... quelques éléments

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1 p. 1/25 Théorie de Lyapunov pour les Σ non linéaires non autonome... quelques éléments Vincent MAHOUT

2 p. 2/25 Où est le problème? Que se passe t il quand le temps intervient dans les équations du système? Beaucoup de choses changent...puisqu il faut tenir compte du temps initial à partir duquel on considère l évolution du système

3 n admet l origine comme PE qui si u(t) = 0 quand t t 0 vincent.mahout@insa-toulouse.fr p. 3/25 Système non autonome et point équilibre Le système a pour forme générique Ẋ = f(x,γ f,t) Le définition d un point d équilibre devient : Définition 4.1 (Point équilibre) Le système non linéaire non autonome possède le point d équilibre x s il vérifie f(x,t) = 0, t t 0 Exemple simple : le système non linéaire commandé ẋ = x 1+x 2 +u(t)

4 p. 4/25 Stabilité La notion de stabilité répond aux deux définitions suivantes : Définition 4.2 (Stabilité simple) Le point d équilibre O (l origine) est stable à t = t 0 si pour tout R > 0 il existe un scalaire positif ρ(r,t 0 ) tel que x(t 0 ) < ρ x(t) < R, t t 0. Si l origine n est pas stable, elle est instable. Définition 4.3 (Stabilité asymptotique) Le point d équilibre O (l origine) est asymptotiquement stable à t = t 0 s il est stable et s il existe ρ(t 0 ) tel que x(t 0 ) < ρ(t 0 ) x(t) 0 quand t + Définition 4.4 L origine est un point d équilibre globalement asymptotiquement stable si x(t 0 ), x(t) 0 quand t

5 p. 5/25 L apport de l uniforme Toutes ces définitions font intervenir les temps initial t 0. Concept intéressant d un point de vue théorique mais très contraignant d un point de vue pratique Idée : rendre indépendant du temps initial t 0 la notion de stabilité stabilité uniforme Définition 4.5 (Stabilité uniforme) L origine est localement uniformément stable si le scalaire ρ dans la définition de la stabilité simple peut être choisi indépendamment de t 0, c est à dire ρ = ρ(r)

6 p. 6/25 L apport de l uniforme (2) Ce qui donne pour la stabilité asymptotique : Définition 4.6 (Stabilité uniforme asymptotique ) L origine est localement uniformément asymptotiquement stable s il est uniformément stable s il existe une boule d attraction B r dont le rayon est indépendant de t 0 telle que toutes les trajectoires partant dans B r convergent uniformément vers l origine.

7 p. 7/25 Fonctions signées non autonomes L analyse va reposer sur l utilisation de fonctions de Lyapunov V(x, t) qui peuvent devenir non autonomes. Quid alors du signe de ces fonctions. Définition 4.7 (Fonction définie positive localement ) Une fonction scalaire, dépendante du temps, V(x, t) est localement (semi) définie positive si V(0,t) = 0 et s il existe une fonction scalaire invariante (semi) définie positive V 0 telle que x Ω, t > t 0, V(x,t) V 0 (x) Définition 4.8 (Fonction définie positive globalement) Une fonction scalaire est globalement définie positive si V(0, t) = 0 et s il existe une fonction scalaire invariante définie positive V 0 telle que V 0 telle que x R n, t > t 0, V(x,t) V 0 (x)

8 p. 8/25 Fonctions signées non autonomes (2) Définition 4.9 (Fonction définie négative) Une fonction scalaire, dépendante du temps, V(x, t) est localement (semi) définie négative si V(x, t) est localement (semi) définie positive. Autre concept nécessaire : les fonctions décroissantes : Définition 4.10 (Fonction décroissante ) Une fonction scalaire, dépendante du temps, V(x,t) est décroissante si V(0,t) = 0 et s il existe une fonction invariante V 1 (x) telle que t > t 0, V(x,t) V 1 (x). Rechercher des fonctions scalaires V(x, t) non autonomes positives ET décroissantes Trouver deux fonctions V 0 (x) et V 1 (x) telles que : V 0 (x) V(x,t) V 1 (x) t O

9 Interprétation géométrique V0(x) V(x,t) V1(x) Le volume V (x, t) est dynamique et fluctue (ondulation...) avec le temps, mais il reste borné par les fonctions scalaires autonomes. vincent.mahout@insa-toulouse.fr p. 9/25

10 Exemple Soit la fonction non autonome V(x,t) = (1+sin 2 (t))(x 2 1 +x 2 2) Cette fonction est définie positive par V 0 = (x 2 1 +x 2 2) Cette fonction est décroissante par V 1 = 2(x 2 1 +x 2 2) 100 V V Voir simulation Matlab vincent.mahout@insa-toulouse.fr p. 10/25

11 Méthode directe de Lyapunov Théorème 4.1 Si dans un voisinage Ω de l origine, il existe une fonction scalaire V(x, t) avec des dérivées partielles continues telle que : V(x,t) est définie positive, V(x,t) est semi définie négative, alors l origine est stable au sens de Lypaunov. De plus si V(x,t) est décroissante alors l origine est uniformément stable. Si pour la seconde condition on vérifie V(x,t) est définie négative alors l origine est uniformément asymptotiquement stable. vincent.mahout@insa-toulouse.fr p. 11/25

12 p. 12/25 Méthode directe de Lyapunov Attention : le théorème fait intervenir le dérivée de V(x,t) Celle ci se compose comme : V(x,t) = V t + V x dx dt V(x,t) = V t + V x f(x) La dérivée fait intervenir la "dynamique" du système mais aussi la dynamique de la fonction de Lyapunov.

13 p. 13/25 Méthode directe : exemple académique Soit le système NLNA : { ẋ1 = x 1 e 2t x 2 ẋ 2 = x 1 x 2 pour lequel on s interroge sur la stabilité de l origine. Soit la fonction de Lyapunov candidate V(x,t) = x ( 1+e 2t) x 2 2 V(x,t) est définie positive par V 0 (x) = x 2 1 +x 2 2 V(x,t) est décroissante par V 1 (x) = x x 2 2

14 p. 14/25 Méthode directe : exemple académique (2) Calcul de la dérivée de V(x,t) V(x,t) = V t + V x f(x) = 2e 2t x x 1 ẋ 1 +2(1+e 2t )x 2 ẋ 2 = 2e 2t x x 1 ( x 1 e 2t x 2 ) +2(1+e 2t )x 2 (x 1 x 2 ) = 2(x 2 1 x 1 x 2 +x 2 2(1+2e 2t )) 2(x 2 1 x 1 x 2 +x 2 2) x 2 1 (x 1 x 2 ) 2 x 2 2 (x 2 1 x 2 ) 2 x 2 1 x L origine est donc un point d équilibre asymptotiquement stable.

15 p. 15/25 Cas des système linéaires (1) Version non autonome d un système linéaire : le système LTV (Linear Time Varying) : { ẋ(t) = A(t)x(t)+B(t)u(t) ẏ(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) En LTI (Linear Time Invariant) il suffit que les VP de A soient toutes à parties réelles négatives. En LTV ce n est pas suffisant... [ 1 e 2t A = 0 1 ] Racines double en -1 mais le système est instable!

16 p. 16/25 Cas des système linéaires (2) La solution de ẋ(t) = A(t)x(t) est { x2 (t) = x 2 (0)e t ẋ 1 (t)+x 1 (t) = x 2 (0)e 2t e t = x 2 (0)e t x 1 (t) correspond donc à la réponse d un filtre d ordre 1 (stable) mais attaqué par une exponentielle qui explose!! Peu de chance que cela converge vers 0!! Il existe pour les systèmes LTV une condition suffisante de stabilité Définition 4.11 Le Σ LTV est asymptotiquement stable si les valeurs propres de la matrice (t) = A(t)+A T (t) possède des valeurs propres toutes à parties réelles négatives, t 0

17 p. 17/25 Pour notre système : Cas des système linéaires (3) (t) = = [ 1 e 2t 0 1 [ 2 e 2t e 2t 2 ] ] + [ 1 0 e 2t 1 Les racines λ i sont solutions de (λ+2) 2 e 4t = 0 Soit λ i = 2±e 2t La condition de la définition n est pas remplie mais comme la condition n est que suffisante cela ne veut pas dire que c est instable... ]

18 p. 18/25 Première Méthode de Lyapunov Méthode qui consiste à linéariser le système autour du PE dont on cherche à qualifier la stabilité La Jacobienne J(t) = f devient (possiblement) non x autonome - Le système linéaire est (possiblement) LPV. Remarque : l approximation ẋ(t) = A(t)+f TDS (x,t) n est valide que si lim sup f TDS(x,t) x 0 x = 0, t 0 Exemple : ẋ = x+tx 2 Les termes négligés par la linéarisation imposent l instabilité alors que le système linéaire apparaît stable puisque sa Jacobienne vaut 1

19 p. 19/25 Première Méthode de Lyapunov Théorème 4.2 (Première Méthode de Lyapunov) Si le système linéarisé (vérifiant la condition de la remarque précédente) est uniformément, asymptotiquement stable, alors le point d équilibre du système non linéaire non autonome est également uniformément, asymptotiquement stable On a obligatoirement l uniformité ( t 0 ) Contrairement au cas autonome on ne peut rien dire sur l instabilité, à cause de la suffisance (et l absence de la nécessité) du théorème sur la stabilité des systèmes LPV. Théorème 4.3 Si la Jacobienne du système non linéaire non autonome autour du point d équilibre est autonome (A(t) = A 0 t 0) et si la condition de la remarque précédente est vérifiée, alors si A 0 possède au moins une valeur propre à partie réelle positive, le PE est instable pour le système.

20 p. 20/25 Instabilité : version 1 Théorème 4.4 (Premier théorème sur l instabilité) Si dans un voisinage Ω de l origine il existe une fonction scalaire V(x,t) continûment différentiable et décroissante telle que V(0,t) = 0 V(x,t 0 ) est peut prendre des valeurs positive (resp. négative) dans un voisinage arbitraire de Ω, V est définie positive (resp. négative) dans Ω, alors l origine est un point d équilibre instable. Extension en non autonome du théorème sur l instabilité donné précédemment

21 p. 21/25 Instabilité: version 1 La première condition est assez souple : Par exemple V(x) = x 2 1 x2 2 suffit: x x 1

22 p. 22/25 Instabilité : version 2 Théorème 4.5 (Deuxième théorème sur l instabilité) Si dans un voisinage Ω de l origine il existe une fonction scalaire V(x,t) continûment différentiable et décroissante telle que V(0,t) = 0 V(x,t 0 ) peut prendre des valeurs positives dans un voisinage arbitraire de Ω, V λv(x,t) 0, t t 0 et pour x Ω avec λ une constante strictement positive, alors l origine est un point d équilibre instable.

23 p. 23/25 Instabilité : version 2 Soit le système NLA : { ẋ1 = x 1 +3x 2 2sin 2 (x 2 )+5x 1 x 2 2sin 2 (x 1 ) ẋ 2 = 3x 1 sin 2 (x 2 )+x 2 5x 2 1x 2 cos 2 (x 1 ) avec V(x) = 1 2 (x2 1 x 2 2) On peut montrer que V(x) = 2V(x)+5x 2 1x 2 2, ce qui correspond à la condition 3 du théorème précédent L origine est donc un PE instable.

24 p. 24/25 Instabilité : version 3 Théorème 4.6 (Troisième théorème sur l instabilité (Cetaev)) Si dans un voisinage Ω de l origine il existe une fonction scalaire V(x, t) continûment différentiable et décroissante et s il existe une région Ω 1 Ω telles que V(x,t 0 ) et V(x,t 0 ) sont définies positives sur Ω 1, l origine appartient à la frontière de Ω 1 sur le frontière de Ω 1 on vérifie V(x,t) = 0, t t 0 alors l origine est un point d équilibre instable.

25 p. 25/25 Interprétation géométrique Instabilité : version 3 x 2 V =0 x 1 Intérêt : on réduit l étude du signe sur une sous région du domaine.