelées des éléments simples x + b (x b) n (x + px + q) n où, b, p et q sont des réels, n un entier u moins égl à, et où le trinôme x + px + q n ps de rine réelle. Les éléments simples i-dessus sont qulifiés respetivement d élément simple de première espèe et d élément simple de deuxième espèe. Voii des exemples d éléments simples. x x + (x ) 3 + x ( + x + x ) Le lul des primitives des éléments simples de première espèe ne pose ps de problème prtiulier. dx = ln( x b ) + C x b dx (x b) n = (x b) n dx = + C (pour n ) ( n)(x b) n Pour les éléments simpes de deuxième espèe, le ngement de vrible y = x + p 4q p (on remrquer que 4q p est positif, r le trinôme n ps de rine réelle), nous rmène à une intégrle de l forme (αy + β)dy ( + y ) n. On est don rmené u lul des deux intégrles suivntes dy ( + y ) n ydy ( + y ) n L deuxième se lule en posnt u = y, e qui donne du = ydy, et rmène u lul de Pour luler l première, remrquons qu une intégrtion pr prties donne [ ] dy ( + y ) n = y y dy ( + y ) n + n ( + y ) n+. du ( + u) n. Le dernier terme du membre de droite peut être remplé pr dy n ( + y ) n n dy ( + y ) n+, e qui résoud le problème pr réurrene, snt que dy = Ar tg(y) + C. + y Soit mintennt P (x) une frtion rtionnelle quelonque. Supposons que nous sions déomposer Q(x) le dénominteur en fteurs irrédutibles (ei est toujours téoriquement possible, mis e résultt n est ps effetif). Ces derniers ne peuvent être que de degré ou, et don de l une des formes (x b) ou (x + px + q), où e dernier trinôme n ps de rine réelle.

13 Intégrle Simple. 3 Lemme. Toute frtion rtionnelle est déomposble en l somme d un polynôme et d éléments simples. Soit P (x) une frtion rtionnelle. Si l déomposition de Q(x) ne ontient ps deux fteurs Q(x) irrédutibles distints, lors Q(x) est de l une des formes (x b) n ou (x + px + q) n. Toutefois l frtion rtionnelle n est peut être ps un élément simple, r le degré de P (x) reste quelonque. Pour fire bisser le degré de P (x), il suffit d effetuer l division eulidienne (e qui est possible, r R est un orps) de P (x) pr le fteur irrédutible de Q(x). On lors, pour Q(x) = I(x) n, où I(x) est (x b) ou (x + px + q), P (x) = I(x)P (x) + R(x) où le degré de R(x) est stritement inférieur à elui de I(x). Mis lors, P (x) Q(x) = P (x) R(x) + I(x) n Q(x), et le problème est résolu pr réurrene. Notez que est ette opértion qui introduit des polynômes, lorsque n =. Supposons mintennt que Q(x) it u moins deux fteurs irrédutibles non identiques. Alors, Q(x) peut s érire A(x)B(x), où A(x) et B(x) sont premiers entre eux. L identité de Bezout, nous donne et l on = A(x)U(x) + B(x)V (x), P (x) P (x)a(x)u(x) + P (x)b(x)v (x) = = P (x)u(x) + Q(x) A(x)B(x) B(x) e qui démontre le lemme pr réurrene. P (x)v (x), A(x) Cei résoud en prinipe le problème de l reere des primitives pour une frtion rtionnelle quelonque. Le seul obstle prtique est l non effetivité de l déomposition du dénominteur en fteurs irrédutibles. Bien que l démonstrtion i-dessus soit onstrutive, il peut être interressnt de déomposer une frtion rtionnelle en éléments simples pr l métode d identifition, qui onsiste à érire l déomposition ve des oeffiients indéterminés, et à luler es derniers en réduisnt u même dénominteur. Notez que les dénominteurs des éléments simples de l déomposition sont néessirement des diviseurs du dénominteur de l frtion rtionnelle, omme el résulte de l preuve i-dessus. Exeries Soit f une fontion réglée sur [, b]. Trouver l limite de qund n tend vers l infini. f(x) os(nx)dx Soient α et β deux réels, tels que α + β =. Soit x un réel. On onsidère les deux fontions : x ϕ(x) = e αx e βx et x ψ(x) = αe x + βe x ) Montrer que ϕ et ψ prennent l même vleur en x. b) Montrer que pour x x, ϕ(x) ψ(x).

14 4 Intégrle Simple. ) En déduire que si x et y sont deux réels quelonques, on e αx e βy αe x + βe y. Soient p et q deux entiers positifs, tels que p + =. Soient f et g deux fontion réglées définies sur q l intervlle [, b] ( < b). lors : d) Montrer que si f et g ne prennent que des vleurs stritement positives, et si : (Poser f(x) = e ϕ(x) p f(x) p dx = g(x) q dx =, f(x)g(x)dx. et g(x) = e ψ(x) q, en justifint que el est possible.) e) Montrer que si f et g ne prennent que des vleurs stritement positives, on : ( ) ( b p f(x)g(x)dx f(x) p dx g(x) q dx ) q. 3 On note S l ensemble des nombres omplexes de module. Soit f : [, π] S une pplition dérivble. On pose Z u f (x) (u) = f(x) dx. ) On pose g(u) = e (u) f(u). Montrer que l fontion g est onstnte. b) En déduire que si f() = f(π), est un élément de Z. π f (x) iπ f(x) dx Si ϕ est une pplition de S dns S, telle que x f(x) = ϕ(e ix ) soit dérivble ( est une fontion de R Z vers S π f (x) ), l entier iπ f(x) dx ser noté do (ϕ), et ppelé le degré de ϕ. ) Cluler le degré de l pplition de S dns S, définie pr où n est un entier reltif quelonque. z z n, On dit qu une pplition ϕ de S vers S est équivrinte, si elle stisfit ϕ( z) = ϕ(z) pour tout z de S. d) Montrer que si ϕ est équivrinte, son degré est impir. Soit S l spère unité de R 3, est à dire l ensemble des veteurs de norme dns R 3, où il est entendu que l norme est l norme eulidienne. On onsidère une pplition F de lsse C de S vers C ( est à dire l restrition à S d une pplition dérivble définie sur un voisinge de S dns R 3 ). On suppose que pour tout x de S, on F (x) F ( x). On pose F (x) F ( x) Φ(x) = F (x) F ( x).

15 Intégrle Simple. 5 e) Montrer que Φ est dérivble, qu elle envoie S dns S, et qu elle est équivrinte ( est à dire qu elle vérifie Φ( x) = Φ(x) pour tout x de S ). On envoie le retngle [, π] [, π ] dns R3 pr l pplition E suivnte (x, t) E (os(x) os(t), sin(x) os(t), sin(t)). Il est lir que ette pplition est de lsse C, et qu elle prend ses vleurs dns S. f) Pour tout t [, π ], on onsidère l pplition f t de [, π] vers S définie pr Montrer que pour tout t [, π ], l intégrle x f t F (E(x, t)). est nulle. π f t(x) f t (x) dx g) Démontrer que pour toute pplition F de lsse C de S dns R, il existe un x de S tel que F (x) = F ( x). ) Étendre le resultt de l question préédente u s où F est seulement ontinue. i) Montrer que toute involution ontinue de R un point fixe. 3 Intégrles générlisées. Jusqu à mintennt, nous n vons prlé que d intégrles de l forme f(t)dt, où l fontion f est réglée sur [, b] (don en prtiulier bornée). Nous llons mintennt générliser l notion d intégrle à des intervlles non ompts. 3. Convergene et ritère de Cuy. Définition. Si f est une fontion réglée, à vleurs dns un espe de Bn E, et définie sur un intervlle I quelonque (non néessirement borné ni fermé), de borne inférieure α et de borne supérieure β (α ou β peut être ± ), nous dirons que f est intégrble sur I, s il existe un réel l tel que d ε > [, b] I [, d] I ([, b] [, d]) f(t)dt l < ε Si tel est le s, l est noté I f(t)dt ou β α f(t)dt. On dit ussi que l intégrle f(t)dt est onvergente. Dns le s ontrire, on dit qu elle est divergente. I Elle n lors ps de sens. Ce vobulire désuet, mis qu on onserve pr trdition, montre l onfusion qu on peut filement fire entre le signifint (l ériture de l intégrle) et le signifié (l vleur de l intégrle). Il est lir que le mot divergente ne surit s ppliquer u signifié. Le sens du mot intégrle est don ii différent de elui qu il pr exemple dns l prse : L intégrle i dessus est nulle.

16 6 Intégrle Simple. On remrquer l similitude entre ette définition et elle de l limite d une suite. Dns l définition i-dessus, les intervlles ompts de I tiennent un rôle nlogue à elui des entiers dns le s des limites de suites. En quelque sorte f(t)dt est l limite de f(t)dt lorsque [, b] tend vers I. I Lemme. (Critère de Cuy pour les intégrles) L onvergene de l intégrle f(t)dt est équivlente à ε > [, b] I [, d] I (], b[ ], d[= φ) I d f(t)dt < ε. Comme on le remrquer, ette rtéristion des intégrles onvergentes ne fit ps mention de l limite l = f(t)dt, de même que le ritère de Cuy pour les suites ne fit ps mention de l limite de l suite. I Il est lir que si l intégrle est onvergente, le ritère de uy est stisfit. Réiproquement, prenons une suite d intervlles ompts [, b ] [ n, b n ]... tels que I = n N[ n n, b n ]. Alors l ypotèse montre que l suite de réels ( f(t)dt) n N est une suite de n Cuy, qui dmet don une limite l. On montre filement que ette limite est l vleur de l intégrle. L onvergene de l intégrle f(t)dt est équivlente à l existene des deux limites (où x est un point quelonque de I) I x lim f(t)dt α lim f(t)dt b β x omme on peut filement le vérifier à l ide du ritère de Cuy. Exemple : L fontion x x est réglée (r ontinue) sur l intervlle ouvert ], [. On dx x = [ x ] b = ( b ). Qund tend vers et b tend vers, l expression i-dessus une limite égle à. On don dx x =. Une utre sitution est elle où l intervlle d intégrtion n est ps borné. Pr exemple, l fontion x est réglée (r ontinue) sur R tout entier. On + x dx + x = [Ar tg(x)]b = Ar tg(b) Ar tg(). Qund tend vers, et b vers +, ette expression tend vers π, et on + dx + x = π.

17 Intégrle Simple. 7 Si l intégrle générlisée f(t) dt est onvergente, on dit que l intégrle générlisée f(t)dt est I bsolument onvergente. L onvergene bsolue entrine l onvergene (ei résulte filement du ritère de Cuy pour les intégrles), mis l réiproque est fusse. Pr exemple, on peut prouver que l intégrle + sin(t)dt est onvergente, mis non bsolument onvergente. Pour el, nous urons besoin du ritère t suivnt. I 3. Critère d Abel. Lemme. (Critère d Abel de onvergene des intégrles générlisées) Si les fontions réglées g et (à vleurs dns R) définies sur I = [A, + [, sont telles que. il existe une onstnte K, telle que pour tout intervlle ompt [, b] ontenu dns I, on it g(t)dt K,. l fontion est positive, déroissnte (u sens lrge) et tend vers qund t tend vers l infini, lors l intégrle générlisée est onvergente. A (t)g(t)dt Soit ε >. Soit B > A, ssez grnd pour que (t) < ε, dès que t > B. Soit [, d] un intervlle ompt ontenu dns ]B, + [. Alors l seonde formule de l moyenne donne d d (t)g(t)dt = () g(t)dt pour un ertin d entre et d. On en déduit imméditement que d (t)g(t)dt Kε. t + sin(t)dt Le ritère d Abel montre imméditement l onvergene de l intégrle (en prennt (t) = t et g(t) = sin(t)). Pr ontre, (k+)π kπ sin(t) dt t (k + )π (k+)π kπ sin(t) dt Comme l série rmonique est divergente, ei montre que l intégrle Nons lulerons plus loin l vleur de l intégrle + Exeries sin(t)dt. t (k + )π. + sin(t) dt t est divergente. ) Cluler (si elles existent) les intégrles suivntes : t dt Ar tg t dt

18 8 Intégrle Simple. b) Etudier l existene des intégrles suivntes : e sin(t) t dt sin(t )dt Soient m et n deux entiers, tels que < m < n. Montrer, en déomposnt l frtion en éléments simples, que + x m + x n dx = π n sin( mπ n ). 4 Intégrles dépendnt d un prmètre. 4. Cs d un intervlle ompt. Soit I un intervlle ouvert de R, [, b] un intervlle ompt de R, et f : I [, b] F une fontion ontinue, où F est un espe de Bn. L fontion de I vers F définie pr : x f(x, t)dt est ppelée une fontion définie pr une intégrle. L expression dépendnt d un prmètre (le prmètre ii est x). f(x, t)dt est ussi ppelée une intégrle Notez que l intégrle i-dessus un sens, puisque pour tout x de I, l fontion t f(x, t) est ontinue sur [, b]. On ppelle urrifiée de f l pplition ψ : I C([, b], F ) de I vers l espe des pplitions ontinues de [, b] vers F, définie pr l une quelonque des formules suivntes, qui sont équivlentes : ψ(x)(t) = f(x, t) ψ(x) = t f(x, t) ψ = x (t f(x, t)) On noter que [, b] étnt ompt, L espe vetoriel réel C([, b], F ) est un espe de Bn qund on le munit de l norme de l onvergene uniforme. Lemme. ψ est ontinue. Il s git de prouver que, pour tout x I : ε> η> x I x x < η ψ(x) ψ(x ) < ε. Soit ε >. Comme f est ontinue, on pour que point t de [, b], un η t >, et un voisinge ouvert V t de t dns [, b], tels que pour tous x I et t [, b] : x x < η t t V t f(x, t ) f(x, t) < ε/. L fmille d ouverts (V t ) t [,b] reouvre [, b]. Il en est don de même d une sous fmille finie V t,..., V tp de ette fmille. Posons η = inf(η t,..., η tp ). On η >. Il nous reste à prouver que : x I x x < η ψ(x) ψ(x ) < ε, est à dire que : x I x x < η t [,b] ψ(x)(t) ψ(x )(t) < ε.

19 Intégrle Simple. 9 Soit don x I, tel que x x < η et soit t [, b]. Il reste à prouver que f(x, t) f(x, t) < ε. Il existe un t i ( i p), tel que t V ti. On don f(x, t) f(x, t i ) < ε/. Pour l même rison on ussi f(x, t) f(x, t i ) < ε/, puisque x x = < η. Don : f(x, t) f(x, t) f(x, t) f(x, t i ) + f(x, t i ) f(x, t) < ε/ + ε/ = ε. Corollire. Soit I un intervlle ouvert de R, [, b] un intervlle ompt de R, et f : I [, b] F une fontion ontinue, où F est un espe de Bn. L fontion de I vers F définie pr : est ontinue sur I. x f(x, t)dt En effet, est l omposée de l urrifiée de f, qui est ontinue d près le lemme préédent, ve l intégrle sur [, b] qui est elle même ontinue. Lemme. (Dérivée d une urrifiée) Si I est un intervlle ouvert de R, [, b] un intervlle ompt de R, F un espe de Bn, f : I [, b] F une pplition ontinue, dont l dérivée prtielle D (f) pr rpport à l première vrible (elle qui pprtient à I) existe et est ontinue, lors l urrifiée ψ : I C([, b], F ) de f est dérivble, et s dérivée en x I, ψ (x) C([, b], F ) est donnée pr : ψ (x) = t D (f)(x, t). Pr définition, D (f)(x, t) est l dérivée en x de l fontion omposée f α t, où α t est définie pr α t (x) = (x, t), est à dire D (f)(x, t) = (f α t ) (x). L seule ose qu on it à prouver est que : ψ(x + ) ψ(x) (t (f α t ) (x)) tend vers, qund tend vers. Cette expression est égle à : t f(x +, t) f(x, t) (f α t ) (x). Soit ε >. Il s git de trouver η >, tel que : < η f(x +, t) f(x, t) t (f α t ) (x) < ε. L norme sur les fontions ontinues de [, b] vers F étnt elle de l onvergene uniforme, ette dernière implition est équivlente à : < η sup f(x +, t) f(x, t) (f α t ) (x) < ε. t [,b] L question essentielle est don de mjorer l expression f(x +, t) f(x, t) (f α t ) (x) d une mnière indépendnte de t. Or ette expression n est utre que : (f α t )(x + ) (f α t )(x) (f α t ) (x) Comme f α t est pr ypotèse dérivble en x, l expression : γ x,t () = (f α t)(x + ) (f α t )(x) (f α t ) (x),

20 Intégrle Simple. tend vers qund tend vers, le point délit étnt que γ x,t () dépend de t. Si e n étit ps le s, l démonstrtion serit finie ii. On : γ x,t () = (f α t )(x + ) (f α t )(x) (f α t ) (x) = [(f α t )(x + ) (f α t ) (x)] [(f α t )(x) (f α t ) (x)] = β t () β t (), où on posé β t () = (f α t )(x + ) (f α t ) (x). On don : γ x,t () = β t() β t (). Pour que t [, b], l fontion β t est dérivble sur un voisinge de dns E, puisque pour ssez petit, x + pprtient à I (I est ouvert). S dérivée en est : (β t ) () = (f α t ) (x + ) (f α t ) (x). Pr ypotèse, l fontion (x, t) (f α t ) (x) est ontinue sur I [, b]. Il résulte du lemme préédent que s urrifiée x (t (f α t ) (x) est ontinue sur I, et don que l fontion : (t (β t ) ()) est ontinue sur un voisinge de dns R. Or, ette dernière fontion vut (le de l espe de Bn C([, b], F )) en (le de R). Il existe don η >, tel que : < η t [,b] (β t ) () < ε. Le téorème des roissements finis nous montre don que : < η t [,b] β t () β t () < ε, est à dire : < η t γ x,t () < ε. Corollire. (Règle de Leibnitz) Soit I un intervlle ouvert de R, [, b] un intervlle ompt de R, F un espe de Bn, et f : I [, b] F une fontion ontinue, ynt une dérivée prtielle D f pr rpport à l première vrible, ontinue sur I [, b]. Alors, l fontion θ définie pr : θ(x) = f(x, t)dt est dérivble sur I et s dérivée en un point x de I est donnée pr : θ (x) = D (f)(x, t)dt. On θ = J ψ, où ψ est l urrifiée de f, et où J(ϕ) = ϕ(t)dt, pour toute ϕ C([, b], F ). On sit pr le lemme préédent que ψ est dérivble. Pr illeurs, J est dérivble, puisque est une pplition linéire ontinue (on d illeurs J = b ). Il en résulte que θ est dérivble, et que θ (x) = I(ψ (x)) = D (f)(x, t)dt.

21 Intégrle Simple. Téorème. (Téorème de Fubini) Pour f ontinue sur [, d] [, b] (à vleurs dns un espe de Bn E), on ( d ) b ( b ) d f(x, t)dt dx = f(x, t)dx dt. Posons ϕ(x) = x ( ) b f(s, t)dt ds ( x ) f(s, t)ds dt. Alors, ϕ() =, et l règle de Leibnitz donne ϕ (x) = pour tout x. On don ϕ(d) =. 4. Cs d un intervlle non ompt. Nous llons étendre les résultts de l setion préédente ux intégrles générlisées. On essentiellement les mêmes téorèmes, ve pour seule différene une ypotèse supplémentire sur l onvergene des intégrles. Dns toute ette setion, f désigne une fontion ontinue f : I J F, où I est un intervlle quelonque de R, J un intervlle de R (non néessirement ompt), et F un espe de Bn. Rppelons que l onvergene (pour tout x) de l intégrle f(x, t)dt est définie pr l existene d une fontion x l(x) de I vers F (vleur de ette intégrle pour x donné), telle que : d x I ε> [,b] J [,d] J ([, b] [, d]) f(x, t)dt l(x) < ε. On remrquer que l intervlle [, b], qui dépend bien sûr de ε, dépend ussi de x. Si l on exige que [, b] ne dépende que de ε, et non plus de x, on obtient un notion plus forte que l onvergene pour tout x, que l on ppelle l onvergene uniforme sur I, et qui s énone insi : d ε> [,b] J x U [,d] J ([, b] [, d]) f(x, t)dt l(x) < ε. Cette ondition est équivlente u ritère de Cuy uniforme pour les intégrles, que voii : d ε> [,b] J x I [,d] J (], b[ ], d[= φ) f(x, t)dt < ε. Remrque : Pour prouver qu une intégrle J J f(x, t)dt est uniformément onvergente sur I, il suffit de trouver une fontion g : I R, intégrble sur I, telle que x I t J f(t, x) g(t). On dit lors que l intégrle onverge uniformément pr domintion. Téorème. Si l intégrle f(x, t)dt est uniformément onvergente sur I, lors l fontion : est ontinue sur I. J x J f(x, t)dt Soit ε >, et x I. Pour tout intervlle ompt [, b] ssez grnd ontenu dns J, et pour tout x dns I, on f(x, t)dt f(x, t)dt J < ε.

22 Intégrle Simple. Pr illeurs, les résultts obtenus dns l setion préédente montrent qu il existe un η >, tel que pour x x < η, on it f(x, t)dt f(x, t)dt < ε. L ombinison de es deux inéglités, l première étnt utilisée en x et en x, donne le résultt. Téorème. Soit f : I J F une pplition ontinue, telle que (x, t) D (f)(x, t) soit définie et ontinue sur I J, et que les intégrles : f(x, t)dt et D (f)(x, t)dt J soient uniformément onvergentes sur I. Alors l fontion g définie pr : x f(x, t)dt est dérivble sur I et pour dérivée (règle de Leibnitz). x J J J D (f)(x, t)dt. Soit x un point de I, et soit ε >. Il s git de trouver un η >, tel que pour tout tel que < η, on it : g(x + ) g(x) D (f)(x, t)dt ε. Comme l integrle J dépendnt ps de x et inlus dns I, tel que : D (f)(x, t)dt J D (f)(x, t)dt est uniformément onvergente sur I, on un intervlle [, b] ne J D (f)(x, t)dt ε. Pr illeurs, g(x + ) g(x) n est utre que J f(x +, t) f(x, t) b dt J f(x +, t) f(x, t) dt, et on : f(x +, t) f(x, t) dt < ε. En effet, pour montrer ette inéglité, il suffit de montrer que pour tout intervlle [, d] disjoint de [, b], et ontenu dns J, on : d f(x +, t) f(x, t) dt ε. L fontion u d f(x + u, t)dt est ontinue et dérivble sur un intervlle ouvert ontennt l intervlle [, ]. S dérivée en u est égle à : d D (f)(x + u, t)dt, puisqu elle est l omposée des fontions u x + u et y d f(y, t)dt.

23 Intégrle Simple. 3 Cette dérivée, qui est ontinue, reste bornée sur l intervlle [, ]. On don, pr le téorème des roissements finis : d d (f(x +, t) f(x, t))dt sup D (f)(x + u, t)dt. Or l intervlle [, b] justement été oisi tel que u [,] d D (f)(x, t)dt soit inférieur à ε, dès que [, d] est disjoint de [, b], et ei quelle que soit l vleur de x, e qui vut don si on remple x pr x + u. Il nous reste don simplement à trouver η >, tel que : f(x +, t) f(x, t) b dt D (f)(x, t)dt ε, pour η. Or ei résulte du téorème de dérivtion d une intégrle sur un intervlle ompt pr rpport à un prmètre. Téorème. (Téorème de Fubini) Soit f : I [α, β] Fune pplition ontinue, où I est un intervlle quelonque de R, et F un espe de Bn. Si l intégrle f(t, x)dt est uniformément onvergente pour x [α, β], lors : β α ( ) ( ) β f(t, x)dt dx = f(t, x)dx dt. I I α I On proède omme préedemment, en onsidérnt l fontion ϕ définie pr : u ( ) ( u ) ϕ(u) = f(t, x)dt dx f(t, x)dx dt. En dérivnt ϕ, on trouve : I α I ϕ (u) = I f(t, u)dt f(t, u)dt =. I L intégrle f(t, u)dt étnt uniformément onvergente, ette dérivtion est liite. ϕ est don onstnte, est à dire nulle. I α 4.3 Un exemple. Comme illustrtion des téorèmes préédents, nous llons luler l vleur de l intégrle + dont nous vons déjà montré qu elle est onvergente. sin(t) dt, t Soit un réel positif ou nul, et onsidérons l intégrle : I = + t sin(t) e dt. t Pour =, il s git de l intégrle à luler. Comme sin(t) est de module inférieur à, l intégrle i dessus t est dominée pr l intégrle : I = + e t dt,

24 4 Intégrle Simple. qui est onvergente si >. Comme e t est fontion déroissnte de, il en résulte que l onvergene de l intégrle I est uniforme sur tout intervlle de l forme [ε, + [, ve ε >. I est don une fontion ontinue de sur ], + [. I est ussi ontinue en. En effet, on : I I = + e t sin(t)dt t, et l fontion t e t est déroissnte. En effet, s dérivée est t ( + t)e t t t. Pour voir qu elle reste négtive pour tout t >, il suffit de montrer que ( + t)e t reste plus petit que, est à dire que + t e t. Or ei est lir pour t et positifs, puisque e t = + t + (t)! Pr illeurs, l fontion t e t est positive, et tend vers qund t tend vers. L deuxième t formule de l moyenne donne don, pour tout réel positif A, un réel B entre et A, tel que : A e t B sin(t)dt t = sin(t)dt. On don I I, e qui montre l ontinuité de I en. Pr illeurs, on peut luler I pour >. En effet, en ppliqunt l règle de Leibnitz à I, on obtient l intégrle : I = + e t sin(t)dt, qui est uniformément onvergente (r dominée) sur tout intervlle de l forme [ε, + [, ve ε >. I est don bien l dérivée de I pr rpport à, pour >. Cette intégrle est l prtie imginire de + e t e it dt, qui se lule filement. On trouve que I = +, d où on déduit que I = Ar tg() + C, pour une ertine onstnte C. Cette onstnte est déterminée en fisnt tendre vers l infini. En effet, I tend lors vers, e qui fit que C = π. On don I = Ar tg() + π, e qui donne, qund on fit tendre vers : + sin(t) dt = π t. Exeries Soit x >. On onsidère l intégrle I x = + e t x t dt. ) Montrer que l règle Leibnitz s pplique pour x ]α, + [, pour tout α >. (On pourr utiliser le + π fit que e t dt = (intégrle de Guss).) b) Cluler I x. (On justifier toutes les étpes.) En fit + u est inférieur à e u pour tout réel u (don en prtiulier t), r u + u pour grpe l tngente en u grpe de u e u, qui est onvexe.

25 Intégrle Simple. 5 ) On onsidère les deux fontions de x suivntes : ( x f(x) = e dt) t et g(x) = Dériver des deux fontions, et luler f(x) + g(x). e x (+t ) + t dt. b) Cerer l limite de g(x) qund x tend vers +, et en déduire l vleur de l intégrle de Guss : e t dt. 3 Soit α >. Démontrer en dérivnt pr rpport u prmètre, et en utilisnt l intégrle de Guss, que + π e x os(αx)dx = e α 4. 4 Soit α >. Démontrer en dérivnt pr rpport u prmètre, et en utilisnt l intégrle de Guss, que + e αx dx = πα. x 5 On pose pour x réel stritement positif : Γ(x) = e t t x dt. ) Montrer que ette intégrle est uniformément onvergente pour x dns un intervlle ompt de ], + [. (Triter séprément les intégrles entre et et entre et +.) Que peut-on dire de l fontion Γ sur ], + [? b) Montrer que pour x >, on : (pour n entier positif). Γ(x + ) = xγ(x) Γ() = Γ(n) = (n )! ) Montrer que Γ(x) est équivlent à x qund x tend vers. d) Montrer que Γ( + x ) = e tx dt. (Fire le ngement de vrible t = u x.) e) Montrer que Γ( ) = π. (On rppelle que e t dt = π.)

26 6 Intégrle Simple. Solutions des exeries. Setion.. Soit ε >. Comme l fontion f est réglée, il existe une fontion en eslier g définie sur [, b], telle que pour tout x de [, b], on it f(x) g(x) < ε. On voit lors que l différene des deux intégrles n est ps plus grnde que ε(b ). f(x) os(nx)dx et g(x) os(nx)dx Si on prouve que l limite de l seonde intégrle est qund n tend vers l infini, il en résulter que l première tend ussi vers, r ε est rbitrirement petit. Or l seonde intégrle est une ombinison linéire finie (à oeffiients réels) d intégrles de l forme β α os(nx)dx, qui tendent toutes vers qund n tend vers l infini (lul expliite).. ) On ϕ(x ) = e αx e βx = e (α+β)x = e x, ψ(x ) = (α + β)e x = e x. b) Dérivons ϕ ψ. On obtient : ϕ (x) ψ (x) = αe αx e βx αe x = αe x (e (α )x+βx ) = αe x (e β(x x) ) Comme β est positif, et x x négtif, e β(x x) est plus petit que, et l dérivée de ϕ ψ est négtive. Il en résulte que pour x x, on ϕ(x) ψ(x). ) Comme x et y jouent des rôles identiques dns l inéglité demndée, on peut supposer x y. y peut don jouer le rôle de x dns les questions préédentes. L inéglité demndée résulte lors de l question préédente. d) On, en définissnt ϕ et ψ omme indiqué dns l énoné (e qui est possible pre que f et g sont à vleurs stritement positives) : f(x)g(x)dx = p e ϕ(x) p + ψ(x) q dx e ϕ(x) dx + q e ψ(x) dx = p + q (r eϕ(x) = f(x) p ) =. e) Posons ( A = f(x) p dx ) p ( B = g(x) q dx ) q,

27 Intégrle Simple. 7 et Alors, et de même qui donne F (x) = f(x) A F (x) p dx = G(x) = g(x) B. A p f(x) p dx =, G(x) q dx =. On peut don ppliquer le résultt de l question préédente à F et G, e est-à-dire, en multiplint pr AB : e qui est le résultt eré. F (x)g(x)dx, f(x)g(x)dx AB, 3. ) On d bord (u) = f (u) f(u), soit (u)f(u) = f (u). Dérivons mintennt g. On g (u) = (u)e (u) f(u) + e (u) f (u) = g (qui est définie sur un intervlle) est don onstnte. b) Il résulte de l question préédente que g() = g(π). Or on ussi f() = f(π). Comme f ne s nnulle ps (elle prend ses vleurs dns S ), on en déduit e () = e (π), soit e (π) =, puisque () =. Il en résulte que (π) est de l forme iπn ve n entier reltif. ) C est un lul d intégrle prtiulièrement simple. d o (z z n ) = π iπ ine inx dx = n. einx En prtiulier, l identité est de degré, l pplition onstnte qui envoie tout élément de S sur est de degré, l onjugison z z est de degré. d) Posons f(x) = ϕ(e ix ). On d où on déduit f (x + π) = f (x). f(x + π) = ϕ(e i(x+π) ) = ϕ( e ix ) = ϕ(e ix ) = f(x), On lors, en fisnt le ngement de vrible x = u + π, π π f (x) π f(x) dx = f (u + π) π f(u + π) du = f (x) f(x) dx d où π f (x) π f(x) dx = f (x) f(x) dx. Les fontions et g étnt définies omme dns l question ), on doit luler (π). Or, g étnt onstnte, on g(π) = g(). On ussi f(π) = f(). On don e (π) =, e qui montre que (π) est de l forme (k + )iπ.

28 8 Intégrle Simple. Le degré de ϕ, est égl pr définition à (π), est à dire à un nombre impir. iπ e) Φ est dérivble, r elle est le quotient de deux fontions dérivble (l fontion vleur bsolue est dérivble sur C {}), dont l deuxième ne s nnulle ps. Elle envoie S dns S, r lirement Φ(x) est de module. Enfin l vérifition qu elle est équivrinte se fit à vue. f) f t est dérivble, omme omposée de fontions dérivbles. Pr illeurs, l fontion (x, t) f t(x) f t (x) est ontinue sur le ompt [, π] [, π ]. Il en résulte que l fontion est ontinue sur [, π ]. t π f t(x) f t (x) dx f Pr illeurs, pour tout t, on f t () = f t (π). Il en résulte d près l question b), que t(x) f t (x) dx est dns iπz. Comme iπz est disret, ette intégrle est indépendnte de t. Il suffit don de montrer qu elle est nulle pour t = π, e qui est lir r l fontion f π est onstnte. g) S il n existe ps d x tel que F (x) = F ( x), on est dns les onditions d pplition des questions e) et f). Considérons lors l fontion f définie dns l question préédente. On vu que π f (x) dx =. f (x) On f (x) = ϕ(e ix ), où ϕ est l pplition de S dns S définie pr y F (R(y), Im (y), ). L integrle i dessus montre que le degré de ϕ est. Pr illeurs, ϕ est équivrinte. Son degré doit don être impir, e qui est une ontrdition. ) Si l fontion ontinue F : S R vérifie F (x) F ( x) pour tout x de S, lors, pr ompité elle vérifie F (x) F ( x) > ε pour un ertin ε >. D près le téorème se Stone Weierstrss (S est ompte), ppliqué à une des omposntes de F, il existe une fontion polynômile (don de type C ) G : S R telle que pour tout x de S, F (x) G(x) < ε. Cei interdit G(x) = G( x) pour 3 tout point x de S, e qui est impossible, d près l question préédente. i) Appelons enore équivrinte une pplition F : S n R qui vérifie pour tout x de S n : F ( x) = f(f (x)), où f est l involution donnée sur R. On identifie S n à l équteur de S n, est à dire l ensemble des points de S n dont l dernière oordonnée est nulle. Montrons que toute pplition équivrinte F de S n vers R se prolonge en une pplition équivrinte F de S n vers R. Si x est distint des deux pôles de S n, x une projetion x bien définie sur l équteur de S n. Elle est définie pr (x,..., x n, x n+ ) = (x,..., x n, ) (x,..., x n, ). Si x est dns l émispère nord de S n ( est à dire si s dernière oordonnée x n+ est positive ou nulle), et distint du pôle nord, on pose F (x) = ( x n+ )F (x). Noter que si x est dns S n, F (x) = F (x). Cette pplition F est ontinue. Elle se prolonge pr ontinuité u pôle nord de S n. En effet, ei résulte de e que l norme de F (x) est mjorée pr le produit de ( x n+ ) et du sup des normes des F (x) pour x dns S n. F (x) tend don vers qund x tend vers le pôle nord de S n. F est lors utomtiquement définie sur l émispère sud pr l exigene d équivrine F ( x) = f(f (x)). π