INTÉGRALES DÉPENDANT DE

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1 7 décembre 8 7 décembre 8 INTÉGRALES DÉPENDANT DE PARAMÈTRES Table des maières JPB 7 décembre 8 I Rappels e noaions Noaions 3 Rappels 3. Sur les foncions d une variable II Inerversion inégrale-suie de foncions 4 3 Le héorème de convergence dominée 4 4 Quelques exemples de comporemens asympoiques 9 III Inerversion série-inégrale 4 5 Cas des séries normalemen convergenes de foncions coninues sur un segmen 4 6. Uilisaion courane Cas où l on ne sai pas évaluer la norme un du erme général de la suie Cas où le héorème ne s applique pas IV Inégrales dépendan d un paramère 6 7 Coninuié sous le signe somme 6 8 Dérivaion sous le signe somme 3 8. Le héorème de dérivaion sous l inégrale Calcul des dérivées successives Calcul d inégrales dépendan d un paramère 37 Inerversion d inégrales 4 V Travaux dirigés 43 Convergence dominée 43 Inerversion série-inégrale 48 3 Inégrales à un paramère coninu 53 LES SEULES DÉMONSTRATIONS AU PROGRAMME SONT CELLES QUI ONT ÉTÉ FAITES DANS LE COURS SUR LES SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS. Les preuves des résulas hors programmes son difficiles e se rouven sur mon sie. Les preuves des résulas non exigibles son abrégées e peuven faire l obje d exercices d approfondissemen. Il es conseillé de lire le programme officiel en même emps que ce papier. 6 Cas des séries de foncions inégrables sur un inervalle quelconque 6 Page /6 Page /6

2 Première parie Rappels e noaions Noaions 7 décembre 8 La lere K désigne R ou C. La lere I (resp J) désignera oujours un inervalle quelconque (resp un segmen) non rédui à un poin. On noe C m (I, R) (resp C m (I, C)) l ensemble des foncions coninues par morceaux sur I à valeurs réelles (resp complexes). Tous ces ensembles son sables par produi. Pour f C m (I, C) inégrable, on posera N (f) = f(x) dx. On I rappelle (mais ça n a pas vraimen d inérê dans ce cours), que N es une semi-norme sur le C-espace vecoriel des foncions à valeurs complexes, coninues par morceaux, inégrables sur I e une norme sur le C-espace vecoriel des foncions à valeurs complexes, coninues e inégrables sur I. Rappels. Sur les foncions d une variable Proposiion (Crière séqueniel des ies). Soi f une applicaion d un inervalle I de R dans K e a R un poin de I ou une exrémié de I. soi l K. Les rois propriéés suivanes son équivalenes : i) x a l ii) Pour oue suie (x n ) d élémens de I qui converge vers a, la suie (f(x n )) converge vers l. iii) Pour oue suie monoone (x n ) d élémens de I qui converge vers a, la suie (f(x n )) converge vers l. Ce résula es encore valable si K = R e l = ±. Proposiion (Caracère local de la coninuié). Soi f une foncion de I dans K. Si la resricion de f à chaque segmen de I es coninue sur ce segmen alors f es coninue sur I. 7 décembre 8 Proposiion 3 (Caracère local de la classe C ). Soi f une foncion de I dans K. On suppose qu exise une foncion g coninue de I dans K elle que pour ou segmen J I, f J soi de classe C sur J e de dérivée g J. Alors f es de classe C I sur I e f = g. Proposiion 4. Théorème "de la ie de la dérivée" à revoir sur le papier "dérivées" ou dans le cours de première année. Deuxième parie Inerversion inégrale-suie de foncions 3 Le héorème de convergence dominée Théorème (Théorème de convergence dominée, preuve hors programme). Soi (f n ) une suie d élémens de C m (I, C), on suppose que : Il exise une foncion g C m (I, R), inégrable sur I, à valeurs posiives, elle que : x I, n N, f n (x) g(x) (On di alors que la suie (f n ) es dominée par la foncion inégrable g), la suie (f n ) converge simplemen vers un élémen f C m (I, C). Alors les f n e f son inégrables sur I e : f(x) dx = f n (x) dx I I Conre-exemple. [Imporance de l hypohèse de dominaion] Soi f n la foncion don le graphe dans R es la ligne polygonale qui join, dans ce ordre, les quare poins ( O = (, ), A n =, (n + ) (n + ) ) ( ), B n = n +,, C = (, ) La suie (f n ) es une suie de foncions coninues sur I = [, ] qui converge simplemen vers. Pouran le erme général de la suie ( I f n(x) dx) vau consammen. Page 3/6 Page 4/6

3 7 décembre 8 7 décembre 8 Exemple. Soi n N, la foncion f n définie sur [, + [ par : f n (x) = ( + x n es coninue sur [, + [ e inégrable sur ce inervalle. Il vien : f n(x) = e x Cee dernière foncion, noée f es inégrable sur [, + [ e : f n (x) dx = ) n e x Démonsraion. f n es coninue sur [, + [. Pour x fixé : ) ln f n (x) = n ln ( + x x quand n. n Donc la suie f n converge simplemen vers f sur [, + [. La foncion φ définie sur R + par : u ln( + ux) es concave pour x >. Donc la foncion u φ(u) es décroissane sur u ], + [ (pene). On en dédui aisémen, par croissance de l exponenielle que, pour x > fixé, la foncion de, définie sur ], + [ par : ) ( + x es décroissane e donc que : C es éviden pour x = e donc : x >, f n (x) f (x) x, f n (x) f (x) Or f es inégrable sur [, + [, le héorème de convergence dominé s applique donc e assure le résula. dx Exercice. Calculer f n (x) dx grâce au changemen de variable : x = n g En déduire la valeur de l inégrale de Gauss. Exercice (La foncion Γ). -. Soi s C el que Re(s) >. Prouver que la foncion : x f x s e x es coninue e inégrable sur I =], + [. On noe Γ(s) = x s e x dx. Pour ou enier naurel n, définissons la foncion f n sur ], + [ par : { ( x s x n si < x < n f n (x) = n) si x 3. Éablir les propriéés suivanes : (a) f n es coninue e inégrable sur ], + [ e : f n (x) dx = n (b) pour ou x de ce inervalle : (c) 4. Prouver la relaion : ( x s x ) n n s n! dx = n s (s + )... (s + n), f n (x) f(x) e f n (x) = f(x), n s n! s (s + )... (s + n) = Γ(s) Γ ( ) = e x dx Page 5/6 Page 6/6

4 7 décembre 8 7 décembre 8 5. En déduire la valeur de cee dernière inégrale. Exercice 3 (Théorème de De Moivre-Laplace). Une paricule évolue aléaoiremen sur un axe de sore qu à chaque insan elle se déplace de ±. Les déplacemens vers la gauche e la droie son équiprobables. On monre que la probabilié P m pour qu au bou de m déplacemens, elle se rouve dans l inervalle : [ m I m = + a m, m + b ] m Où a e b son deux réels els que a < b vau, pour m suffisammen grand : P m = ( ) m m m+k k J m Où J m es l ensemble des k I m els que k +m soi pair. On se propose alors de prouver l esimaion asymoique suivane : P m = b e () m π Dans la suie on prouvera () lorsque m es pair (m = n) e a =.. Posons : e ( n ) Cn n+k n+k C n = ( n ) si k n n a n,k = n si k > n f n () = a n,[], g n () = f n ( n) pour Trouver la ie simple de la suie de foncions (g n ) sur [, + [.. Soi φ la foncion caracérisique de l inervalle [, b], prouver la relaion : ( ) x f n (x)φ n dx = (b n [b n]) + a n,[b n] + a k b n a n,k 3. En déduire que, lorsque n : Conclure. k b n a n,k n b e Exercice 4. On désigne par γ la consane d Euler.. Soien a > e b >, prouver l égalié : ( ) e a e b b = ln a. En déduire la valeur de : 3. Prouver l égalié : (e e n ) ( e ) ( e e ) = γ 4. En déduire que, lorsque x end vers par valeurs supérieures, la foncion : e x ln x x adme une ie que l on déerminera. Exercice 5 (Mines). Rerouver le résula de l exercice précéden en calculan de deux façons différenes : n ( n) n ln Exercice 6. On pose, pour n : Trouver I n e un équivalen. x /n x dx Page 7/6 Page 8/6

5 7 décembre 8 4 Quelques exemples de comporemens asympoiques Exemple. Soi α >. Éudier, quand x + e quand x + le comporemen asympoique de : ( ) F (x) = arcan e x α Démonsraion. - a) Définiion de F Fixons x >. La foncion : ( ) arcan e x α es coninue sur ], + [. Elle es prolongeable par coninuié en e es dominée par au voisinage de +. Elle es donc inégrable sur ], + [. F es donc définie sur ], + [. b) Limie quand x + Soi (x n ) une suie d élémens de [, + [ qui end vers +. Noons : ( ) f n () = arcan e xn α Les foncions f n son coninues sur ], + [ e : ( ) ], + [, f n () arcan e α qui es coninue e inégrable sur ], + [. ], + [, f n () = Donc, d après le héorème de convergence dominée : F (x n) = e, comme ce résula ne dépend pas de la suie (x n ) choisie : F (x) = x + 7 décembre 8 c) Comporemen asympoique quand x + Fixons x > e observons que la foncion : arcan ( α ) e x es coninue e inégrable sur [, + [ puisqu elle es dominée par au voisinage de +. Il vien donc, via la relaion : ( ) arcan e x = π α e x arcan ( α ) e x e, vu l inégrabilié des deux foncions du membre de droie sur ], + [ : F (x) = π x G(x) avec G(x) = arcan ( α ) e x En faisan dans G(x) le changemen de variable affine u = x, il vien : G(x) = ( ) u α arcan e u du x x α or, à u > fixé on a, quand x + : ( ) u α arcan e u uα x α x α e u e, comme la foncion u u α e u es inégrable sur [, + [, cela incie à regarder le comporemen de : ( )] u H(x) = x +α G(x) = e [x u α α arcan du quand x +. On considère la même suie (x n ) que précédemmen e on inrodui la suie de foncions (h n ) définies sur [, + [ par : ( )] u h n (u) = e [x u α α n arcan e : x α n h(u) = u α e u = h n (u) x α Page 9/6 Page /6

6 7 décembre 8 7 décembre 8 Les h n e h son coninues sur [, + [, inégrables sur ce inervalle. Or, pour s, arcan s s par concavié de cee foncion sur [, + [ (le graphe es sous la angene en ) donc h n (u) h(u) pour ou u e ou n e le héorème de convergence dominée assure que : H(x n) = h(u) du En noan I cee dernière inégrale, le crière séqueniel de convergence assure que H(x) = I e donc : x F (x) = π x + I ( ) x + o quand x + +α x +α d) Limie en + Soi x n une suie de réels sricemen posiifs e décroissane qui end vers. Noons f n la foncion définie sur ], + [ par : ( ) f n () = arcan e xn α f n es coninue e inégrable sur ], + [ e la suie (f n ) converge simplemen sur ], + [ en croissan vers f définie par : ( ) f() = arcan α qui es coninue sur ], + [. Il vien donc, pour n N e > : f n () f() donc f n () f() () Donc, si f es inégrable sur ], + [, ce qui n a lieu que si α >, Le héorème de convergence dominée e le crière séqueniel des ies fournissen : si α > x + F (x) = arcan ( ) α En revanche, c es un peu plus délica si < α. D après le héorème de la ie monoone, la suie (F (x n )) possède une ie λ finie ou égale à +. Fixons un segmen J = [a, b] ], + [. Il vien, pour ou n N, puisque la foncion f n es posiive : f n () F (x n ) (3) J D aure par la dominaion () a lieu sur le segmen J sur lequel f es inégrable car coninue. On peu donc appliquer le héorème de convergence dominée à la suie (f n ) sur le segmen J d où : J f n () = e, en passan l inégalié 3 à la ie : f() λ J J f() Mais, comme f n es pas inégrable sur ], + [ l ensemble des J f() n es pas majoré donc λ = + e F (x n ) +. En résumé, le crière séqueniel des ies assure que : si < α x + F (x) = + e) Comporemen asympoique au voisinage de - i) Cas où < α < On procède comme au c). Le changemen de variable x = u amène à considérer : [ ( )] x K(x) = x α F (x) = e u α x arcan du α u α qui, avec les mêmes argumens, end, quand x +, vers : donc : F (x) x α cf le cours polycopié sur les foncions inégrables e u u α du quand x + e u u α du > En première lecure ce cas pourra êre omis Page /6 Page /6

7 7 décembre 8 7 décembre 8 ii) Cas où α = La méhode précédene ne marche plus car la foncion ie n es plus inégrable sur ], ]. Il y à donc un problème quand es au voisinage de l infini qu on peu régler, par exemple, en coupan l inégrale en deux : F (x) = G(x) + H(x) avec : ( ) G(x) = arcan e x H(x) = arcan ( ) e x Les leceurs prouveron, en prenan une suie (x n ) qui end vers que : ( ) G(x) = arcan noée I x + quan à H(x), on enlève à l arc angene une foncion plus simple qui a le même comporemen en + (suppression de la singularié) à savoir la foncion : On forme donc K(x) = e x L(x) = K(x) H(x) = e u = x u du [ ( )] arcan e x qui, d après le crière séqueniel e le héorème de convergence dominée, end, quand x + vers : [ ( )] arcan noée J d où, quand x + : F (x) = K(x) + I J + o() enfin, on prouve en lui reranchan la foncion x x une consane λ elle que quand x + : K(x) = ln x + λ + o() donc il exise une consane μ elle que quand x + : F (x) = ln x + μ + o() qu exise Exemple 3. Soi f C([, ], R). Éudier le comporemen asympoique de la suie : n f() Troisième parie Inerversion série-inégrale 5 Cas des séries normalemen convergenes de foncions coninues sur un segmen On rappelle d abord le héorème vu dans le chapire "suies de foncions" don la preuve doi êre connue. Proposiion 5. Si (u n ) es une suie de foncions coninues sur un segmen J = [a, b] à valeurs dans K, e si la série u n converge normalemen sur J vers une foncion U. Alors : la foncion U es coninue sur J, la série de erme général J u n converge e sa somme vau J U. En pariculier, la série N (u n ) converge puisque e : N (u n ) (b a)n (u n ) ( ) N u n N (u n ) n= n= Il suffi, pour l éablir, de passer à la ie l inégalié : ( N ) N N u n N (u n ) n= quand N puisqu en noan U N la somme parielle de rang N : N (U N ) N (U) N (U N U) (b a) N (u n ). n= n=n+ Page 3/6 Page 4/6

8 7 décembre 8 7 décembre 8 Exemple 4. p e q son des naurels. Calculer I p,q = p ( ) q e en déduire la valeur de : (n!) (n + )! n= Démonsraion. Une inégraion par paries, licie car les foncions considérées son C sur le segmen [, ], amène : I p,q = q p + I p+,q pour q > D où, par récurrence sur q : I p,q = En prenan p = q = n, il vien : q! (p + )... (p + q + ) = p!q! (p + q + )! I n,n = (n!) (n + )! Considérons alors la série de foncions u n, u n éan la foncion définie e coninue sur [, ] par : u n () = n ( ) n L éude des variaions de u sur [, ] amène : e donc : sup ( ) = 4 N (u n ) = 4 n Donc la série u n converge normalemen sur [, ], sa somme U es coninue sur [, ] e l on peu écrire : u n () = U() n= n= Le héorème affirman la convergence de la série du premier membre, il n es nul besoin de la vérifier. D où : (n!) (n + )! = + = 3π 9 (Les leceurs son inviés à vérifier le calcul) Il y a d aures exemples dans le papier sur les séries enières. Exercice 7. Développer en série enière, sur un inervalle à préciser, la foncion : π/ ln ( + x sin ) Remarque (Imporance du segmen). Ce héorème es en défau pour une série de foncions coninues e inégrables sur un inervalle quelconque. Si l on prend : u n () = e /n n pour n,, la série n u n converge normalemen sur [, + [ mais, pour ou n, u n () = ; la série n I n ne saurai donc converger. 6 Cas des séries de foncions inégrables sur un inervalle quelconque Théorème (Théorème "N " di "de convergence dominée pour les séries de foncions". Preuve hors programme ). Soi (u n ) une suie d élémens de C m (I, C) elle que : pour ou enier n, u n es inégrable sur I, la série de foncions u n converge simplemen sur I vers une foncion f C m (I, C), la série de erme général N (u n ) = u I n converge. Alors : f es inégrable sur I, N (f) N (u n ), la série de erme général I u n(x) dx converge e : I f(x) dx = + I u n (x) dx Page 5/6 Page 6/6

9 7 décembre 8 7 décembre 8 6. Uilisaion courane Exemple 5. Écrire sous forme de la somme d une série : ln ln( + ) Démonsraion. La foncion f, définie sur l inervalle ], [ par : es coninue. f() = ln ln( + ) ) Développemen de f en série On rappelle que, pour ], [, ln(+ ) es somme de la série enière n ( ) n n n. On en dédui que, pour < <, f() es somme de la série convergene : ( ) n n ln f() = n + n= Considérons donc la série de foncions u n où u n es définie sur ], [ par : u n () = ( )n n ln n + ) Inégrabilié des u n u n es coninue sur ], [. Prouvons qu elle y es inégrable. Pour n, elle se prolonge par coninuié au segmen [, ], elle es donc inégrable sur ], [. Pour n = c es l inégrabilié habiuelle de ln. Posons : u n () 3) Calcul de I n Par parie, en prenan soin de se ramener à des segmens. Soi < h <. Les foncions : ln e n+ n + son de classe C sur le segmen [h, ]. Il vien donc : [ ] n n+ ln = h n + ln n h h n + D où, après calcul, en faisan endre h vers : n ln = (n + ) e donc : u n () = ( )n (n + ) 3 4) Jusificaion de l inerversion - Les foncions u n son coninues, inégrables sur ], [. La série u n converge simplemen vers une foncions f coninue sur ], [. N (u n ) = ],[ u n() = (n+) 3 donc la série ],[ u n converge. On en dédui L inégrabilié de f sur ], [ e la relaion : ln ln( + ) = n= ( ) n (n + ) 3 Exemple 6. Soi s C el que Re s >. Monrons que : x s dx e x = Γ(s) n s n= La foncion Γ, définie pour s > dans l exercice, vau pour s C el que Re s > : Γ(s) = s e Démonsraion. La foncion x f xs dx es coninue sur I =], + [ e, sur e x ce inervalle, es somme de la série de erme général : u n : x x s e (n+)x Page 7/6 Page 8/6

10 7 décembre 8 7 décembre 8 Toues ces foncions son posiives, coninues, inégrables sur I car, pour ou x I : u n (x) = x Re(s) e (n+)x, foncion coninue sur I, posiive, inégrable sur ], ] car équivalene à x Re(s) en e inégrable sur [, + [ car O(x ) en +. D aure par, le changemen de variable (n + ) x = amène : converge puisque Re s >. D où l iné- Or la série de erme général grabilié de f e l égalié voulue. u n (x) dx = Γ(Re s) (n+) Re s Voyons commen réagi Maple : y:=x^(s-)/(exp(x)-); in(y,x=..infiniy); z:=subs(s=,y); in(z,x=..infiniy); Γ(Re s) (n + ) Re s x s e x x s e x dx x e x π 6 Exercice 8. (X) Pour x >, on pose : s(x) = sin e x Monrer que f es définie sur ], + [ e donner un développemen de f en une série de fracions raionnelles. En déduire que f es coninue sur ], + [ e que, lorsque x + : f(x) π x 6. Cas où l on ne sai pas évaluer la norme un du erme général de la suie Exemple 7. Soi f une foncion coninue par morceaux sur R e elle que la foncion : f() e soi inégrable sur R. La foncion : e i x f() es inégrable sur ], + [. Prouvons alors que la foncion ˆf définie sur R par : x e i x f() es développable en série enière sur ], [, c es-à dire qu exise une suie complexe (a n ) elle que la série n a n x n converge pour x ], [ e que sa somme vaille ˆf(x) sur ce inervalle. Démonsraion. L inégrabilié de la foncion e i x f() sur ], + [ provien de sa coninuié par morceaux e de la majoraion : R, e i x f() = f() f() e Cee dernière foncion es inégrable sur ], + [. Le développemen en série de la foncion e i x perme d écrire, pour ou couple (x, ) de réels le développemen en série convergene : e i x f() = n= i n x n n f() n! Page 9/6 Page /6

11 7 décembre 8 7 décembre 8 Dans la suie, x ], [ es fixé. Posons, pour R : u n () = in x n n f() n! ) Inégrabilié de u n La foncion u n () es coninue par morceaux e inégrable sur ], + [ car : R, u n () x n n f() n! x n f() e La foncion u n es donc coninue, posiive, majorée par une foncion inégrable sur R, elle es donc inégrable sur R. ) Convergence de N (u n ) N (u n ) = x n n f() n! Il ne semble pas rès facile de calculer ou de majorer N (u n ) de façon efficace. Procédons auremen. Posons : v n () = u n () = x n n f() n! v n es inégrable sur R e, pour ou : v n () = e x f() f() e n= La foncion majorane es inégrable sur R, donc aussi la foncion posiive : e x f(). Or, pour ou R e, pour ou N N : D où : N n= N v n () e x f(). n= R v n () R e x f() = M Comme il s agi d une série à ermes posiifs don les sommes parielles son majorées par M, la série v R n() converge, ce qu on voulai. De surcroî : n e x f() = v n () R 3) Jusificaion de l inerversion Le héorème s applique donc à la série de foncions u n. Il assure La convergence de la série u R n() e l égalié : u n () = e i x f() R R En posan : n= a n = n= R n f() n! La série enière n a n x n converge pour x < e : x ], [, R e i x f() = a n x n Exercice 9 (X). Calculer, sous la forme la plus simple possible : b n a ( a)(b ) en évaluan, pour x suffisammen pei, la somme de la série enière n I n x n. Exercice. Pour quelles valeurs du réel k la suie de erme général : n ) n ( e k n! es--elle convergene? n= Page /6 Page /6

12 7 décembre 8 7 décembre 8 Exercice. Soi f une foncion coninue sur ], + [, posiive. On suppose l exisence d un réel α > el que la foncion : f() e x soi inégrable sur ], + [ pour ou x de l inervalle ] α, α[. Prouver que la foncion L définie sur ] α, α[ par : L(x) = e x f() es développable en série enière cf exemple 7 sur ce inervalle e ln L y es convexe. Conre-exemple (Imporance des hypohèses). Associons à la suie (f n ) de foncions du conre-exemple, la suie (u n ) de foncions coninues sur I = [, ] définie par : u = u = f u n = f n f n si n On prouve alors facilemen que : la série u n converge simplemen vers la foncion nulle, la série I u n(x) dx converge vers, le héorème ci dessus ne s applique donc pas d où la divergence de la série I u n(x) dx. 6.3 Cas où le héorème ne s applique pas Aussi séduisan que puisse êre ce héorème, il ne s applique pas (du moins direcemen) dans nombre de siuaions où les foncions u n son inégrables sur I mais où la série de erme général N (u n ) diverge. Exemple 8 (Cenrale ). Exisence e signe de : R n = k=n+ ( ) k Éudier la convergence de n R n e calculer sa somme. k Démonsraion. La série converge d après le crière des séries alernées e le signe de sa somme es celui de ( ) n+. Posons, pour k e [, ] : u k () = ( ) k k u k es une foncion coninue donc inégrables sur le segmen [, ] e : u k () = ( )k. k D aure par, pour [, [ la série u k () converge vers U n () = k n+ ( ) n+ n. Malheureusemen la série de erme général N (u k ) = + k diverge. Pour pallier à ce inconvénien on va ravailler direcemen sur la somme parielle de la série de erme général u k e sur l inervalle [, [ où la suie des sommes parielles converge simplemen vers la foncion coninue U n. Pour p n +, noons : f p () = Donc, pour ou [, [ : p k=n+ u k () = U n () ( + ( ) p n ) f p () U n () Foncion inégrable sur [, [ car resricion à ce inervalle d une foncion coninue sur [, ]. On peu donc appliquer le héorème de convergence dominée à la suie (f p ) p n+ : Soi encore : Finalemen : p p k=n+ R n = p k=n+ f p () = ( ) k k ( ) k k U n (). ( ) n+ n =. + ( ) n+ n =. + Page 3/6 Page 4/6

13 7 décembre 8 7 décembre 8 En réiéran le même raisonnemen, on rouve : n= R n = ( + ) = On aurai égalemen pu grouper les ermes deux par deux comme dans l exemple suivan. Exemple 9. Prenons un aure exemple de série alernée de foncions : u n (x) = ( ) n e nx pour n e x > Celle ci converge simplemen sur I =], + [ d après le héorème usuel sur la convergence des séries alernées. Soi f sa somme. Sur ou segmen [a, b] I, on a l inégalié : u n+ (x) e na D où la convergence normale de u n vers f sur ou segmen I e la coninuié de f sur I. Dans le bu d appliquer le héorème, on calcule : N (u n ) = n Malheureusemen cee série ne converge pas e le héorème ne peu s appliquer. Pouran la série de erme général I u n(x) dx converge comme série alernée. Prouvons, malgré ou, que f es inégrable sur I e : I f(x) dx = u n (x) dx n= L idée consise à accélérer la convergence de la série u n en groupan deux ermes consécuifs. Pour p, posons, pour x I : v p (x) = u p (x) + u p+ (x) Les leceurs prouveron que le héorème s applique à la série de foncions de erme général v p don la somme es f. Le résula annoncé s en dédui. Exercice. Prouver direcemen le résula précéden en uilisan la majoraion habiuelle du rese d une série alernée e la echnique de l exemple 8. I Exercice 3. Soi R n le rese de la série harmonique alernée : Démonrer que R n = k=n ( ) k k + Rn = ln n= On pourra écrire R n sous forme d une inégrale e en déduire une expression de : ( ) n R n x n pour x [, [ + x n= Puis prouver que la somme proposée vau : f(x) dx Quarième parie Inégrales dépendan d un paramère 7 Coninuié sous le signe somme Théorème 3 (Théorème de coninuié sous l inégrale. Démonsraion non exigible). Soi f une foncion à valeurs réelles ou complexes définie sur A I, où A e I son des inervalles de R, e vérifian les propriéés suivanes : Pour ou x A, la foncion parielle f(x,.) définie sur I par : es coninue par morceaux sur I. f(x, ) Page 5/6 Page 6/6

14 7 décembre 8 7 décembre 8 Pour ou I, la foncion parielle f(., ) définie sur A par : x f(x, ) es coninue sur A. il exise une foncion φ, coninue par morceaux, posiive e inégrable sur I elle que : (x, ) A I, f(x, ) φ() (Hypohèse de dominaion) Alors, pour chaque x A, la foncion f(x, ) es inégrable sur I e la foncion g définie sur A par : x f(x, ) I es coninue sur A. Ce résula es encore vrai si une hypohèse de dominaion es vérifiée sur ou segmen de A (la foncion dominane dépendra, bien sûr, du segmen). Démonsraion. L inégrabilié de f(x,.), e donc la définiion de g, provien de l hypohèses de dominaion. Soi a A e (x n ) une suie d élémens de A qui converge vers a. La suie (f n ) de foncions définies sur I par f n = f(x n,.) converge simplemen vers la foncion f(a,.) e vérifie sur I les hypohèses du héorème de convergence dominée. On en dédui que g(x n ) = g(a). Le cas d une dominaion sur ou segmen de A s en dédui car une foncion de A dans C don les resricions à ous les segmens de A es coninue es coninue sur A. Exemple. Pour x >, on peu définir : s(x) = sin e x Prouvons direcemen la coninuié de s sur ], + [. Démonsraion. La foncion f définie sur ], + [ ], + [ par : vérifie les propriéés suivanes : f(x, ) = sin e x, Pour x > fixé la foncion f(x,.) es coninue sur ], + [. Pour > fixé la foncion f(., ) es coninue sur ], + [. On se place sur un segmen [a, b] avec < a < b. Pour ], + [ e x [a, b] : sin sin e x e a = φ() φ es coninue e posiive sur ], + [, prouvons qu elle y es inégrable. ) Inégrabilié sur ], ] : φ se prolonge en une foncion coninue sur [, ] car : + φ() = a ) Inégrabilié sur [, + [ : Elle provien de ce que, sur ce inervalle : ( ) φ() = O Le héorème 3 avec dominaion sur ou segmen prouve donc l inégrabilié, pour ou x >, de f(x, ) e la coninuié sur ], + [ de : x Exemple. Pour x R, l inégrale : π f(x, ) ln(x x cos θ + )d θ exise. Si on noe f(x) sa valeur, la foncion f ainsi définie es coninue sur R. Démonsraion. - Noons u l applicaion de R [, π] dans R dé- Définiion de f sur R : finie par : u(x, θ) = x x cos θ + = (x cos θ) + sin θ, es donc posiive e ne peu s annuler que pour sin θ = (x cos θ) = soi : (x, θ) = (, ) ou (x, θ) = (, π). Page 7/6 Page 8/6

15 7 décembre 8 Donc, pour x ±, l applicaion ln u(x,.) es coninue sur le segmen [, π] donc inégrable. Pour x =, la foncion v : θ ln(( cos θ)) es définie e coninue sur ], π] e, au voisinage de : v(θ) ln θ qui es négaive e inégrable sur ], ] donc v aussi. On fai une éude analogue pour x = ce qui clô la définiion de f. Coninuié de f sur R : Enfin d englober simulanémen les cas x = ± e les aures dans une même éude, on va considérer mainenan la foncion φ définie sur R ], π[ par : φ(x, θ) = ln(x x cos θ + ). Vérifions que φ saisfai les hypohèses du héorème de coninuié dominée sur ou segmen : i) Pour ou x R l applicaion φ(x,.) es coninue sur ], π[. ii) Pour ou θ ], π[ l applicaion φ(., θ) es coninue sur R. iii) Pour dominer φ sur ou segmen de R, on fixe un segmen de R qui es conenu dans un segmen de la forme [ a, a] où a >, puis, pour θ ], π[ fixé, on éudie les variaions de φ(., θ) sur [ a, a]. On rouve, puisque ln ( sin θ ) = ln(sin θ) vu que < θ < π : x a cos θ a φ(.θ) φ( a, θ) φ(a, θ) ln(sin θ) Il en résule (x, θ) [ a, a] ], π[ : φ(x, θ) max ( φ(a, θ), φ( a, θ), ln(sin θ) ) donc, puisque le maximum d un ensemble fini de réels posiifs es majoré par leur somme : φ(x, θ) φ(a, θ) + φ( a, θ) + ln(sin θ). La foncion majorane es la somme de rois foncion inégrables sur ], π[, elle donc inégrable sur ], π[. f es donc coninue sur R. 8 Dérivaion sous le signe somme 8. Le héorème de dérivaion sous l inégrale 7 décembre 8 Théorème 4 (Théorème de dérivaion sous l inégrale. Démonsraion non exigible). Soi f une foncion à valeurs réelles ou complexes définie sur A I, où A e I son des inervalles de R, e vérifian les propriéés suivanes : Pour ou x A, la foncion parielle f(x,.) définie sur I par : f(x, ) es coninue par morceaux sur I e inégrable sur I. Pour ou I, la foncion parielle f(., ) définie sur A par : x f(x, ) es de classe C sur A e sa dérivée parielle f (x,.) es coninue par x morceaux sur I. il exise une foncion φ, coninue par morceaux, posiive e inégrable sur I elle que : (x, ) A I, f (x, ) x φ(). (Hypohèse de dominaion) Alors la foncion g définie sur A par : x f(x, ) I es de classe C sur A e, pour ou x A, la foncion f (x,.) es inégrable x sur I e : g f (x) = (x, ) I x (Formule de Leibniz) Ce résula es encore vrai si l hypohèse de dominaion es vérifiée sur ou segmen de A. Page 9/6 Page 3/6

16 7 décembre 8 7 décembre 8 Démonsraion. Soi a A e (x n ) une suie d élémens de A {a} qui converge vers a. L inégalié des accroissemens finis amène : I, f(x n, ) f(a, ) x n a φ(). De sore que le héorème de convergence dominée s applique à la suie (f n ) de foncions définies sur I par : f n () = f(x n, ) f(a, ) ce qui prouve x n a la dérivabilié de g e la formule de Leibniz au poin a. La coninuié de g provien du héorème 3. Enfin si l hypohèse de dominaion es vérifiée seulemen sur ou segmen, les resricions de g aux segmens de A son C, il en es donc de même de g avec la même expression de la dérivée. Exemple (Mines). Soien a > e b > des réels. Calculer : π ( ) a cos ln b cos Démonsraion. Posons, pour (x, ) D =], + [ [, π] : f(x, ) = ln(x cos ) Vérifions les hypohèses du héorème de dérivabilié sous l inégrale. Pour x ], + [, la foncion f(x,.) es coninue sur le segmen [, π] ; elle y es donc inégrable. Pour [, π], la foncion f(., ) es de classe C sur ], + [ e sa dérivée parielle par rappor à x es donnée par : f x (x, ) = x cos e f (x,.) es coninue sur [, π]. x Si [a, b] ], + [ es un segmen : (x, ) [a, b] [, π], f (x, ) x a. Dominane consane donc inégrable sur [, π]. La foncion g définie sur ], + [ par : g(x) = π es donc de classe C sur ], + [ e : g (x) = ln(x cos ) π x cos Cee dernière inégrale se calcule via le changemen de variable : ( ) u = g avec < π qui es un C -difféomorphisme croissan de [, π[ sur [, + [ e : x cos = du (x ) + (x + )u D où : π + x cos = du (x ) + (x + )u. L inégrande de droie es inégrable sur [, + [ en veru du héorème de changemen de variable. On rouve en inégran de à T e en faisan endre T vers + : Donc : e donc : g (x) = π x ( x >, g(x) = π Argch x + C = π ln x + ) x + C π ( ) ( ) a cos a + a ln = π ln b cos b + b Exemple 3. (Mines) Calculer, pour x > : g(x) = e x sh Page 3/6 Page 3/6

17 7 décembre 8 7 décembre 8 Démonsraion. Considérons la foncion des deux variables (x, ), définie sur D =], + [ ], + [ par : f(x, ) = e x sh Pour x > fixé la foncion f(x,.) es coninue sur ], + [ ; prouvons son inégrabilié sur ], + [ : a) Inégrabilié sur ], ] f(x, ) = + f(x,.) se prolonge donc par coninuié à [, ]. Elle es donc inégrable sur ], ]. b) Inégrabilié sur [, + [ On a, quand + : f(x, ) e (x ) qui assure son inégrabilié puisqu elle es posiive e que la majorane es inégrable sur [, + [ 3. Soi ], + [, f(., ) es de classe C sur ], + [ e : f x (x, ) = e x sh f (x,.) es coninue sur ], + [. x Essayons de dominer f (x, ) sur un segmen [a, b] ], + [ car une x dominaion globale sur ou l inervalle ], + [ échoue. Pour (x, ) [a, b] ], + [, il vien : f (x, ) x = e x sh e a sh Cee dominane es inégrable sur ], + [ car posiive, coninue sur ce inervalle, coninûmen prolongeable en e équivalene en + à la foncion : e (a ) 3 On pourrai aussi appliquer la règle du α f() posiive e inégrable sur [, + [. Le héorème 4 assure donc que g C (], + [, R) e que, pour x > : g (x) = e x sh = x Donc, sur ], + [ : g(x) = ln + x x + C = ( ) x + ln + C. x Remarque. La angene hyperbolique es exclue. Il fau connaîre les inégrales en logarihme valables sur ous les inervalles. Pour évaluer la consane C on va éudier la ie de g au voisinage de +. À ce effe, on prend une suie (x n) de réels de l inervalle ], + [ qui end vers + e on éudie le comporemen de la suie de erme général g(x n ). Il exise N N el que, pour ou n > N, x n. Posons : f n () = f(x n, ) pour n > N On a : f n C(], + [, R), pour ou >, f n () φ() = f(, ). Foncion posiive, coninue, inégrable sur ], + [. La suie (f n ) n>n converge simplemen, sur ], + [ vers la foncion nulle. Le héorème de convergence dominée assure donc : g(x n) = Comme le résula es vrai, quelle que soi la suie (x n ) endan vers +, il vien : x + g(x) = On en dédui C =. g(x) = ( ) x + ln x Page 33/6 Page 34/6

18 7 décembre 8 7 décembre 8 Exercice 4. La foncion f définie par : ln( x) e es définie e coninue sur ], ]. Sur quel inervalle es--elle C? 8. Calcul des dérivées successives Monrons, sur un exemple, commen on prouve qu une foncion g définie par une inégrale es de classe C. La méhode générale es la suivane. On rouve, en dérivan g au brouillon e formellemen n fois sous le signe somme, l expression suppuée de g (n). On inrodui une suie (g n ) de foncions, avec g = g e g n es l expression suppuée de g (n). On prouve, en appliquan le héorème de dérivaion sous l inégrale que g n es de classe C e que g n = g n+. On en dédui, par récurrence sur n, que g es de classe C n e que g (n) = g n. Remarque 3. Si l on a du mal à rouver une dominaion globale, penser à dominer sur ou segmen de A. Le héorème rese valable. Exemple 4. La foncion Γ, définie précédemmen sur ], + [ par : Γ(x) = e x es de classe C e, pour ou enier naurel n : Γ (n) (x) = e ln n x Démonsraion. Noons f n (x, ) la foncion définie sur D =], + [ ], + [ par : f n (x, ) = e ln n x = e ln n (x ) ln e Il vien les propriéés suivanes : Pour x > fixé, f n (x,.) es une foncion coninue sur ], + [ d après les propriéés opéraoires des foncions coninues. Les leceurs vérifieron son inégrabilié sur ], + [. Pour > fixé, f n (., ) es de classe C sur ], + [ e sa dérivée parielle relaivemen à x sur ce inervalle es donnée par : f n x (x, ) = f n+(x, ). f n (x,.) es coninue sur ], + [. x Rese à voir les hypohèses de dominaion. Il es peu raisonnable d espérer une majoraion du ype : f n (x, ) φ() en ou poin (x, ) D. On va d abord prouver une elle majoraion sur : [a, b] ], + [ où < a < < b (dominaion sur ou segmen). On observe que : { < x a pour < e a x b < x b pour e a x b Il en résule, en discuan suivan la posiion de par rappor à, que pour ou (x, ) [a, b] ], + [ : avec : e donc aussi : f n (x, ) φ n () φ n () = e ln n ( a + b ) f n (x, ) x = f n+(x, ) φ n+ () Il fau enfin prouver l inégrabilié de φ n (e donc de φ n+ ) sur ], + [ : Au voisinage de + : + φ n () = donc φ n, qui es coninue e posiive sur [, + [, vérifie : φ n () = o( ) au voisinage de + donc φ n es inégrable sur [, + [. Page 35/6 Page 36/6

19 7 décembre 8 7 décembre 8 Au voisinage de : Soi α ], a[ : φ n () = α Donc φ n, qui es coninue e posiive sur ], ], vérifie : φ n () = o( α ) au voisinage de donc φ n es inégrable sur ], ]. φ n es donc coninue e inégrable sur chaque inervalle ], ] e [, + [ donc sur ], + [. Le héorème de dérivaion sous le signe somme assure que la foncion g n définie sur ], + [ par : g n (x) = es de classe C sur ], + [ e : f n (x, ) x >, g n(x) = g n+ (x) Comme g = Γ, le résula aendu s en dédui immédiaemen. Exercice 5 (Théorème élémenaire de division des applicaions C ). Soi f C (R, C) elle que f() =. En remarquan que, pour x : f(x) x = f (x), prouver que cee foncion, convenableman prolongée en, es de classe C sur R. Que faudrai-il supposer pour avoir le même résula avec f(x), p x p N? 9 Calcul d inégrales dépendan d un paramère Voici un exemple comple : Exemple 5. On défini une foncion f sur [, + [ ], + [ par : Pour x >, la foncion : es inégrable sur ], + [. Pour x = l inégrale : f(x, ) = ei x. f(x, ) f(, ) es convergene, non absolumen convergene 4. La foncion g, définie pour x par : e i x g(x) = es de classe C sur ], + [ e vérifie, sur ce inervalle, l équaion différenielle : g(x) = (i x) g (x) avec, quand x + : g(x) e u π du = x u x Pour x > : g(x) = π e iπ/4 e i arcan x (x + ) /4 g es coninue en, on en dédui la valeur de l inégrale semi convergene de Fresnel : π e i = eiπ/4 Démonsraion. - 4 On di aussi semi-convergene Page 37/6 Page 38/6

20 7 décembre 8 7 décembre 8 Soi x > fixé, la foncion f(x,.) es coninue sur ], + [, prouvons son inégrabilié sur ce inervalle. Pour >, il vien : f(x, ) = e x L inégrabilié de la foncion f(x, ) sur ], + [ es un exercice désormais classique laissé aux leceurs. La foncion f(, ) = n es pas inégrable sur ], + [ ; la foncion f(, ) n es donc pas inégrable sur ce inervalle. Cependan elle es inégrable sur ou inervalle ], T ] avec T >. Prouvons que la foncion : T e i T adme une ie quand T +. Limie qui es noée : e i. Auremen di que l inégrale généralisée e i es convergene, non absolumen convergene. Comme : T e i = il suffi de l éablir pour la foncion : T e i + T e i T e i Comme on l a vu en cours, le principe consise à accélérer la convergence vers de la foncion inégrée via une inégraion par paries : T [ ] e i e i T = i + T e i i 3/ licie car les foncions considérées son de classe C sur [, T ]. Or : e i 3/ 3/ pour, cee foncion es donc inégrable sur [, + [ d où l exisence de la ie quand T +. g es définie sur [, + [. Prouvons qu elle es de classe C sur ], + [. f adme sur ], + [ ], + [ une dérivée parielle : f x (x, ) = e i x, coninue séparémen par rappor aux variable x e e qui saisfai, sur le segmen [α, β] ], + [, la relaion de dominaion : f (x, ) x ψ() (4) avec : ψ() = e α qui es inégrable sur ], + [. La foncion g es donc de classe C sur ], + [ e, pour ou x > : g (x) = e i x. Pour éablir l équaion différenielle, évaluons, pour < h < T l inégrale : T e i x par paries : T h e i x [ ] T = e i x h h T En faisan endre h vers puis T vers +, il vien : g(x) = (i x) g (x) L inégraion de cee équaion fourni : g(x) = A e i arcan x (x + ) /4 h (i x) e i x Pour déerminer la consane A, déerminons un équivalen de g quand x +. Page 39/6 Page 4/6

21 7 décembre 8 7 décembre 8 Le changemen de variable x = u dans cee inégrale donne : g(x) = e iu/x e u du x u Soi x n une suie endan vers + : Pour ou u ], + [ : e iu/xn e u e u u u Cee dernière foncion es inégrable sur ], + [, le héorème de convergence dominée assure : xn g(x n ) = On en dédui la valeur de la consane A : Donc, pour x > : A = π e iπ/4 e u u du = Γ(/) = π g(x) = arcan x iπ/4 e i/ π e (x + ) /4 Éudions mainenan la coninuié de g en. Le problème provien de la semi convergence de l inégrale définissan g(). Aucune des formes du héorème de convergence dominée ne s applique. On va, pour conourner le problème, se ramener encore à des foncions inégrables par des inégraions par paries : π e i x e i x g(x) = + π La foncion u définie sur [, + [ par : u(x) = π e i x es coninue sur [, + [ car l inégrande es une foncion coninue de x sur ce inervalle e es dominé par : qui es inégrable sur ], π]. La foncion v définie sur [, + [ par : v(x) = π e i x adme une aure expression, via une inégraion par paries. Pour x, il vien : T π [ ] e i x e (i x) T = (i x) + π D où, en faisan endre T vers + : v(x) = e π x (i x) π + (i x) T e (i x) (i x) π 3/ π e (i x) 3/ Or, pour π fixé, la foncion x e(i x) es coninue sur [, + [ e 3/ dominée par 3/ qui es coninue e inégrable sur [π, + [. La foncion v es donc coninue sur [, + [ e on en dédui la coninuié de g sur [, + [. La coninuié de g en fourni : e i = π e iπ/4 Inerversion d inégrales Théorème 5 (Théorème de Fubini vu en première année). Soi f une foncion coninue sur [c, d] [a, b] à valeurs complexes. Alors les foncions : e x b a d c f(x, ) f(x, ) dx son coninues respecivemen sur [c, d] e [a, b] e : d [ b ] b [ d ] f(x, ) dx = f(x, ) dx c a a c. Page 4/6 Page 4/6

22 7 décembre 8 7 décembre 8 Cee valeur commune peu se noer : f(x, ) dx avec Δ = [c, d] [a, b]. Exercice 6. Posons : Δ cos x Éudier f, calculer sa ransformée de Laplace : Lf(s) = f(x) e xs dx où s es un réel sricemen posiif. Éudier le comporemen de Lf au voisinage de. Exercice 7. Soi f C ([, + [, C) elle que f e f soien inégrables sur [, + [. Monrer que f es inégrable sur [, + [ e majorer N (f ) en foncion de N (f) e de N (f ). [difficile] Essayer de généraliser avec une foncion de classe C n. Cinquième parie Travaux dirigés Convergence dominée Exercice 8 (X 97). Soien a, b avec < a < b. Exisence de : I(a, b) = ( + a )( + b ) En uilisan le changemen de variable : ab u = Monrer que I(a, b) = I ( ab, a+b ). Eudier les suies (a n ) e (b n ) définies par a = a, b = b e : a n+ = a n b n, b n+ = a n + b n Exprimer I(a, b) à l aide de la ie commune à ces deux suies. Exercice 9 (Mines 3). Équivalen de : e x n + x dx? Exercice (Mines 3). Équivalen de : u n = dx + x sh ( x n )? Exercice (Mines 5). f n (x) = exp ( ( + ) x ) ( x n n + x u n = n. Exisence de u n? f n (x) dx ) n. Comporemen de la suie quand n end vers l infini? 3. Si on remplace f n par : ) n g n (x) = exp ( ( + ) x ) ( x n α n. + x Que peu-on dire du comporemen de u n, selon les valeurs de α? Exercice (Mines 8). Soi f une foncion définie sur R + à valeurs dans R, coninue e inégrable sur R +. Monrer que : x f() = o(x) quand x + Exercice 3 (Cen 8). Soi f une foncion coninue sur R + à valeurs sricemen posiives elle que : + f () f() = α R.. Déerminer k + k+ k f () f() e en déduire la naure de la série de erme général f(k) don le rese d ordre n es, lorsqu elle converge, désigné par R n e la somme parielle d ordre n es, lorsqu elle diverge, désigné par S n.. Monrer que : k+ k e α f() k α f(k) 3. Donner des équivalens de R n e S n en foncions d inégrales quand n. Remarque 4. Je demande d uiliser, auan que possible, le héorème de convergence dominée dans les deux premières quesions de ce exercice. Exercice 4 (CCP 99, TPE 8). Calculer : n ( + n) n e. Exercice 5 (Mines 3, Cen 7 e 8). - Page 43/6 Page 44/6

23 7 décembre 8 7 décembre 8. Calculer :. Calculer n ( n) n ln n ln( ) e en déduire une aure expression de la ie précédene. Exercice 6 (Mines 3). Éudier ( + ) n e n n n Exercice 7 (Mines ). Éudier l inégrabilié, sur [, + [, de la foncion f n définie par f n (x) = n3/ x. Éudier le comporemen +n x asympoique de la suie f [,+ [ n(x) dx. Exercice 8 (Cenrale ). Déerminer la ie, quand n de : 3 ln n ln n + Exercice 9 (Mines 7). Après en avoir éudié l exisence, déerminer la ie, quand n, de : h( n) + ln + + ( ln ) n Exercice 3 (Mines 98). Pour n, on pose : ( πx ) /n sin dx Trouver les ies de (I n ) e de (I n n) quand n. Exercice 3 (Cen 98). On pose : ln( n ) Éudier la ie de (I n ) puis de (ni n ). Exercice 3 (Cen 8). Soi f C([, ], R). Déerminer la ie L de la suie (I n ) de erme général : : f( n ) Donner des condiions suffisanes sur f permean de rouver un équivalen simple de u n L e le préciser. Exercice 33 (Mines 8). Équivalen de la suie de erme général : : /n e nx n x dx? Exercice 34. Naure de sin x x dx? Exercice 35. Trouver, quand n, un équivalen de : sin(π n ) Exercice 36 (Mines 8). Déerminer la ie de la suie (I n ) définie par : ( π ) /n x n sin x dx Exercice 37 (Mines 3). Naure de la suie (I n ) : ln (cos (x n )) dx Exercice 38 (CCP 99). Exisence e éude de la suie de erme général : u n = n cos ( ) π Exercice 39 (Mines ). Soi f une foncion coninue sur [, ] elle que f(). Donner un équivalen de : u n = n f() Exercice 4 (Cen 98 e Mines ). Soi f C([, + [, C) bornée. On pose : e n a n = f() Trouver a n f(). e un équivalen si Exercice 4 (Mines 98). Exisence e ie de : nx e nx ln( + x) + cos x dx Exercice 4 (Mines 98). Soi f C(R, C) bornée. Trouver : n f() ( + n 3 ) R Exercice 43 (Cen 98, 8, Mines 8). Soi f C([, + [, C) bornée. Trouver : n nf() e n Exercice 44. Soi f coninue, posiive sur [a, b]. Déerminer : ( b ) f(x) n n dx a Exercice 45 (Mines 99, 3 e 4). Soi a ], ]. Monrer que, quand n : a ( ) n π n Soi f C ([, ], R) elle que f() =, f () =, f () e f(x) < sur ], ]. Donner un équivalen de : [f(x)] n dx Page 45/6 Page 46/6

24 Exercice 46 (X 98). Soi f C (R, C), nulle en dehors d un segmen. Déerminer : R nf(x) ( x n ) n 3 dx Exercice 47 (X ). Éudier la suie (u n ) de erme général : ( ) n e x + n u n = ( x ) n dx + x 3 n Exercice 48 (X 99). Exisence e ie de la suie (u n ) de erme général : u n = n 3 ln Naure de n ( u n ) α suivan les valeurs de α. Exercice 49 (Mines 98). Monrer que : n ( ) n ( ) k k pk + An /p k= avec A > Exercice 5 (Mines 3). Naure de la suie : n dx + x + x x? n Exercice 5 (Cenrale, Mines 8). -. Démonrer l inégalié de la moyenne arihméicogéomérique.. On considère : u n = 7 décembre 8 x n dx + x + x xn (a) Éude de (u n). (b) Convergence évenuelle de u k? k (c) (Une fois le rese fai) Équivalen de u n? Exercice 5 (Mines 98). Limie e développemen asympoique à deux ermes de : + n + n Exercice 53 (Mines 98 e 99). Mêmes quesions que le précéden avec : dx + x n Exercice 54 (Ens 99). Soi f C (R, R), nulle pour > a >. Es-ce possible? Déerminer la ie de : f() e in3 [Inégrer judicieusemen par paries. ] Exercice 55 (Mines ). Soien k, n des eniers naurels non nuls. On noe r k,n le rese de la division euclidienne de n par k. Déerminer : r,n + r,n + + r n,n n Inerversion série-inégrale Exercice 56 (CCP 98). Éudier la suie e série de erme général : x n ln x dx Exercice 57 (CCP 8). Soi f C([, ], R) e g définie sur [, [ par g(x) = f(x). On défini, pour ou x enier naurel n u n = x n f(x) dx.. Déerminer u n.. On suppose g inégrable sur [, [. Monrer que un converge e que : u n = g(x) dx n= 3. On suppose f(). Donner un équivalen simple de u n [commencer par regarder des exemples simples]. 4. Dans cee quesion on prend pour f : x x. (a) Prouver la convergence de u n e calculer sa somme. (b) Même quesion avec ( ) n u n. Exercice 58 (Tpe 8). Soi a >. Prouver l égalié : + = ( ) n a + n a n= 7 décembre 8 Exercice 59 (CCP 7). -. Calculer sup x e x. x. Monrer, avec oues les jusificaions nécessaires, l égalié : x e x ( x e x ) dx = Exercice 6 (Mines 6). x n ln( x) dx. n! n n n= Éudier la série de erme général I n. Exercice 6 (Mines 8). Soi. ln( + x n ) dx. Naure de la série de erme général I n?. Naure de la série de erme général ( ) n I n? 3. Développemen à deux ermes de I n? Exercice 6 (Ccp 8). n= ( ) n n n + x Page 47/6 Page 48/6

25 7 décembre 8 7 décembre 8. Monrer que f es C sur R.. Éudier, pour r N, e r cos(x) e la calculer si possible. 3. En déduire que cos(x) e + Exercice 63 (Cen 3). Prouver, pour x R, l égalié : cos x = ch ( ) n n + (n + ) + x n= Exercice 64 (Mines 6). I = ln. Convergence de l inégrale?. Expression de I sous forme d une série. Exercice 65 (Mines 6, 7). -. Exisence de : ( ) k R n =? k. Monrer que : k=n+ R n = ( ) n+ n + 3. Monrer que la série de erme général R n converge e calculer sa somme. Exercice 66 (Mines 7). Soi f définie sur R par ( x ) sh x. Prouver que f, convenablemen prolongéee en es C sur R.. Exprimer I = f(x) dx comme somme d une série ; en déduire sa valeur (on rappelle que n = π /6). n= Exercice 67 (Cen ). Pour n N, on pose : a n = k=n+ ( ) k k. Définiion de a n e convergence de n a n?. En considéran évaluer a n. n= k ln, Exercice 68 (Mines 99). Éudier u n avec : n u n = ( α ) n Exercice 69 (TPE ). Calculer la somme de la série n u n avec : π/ u n = ( ) n cos n x dx Exercice 7 (Mines 6). -. Naure de la série de erme général : x n ln( x) dx?. Équivalen de I n en plus l infini? Exercice 7 (Mines 3, 4, 8 Cenrale 7). a n = ( + 3 ) n pour n Exisence de a n, rayon de convergence R de la série enière n a n x n? convergence e somme des séries de ermes généraux a n R n e ( ) n a n R n? Relaion de récurrence e équivalen de a n? Exercice 7. Convergence e calcul de : ( ) n cos(n ) n e de : π ( ) n n sin(n + ) + cos Exercice 73 (Mines 99). Écrire l inégrale : x e x + dx comme somme d un série. Exercice 74 (Cenrale 99). Définiion, coninuié, classe C de la somme f de la série de foncions : e n n + n Éudier les variaions de f e sa ie en + ; es-elle inégrable sur [, + [? Exercice 75 (Cen 98 e ). On pose : n ln u n = + Donner une forme condensée de puis un équivalen simple de u n n= u n. Exercice 76. Posons, pour x R : x (x ) (x n + ) H n (x) = n! Prouver, pour x >, la relaion : ( u) x du = u ( ) n H n (x) n n= En déduire, pour x >, l idenié : ( ) n x H n (x) = n n (n + x) n= n= Page 49/6 Page 5/6

26 7 décembre 8 7 décembre 8 Exercice 77 (Cenrale ). - On considère : I = ln( + ). Exisence de cee inégrale?. Exprimer I en foncion de. k k= Exercice 78 (Mines 98). Calculer : e x x n sin x dx Exercice 79 (Mines 3, Cen 8). Jusifier l exisence de : x ch x dx R + e l écrire comme somme d une série. Exercice 8 (Mines 8). J(x) = π π/ cos(x cos(θ)) dθ. Domaine de définiion de J?. Développer J en série enière sur son domaine de définiion. Exercice 8 (Mines 98, Cen, Mines 8). -. Déerminer une relaion de récurrence enre les inégrales : J n = e (sin ) n. Naure de la série n J n. 3. Rayon de convergence de la série enière n J n x n. 4. Monrer que J n cn / avec c >. Exercice 8. Convergence, suivan a, de la série de erme général : e (na ) Exercice 83 (Esim ). Prouver l égalié : n= ln(h x) dx = (n + ) = Calcul exac de l inégrale? ln Exercice 84 (Cen 98, Mines Ccp 7 (dans le cas où x = )). Pour x, écrire l inégrale suivane comme somme d une série : I(x) = x ln ln( ) En déduire un équivalen de I(x) quand x +. Exercice 85 (Mines 98,, 8). Monrer que la foncion f : x sin x e es développable en série enière sur ], [. Calculer les coefficiens de son développemen puis exprimer f à l aide des foncions usuelles. Exercice 86 (Mines 4 ). On considère la foncion F : x π ln( + x cos ). Déerminer le domaine de définiion de F. Limies aux bornes du domaine?. Monrer que F es développable en série enière au voisinage de. Déerminer le rayon de convergence de la série. Exercice 87. Monrer que : e +x sin es définie sur ], [. Prouver qu elle adme, au voisinage de, un développemen en série enière à coefficiens raionnels. Exercice 88. Développer en série enière au voisinage de la foncion f définie par : e +ix Exercice 89 (Cenrale ). Monrer que F définie par : e i x F (x) = R ch es développable en série enière sur ], [. Quel es le rayon de convergence de la série? Exercice 9 (CCP 3). Domaine de définiion de : sin x 4? sh Monrer que f es C resp développable en série enière sur des inervalles à préciser. Exercice 9 (X ). Exisence e calcul de : F (x) = sin x (ch ) /3 [Indicaion : décomposer (ch ) /3 en série enière de e ]. Exercice 9. Exprimer, à l aide des : n ( ) k a n = k L inégrale : k= ( ) arcan ln Page 5/6 Page 5/6

27 3 Inégrales à un paramère coninu Exercice 93 (Cen 8). Soi f coninue e inégrable sur R. Éudier l inégrabilié sur R de f() + ix. Déerminer : f() x + ix? R Exercice 94 (X e ). Définiion e coninuié de cos ( x ) Exercice 95 (Mines 7, 8). Définiion, coninuié e équivalens aux bornes de l inervalle de définiion de f définie par : x + Exercice 96 (Mines 8). f définie par : x α + 3 es elle inégrable sur ], + [? Exercice 97. Coninuié? Limies en e + de : x cos y x y dy 7 décembre 8 Exercice 98 (Mines 99). Pour α, on pose : f(α) = ln( α x ) dx x Éudier la définiion, la coninuié, la dérivabilié de f. Calculer f (α) e vérifier qu en f n es pas dérivable. Exercice 99 (Mines 7). I(x) = cos(x) ch() Définiion? Coninuié? Dérivabilié? Es-elle développable en série enière au voisinage de? Si oui quel es le rayon de convergence de la série? Exercice (Mines 99 e ). Combien de fois la foncion f définie par : π cos(x sin ) s annule--elle sur [π/, π]? Exercice (Cen 8). Prouver, pour x ], [, la relaion : π ln( + x cos ) = ( ) + x π ln. Exercice (X, Cenrale 7 (énoncé de Cenrale)). Éudier la foncion f définie par : π/ arcan (x an ). Tracer la courbe représenaive avec Maple.. Définiion, coninuié, dérivabilié, variaions. 3. Déerminer une consane α > elle que, pour ou x pour lequel le premier membre a un sens : ( ) f(x) + f = α x 4. Donner une expression simplifiée de f sans symbole inégral. 5. Développemen asympooque de f à deux ermes en. Exercice 3 (Ccp 7). e x arcan. Domaine de définiion de f?. Monrer que f es de classe C sur ], + [ où elle vérifie l équaion différenielle : xy + y + xy = x 3. Équivalens de f e de f en? 7 décembre 8 Exercice 4. On défini f de [, + [ dans R par : e x ( + ) Eudier f, rouver une équaion différenielle du premier ordre qu elle saisfai. En déduire la valeur de l inégrale de Gauss. Éudier la dérivabilié de f en. Exercice 5 (Mines e 4). On défini une foncion f par : e x +. Définiion e coninuié de f?. Dérivabilié de f? 3. f adme-elle une ie en +? 4. Limie de f en? Équivalen de la dérivée en? 5. f es-elle dérivable en? 6. Déerminer une équaion différenielle vérifiée par f e en déduire une aure expression de f. Exercice 6 (Cenrale 7). g(x) = e i x + e i x h(x) = ( + ). Calculer g e h avec Maple. Page 53/6 Page 54/6