EXERCICE I. Corrigé HEC maths III Eco 1998 par Pierre Veuillez
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1 Corrigé HEC maths III Eco 998 par Pierre Veuillez EXERCICE I. a) Soit µ un paramètre réel. On observe les transformations souhaitées : µx + x 0 L L µx + x 0 3x i. () + µx + x 3 0 L µl L 3 x () 3 + µx 0 x + µx 3 + 3x 0 L 3 L µl 3 (3 µ )x µx 0 x 3 + µx 0 L L µx + (3 µ )x 0 l équivalence étant assurée par la conservation des lignes pivot L et L { (3 µ ii. Soit (3) : )x µx 0 µx + (3 µ )x 0 { 3x 0 Si µ 0 : (3) x 3x 0 x 0 x 3 µ µ Si µ 0 : (3) x [ ] µ + (3 µ ) 3 µ µ x 0 avec µ [] µ + ( 3 µ ) µ 0µ + 9 et avec X µ : X 0X +9 a pour discriminant et a pour racines X 0±8 soit µ 9 ou µ Conclusion : si µ / {,, 3, 3} la seule solution est (0, 0) Si µ alors (3) x 3 µ µ x x et les solutions sont S Vect (, ) Si µ alors (3) x 3 µ µ x x et les solutions sont S Vect (, ) Si µ 3 alors (3) x 3 µ µ x x et les solutions sont S Vect (, ) Si µ 3 alors (3) x 3 µ µ x x et les solutions sont S Vect (, ) { x µx iii. Les deux lignes manquantes sont x 3 µx En substitutant on a alors Conclusion : si µ / {,, 3, 3} la seule solution est (0, 0, 0, 0) Si µ alors () x x : x x : x 3 x et et les solutions sont S Vect (,,, ) Si µ alors () x x : x x : x 3 x et les solutions sont S Vect (,,, ) Si µ 3 alors () x x : x 3x : x 3 3x et les solutions sont S Vect (, 3, 3, ) Si µ 3 alors () x x : x 3x : x 3 3x et les solutions sont S Vect (, 3, 3, ) b) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice : Soit α R. 0 0 x A : (A αi) x x 3 () avec µ α 0 0 x Donc α est valeur propre pour µ {,, 3, 3} donc pour α {0,,, } Et les sous espaces propres associés sont : S 0 Vect (,,, ) pour la valeur propre 0. S Vect (,,, ) pour la valeur propre. S Vect (, 3, 3, ) pour la valeur propre -. et DS Page /??
2 S Vect (, 3, 3, ) pour la valeur propre. (N.B. 0 n est pas un vecteur propre, mais il se trouve dans le sous-espace propre) (N.B. on vérifie sur le produit par A). Pour tout entier n on note R n [x] l espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à n et, à toute fonction polynôme P de R n [x], on associe la fonction polynôme T n P définie sur R par T n P (x) (nx + ) P (x) + ( x ) P (x). a) Pour deg P n on a deg P n mais deg (x (nx + ) P (x)) sera n +... Il faut donc détailer l écriture. Soit P R n [X] : P (x) n k0 a kx k alor sp (x) n k ka kx k n h0 (h + ) a h+x h Et (nx + ) P (x) + ( x ) P (x). nx a n x n + x na n x n +... les termes... étant de degré inférieur ou égal à n. Donc P T n P est une application de R n [X] dans R n [X]. Linéarité : Soit P et Q R n [X] et α et β R. Pour tout x réel : T n (αp + βq) (x) (nx + ) (αp + βq) (x) + ( x ) (αp + βq) P (x) α [ (nx + )P (x) + ( x )P (x) ] + β [ (nx + )Q(x) + ( x )Q (x) ] Conclusion : αt n P (x) + βt n Q (x) T n est un endomorphisme de R n [X] b) On calcule le simages des vecteurs de la base : T n X k (x) (nx + ) x k + ( x )kx k Donner la matrice M n de cet endomorphisme T n dans la base de R n [x] formée des fonctions polynômes, X,... X n où X k désigne, pour tout k {0,,..., n}, la fonction x x k. c) Dans le cas n 3, donner les valeurs propres de T 3 et écrire les fonctions polynômes formant une base de vecteurs propres. d) En faisant la somme des lignes de la matrice M n, déterminer simplement une valeur propre de T n. 3. On se propose de déterminer plus généralement toutes les valeurs propres de T n. x nt + λ a) Etant donné un réel λ calculer, pour < x <, l intégrale g λ (x) 0 t dt. On cherchera d abord deux réels a et b tels que nt + λ t a t + b + t b) Montrer que si les nombres h n + λ et k n + λ sont des nombres entiers, positifs ou nuls, pairs, alors la fonction exp( g λ (x)) est une fonction polynôme. Vérifier que ces conditions impliquent que (n ) λ n +. c) Pour n 3 quels sont les réels λ qui vérifient les conditions précédentes? Pour un entier n quelconque, combien de réels λ vérifient ces conditions? d) Montrer que si λ est une valeur propre de T n et si P λ est un vecteur propre associé, alors la fonction h, définie sur ], [ par h(x) P λ (x) exp(g λ (x)), a une dérivée nulle. Que vaut alors P λ? e) Déterminer les valeurs propres de T n et une base de vecteurs propres (on pourra distinguer les cas n pair et n impair). DS Page /??
3 EXERCICE II On effectue une suite de lancers d une pièce de monnaie. On suppose que les résultats des lancers sont indépendants et que, à chaque lancer, la pièce donne face avec la probabilité p (0 < p < ) et pile avec la probabilité q p. L objet de l exercice est l étude du nombre de lancers nécessaires pour obtenir deux faces de suite, c est à dire lors de deux lancers consécutifs. On suppose donné un espace probabilisé, muni d une probabilité P, modélisant cette expérience. Pour tout entier n, on note U n l événement : on obtient faces de suite, pour la première fois, aux lancers numéro n et n +, et on pose u n P (U n ). Pour tout entier n, on note A n l événement : les n premiers lancers ne donnent pas deux faces de suite et le n-ième lancer donne face, B n l événement : les n premiers lancers ne donnent pas deux faces de suite et le n-ième lancer donne pile, et on pose x n P(A n ), y n P(B n ).. a) u P(U ) P(F F ) P(p )P(P ) q (les lancers sont indépendants) x P(A ) P(F P ) p.q car on n a pas deux F de suite et on a P. y P(B ) P(P (F P )) p(p ) q. u P(U ) P(F 3 F P ) p.q car on n a pas eu de F F avant. x 3 P(A 3 ) P(F 3 P (F P )) avec P car on n a pas de F F P(F 3 P ) p.q y 3 P(B 3 ). Avec B 3 on a P 3, et avant on a pu avoir P ou F (ce qui ne fait pas de F F ). Si on a eu P, on a pu avoir P ou F. Si on a eu F, pour ne pas avoir de F F, il faut avoir eu P. Donc B 3 P 3 ([P (P F )] [F P ]) P 3 [P (F P )] et P(B 3 ) P(P 3 ).P(P [F P ]) P(P 3 ) (P(P ) + P(F P )) car P et F sont incompatibles; et par indépendance des lancers y 3 q(q + p.q) q ( + p) u 3 P(F F 3 P (P F )) avec P pour ne pas avoir F F avant. P(F F 3 P ) p.q b) x n P(A n ) et u n P(U n ) Or U n F n+ F n (pas de F F avant), et B n F n (pas de F F avant) Donc U n F n+ B n. Et, le lancer n+ étant indépendant des précédents, P(U n ) P(F n+ ).P(B n ) p.x n. c) P An (A n+ ) est la probabilité d avoir F n+, quand on eu F n, mais sans avoir de F F. (Ce qui est incompatible) Donc P An (A n+ ) 0. P Bn (A n+ ) est la probabilité d avoir F n+, car on a eu P n et on aura donc pas de F F ni avant ni au dernier lancer. P Bn (A n+ ) P Bn (F n+ ) P (F n+ ) q. car le n + ième lancer est indépendant des précédents. P An (B n+ ) est la probabilité d avoir P n+, puisque l on a eu P n et que l on aura donc pas de F F ni avant ni au dernier lancer. P An (B n+ ) P An (P n+ ) q. DS Page 3/??
4 De même P Bn (B n+ ) P(P n+ ) q. d) Erreur: A n et B n ne sont pas un système complet d événements car on a pu avoir un F F avant le n ième lancer. Mais quand on n a pas de F F jusqu au n + ième, on n en a pas eu jusqu au n ième. Donc A n+ (A n+ A n ) (A n+ B n ). Et comme A n et B n sont incompatibles : P(A n+ ) P(A n+ A n ) + P(A n+ B n ) P An (A n+ ).P(A n ) + P Bn (A n+ ).P(B n ) 0.P(A n ) + p.p(b n ) x n+ p y n De même P(B n+ ) P An (B n+ ).P(A n ) + P Bn (B n+ ).P(B n ) q.p(a n ) + q.p(b n ) y n+ q (x n + y n ). On suppose, dans cette question que p q /. a) On a en substituant n+ à la place de n : y n+ q (x n+ +y n+ ) q (p.y n +y n+ ) y n++ y n. Montrons par récurrence que pour tout entier n : n y n f n Il faut pour celà connaitre les deux termes précédents. Et on démontre donc que pour tout entier n : n y n f n et n+ y n+ f n+. Pour n, on a y q /, y et f f + f 0 donc y f et y 3 q ( + p).3 et 3 y 3 3. f 3 f + f + 3 donc 3 y 3 f 3. CQFD Soit n tel que n y n f n et n+ y n+ f n+. Est-ce que n+ y n+ f n+ et n+ y n+ f n+? Or n+ y n+ f n+ par hypothèse de récurrence. reste à calculer y n+ : n+ y n+ n+ ( y n+ + y n) n+ y n+ + n y n f n+ + f n f n+ CQFD Donc pour tout n, n y n f n. b) f n est une suite récurrente linéaire d ordre. Son équation caractéristique est r r 0 qui a pour discriminant est + 5 > 0 et qui a deux racines α + 5 et β 5. On a donc pour tout entier n, f n A α n +B β n avec A et B déterminés par les deux premisers termes { : f0 A α 0 + B β 0 donc A B et ( B) α + B β d où B α f A α + B β β α β β α β α β car β α d où A β α β α α β et donc f n αn+ β n+. α β c) Donc pour tout entier n, y n f n / n et x n+ p y n f n / n+ (seulement pur n ) Donc en substituant n à n, x n f n / n pour n 3. Or ceci est encore vrai pour n car x p q / f /. Enfin u n p x n x n / f n / n+ d) On calcule la somme : αn β n pour tout n (α β) n+ u n α n β n (α β) n+ (α b) ( N (α/) n (α b) α n n (α b) (β/) n ) (α b) β n n ( (α/) N+ α/ ) (β/)n+ β/ DS Page /??
5 Or 0 < α/ < et 0 < β/ < donc (β/) N 0 et (α/) N 0. Donc u n (α b) ( α/ β/ ) (α b). β/ α/ (α/ )(β/ ) (α/ )(β/ ) (α/ )(β/ ) ( + 5 )( 5 Donc + u n et U n est bien une variable aléatoire. ) DS Page 5/??
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