Définition de la pente d une ligne droite.

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1 Définition de la pente d une ligne droite Considérons le graphique suivant de l équation de f(x) = 2x + 6 = y tout en cherchant ce qui la caractérise et ce qui pourrait la distinguer d une autre ligne droite dans le plan cartésien Figure 1: Graphique de f(x) = 2x + 6 = y Certains feront sans doute l observation suivante: en partant du point (1, 8) on peut se rendre à un autre point sur la droite, disont (2, 10), en se déplaçant d une unité vers la droite et ensuite deux unités vers le haut Ou encore, toujours en partant de (1, 8), on peut se rendre au point ( 3, 0) sur la droite en se déplacant verticalement de 8 unités vers le bas et ensuite de 1 unité vers la gauche pour atterrir au point ( 3, 0) Si on définit un déplacement vers le bas et un déplacement vers la gauche comme étant tous les deux négatifs, on peut dire un de 8 et horizontal de 4 nous permettra de nous rendre au point ( 3, 0) Dans le premier déplacement de (1, 8) à (2, 10) on peut dire un déplacement vertical de +2 et horizontal de +1 1

2 Il semble donc que si nous partons d un point sur la droite et nous nous en tenons strictement au rapport 2 vertical : 1 horizontal on atterrira toujours sur cette droite Vérifions notre hypothèse en tentant le déplacement suivant à partir de (4, 14): 6 vertical : 3 horizontal Celui-ci nous permet d atterrir au point (1, 8) sur la droite comme prévu On conclut donc que si on respecte le rapport déplacement horizontal = 2 1 avec un point de départ sur la droite, on atterrira toujours sur un autre point sur la droite Ce rapport est une caractéristique essentielle de cette droite déplacement horizontal Nous appellerons ce rapport m = déplacement horizontal la pente de la droite La pente est normalement dénotée par la lettre m Par exemple, on voit que la pente de la droite illustrée ci-dessous est m = 3 1 = 3 Figure 2: Graphique de la droite f(x) = 3x + 2 = y 2

3 Nous définissons de façon formelle la pente m d une droite donnée Étant donnée une droite L qui contient les deux points (x 1, y 1 ) et (x 2, y 2 ), nous définissons la pente m de la droite L passant par ces deux points comme étant m = y 2 y 1 x 2 x 1 À noter que l expression m = y 1 y 2 est équivalente Par contre, l expression m = y 2 y 1 n est pas correcte Par exemple, la pente de la droite contenant les deux points ( 2, 3) et (1, 1) est Nous illustrons son graphique ci-dessous m = 3 ( 1) 2 1 = 4 3 = 4 3 Figure 3: Graphique de la droite passant par ( 2, 3) et (1, 1) 3

4 Finalement, puisque, pour une même droite, le rapport m = y 1 y 2 est toujours le même, une droite ne peut avoir qu une seule valeur pour sa pente Cette valeur ne dépend aucunement des points (x 1, y 1 ) et (x 2, y 2 ) choisis pour l exprimer De fait, si on connait la valeur m de la pente d une droite L et on sait que (x 1, y 1 ) est un point sur cette droite, cela nous suffit pour décrire l ensemble de tous les points (x, y) sur L: Si la droite L a une pente de m et contient le point (x 1, y 1 ) cette droite est précisément l ensemble de tous les points (x, y) tels que m = y 1 y x 1 x Exemple: Dans le dernière exemple nous parlions d une droite qui contient les deux points ( 2, 3) et (1, 1) Nous avions déterminé que sa pente est m = 3 ( 1) 2 1 = 4 3 = 4 3 Munis de la valeur de sa pente, m = 4 3, et du fait qu elle contient le point ( 2, 3) on décrit cette droite comme suit: L ensemble de tous les points (x, y) tels que 4 3 = 2 y 3 x En utilisant des symboles mathématiques on écrit: { L = (x, y) : 4 3 = 2 y } 3 x Il y a deux droites un peu spéciales sur lesquelles on se doit de faire quelques commentaires Comme exemple, considérons la droite qui passe par les deux points (5, 4) et (2, 4) On voit vite qu il s agit d une droite verticale En cherchant sa pente on découvre: une expression non définie m = = 3 0 On s entend pour dire que si une droite est verticale elle n a pas de pente, ou encore qu elle a une pente qui est infiniment grande 4

5 Dans cet exemple particulier on voit que x = 4 peu importe la valeur de y Pour décrire cette droite on écrit donc, tout simplement, x = 4 Maintenant considérons une autre droite L, celle-ci qui passe par les points (3, 1) et (3, 7) En traçant le graphique de cette droite on s aperçoit qu elle est horizontale En cherchant sa pente on découvre: m = = 0 6 = 0 On conclut que les droites horizontales sont précisément les droites qui ont une pente m = 0 Dans cet exemple particulier on voit que y = 3 peu importe la valeur de x Pour décrire cette droite on écrit donc, tout simplement, y = 3 c Club Pythagore,