INTÉGRATION. 1 Intégration des fonctions en escalier. 1.1 Fonctions en escalier sur un segment. 1.2 Intégrale d une fonction en escalier

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1 Luret Grci MPSI Lycée Je-Bptiste Corot INTÉGRATION Ds tout ce chpitre et b désige des réels. Qud o ote [, b], il est sous-etedu que b. 1 Itégrtio des foctios e esclier 1.1 Foctios e esclier sur u segmet Défiitio 1.1 Foctio e esclier O dit qu ue pplictio ϕ : [, b] R est e esclier s il existe N et des réels x, x 1,..., x tels que (i) = x < x 1 < < x 1 < x = b ; (ii) ϕ est costte sur chque itervlle ]x i, x i+1 [ pour i 1, 1. Ue telle fmille (x i ) i est ppelée ue subdivisio de [, b] subordoée à ϕ. L esemble des foctios e esclier sur [, b] se ote E([, b], R) ou plus simplemet E([, b]). C est u sous-espce vectoriel et u sous-eu de R [,b]. x x 1 x 2 x 3 x 4 x Itégrle d ue foctio e esclier Défiitio 1.2 Itégrle d ue foctio e esclier Soit ϕ E([, b]) et u = (x i ) i ue subdivisio subordoée à ϕ. Pour i 1, o ote c i l vleur de ϕ sur ]x i, x i+1 [. 1 L qutité c i (x i+1 x i ) est idépedte de l subdivisio u choisie. i= O l ppelle l itégrle de ϕ sur [, b] et o l ote [,b] ϕ. x x 1 x 2 x 3 x 4 x Propriétés de l itégrle des foctios e esclier Propositio 1.1 Propriétés de l itégrle Liérité L itégrle est ue forme liéire sur E([, b]). Positivité de l itégrle L itégrle d ue foctio e esclier positive est positive. Croissce de l itégrle Soit (ϕ, ψ) E([, b]) 2 tel que ϕ ψ. Alors ϕ ψ. [,b] [,b] Reltio de Chsles Soit ϕ E([, b]) et c ], b[. Alors les restrictios de ϕ à [, c] et [c, b] sot e esclier et ϕ = ϕ [,c] + ϕ [c,b]. [,b] [,c] [c,b] 1

2 Luret Grci MPSI Lycée Je-Bptiste Corot 2 Itégrtio des foctios cotiues pr morceux 2.1 Foctios cotiues pr morceux Défiitio 2.1 Foctio cotiue pr morceux O dit qu ue pplictio f : [, b] R est cotiue pr morceux s il existe N et des réels x, x 1,..., x tels que (i) = x < x 1 < < x 1 < x = ; (ii) f ]xi,x i+1 [ est cotiue sur ]x i, x i+1 [ et prologeble pr cotiuité e x i et x i+1 pour i 1, 1. Ue telle fmille (x i ) i est ppelée ue subdivisio de [, b] subordoée à f. L esemble des foctios cotiues pr morceux sur [, b] se ote CM([, b], R) ou plus simplemet CM([, b]). C est u sous-espce vectoriel et u sous-eu de R [,b]. x x 1 x 2 x 3 x 4 x Approximtio des foctios cotiues pr morceux Propositio 2.1 Soit f CM([, b]). Pour tout réel ε >, il existe (ϕ, ψ) E([, b]) 2 tel que : ϕ f ψ et ψ ϕ ε 2.3 Itégrle d ue foctio cotiue pr morceux Défiitio 2.2 Itégrle d ue foctio cotiue pr morceux Soit f CM([, b]). O pose : { } I (f) = ϕ, ϕ E([, b]) et ϕ f [,b] I + (f) = { ψ, ψ E([, b]) et ψ f [,b] } Alors I (f) et I + (f) dmettet respectivemet ue bore supérieure et ue bore iférieure et ces bores sot égles. O ppelle cette bore commue l itégrle de f sur [, b] et o l ote [,b] f. Remrque. O peut chger l vleur de f e u ombre fii de poits ss chger so itégrle. Nottio 2.1 Si b, Si b, b b f(t)dt = [,b] f(t)dt = f. [b,] f. Attetio! Ds l expressio b f(t)dt, le t s ppelle l vrible d itégrtio. Ce qui précède motre qu ue itégrle e déped ps de l vrible d itégrtio. Elle déped seulemet de ses bores et de l foctio itégrée. 2

3 Luret Grci MPSI Lycée Je-Bptiste Corot Remrque. Il y ue totle logie vec les sommes qui e dépedet ps de l idice de sommtio mis seulemet des bores et du terme géérl. 2.4 Propriétés de l itégrle Propositio 2.2 Propriétés de l itégrle Liérité L itégrle est ue forme liéire sur CM([, b]). Positivité de l itégrle L itégrle d ue foctio cotiue pr morceux positive est positive. Croissce de l itégrle Soit (f, g) CM([, b]) 2 telles que f g sur [, b]. Alors f g. Iéglité trigulire Soit f CM([, b]). Alors f CM([, b]) et [,b] f [,b] f. [,b] [,b] Reltio de Chsles Soiet f CM([, b]) et c ], b[. Alors les restrictios de f à [, c] et [c, b] sot cotiues pr morceux et f = f [,c] + f [c,b]. [,b] [,c] [c,b] Propositio 2.3 Soit (f, g) C(I) 2 tel que f g sur I. Soit (, b) I 2. Si b, b f(t)dt b g(t)dt. Si b, b f(t)dt b g(t)dt. Exercice 2.1 Soit f cotiue sur [, 1]. Pour N, o pose I = 1 f(t)t dt. Motrer que lim + I =. Propositio 2.4 Soiet f cotiue sur u itervlle I. Soit (, b, c) I 3. Alors b f(t)dt = c f(t)dt + b c f(t)dt Remrque. Cette versio de l reltio de Chsles est vlble quelque soit l ordre de, b et c. Propositio 2.5 Soit f ue foctio cotiue et de sige costt sur [, b] ( < b). Alors f = si et seulemet [,b] si f = sur [, b]. Remrque. Il suffit doc de motrer qu ue foctio cotiue positive pred ue vleur strictemet positive sur [, b] pour prouver que so itégrle sur [, b] est strictemet positive. Attetio! L coditio de cotiuité est essetielle. L foctio δ ulle sur R et vlt 1 e ue itégrle ulle sur [ 1, 1] ss pour utt être ulle sur [ 1, 1]. 3

4 Luret Grci MPSI Lycée Je-Bptiste Corot Exercice 2.2 Soit f cotiue sur [, b] à vleurs réelles. Motrer que costt sur [, b]. [,b] f [,b] = f si et seulemet si f est de sige 3 Clcul de primitives et d itégrles 3.1 Primitives Défiitio 3.1 Primitive Soit f ue foctio cotiue sur u itervlle I. O ppelle primitive de f sur I toute foctio de I ds R dérivble sur I et dot l dérivée vut f. Propositio 3.1 Si F est ue primitive d ue foctio f cotiue sur I, lors les utres primitives de f sur I sot les foctios F + λ vec λ R. Remrque. E prticulier, deux primitives d ue même foctio diffèret d ue costte. Attetio! Il est essetiel de cosidérer des primitives sur u itervlle. Théorème 3.1 Theorème fodmetl de l lyse Soit f ue foctio cotiue sur u itervlle I. (i) f dmet ue primitive sur I. (ii) Soit I. L foctio x x f(t)dt est l uique primitive de f ulle e. (iii) Si F est ue primitive de f sur I, lors pour tout (, b) I 2, L qutité F(b) F() se ote [F] b ou ecore [F(t)] t=b t=. b f(t)dt = F(b) F(). Remrque. Toutes les primitives de f sur I sot doc du type x x f(t)dt + C. Ceci justifie l ottio vu plus tôt ds l ée f(t)dt pour ue primitive de f défiie à ue costte dditive près. O remrque de plus qu u clcul de primitives se rmèe filemet à u clcul d itégrles. Exercice 3.1 Bl Etblir l dérivbilité puis clculer l dérivée de l foctio ψ défiie pr x e x e x» 1 + l 2 (t)dt. Corollire 3.1 Soit f C 1 (I). Alors, pour tout (, b) I 2, b f (t)dt = f(b) f(). 4

5 Luret Grci MPSI Lycée Je-Bptiste Corot 3.2 Méthodes de clcul Itégrtio pr prties Propositio 3.2 Itégrtio pr prties Soit (u, v) C 1 (I) 2. Soit (, b) I 2. b u (t)v(t)dt = [uv] b b u(t)v (t)dt Exemple 3.1 Clcul d ue primitive de l. Clcul d ue primitive de rct. Clcul d ue primitive de x x e x pour =, 1, 2. Exercice 3.2 Itégrles de Wllis O pose pour tout, 1. Clculer I et I 1. I = π/2 si (x)dx. 2. E itégrt pr prties, trouver ue reltio de récurrece etre I et I Doer ue expressio de I 2 et I 2+1 e foctio de. 4. Vérifier que (I ) est décroisste. E déduire que I I +1 I. 5. Démotrer que I +1 I. 6. Étblir que N, ( + 1)I +1 I = π E déduire que I π Chgemet de vrible Propositio 3.3 Chgemet de vrible Soiet I u itervlle de R, ϕ ue foctio de clsse C 1 sur I et f ue foctio cotiue sur ϕ(i). Alors pour tout (, b) I 2 ϕ(b) f(t)dt = b ϕ() f(ϕ(u))ϕ (u)du Remrque. O dit qu o effectue le chgemet de vrible t = ϕ(u). 5

6 Luret Grci MPSI Lycée Je-Bptiste Corot Méthode Soit à clculer l itégrle Chgemet de vrible β α f(t) dt vi le chgemet de vrible t = ϕ(u). O cherche et b tels que ϕ() = α et ϕ(b) = β. O vérifie que ϕ est bie de clsse C 1 sur [, b]. «A l physiciee», dt du = ϕ (u) doc dt = ϕ (u) du. O remplce t pr ϕ(u) et dt pr ϕ (u) du ds l itégrle. Exemple 3.2 Soit à clculer t2 dt e effectut le chgemet de vrible t = si u. O si ( π 2 ) = 1 et si ( π 2 ) = 1. si est bie de clsse C 1 sur [ π 2, π 2 ]. dt = cos u du. O e déduit que t2 dt = = π 2 π 2 π 2 π 2 π 1 si 2 2 u cos u du = cos 2 u du = 1 2 π 2 π 2 π 2 cos u cos u du (1 + cos 2u)du = π 2 Attetio! Il y ps à réfléchir à l ordre des bores ou à les replcer ds u soit dist «bo ses». Pr 1 exemple, si l o choisit d effectuer le chgemet de vrible t = cos u pour le clcul de l itégrle 1 t2 dt. O obtiet 1 1 t2 dt = 1 cos2 u( si u) du 1 puisque cos(π) = 1 et cos() = 1. 1 π Remrque. Qud o effectue u chgemet de vrible, o exprime l ciee vrible e foctio de l ouvelle vrible et o vérifie que cette foctio est C 1. Némois, e prtique, il rrive souvet que l o exprime l ouvelle vrible e foctio de l ciee vrible. Exemple 3.3 Pour clculer 4 dt t + 1, o effectue le chgemet de vrible u = t. E toute rigueur, o devrit dire t = u 2. Il fut lors vérifier que ϕ : u u 2 est de clsse C 1 sur [, 2] (et o t t de clsse C 1 sur [, 4], ce qui est fux). O e déduit que 4 dt 2 2u du = t u = 2 2 Å 1 1 ã du = 4 2 l u 6

7 Luret Grci MPSI Lycée Je-Bptiste Corot Applictio u clcul de primitives usuelles Soit >. Ue primitive de x 1 x sur R est x 1 rct x. Ue primitive de x 1 2 x 2 sur ], [ est x rcsi x. 1 Ue primitive de x 2 x sur ], [ est x rccos x 2. Ue primitive de x 1 2 x 2 sur ], [ est x 1 rgth x. Ue primitive de x Ue primitive de x x 2 sur R est x rgsh x. 1 x2 2 sur ], + [ est x rgch x. Exercice 3.3 Clcul d u primitive de x x x 2 + x Prité et périodicité Propositio 3.4 Itégrtio d ue foctio pire ou impire Soit f ue foctio cotiue sur u itervlle I symétrique pr rpport à. Si f est pire, lors pour tout I, f(t) dt = f(t) dt et f(t)dt = 2 f(t)dt Si f est impire, f(t) dt = f(t) dt et f(t)dt = Propositio 3.5 Soiet f ue foctio cotiue et T-périodique sur R. Alors pour tout R +T f(t) dt = T f(t) dt Remrque. Autremet dit, l itégrle de f sur tout itervlle de logueur ue période est l même Polyômes trigoométriques Méthode Itégrtio des polyômes trigoométriques Pour itégrer u polyôme trigoométrique, il suffit de le liériser. Se reporter u chpitre sur les complexes. 7

8 Luret Grci MPSI Lycée Je-Bptiste Corot Exemple 3.4 Clcul de si 2 xdx Pssge e complexe Méthode Pssge e complexe O sit que l prtie réelle (resp. imgiire) de l itégrle est l itégrle de l prtie réelle (resp.imgiire). Il est prfois plus fcile de psser e complexe pour reveir e réel. Exemple 3.5 Clcul de 2π e t si tdt Frctios rtioelles Méthode Itégrtio des frctios rtioelles Pour itégrer ue frctio rtioelle F, o l décompose e élémets simples. 1 O est lors rmeé à itégrer des termes de l forme (x λ). Si > 1 ou si λ R, o coît l primitive d u tel terme. Si = 1 et λ C \ R. Si F est ps à coefficiets réels, o pose λ = + ib et o utilise l qutité cojuguée : 1 x λ = x (x ) 2 + b 2 + ib (x ) 2 + b 2 Le premier terme doe ue primitive e l et le deuxième terme ue primitive e rct. Si F est à coefficiets réels, l DES de F comporte deux termes cojugués x λ et. O regroupe x λ x + b ces deux termes et o obtiet u terme du type x 2 + px + q où x2 + px + q dmet ps de rcies réelles. L idée est lors de mettre le triôme x 2 + px + q sous forme coique. O obtiet lors ue primitive e l et e rct. Exemple Clcul de (x 2 + 1) 2 dx Frctios rtioelles trigoométriques O ppelle frctio rtioelle trigoométrique ue foctio du type t R(cos t, si t) où R est ue frctio rtioelle à deux idétermiées (e.g. R(X, Y) = X3 + X 2 Y Y 2 X 2 ). XY 8

9 Luret Grci MPSI Lycée Je-Bptiste Corot Méthode Itégrtio des frctios rtioelles trigoométriques O utilise l règle de Bioche pour se rmeer à l itégrtio d ue frctio rtioelle trditioelle. Si R(cos t, si t)dt est ivrit pr l trsformtio t t, o effectue le chgemet de vrible u = cos t. Si R(cos t, si t)dt est ivrit pr l trsformtio t π t, o effectue le chgemet de vrible u = si t. Si R(cos t, si t)dt est ivrit pr l trsformtio t π + t, o effectue le chgemet de vrible u = t t. Sio o effectue le chgemet de vrible u = t t 2 et o utilise les formules de prmétrge rtioel du cercle trigoométrique. Attetio! Il fut predre e compte le «dt» pour le test de l ivrice pr les différetes trsformtios. Exemple 3.7 π si t l 3 4 cos 2 dt = t Frctios rtioelles hyperboliques O ppelle frctio rtioelle hyperbolique ue foctio du type t R(ch t, sh t) où R est ue frctio rtioelle à deux idétermiées (e.g. R(X, Y) = X3 + X 2 Y Y 2 X 2 ). XY Méthode Itégrtio des frctios rtioelles hyperboliques O pose u = e t et o se rmèe à l itégrtio d ue frctio rtioelle clssique. 4 Approximtio d itégrles 4.1 Méthode des rectgles Défiitio 4.1 Somme de Riem Soit f C([, b]). O ppelle somme de Riem de f d ue des deux formes suivtes : R (f) = b 1 k= f( k ) R (f) = b f( k ) k=1 où k = + k b pour tout k, et est u etier o ul. 9

10 Luret Grci MPSI Lycée Je-Bptiste Corot Iterpréttio grphique des sommes de Riem Ue somme de Riem est que l pproximtio de l ire correspodt à l itégrle de f sur [, b] pr l somme des ires des rectgles ds l figure suivte. Somme de Riem R (f) Somme de Riem R (f) Les ires des rectgles sot les qutités b f( k). Propositio 4.1 Covergece des sommes de Riem Soit f C([, b]). Alors les suites (R (f)) et (R (f)) coverget vers [,b] f. Propositio 4.2 Soit f ue foctio K-lipschitziee sur [, b]. Alors K(b )2 f R (f) 2 [,b] [,b] f R (f) K(b )2 2 Remrque. C est otmmet le cs lorsque f est de clsse C 1 sur [, b]. Ce qu il fut reteir, c est que l erreur commise e pprocht l itégrle pr l somme de Riem est u O ( 1 ). 4.2 Méthode des trpèzes Défiitio 4.2 Soit f C([, b]). O pose : U (f) = b 1 k= f( k ) + f( k+1 ) 2 vec k,, k = + k b où est u etier o ul. 1

11 Luret Grci MPSI Lycée Je-Bptiste Corot Iterpréttio grphique de l méthode des trpèzes L méthode des trpèzes cosiste à pprocher l ire correspodt à l itégrle de f sur [, b] pr l somme des ires des trpèzes ds l figure suivte. Les ires des trpèzes sot les qutités b f( k ) + f( k+1 ). 2 Le dessi permet de costter que l méthode des trpèzes semble plus efficce que l méthode des rectgles. Remrque. O pourrit prouver que si f est de clsse C 2 sur [, b], l erreur commise e pprocht l itégrle pr l méthode des trpèzes est u O ( 1 2 ). 5 Cs des foctios à vleurs complexes Défiitio 5.1 Foctio cotiue pr morceux à vleurs complexes Ue pplictio f : [, b] C est dite cotiue pr morceux si ses prties réelle et imgiire le sot. O ote CM([, b], C) l esemble des foctios cotiues pr morceux à vleurs complexes. Défiitio 5.2 Itégrle d ue foctio cotiue pr morceux à vleurs complexes Soit f CM([, b], C). O ppelle itégrle de f sur [, b] le ombre complexe : f = Re(f) + i Im(f) [,b] [,b] [,b] E prticulier, Re Ç f [,b] å = [,b] Re(f) Im Ç f [,b] å = [,b] Im(f) Qusimet toutes les propriétés des itégrles de foctios cotiues pr morceux à vleurs réelles restet vlbles pour des itégrles de foctios cotiues pr morceux à vleurs complexes quitte à modifier les vleurs bsolues évetuelles pr des modules. Les seules propriétés qui e sot ps coservées sot celles qui feriet iterveir des iéglités etre complexes, à svoir : l positivité de l itégrle ; 11

12 Luret Grci MPSI Lycée Je-Bptiste Corot l croissce de l itégrle ; le résultt ssurt qu ue foctio cotiue et de sige costt est d itégrle ulle si et seulemet si elle est costmmet ulle. Exercice 5.1 Lemme de Riem-Lebesgue Soit f de clsse C 1 sur [, b]. Motrer que b lim + f(t)e it dt = Exercice 5.2 Soit f cotiue sur [, b] à vleurs complexes. A quelle coditio -t-o [,b] f [,b] = f? 12