MISE EN EQUATION D'UN SYSTEME HYDRAULIQUE

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1 MISE EN EQATION D'N SYSTEME HYDALIQE On considère les de sysèmes hydraliqes sivans : Sysème Sysème : débi volmiqe d'alimenaion en liqide,, : nivea dans les réservoirs,, : secions des réservoirs,, : vannes d'éqilibrage elles qe le débi à ravers l'orifice es i i / i ( i haer d liqide dans le réservoir). Ecrire or ces de sysèmes les éqaions de bilan e déerminer la foncion de ransfer enre le nivea e le débi.

2 OETION PO LE SYSTEME Sos-sysème I I/II Sos-sysème II Déerminaion d nombre d'éqaions différenielles à considérer. On reère élémens qi socken/désocken la maière : Le réservoir de volme. sos-sysème I Le réservoir de volme. sos-sysème II Bilan or le sos-sysème I On ilise n bilan sr les débis décrivan la variaion de volme dans le réservoir. Les ermes faisan varier le volme son : débi d'alimenaion : débi, signe "" (l'alimenaion agmene la haer d'ea dans le bac ). Le débi de fie à l'inerface bac (sos-sysème I) / bac (sos-sysème II), I/II. Le débi de fie d bac vers le bac fai diminer le nivea d bac I/II a n signe "-" (négaif). D'où l'éqaion différenielle sivane : d d Bilan or le sos-sysème II I / II On ilise n bilan sr les débis décrivan la variaion de volme dans le réservoir. Les ermes faisan varier le volme son : Le débi à l'inerface bac (sos-sysème I) / bac (sos-sysème II), I/II. Le débi de fie d bac vers le bac alimene ce dernier e fai agmener le nivea d bac I/II a n signe "" (osiif). Le débi de fie d bac : /, signe "-" (la fie dimine la haer d'ea dans le bac ).

3 D'où l'éqaion différenielle sivane : d I / II d Eqaions différenielles de bilan e calcl de la foncion de ransfer : I ( II ) d d d d [] Por obenir la foncion de ransfer les I 0 c'es-à-dire (0) (0) 0., on rend la ransformée de Lalace de [], avec TL( [] ) La foncion de ransfer d sysème es : ( )( ) emarqe sr la srcre de la FT : La TL de (I) e (II) dans l'éqaion [] erme d'obenir la foncion de ransfer de chaqe sos sysème : e Or on consae qe : La FT globale es donc le rodi de foncions de ransfer, ce qi s eliqe de la manière sivane : dans le sos sysème I, le nivea infle sr le nivea mais la réciroqe es fasse. Le sysème e êre mis sos la forme d ne série de schémas bloc : on a des réservoirs en cascade.

4 OETION PO LE SYSTEME Sos sysème I I/II Sos sysème II Déerminaion d nombre d'éqaions différenielles à considérer. On reère élémens qi socken/désocken la maière : Le réservoir de volme. sos-sysème I Le réservoir de volme. sos-sysème II Bilan or le sos-sysème I On ilise n bilan sr les débis décrivan la variaion de volme dans le réservoir. Les ermes faisan varier le volme son : débi d'alimenaion : débi, signe "" (l'alimenaion agmene la haer d'ea dans le bac ). Le débi d'échange à l'inerface bac (sos-sysème I) / bac (sossysème II), I/II. Le sens d débi enre le bac e le bac déend de la différence de nivea enre les de bacs le signe de I/II déend d sens choisi or écrire la différence de nivea ( - o - ). Afin de déerminer le signe d erme I/II, on e iliser la méhode sivane : on fie n sens or l'écrire de la différence, ar eemle -. Le erme I/II s'écri donc ±( - )/. Por savoir qel signe mere devan le erme, on se lace dans n cas ariclier : on décide ar eemle qe le nivea es sérier a nivea. Alors le débi asse d bac vers le bac e agmene. Par conséqen le erme I/II es globalemen osiif. Or, comme >, on a - >0. Par conséqen le signe de I/II or l'écrire choisie es "" (osiif). D'où l'éqaion différenielle sivane : d I / II d Bilan or le sos-sysème II ( ) On ilise n bilan sr les débis décrivan la variaion de volme dans le réservoir. Les ermes faisan varier le volme son :

5 Le débi d'échange à l'inerface bac (sos-sysème I) / bac (sossysème II), I/II. Si l'on conserve la même écrire de I/II qe or le bilan d sos sysème I, e sachan qe l'effe d sos sysème I sr le sos sysème II es oosé à celi de II sr I, il sffi de rendre or I/II n signe oosé. En effe ne agmenaion de corresond à ne diminion de I/II a n signe "-" (négaif). Le débi de fie d bac : /, signe "-" (la fie dimine la haer d'ea dans le bac ). D'où l'éqaion différenielle sivane : / d d II I Eqaions différenielles de bilan e calcl de la foncion de ransfer : d d II d d I [] Por obenir la foncion de ransfer, on rend la ransformée de Lalace de [], avec les I 0 c'es-à-dire (0) (0) 0. TL( [] )

6 La foncion de ransfer d sysème es : ( ) emarqe sr la srcre de la FT : La FT n es as n rodi de FTs à case de la arie d erme I/II dans les éqaions différenielles []. eci rovien d fai qe le nivea d réservoir infle sr le nivea d réservoir grâce à e réciroqemen (cee réciroqe n éai as vrai dans le sysème ).