Stabilité d une mesure invariante

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1 Stabilité d une mesure invariante Anne-Sophie de Suzzoni UCP 26 mars 2013

2 Mesures de Gibbs et équilibre En physique statistique, l équilibre thermodynamique correspond à maximiser l entropie d un système : S = p i log(p i ), où p i est la probabilité d être dans un état i et sous la contrainte pi E i fixée, ou à énergie et température fixées. La statistique satisfaisant l équilibre thermodynamique est donnée par la mesure de Gibbs : p i = de βe i avec E i l énergie de l état i et β l inverse de la température. Ces mesures sont invariantes par l équation d évolution du système.

3 Mesures invariantes Pour plusieurs problèmes, des mesures invariantes à valeurs dans des espaces de fonctions ont été construites : B-O [Tzvetkov - Visciglia, 12] DNLS [Nahmod - Oh - Rey-Bellet - Staffilani, 10] NLS avec potentiel quadratique [Burq - Thomann - Tzvetkov, 10] NLW [ds, 10] en s inspirant des travaux de Zhidkov, Lebowitz - Rose - Speers, et Bourgain. Elles sont construites en s inspirant de mesures analogues à celles de Gibbs de la forme e H(u) du.

4 Équilibre statistique Dans un papier de 67, Zakharov et Filonenko proposent une définition d un équilibre dit statistique, correspondant à l invariance en temps de certaines quantités liées au système. En décomposant l état du système considéré en ses modes de Fourier u = u n e inx on demande à ce que la valeur moyenne de u n (t) 2 ne dépende pas du temps. Les mesures invariantes, en général, ne sont pas des mesures de Gibbs, en revanche, ce sont des équilibres statistiques.

5 But Étudier la stabilité d une mesure invariante, en perturbant cette mesure puis en comparant la loi de la mesure perturbée puis transportée par le flot avec la loi initiale, via certaines distances entre mesures de probabilité sur des espaces de fonctions. Choix de BBM : l équation est hamiltonienne et présente un invariant quadratique, ce qui permet d obtenir une mesure invariante gaussienne dont le support est inclus dans un espace où l équation est globalement bien posée.

6 BBM : propriétés générales Mesure invariante : définition Invariance Modification de la donnée initiale Comparaison des mesures Cas gaussien

7 Définition ( ) t (1 2 x)u + x u + u2 = 0 u(t = 0) = u 0 sur le tore T 1. Alternative à KdV pour approcher les water waves dans le cas des grandes longueurs d onde et des faibles amplitudes. 2

8 Résultat : 1 Soit u 0 la variable aléatoire u 0 = c 0 h 0 + n 1 h n c n + l n s n 1 + n 2 où h n et l n sont des gaussiennes réelles standard indépendantes et c 0 = 1, c n = cos(nx) sin nx, s n =. 2π π π On note µ 0 la mesure sur H 1/2 induite par u 0 et µ t la mesure 0 transportée par le flot de BBM Ψ(t) : µ t 0 (A) = µ 0(Ψ(t) 1 A). Théorème Pour tout t et tout A borélien de H 1/2, µ 0 (A) = µ t 0 (A).

9 Métrique de Wasserstein Soit p 1 et s fixés. On note M p,s l ensemble des mesures µ sur la tribu borélienne de H s telles que la quantité x p H s dµ(x) soit finie. On appelle distance de Wasserstein (relativement à p et H s ) la distance définie par, pour tout couple (µ, ν) M p,s : µ ν p,s = inf γ Marg(µ,ν) ( ) 1/p x y p dγ(x, y) H s où Marg(µ, ν) décrit l ensemble des mesures sur la tribu borélienne de H s H s ayant µ et ν pour marginales.

10 Résultat : 2 On considère les mesures ν sur H 1/2 telles que pour tout s < 1/2, il existe deux constantes C s, c s > 0 (indépendantes de ν)telles que pour tout R ν( x H s R) C s e c sr 2. On note ν t la mesure transportée par le flot de BBM à partir de ν. Théorème Pour tout t, 1 p 1 < p 2 <, et 0 s < 1/2, il existe une constante C p1,p 2,s(t) tel que pour toute mesure ν satisfaisant les hypothèses précédentes : ν t ν p1,s C p1,p 2,s(t) µ 0 ν p2,s. Remarque : La mesure ν permet d introduire des corrélations entre les coefficients de Fourier de la condition initiale.

11 Forme Hamiltonienne [ ] t u = (1 2 x) 1 x u + u 2 2 = J u H(u) avec J = (1 2 x) 1 x un opérateur antisymétrique et H(u) = 1 u u 3.

12 Invariant En multipliant l équation par u u(1 2 x) t u + u x u + u 2 x u = 0 et en intégrant, on obtient que u(1 2 x)u ne dépend pas du temps.

13 Caractère localement bien posé L équation est bien posée dans H s, s 0 jusqu au temps T = 1 C u 0 et de plus, avec Π H s N la projection orthogonale sur l espace E N engendré par {c n, s n, n N} et u N la solution de ( ) t (1 2 (Π x)u N + x u N + Π N u N ) 2 N 2 = 0 u N (t = 0) = u 0 alors pour tout R 0, tout ɛ > 0, il existe N tel que pour tout t [ 1 CR, 1 CR ] et tout u 0 B(0, R) et tout n N : u(t) u N (t) H s ɛ. (Convergence uniforme des flots approchés)

14 Caractère globalement bien posé Pour tout T et tout u 0, on note N = N(u 0, T) = min{n (1 Π N )u 0 L 2 1 CT }. Avec v la solution de BBM avec pour condition initiale (1 Π N )u 0 et w = u v, w est la solution d une nouvelle équation dont la condition initiale Π N u est dans H 1. Un lemme de Gronwall permet de borner w H σ w H 1 pour tout σ ]1/2, 1], puis u(t) H s jusqu au temps T : u(t) H s C u 0 H s N(u 0, T) 1+σ 2 s. (Méthode de Bona et Tzvetkov).

16 Définition Soient (h n ) n 0 et (l n ) n 1 deux suites de gaussiennes réelles de loi N(0, 1) indépendantes. On note u 0 la limite de la suite u N 0 = c 0h 0 + N n=1 c n h n + l n s n 1 + n 2 ((u N 0 ) N est de Cauchy dans L 2 proba, H1/2 ), et µ 0 la mesure induite par u 0, µ N 0 celle par un 0.

17 Remarque sur la structure de µ N 0 La mesure µ N 0 est un vecteur gaussien sur E N de dimension 2N + 1 de covariance la matrice de (1 2 x) 1 dans la base (c 0,..., c N, s 1,..., s N ), i.e., 1 1/ 2... (0) 1/ 1 + N 2 1/ 2 (0)... 1/ 1 + N 2 Autrement dit, la loi de ν N 0 s écrit : N dµ N 0 (u = a n c n + b n s n ) = e a2 0 /2 n=1 e (a2 n +b2 n )(1+n2 ) 2 = d N e u,(1 2 x)u /2 du (1 + n 2 )da n db n 2π

18 Intégrabilité Pour tout s < 1/2, il existe C s, c s > 0 tels que P( u 0 H s R) C s e c sr 2. (Conséquence du théorème de Fernique.) De plus, ( P(N(u 0, T) > N 0 ) = P (1 Π N0 )u 0 L 2 1 ) CT P( u 0 H s Ns 0 CT ) C s e c s(t)n 2s 0

20 Invariance du flot linéaire S(t) = e tj Vient du fait que pour tout ouvert U, on a µ 0 (U) lim inf N µn 0 (U), (Convergence de u N 0 + lemme de Fatou), que µn 0 est invariante par S(t) (J est antisymétrique) et que S est réversible.

21 Du flot non linéaire La mesure µ 0 est invariante par le flot Ψ N (t) de l équation ( ) t (1 2 (Π x)u N + x u N + Π N u N ) 2 N 2 = 0. u N (t = 0) = u 0 Le flot Ψ N (t) converge uniformément sur toute boule de H s vers Ψ(t). R k = kr, τ k = 1 CR k, T k = k j=1 A k (R) = { u(t k ) R k+1 } A(R) = A k (R), A = A(R) k On montre que µ 0 (A) = 1 et par récurrence sur k que pour tout B A(R) et t [ T k, T k ], µ t 0 (B) = µ 0(B) ce dont on déduit l invariance de µ 0, comme T k. R τ k

23 Définition On fixe C s, c s > 0 une famille de constantes avec s < 1/2 et on note Pert l ensemble des mesures de probabilités ν telles que pour tout s et tout R ν( x H s R) C s e c sr 2. Ceci implique que et que ν appartient à M p,s. ν(n(x, T) > N 0 ) C s e c s(t)n 2s 0

25 Métrique de Wasserstein La quantité µ ν p,s = inf γ Marg(µ,ν) ( ) 1/p x y p dγ(x, y) H s est une distance sur les mesures de probabilité dans M p,s correspondant à la convergence faible et à la convergence des moments jusqu à l ordre p. Comme. p,s ne compare que les lois, on a Par inégalité triangulaire, µ t 0 µ 0 p,s = 0. ν t ν p,s ν t µ t 0 p,s + ν µ 0 p,s.

26 Réductions Comme le flot de BBM est défini sur les supports de µ 0 et ν, si γ appartient à Marg(µ, ν), alors γ t la mesure image γ par (Ψ(t), Ψ(t)) appartient à Marg(µ t 0, νt ). Par changement de variable, on obtient que pour tout γ Marg(µ 0, ν), ( µ t 0 νt p1 En appliquant le lemme de Gronwall, on a Ψ(t)x Ψ(t)y p 1 H s dγ(x, y)) 1/p1. Ψ(t)x Ψ(t)y H s t x y H s e 0 Ψ(t )x H s + Ψ(t )y Hs. En appliquant des inégalités de Hölder, avec 1 p 1 = 1 p q, µ t 0 νt p1 ( ( ) 1/p2 ( x y p 2 dγ(x, y) H s e 2q t 0 Ψ(t )x Hs dν(x)) 1/(2q). ) e 2q 1/(2q) t 0 Ψ(t )x Hs dµ 0 (x)

27 Intégrabilité On a Ψ(t )x H s CN(x, t) (1+σ)/2 s x H s ( ) C N(x, t) 1+σ/2 s + x 2+σ 2s H s ce qui rend intégrable e 2q t 0 Ψ(t )x Hs si 2s > σ par rapport à µ 0 et ν, et donc ν t ν p1,s C p1,p 2,s(t) µ 0 ν p2,s.

29 Matrice de covariance On suppose que L est une application linéaire symétrique de H 1/2 dans H 1/2 telle que L soit continue de H s dans H s pour s [0, 1 2 [ et de sorte que L := Lx H s sup sup s [0,1/2[ x x H s K < 1. On prend pour ν L la mesure gaussienne sur H 1/2 de matrice de covariance (1 2 x) 1/2 (1 + L)(1 2 x) 1/2 c est-à-dire ν L est la mesure image de µ 0 par (1 + L) 1/2. La quantité L mesure la taille de la perturbation.

30 Propriétés de ν L La mesure ν L vérifie les hypothèses requises : ν L ( x H s R) = µ 0 ( (1 + L) 1/2 x H s R) C s e c sr 2 avec C s et c s qui ne dépendent pas de L dans l ensemble des L considéré.

31 Distance entre ν L et µ 0 En prenant pour γ Marg(µ 0, ν L ), γ(x Y) = µ 0 (X (1 + L) 1/2 Y) on obtient que que la distance de Wasserstein entre ν L et µ 0 est majorée selon µ 0 ν L p,s C p L.

32 Fonctions caractéristiques On en déduit que pour tout p, s, t il existe C p,s (t) telle que pour tout L : ν t ν p,s C p,s (t) L. En particulier pour p = 1, et en utilisant le théorème de Kantorovich-Rubinstein : sup f(x)dν t (x) f(x)dν(x) C s (t) L, f où f parcourt l ensemble des fonctions lipschitziennes sur H s de constante inférieure à 1. Avec f λ (x) = ei λ, x H s λ, on compare les H s fonctions caractéristiques de ν t et ν : e i λ, x Hs dν t (x) e i λ, x H s dν(x) C s (t) L. λ H s sup λ 0