L bien comment traduire cette définition informelle dans le cas d une variable aléatoire discrète X en posant :

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1 Chapire 7 Espérance 7. Inroducion espérance d une variable aléaoire es, lorsqu elle exise, la moyenne des valeurs de cee variable, pondérées par leurs probabiliés de réalisaion. On voi L bien commen raduire cee définiion informelle dans le cas d une variable aléaoire discrèe X en posan : EX : xp X x2. (7.) xxω2 Cee formule n a de sens que si la famille de réels 3xP X x2 ; x 4 XΩ25 es sommable, ce qui se radui par la condiion suivane pour l exisence de l espérance de la v.a. discrèe X : 6x6P X x (7.2) xxω2 Tan que l on rese dans le cadre des variables aléaoires discrèes, cee définiion es saisfaisane e perme d éablir oues les propriéés de l espérance [4, Chap. 5]. En bonne place parmi ces propriéés, figure l addiivié de l espérance : si X e Y définies sur le même Ω, F, P 2 on une espérance, il en va de même pour X 8 Y e EX 8 Y 2 EX 8 EY. (7.3) Essayons de raduire la définiion informelle ci-dessus dans le cas d une variable aléaoire à densié f. Paran de (7.), on remplace P X x2 par P X 4 x, x8 dx2, probabilié «valan fx2 dx» e on remplace la somme (ou série) par une inégrale, ce qui condui à : EX : 54 xf x2 dx, (7.4). Nous ne préendons pas donner un sens rigoureux à cee probabilié d apparenance à un «inervalle infiniésimal», il s agi juse d une approche inuiive.

2 252 Chapire 7. Espérance la condiion d exisence de l espérance éan ou simplemen la convergence absolue de cee inégrale généralisée, ce qui vu la posiivié de f, se radui par 54 6x6fx2 dx (7.5) Cee définiion malgré son analogie formelle avec (7.) es loin d offrir la même souplesse pour éablir les propriéés de l espérance. Par exemple la preuve de l addiivié es complèemen hors de porée. En effe, si X e Y son à densié, X 8 Y peu n êre ni discrèe ni à densié 2, cf. l exercice 6.3 pour un exemple, e alors le premier membre de (7.3) n es même pas défini pour la v.a. Z X 8 Y. La soluion donnée à ce problème par la héorie moderne des probabiliés es la définiion dans le cas général, de l espérance de X comme une inégrale absraie sur Ω, relaivemen à la mesure P : EX : Xω2 dp ω2, si 6Xω26 dp ω (7.6) Ω On peu donner une première idée de ce qu es cee inégrale absraie en considéran le cas d une variable aléaoire X elle que XΩ2 3x,..., x n 5. Alors en noan A k : 3X x k 5 3ω 4 Ω ; Xω2 x k 5, n Xω2 dp ω2 x k P A k 2, (7.7) Ω ce qui radui bien la définiion informelle de EX comme la moyenne des valeurs de X pondérées par leurs probabiliés de réalisaion. Le passage au cas d une variable aléaoire X quelconque revien précisémen à consruire une inégrale au sens de Lebesgue sur Ω, F, P 2 e cee héorie sor du cadre de ce livre. Il nous fau donc rouver une aure définiion de EX. Cee définiion doi permere un raiemen unifié de oues les lois 3. Rappelons qu il exise des lois qui ne son ni discrèes ni à densié e que la descripion la plus générale des lois de variables aléaoires réelles es donnée par leur foncion de répariion, cf. le héorème 5.3 e la remarque 6.7. Il es donc naurel de chercher à définir EX à parir de la foncion de répariion F : P X 2. Nous allons moiver cee définiion en nous resreignan au cas des variables aléaoires posiives e en paran du cas simple où X es discrèe avec XΩ2 3x,..., x n 5 parie finie de R 3. Dans ce cas, la définiion informelle de EX se radui par la formule EX 2 n k6 x kp X x k 2. Les figures 7. e 7.2 nous monren commen exprimer cee moyenne pondérée à l aide de F. Rappelons que dans ce cas, F présene en chaque x k un sau d ampliude P X x k 2. L inerpréaion graphique en erme d aires donnée par la figure 7.2 nous perme d écrire EX comme l inégrale de Riemann ordinaire : EX 3 x n F 22 d Ω k6 e aussi comme la fausse inégrale généralisée 3 34 F 22 d. 2. Alors que la somme de deux variables aléaoires discrèes es oujours une variable aléaoire discrèe. 3. La définiion informelle de EX nous fai pressenir que EX ne doi dépendre que de la loi de X, ce qui es bien le cas dans les formules (7.) e (7.4).

3 7.. Inroducion 253 F () P (X = xk) x k P (X = x k ) x x k x n Figure 7. Inerpréaion graphique des x k P X x k 2, pour x k F () EX x x n Figure 7.2 Inerpréaion graphique de EX 2 n k6 x kp X x k 2, les x k.

4 254 Chapire 7. Espérance Si on passe mainenan au cas d une variable aléaoire posiive quelconque, il paraî alors naurel de considérer que EX es l aire (évenuellemen infinie) délimiée par le segmen verical, y 4,, la demi droie «asympoe» y, e le graphe de F, ce qui nous condui à la formule EX : F 22 d P X 2 d, pour oue v.a. posiive X. y EX y = P (X ) Figure 7.3 Inerpréaion graphique de EX via la f.d.r. de X v.a. posiive. Nous verrons que cee définiion perme d éablir en oue généralié les propriéés de l espérance. Bien sûr, nous devrons rerouver à parir de cee définiion, les formules (7.) e (7.4) pour X discrèe ou à densié. 7.2 Espérance d une variable aléaoire posiive Dans oue la suie de ce chapire, on fixe un espace probabilisé Ω, F, P 2. Toues les variables aléaoires considérées seron, sauf menion explicie du conraire, définies sur ce espace e leur loi sera la loi sous P. Définiion 7. (espérance d une v.a. posiive). Soi X une variable aléaoire posiive 4 sur Ω, F2. On appelle espérance de X (ou espérance de X sous P ) la quanié qui es un élémen de R 3. EX : 4. C es-à-dire une applicaion Ω R, mesurable F - BorR 2. P X 2 d, (7.8)

5 7.2. Espérance d une variable aléaoire posiive 255 Pour jusifier l exisence de EX, on commence par noer que l applicaion G : R 3,, G2 : P X 2 es décroissane sur R, donc Riemann inégrable sur, b pour ou b 4 R 7 3, cf. proposiion 3.. L inégrale 3 b G2 d 3 b P X 2 d exise donc bien e es un réel posiif pour ou b. Comme c es une foncion croissane de sa borne supérieure b, elle converge dans R 3 quand b end vers 89. Dans cee secion, nous uiliserons l inerpréaion graphique de EX via la foncion de survie P X 2, cf. figure 7.4, pluô que via la f.d.r. F : P X 2. On passe évidemmen d une représenaion à l aure en effecuan une symérie orhogonale par rappor à la droie y 2, puisque G F. Cee symérie conserve les aires, cf. prop y EX y = P (X > ) Figure 7.4 Inerpréaion graphique de EX via la foncion de survie de X v.a. posiive. Remarque 7.2. EX ne dépend que de la loi de X, il serai donc plus correc de parler de l espérance de la loi de X sous P au lieu de l espérance de X. L usage donne néanmoins la préférence à cee dernière appellaion quand il n y a pas d ambiguïé sur P. Remarque 7.3 (espérance d une v.a. presque sûremen posiive). Dans les exercices, la variable aléaoire X n es pas oujours donnée expliciemen, il arrive assez souven que l on ne connaisse que sa loi P X. Si P X R 3 2, on s auorisera une généralisaion de la définiion 7. en considéran que la formule (7.8) rese valable. Il s agi bien d une généralisaion car on peu avoir P X 2 sans que Xω2 soi posiif ou nul pour ou ω, par exemple si Ω R, F BorR2, P es la loi uniforme sur, e X : ω ω es l idenié sur R. On a alors Xω2 7 pour une infinié non dénombrable de ω e P X 2. Cee généralisaion es cohérene avec la

6 256 Chapire 7. Espérance remarque 7.2 car si X es une variable aléaoire réelle définie sur un espace probabilisé Ω, F, P 2 e elle que P X 2, on peu oujours rouver un espace probabilisé Ω 8, F 8, P 8 2 e une variable aléaoire posiive X 8 définie sur ce espace els que X e X 8 aien même loi. Il suffi de prendre Ω 8 R 3, F 8 BorR 3 2, P 8 P X e X 8 : R 3 R, ω ω égale à l idenié sur R 3. On a alors pour ou borélien B de R, P 8 XB2 P 8 X 8 4 B2 P 8 3ω 4 Ω 8 ; X 8 ω2 4 B5 P 8 B R 3 2 P X B R 3 2 P X B2 car P X B R 7 52 P X R Ceci monre que X e X 8 on même loi 5. Définiion 7.4 (inégrabilié d une v.a. posiive). On di que la variable aléaoire posiive X es inégrable si P X 2 d (7.9) Exemple 7.5. Si la variable aléaoire posiive X es bornée, c.-à-d. s il exise une consane c elle que pour ou ω 4 Ω, Xω2 c, alors elle es inégrable. En effe pour c, P X 2, ce qui rédui l inégrale généralisée définissan EX à une inégrale de Riemann ordinaire 3 c P X 2 d donc finie (e majorée par c). Plus généralemen, si la loi de X, v.a. posiive, vérifie P X 2 C 5α pour un cerain α e ou, ou si P X 2 5 ln 2 5β pour un β e ou, alors X es inégrable. Réciproquemen, l inégrabilié de X nous donne un renseignemen sur la viesse de convergence 6 vers de P X 2 quand end vers 89. C es l inégalié de Markov que nous verrons ci-dessous (proposiion 7.6). Voyons mainenan quelques exemples simples de calcul d espérance de variables aléaoires posiives. Exemple 7.6 (espérance d une consane posiive). Si la variable aléaoire X es une consane posiive c, c.-à-d. Xω2 c pour ou ω 4 Ω, alors EX c. En effe : 4 si 7 c P X 2 si c 954,c2, d où EX 954,c 2 d c,c 2 d c d c. L exemple suivan es d une grande imporance car il perme d écrire oue probabilié d évènemen comme une espérance. Nous le formulons sous forme de proposiion. Proposiion 7.7 (espérance d une indicarice d évènemen). Pour ou évènemen A 4 F, E 5 A 6 P A2. (7.)

7 7.2. Espérance d une variable aléaoire posiive 257 y y = P (X > ) EX = c c Figure 7.5 Espérance de la v.a. consane X c y P (A) y = P ( A > ) E A = P (A) Figure 7.6 Espérance de la v.a. indicarice X A Preuve. La variable aléaoire posiive A prend la valeur sur l évènemen A e sur A c, elle sui la loi de Bernoulli de paramère p P A2. L évènemen 3 A 5 es donc égal à A si 7 e à l ensemble vide si. On en dédui que 4 P A2 si 7, P A 2 si. Par conséquen, E 5 6 A P A2 d P A2. Dans ce chapire, les variables aléaoires discrèes X ne prenan qu un nombre fini de valeurs jouen un rôle imporan car elles von nous permere d éablir par passage à la limie les principales propriéés de l espérance. Il es commode de les dénommer comme sui. 5. La ribu borélienne de R es la plus peie ribu conenan ous les ouvers de R. On peu vérifier qu un sous-ensemble B de R es un borélien de R si e seulemen s il s écri B 3 R où B es un borélien de R. 6. Pour n impore quelle variable aléaoire X, P X 4 2 end vers quand end vers 56, car P X F 2, où F es la f.d.r. de X qui end oujours vers en 56.

8 258 Chapire 7. Espérance Définiion 7.8 (variable aléaoire simple). On di que la variable aléaoire réelle X définie sur Ω, F2 es simple ou éagée si XΩ2 es fini. En noan XΩ2 3x,..., x n 5, les x i éan ous disincs, X adme la décomposiion n X x k Ak, où A k : 3X x k 5, k 4, n, (7.) k6 les évènemens A k forman une pariion de Ω. Proposiion 7.9 (espérance d une v.a. posiive simple). Si X es une variable aléaoire posiive simple avec XΩ2 3x,..., x n 5, n EX x k P X x k 2. (7.2) k6 On rerouve ainsi la formule (7.) de l inroducion dans le cas pariculier où XΩ2 es fini ; voir aussi (7.7). Preuve. Noons en préliminaire qu il nous fau résiser ici à la enaion de dire «c es immédia en uilisan la décomposiion (7.), la proposiion 7.7 e la linéarié de l espérance», car nous n avons pas encore prouvé que l espérance es linéaire. En fai la proposiion 7.9 es l un des ingrédiens de la preuve de la linéarié de l espérance. Il nous fau donc vérifier (7.2) par un calcul direc basé sur la définiion 7.. Quie à réindexer, on peu oujours supposer que les x k son rangés par ordre croissan. Noons p i : P X x i 2 e s k : 2 ik p i. La foncion de répariion F peu alors s écrire (cf. la proposiion 6.2) : F 2 n5 k6 s k xk,x k2 8 s n xn,342. (7.3) Noons que pour x n, F 2 s n, donc P X 2 F 2. Ainsi EX 3 34 P X 2 d 3 x n P X 2 d. On peu alors calculer EX en uilisan la décomposiion (7.3) e les propriéés de l inégrale de Riemann sur l inervalle fermé borné, x n : d où EX xn F 22 d x n xn n5 EX x n x k3 x k 2s k x n k6 F 2 d x n n j62 n5 k6 n5 x j s j5 8 x j s j j6 xk x k s k d, n5 x n x n s n5 8 x j s j s j5 2 8 x s j62 n5 x n p n 8 x j p j 8 x p j62 n p k x k. j6

9 7.2. Espérance d une variable aléaoire posiive 259 Ceci éabli (7.2). Proposiion 7. (espérance d une v.a. posiive à densié). Si la variable aléaoire posiive X a pour densié f, EX xf x2 dx. (7.4) Dans cee formule, EX peu prendre la valeur 89 si l inégrale généralisée diverge. Preuve. Si X adme pour densié f, P X fx2 dx pour ou. En reporan cee égalié dans la définiion de EX, on obien : P X 2 d fx2 dx d fx2,34 x2 dx d. Noons que pour,,34 x2,x9 2. L inégrande x, 2,x9 2fx2 éan posiive, le héorème de Fubini-Tonelli légiime l inerversion des inégraions 7, ce qui donne : EX 7 8 fx2,x9 2 d dx fx2 7 Comme pour x, 3 34,x9 2 d 3 x d x, on en dédui (7.4). 8,x9 2 d dx. Remarque 7.. Noons que dans la démonsraion ci-dessus, nous n avons uilisé à aucun momen la posiivié de la variable aléaoire X. On peu donc appliquer ce calcul à oue variable aléaoire réelle X ayan une densié f pour obenir : P X 2 d xfx2 dx (égalié dans R 3 ). (7.5) Aenion à ne pas écrire EX au premier membre de 7.52, cee quanié n éan pour l insan définie que pour X posiive. La vraie formule pour EX lorsque la v.a. réelle X es à densié es donnée à la proposiion Proposiion 7.2. Si X es une variable aléaoire posiive e c une consane réelle sricemen posiive, on a EcX2 cex. Cee égalié rese vraie pour c si X es de plus inégrable. Preuve. Puisque X es une variable aléaoire posiive e c une consane posiive, cx : ω cx2ω2 : cxω2 es une variable aléaoire posiive. En lui appliquan la définiion 7., on obien : 9 EcX2 P cx 2 d P X d. c 7. Même si les inégrales valen 56. Pour une preuve ne reposan pas sur un héorème admis, voir l exercice 4..

10 26 Chapire 7. Espérance Dans cee inégrale généralisée d une foncion posiive localemen inégrable sur, 89, on peu effecuer le changemen de variable s c, cf. proposiion 4.4- ii), qui nous donne : EcX2 9 P X d c c P X s2 ds cex. Dans le cas pariculier c, cee méhode n es plus valable (on ne peu déjà plus écrire «P cx 2 P X c2») mais la formule es vraie rivialemen, à condiion que EX soi finie, puisqu alors E X2 E2 e EX. Proposiion 7.3 (croissance de l espérance). Si X e Y son deux variables aléaoires posiives définies sur le même Ω, F, P 2 e si X Y c.-à-d. Xω2 Y ω2 pour ou ω 4 Ω, alors EX EY. Preuve. Si Xω2, alors comme Y ω2 Xω2, on a aussi Y ω2. Ceci jusifie l inclusion d évènemens 3X 5 3Y 5, puis l inégalié P X 2 P Y 2. Cee dernière inégalié éan vérifiée pour ou, on peu l inégrer enre e 89, pour obenir 8 : EX P X 2 d P Y 2 d EY. La proposiion suivane nous donne un peu de confor pour l expression des espérances de variables aléaoires posiives e nous sera uile pour l inégalié de Markov. Proposiion 7.4. Pour oue variable aléaoire posiive X, P X 2 d P X 2 d (égalié dans R 3 ). (7.6) Avan d en donner la preuve, noons que (7.6) n a rien d éviden car P X 2 e P X 2 peuven différer pour ceraines valeurs de (au plus pour une infinié dénombrable de valeurs de ). Preuve. Noons respecivemen I e J le premier e le deuxième membre de (7.6). On prouve leur égalié en monran l inégalié dans les deux sens. L inégalié I J s obien par inégraion de l inégalié P X 2 P X 2 vraie pour ou. Pour monrer que J I, fixons ε quelconque. L inégrande dans J es une foncion posiive localemen Riemann inégrable sur, 89. On peu donc effecuer 8. La croissance de l inégrale de Riemann (cf. prop ii)) passe aux inégrales généralisées de foncions posiives. En effe, si f e g son posiives e localemen Riemann inégrables sur 9, 569 e elles que f g sur 9, 569, alors x f2 d x g2 d pour ou x e cee inégalié enre deux foncions croissanes de x se conserve dans R par passage à la limie quand x end vers 56.

11 7.2. Espérance d une variable aléaoire posiive 26 dans J le changemen de variable «ranslaion» s 8 ε, cf. proposiion 4.4-i), qui nous donne : J 5ε P X s 8 ε2 ds 5ε P X s 8 ε2 ds 8 P X s 8 ε2 ds. En majoran P X s 8 ε2 par sur ε, e par P X s2 sur, 89, on en dédui que J ε 8 P X s2 ds ε 8 I. L inégalié J I 8 ε éan ainsi vérifiée pour ou ε, on en dédui en faisan endre ε vers que J I. Remarque 7.5. Dans la démonsraion ci-dessus, la posiivié de X ne joue aucun rôle. Donc (7.6) rese valable pour n impore quelle variable aléaoire réelle X. Une adapaion facile de la preuve ci-dessus monre que l on a aussi 54 P X 7 2 d 54 P X 2 d. (7.7) Proposiion 7.6 (inégalié de Markov). Si X es une variable aléaoire posiive, x, P X x2 EX x. (7.8) Remarques 7.7. Cee inégalié n a d inérê que lorsque le second membre es inférieur à, c es-à-dire lorsque EX 7 89 e x EX. D aure par il peu sembler un peu incongru de vouloir conrôler P X x2 à l aide de EX, puisque le calcul de cee espérance par la définiion 7. présuppose la connaissance des P X 2 pour (don on dédui facilemen les P X 2). Il se rouve qu il arrive souven en praique que l on sache calculer EX sans connaîre, ou sans avoir besoin de calculer, la loi de X. C es le cas par exemple quand X es une somme finie de variables aléaoires d espérances connues. On peu aussi savoir majorer EX sans connaîre la loi de X. Dans ces siuaions, l inégalié de Markov es rès uile. Pour ne cier qu un exemple, l inégalié de Markov es l un des ouils pour éablir des «lois des grands nombres». Voici mainenan 3 preuves de l inégalié de Markov, libre au leceur de choisir celle qu il préfère. Preuve n o. C es la preuve «muee» donnée par la figure 7.7. Preuve n o 2. Cee preuve ne fai que raduire expliciemen la preuve graphique n o. Fixons x, la quanié P X x2 devenan ainsi une consane. À parir de cee consane, définissons la foncion h :, 89 R 3, P X x2,x9 2. Par

12 262 Chapire 7. Espérance y EX y = P (X ) xp (X x) x Figure 7.7 Inégalié de Markov : xp X x P X 2 d EX. décroissance de la foncion P X 2, on a h2 P X 2 pour ou 4, x. D aure par cee inégalié es aussi vérifiée pour ou x car alors h2. En inégran sur, 89 l inégalié h2 P X 2, on obien compe-enu de (7.6) : h2 d D aure par, puisque h es nulle sur x, 89, h2 d x P X 2 d EX. P X x2 d xp X x2. Par conséquen xp X x2 EX, ce qui nous donne (7.8) puisque x. Preuve n o 3. Cee preuve plus absraie exploie les propriéés déjà connues de l espérance des v.a. posiives. On fixe x qui joue donc le rôle d une consane dans oue la preuve. On par de l inégalié enre v.a. posiives : x Xx X (vérifiez) don on dédui par croissance de E (proposiion 7.3) : E 5 x Xx 6 EX, puis grâce aux proposiions 7.2 e 7.7, xp X x2 EX. On conclu en divisan par x.