Décomposition en Série de Karhunen-Loève d un Processus Aléatoire par le Biais d un Code Eléments Finis

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1 Décomposto e Sére de Karhue-Loève d u Processus Aléatore par le Bas d u ode Elémets Fs Sébaste Rece* Maurce Lemare** Ala Mllard * * ommssarat à l Eerge Atomque DMS / SEMT / LMS EA / SALAY F-99 G-sur-Yvette ** LaMI - UBP & IFMA EA 3867 / FR NRS 856 F-6375 Aubère RÉSUMÉ. e paper présete l mplémetato d ue décomposto umérque de Karhue- Loève d ue octo de covarace das u code de calcul par élémets s. ette procédure permet la dscrétsato uture d u champ aléatore sous la orme d ue sére troquée comportat des varables aléatores et des octos détermstes. ABSTRAT. Ths paper presets the mplemetato o a umercal Karhue-Loève covarace epaso method a te elemets code. The procedure allows the uture dscretzato o a stochastc eld the orm o a trucated seres epaso cludg determstc uctos ad radom varables. MOTS-LÉS : Elémets Fs Stochastques, hamp Aléatore, Processus Aléatore, Décomposto Spectrale, Décomposto e sére de Karhue-Loève, ovarace. KEYWORDS: Stochastc Fte Elemets, Stochastc elds, Stochastc processes, Spectral epaso, Karhue-Loève Epaso, ovarace. Nom de la revue. Volume X X/00, pages à X

2 Nom de la revue. Volume X X/00. Itroducto L ue des dcultés prcpales assocée au calculs stochastques est la mapulato de champs aléatores, utlsés par eemple pour représeter la varablté spatale de doées (desté, module d Youg, ). Il est écessare de les dscrétser, les appromer sous ue orme compreat u ombre de varables aléatores. Pour u champ aléatore cela peut par eemple cosster e l assocato d ue varable aléatore à chaque œud d u modèle élémets s et e l utlsato des octos de orme pour terpoler le champ aléatore sur tout le domae. ette méthode peut codure à u grad ombre de varables aléatores, avec lequel l sera coûteu de travaller (pour réalser des smulatos de Mote arlo ou des calculs stochastques). Ue démarche mos coûteuse cosste e la décomposto du champ sous la orme d ue sére aalogue à ue sére de Fourer [GHA 9]. osdéros u champ aléatore α ({}, ω) dot sot coues la moyee α ({ } ) et la octo de covarace α ({}{}, y ). La décomposto e sére de Karhue-Loève du processus aléatore est de la orme : α ({}, ω) α( {} ) + λ ς ( ω) φ ({ } ) λ ({ }) Où et φ sot les valeurs propres et vecteurs propres de la octo de covarace, c est à dre les soluto de l équato de Fredholm suvate (D état le domae d tégrato et d{ } devat être comprs comme le produt des d j ) : ({ },{ }) φ ({ }) d{ } λ φ ({ }) ω D α [] ς Normales s le champ aléatore α ({}, ω) est Gausse. La covergece de la sére [] déped de la octo de covarace [HUA 0]. Ue telle décomposto peut costtuer la premère étape d u calcul par ue méthode d élémets s stochastques das le cadre de processus aléatore Gausse ([GHA 99], [MAT 99]). Les varables aléatores ( ) Des solutos aalytques à l équato [] sot coues pour quelques octos de covaraces classques et des domaes udmesoels. epedat das [GHA 9] ue méthode de résoluto umérque est présetée permettat la résoluto de [] pour tout domae et octo de covarace admssble. ette méthode présete l avatage d être partculèremet adaptée à ue mplémetato das u code de calcul par élémets s, même s elle peut être utlsée hors de ce cadre [AS 0]. Das ce paper ous présetos ue mplémetato de cette méthode das le code de calcul par élémets s AST3M [VER 84] et la testos sur u cas possédat ue soluto aalytque. []

3 Décomposto KL va u code EF 3. Théore Ue procédure de type Galer permet d obter ue soluto à l équato [] { h ( )} ue base de octos das l espace de Hlbert des φ ( ) se décompose e : [GHA 9]. Sot { } octos cotues. haque octo propre { } φ ( ) ({} ) d h ({ } ) La dérece ε etre les deu membres de l équato de Fredholm [] sute à la trocature de cette sére au N ème terme pour la ème octo propre est : ε [4] N ( ) ({ }) ({ } { }) ({ }) { } ({ }) d α λ D, h d h Pour u doé requérr que l erreur sot orthogoale au octos de la base codut à : N () d ({ },{ }) h ({ }) d{ } h ({ }) d{ } h ({ }) h ({ }) d{ } 0 D λ D α j D j [5] ette équato permet de calculer la ème octo et valeur propre. ette epresso peut être écrte sous ue orme matrcelle e déssat les matrces [] et [B] suvates : ({ } { }) ({ }) { } ({ }) { j D α D, h d h j d } [6] B h ({} ) h ({ } ) d{ } [7] j D j e qu codut à l équato suvate pour le ème mode : λ ( ) ( ) [ B]{ d } [ ]{ d } 0 ette équato est smlare à celle déssat u problème dyamque das le cadre d ue méthode de calcul par élémets s. E eet, pour u système possédat ue matrce de rgdté [K] et de masse [M], les ème pulsato et vecteur propre sot obteu e résolvat l équato : ( ) ( ) [ K ]{ q } ω [ M]{ q } 0 [9] Par coséquet l sut d ajouter au code le calcul des matrces [] et [B] pour dsposer d u outl de résoluto de l équato []. Notre procédure de calcul codut au correspodaces suvates das le modèle : [3] [8]

4 4 Nom de la revue. Volume X X/00 Doées : - la matrce [K] est remplacée par la matrce [B] ; - la matrce [M] est remplacée par la matrce [] ; - Aucue codto au lmtes est mposée au système Résultats: - la ème pulsato ω retourée ous doe la valeur propre λ selo la relato : λ ω - le vecteur propre { q } ( ) retouré sute au calcul ous doe les valeurs odales de la octo propre φ({}) qu peut esute être terpolée e utlsat les N ( état le ombre de œuds du modèle) : octos de orme ({ }) φ ({}) N ({ }) ( ) [0] q [] 3.alcul des matrces [] et [B] e utlsat u modèle élémets s L utlsato des octos de orme ({ } ) l epresso [6] codut à : D ({ } { }) ({ }) { } ({ }) { j D, N d Nj d } N comme base de octo das osdéros d abord le premer veau d tégrato de l équato [6] : ({ }) ({ } { }) ({ }) {, N d D } [] [3] Les octos de orme possédat u support compact, le domae d tégrato peut être lmté au élémets etourat drectemet le œud. E otat D ce domae et De le domae de l élémet ous permet d écrre : ({ }) ( { },{ }) N ({ }) d{ } De D Pus, e utlsat ue tégrato par pot de Gauss : Gauss ({ }) ({ } { }) { }, g N g D g De même, pour la varable { }: ({ }) N ({ }) d{ } Dj j j ( ) w det( [ ]) g J [4] [5] [6]

5 Décomposto KL va u code EF 5 j Gauss Dj jg ({ }) N ({ }) w det( [ J ]) jg j jg jg [7] Falemet, e substtuat par so epresso [5], ous obteos : j Gauss Gauss, N w det J jg g g g Dj jg D g ({ } { }) ({ }) ([ ]) ({ }) ([ ]) [8] N w det J j jg jg Où D est le jeu d élémets etourat le œud, N est la octo de orme assocée au œud, Gauss est le ombre de pots de Gauss das chaque g est le vecteur des coordoées du g th pot de Gauss de l élémet élémet, { }, w g est le pods assocé au g th pot de Gauss [J ] est la matrce Jacobee de l élémet. Pour la matrce [B] le calcul est plus smple : l epresso [7] correspod à la matrce de masse du système pour ue desté utare. 6. as-test Nous avos utlsé comme cas-test ue poutre mallée avec des élémets tétraédrques et ue covarace epoetelle, pour lesquels ue soluto aalytque est coue. Les résultats umérques motret ue boe covergece vers les résultats aalytques avec l augmetato de la desté du mallage (Fgure ). Pour la desté la plus élevée testée, les valeurs propres et octos propres (Fgure ) umérques pour les 4 premers modes sot smlares à % près à la théore. Nombre d élémets Fgure. as-test : erreur relatve etre les valeurs propres calculées et les valeurs propres théorques e octo du ombre d élémets

6 6 Nom de la revue. Volume X X/00 er ème 3 ème 4 ème Fgure. as-test : modes propres calculés (à gauche) et théorques (à drote) 8. oclusos La méthode présetée précédemmet permet la décomposto e sére de Karhue-Loève d ue octo de covarace par le bas d u code de calcul par élémets s. ette décomposto permet la dscrétsato de champs aléatores sous la orme d u jeu de octos détermstes (représetées par leurs valeurs odales) assocées à des varables aléatores. ette méthode est utlsable pour toute octo de covarace admssble et tout domae. Reereces [GHA 9] Ghaem R, Spaos P. Stochastc Fte Elemets: A Spectral Approach. Sprger-Verlag 99. [HUA 0] Huag SP, Que ST, Phoo KK. overgece Study o the Trucated Karhue-Loève Epaso or smulato o Stochastc Processes. It. J. Numer. Meth. Egg 00; 5: [GHA 99] Ghaem R. Igredets or a Geeral Purpose Stochastc Fte Elemets Implemetato. omp. Methods Appl. Egrg. 999; 68:9-34. [MAT 99] Matthes HG, Bucher. Fte Elemets or stochastc Meda Problems. omp. Methods Appl. Egrg. 999; 68:9-34. [AS 0] astrllo-adas JE, Amaratuga K. Fast Estmato o cotuous Karhue-Loève Egeuctos Usg Wavelets. IEEE Trasacto o sgal Processg 00; 50(): [VER 84] Verpeau P, Mllard A, harras T, ombescure A. A Moder Approach o Large omputer odes or Structural Aalyss. Proc. SMIRT 0, Los Ageles, 984