Décomposition d un entier en produit de facteurs premiers avec TI nspire. Application au problème 1 du concours général 2012

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1 Ecrt CAPES Mthémtques Décomoston d un enter en rodut de cteurs remers vec TI nsre. Alcton u rolème du concours générl 0. Décomoston d un nomre enter en rodut de cteurs remers.. Créton d une lste de nomres remers Le rogrmme rm ournt l lste nommée r des n remers nomres remers. Le remer enter de l lste est, us le rogrmme teste unquement les nomres mrs. Lorsqu l rencontre un nomre remer, l l joute à l lste et cec jusqu à ce que l lste r sot comosée de n nomres enters. Fculttvement, le rogrmme t cher l lste r. Pr exemle, l écrn c-contre che l lste des cnq remers, us des dx remers nomres remers. Le centème nomre remer est l enter 54, le mllème est l enter 799 et le cnq mllème est l enter Mtrce des cteurs remers d un nomre enter. On se roose d écrre une oncton nommée decom qu donne, sous orme de mtrce m, l décomoston en rodut de cteurs remers d un nomre enter x de ette tlle. Les dérents cteurs remers seront nscrts sur l remère lgne de l mtrce, et leurs exosnts sur l deuxème lgne. 3 3 Pr exemle, our l enter 4 =. 3, l oncton dot renvoyer. Pour l enter dot renvoyer et our l enter 0, =.3.7, elle On suose que le rogrmme rm été exécuté our une certne vleur de n (r exemle l enter 00). L lste r content donc les n lus etts nomres remers. L oncton decom v tester tour à tour s chcun des nomres remers de l lste r gure dns l décomoston de x. Cette oncton donner donc un résultt le à condton que x sot néreur ou égl u crré du derner élément de l lste r. Avec l lste des dx lus etts nomres remers, l oncton est utlsle our tous les enters jusqu à 9 = 84. Avec une lste des 5000 lus etts nomres remers, elle est utlsle jusqu à l enter 486 = ms le tems de clcul est nettement lus long. Audelà des lmtes de l lste r utlsée, l mtrce renvoyée r l oncton decom eut contenr un «ux nomre remer». Il udr donc dter l dmenson de l lste r à l tlle des enters que l on rojette de décomoser. 3 G. JULIA 0

2 Ecrt CAPES Mthémtques Pour chque élément r[ ] de l lste r, l oncton teste s le reste de l dvson de x r r est nul. Qund c est le cs, elle dvse x [ ] x r r [ ] et remlce x r utnt de os r[ ] que c est ossle. Le nomre de dvsons eectuées est stocé dns l vrle e. L mtrce m est ugmentée de l colonne r [ ] e. S à l n de l oucle x =, c est que l décomoston comlète été otenue. S x c est que x n est dvsle r ucun élément de l lste r, l est censé être remer. Il dot être ncororé à l mtrce m vec l exosnt. On ece vec sumt l remère colonne de 0 m (snon elle commencert r ) 0 Sur l rte guche de l écrn, on exécuté le rogrmme rm ( 0). L oncton decom décomose correctement 9 3 ou 9, ms elle échoue dns l décomoston de 3 ou de 3 37, qu sont u-delà du domne de lté rm 0. grnt r ( ) Avec une lste de nomres remers lus longue (les douze lus etts nomres remers urent d lleurs su), les décomostons correctes de 96 et de 47 sont otenues. G. JULIA 0

3 Ecrt CAPES Mthémtques. L énoncé du rolème du Concours Générl 0 : Les remers sont en hut, les exosnts sont en s Pour tout enter n, on dsose de l décomoston en cteurs remers n =... où les nomres remers dstncts,,, sont les dvseurs remers de n et les exosnts,,, sont des enters strctement osts. On ose lors ( n)... Pr exemle, s 4 =. n = 70 = 3 5, on ( n) = 4 = En osnt de lus ( ) = oncton de N* dns N*. Enn, our n rtennt à N*, on dént ( n) 0 que ( n) = n + et que our tout rtennt à N* : ( n) = ( n), on otent une r récurrence sur de çon ( ). Pr exemle : 0 ( 70) = 70 ; ( 70) = 8 ; ( 70) = ( 8) = 49 ( ) N Le ut de ce rolème est d étuder le comortement de l oncton et des sutes ( n) our n xé... Clculer ( 0)... Détermner les nomres ( 36) our 0 3. Que eut-on dre des suvnts? +.. Donner un exemle d enter n tel que our tout enter nturel on t ( n) = ( n) + ( n) ( n).. Montrer que l oncton n est n crossnte n décrossnte. et 3. Résoudre dns N* les équtons ( n) = ; ( n) = ; ( n) = Pour tous enters et 0 montrer que 4.. Sot rtennt à N*, et,,, ;,,, des enters tels que et 0 our tout. Montrer que Pour tout n rtennt à N*, montrer que ( ( n) ) n 4.4. Sot n rtennt à N*. Montrer qu l exste un enter nturel r tel que our r, on t : + ( n) = ( n) 5. Sot E l ensemle des enters n n ynt que des exosnts strctement suéreurs à dns leur décomoston en cteurs remers. 5.. Pour tout enter, montrer qu l exste des enters nturels α et β tels que = α + 3β. 5.. En dédure que s n rtent à E, lors l exste un élément m tel que ( m) = n Donner un élément m de E tel que ( m) = Que eut-on dre de l récroque du 5.? G. JULIA 0 3

4 Ecrt CAPES Mthémtques 3. Ecrture de l oncton vec TI nsre On suose désorms que le rogrmme rm été exécuté vec une vleur de n susmment grnde our dsoser d une lste d enters remers ermettnt le trtement grnt des nomres enters dsons jusqu à (Pour cel, l lste des 00 lus etts enters remers convent). L oncton exécute decom et stoce l mtrce renvoyée dns l vrle m. Pus elle m, élevés à renvoe le rodut des exosnts [ ] l ussnce m [,]. On otent ns les mges r de certns enters évoqués dns l énoncé. L étude de l mge de quelques enters ermet de vérer que n est n crossnte n décrossnte, de donner des exemles d enters conormes ux crtères de l queston. et d émettre quelques conjectures à roos de l queston 3. Les conjectures our l queston 5 sont lus oscures. Le cs 0 0 étnt hors de ortée, voc des enters dont les mges sont, resectvement, 96000, 600 et 68 G. JULIA 0 4

5 Ecrt CAPES Mthémtques et c des enters dont les mges sont des ussnces de, de 3 ou de 5. Un ett rogrmme nommé erod ermet d cher les mges successves d un enter n + jusqu à trouver tel que ( n) = ( n) conormément à ce que dt l queston 4.4. Comme on ouvt s en douter, 600 est un exemle d enter nvrnt r. G. JULIA 0 5

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