Equations structurées avec fragmentations et phénomènes de synchronis. synchronisation pour des réseaux de neurones COLLOQUE EDP-NORMANDIE - CAEN 2013

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Equations structurées avec fragmentations et phénomènes de synchronis. synchronisation pour des réseaux de neurones COLLOQUE EDP-NORMANDIE - CAEN 2013"

Transcription

1 Equations structurées avec fragmentations et phénomènes de synchronisation pour des réseaux de neurones 24 octobre 2013

2 Plan Introduction: motivations et présentation du modèle Introduction : motivations et présentation du modèle. Cas des réseaux faiblement interconnectés. Cas des réseaux fortement interconnectés.

3 Introduction Les neurones sont des cellules nerveuses excitables spécialisées dans la communication intercellulaire. En particulier les neurones assurent la réception des informations, des signaux en provenance de l environnement ou de l intérieur même du corps humain, le traitement des informations, la transmission d informations à d autres neurones ou bien aux cellules musculaires.

4 Introduction: motivations et pre sentation du mode le Cas des re seaux faiblement interconnecte s (σ 0 petit). Cas des re seaux plus fortement interconnecte s. Introduction Formation de ve ritables re seaux apparition de phe nome nes de synchronisation de de charges de neurones plus ou moins rythme es avec une fre quence plus ou moins grande jouent un ro le important dans les fonctions motrices, perceptives et cognitives de l e tre humain. Khashayar Pakdaman, Benoı t Perthame, Delphine Salort Equations structure es avec fragmentations et phe nome nes de synchronis

5 Introduction Objectif Etudier d un point de vue théorique, via un nouveau modèle proposé par K. Pakdaman, les mécanismes sous-jacents aux phénomènes de synchronisation/désynchronisation de décharges de neurones en fonction de la force des interconnexions qui lient les neurones entre eux. Plusieurs modèles d EDP classiques existent afin d étudier les phénomènes de synchronisation 1. Le modèle de Wilson-Cowan. La quantité étudiée porte sur la proportion de neurones excitateurs et inhibiteurs qui déchargent au cours du temps. Ces modèles font intervenir des équations de type intégro-différentielles. 2. Le modèle Integrate and Fire qui utilise des équations de Fokker-Planck et où la dynamique du réseau est décrite à travers le potentiel de membrane des neurones (Brunel, Cáceres, Carillo, Hakim, Perthame...). 3. Les modèles de Kuramoto qui permettent de décrire la dynamique d oscillateurs couplés entre eux ( Acebron, Bonilla, Bertini, Giacomin, Lucon, Pakdaman, Pellegrin, Perez, Ritort, Spigler...) Modèle étudié Dynamique des neurones décrite par le temps écoulé depuis leur dernière décharge. Modèle fait apparaître des équations structurées en âge avec fragmentation.

6 Modèle choisi Hypothèses sur le réseau Tous les neurones sont excitateurs Ils ont une activité spontanée: même sans stimulation extérieure, les neurones ont une activité qui persiste Les interconnexions entre les neurones sont supposées homogènes : à chaque temps t, tous les neurones sont soumis à la même amplitude de stimulation La dynamique des neurones est décrite via le temps écoulé depuis leur dernière décharge la longueur de leur période réfractaire qui peut varier en fonction de l amplitude de stimulation qu ils reçoivent.

7 Choix du modèle: Equation structurée en âge avec fragmentation Equation structurée en âge avec fragmentation n(s, t) n(s, t) p(s, N(t))n(s, t) = K (s, u)p(u, N(t))n(u, t)du, t s 0 + N(t) := n(s = 0, t) = p(s, N(t)) n(s, t)ds 0 n(s, t): densité de neurones au temps t telle que le temps écoulé depuis la dernière décharge est s. N(t) : flux de neurones qui déchargent au temps t identifié à l amplitude de stimulation globale p(s, u) permet de mesurer la proportion de neurones d âge s qui déchargent avec une amplitude de stimulation u. K (s, u): mesure positive permettant de donner la proportion de neurones ayant déchargé à l âge u et qui reviennent à l âge s. Equations avec fragmentation beaucoup étudiées: Calvez, Canizo, Caceres, Doumic, Gabriel, Laurençot, Lenuzza, Mischler, Mouthon, Perthame...

8 Choix du modèle: Equation structurée en âge Hypothèses faites sur K On suppose que pour tout âge u, l ensemble des neurones qui déchargent à cet âge u reviennent tous à un âge antérieur u K (s, u)ds = 1 et K (s, u) 0 si u > s. 0 On suppose que plus l âge u d un neurone est grand, plus sa période réfractaire est petite. On définit s f (s, u) := K (x, u)dx, x=0 et on suppose que Φ(s, u) := uf (s, u) 0. On suppose que la densité de neurones qui déchargent à l âge u et reviennent à un âge proche de u n est pas trop grand: il existe 0 θ < 1 tel que pour tout u 0, + u Φ(s, u)ds = u sk (s, u)ds θ. 0 0

9 Trois exemples typiques de choix de mesure K. K (s, u) = δ s=0 : tous les neurones qui déchargent reviennent à l âge 0 quelque soit l âge où ils ont déchargé. C est le modèle le plus simple. K (s, u) = δ s=f (u) : lorsqu un neurone décharge à l âge u, il revient à un âge s fixé ne dépendant que de u et ceci quelque soit le neurone du réseau. Permet de tenir compte de la fatigue du seuil. K (s, u) non concentrée en un dirac : sur l ensemble des neurones qui déchargent à un certain âge u, tous ne reviennent pas au même âge s mais se répartissent sur toute une tranche d âge.

10 Résultat. Lorsque les interconnexions sont suffisamment faibles, les neurones tendent vers un état totalement désynchronisé. Les états totalement désynchronisés correspondent aux états stationnaires de l équation structurée en âge convergence exponentielle en norme L 1 de la solution avec poids vers l état stationnaire si σ L et la période réfractaire sont assez petites. Idée de preuve. Si les interconnections sont suffisamment faibles, on a existence et unicité de l état stationnaire (Krein-Rutman) On montre la convergence exponentielle en norme L 1 de la solution avec poids vers l état stationnaire pour des réseaux sans interconnections (équation linéaire) Par perturbation, on en déduit convergence exponentielle pour des réseaux faiblement interconnectés.

11 Idée de la preuve. Plusieurs méthodes permettent d arriver à la convergence exponentielle vers un état stationnaire dans le cas d équations structurées avec fragmentations (voir par exemple Caniso, Caceres, Mischler). Difficultés. Noyau K qui est peu régulier La fonction p s annule Stratégie. Reprend celle de Laurençot et Perthame Montre d abord un résultat de convergence exponentielle pour x M(t, x) = (n(s, t) A(s))ds. 0 M(t, x) a l avantage de vérifier une équation dont l équation adjointe de l équation stationnaire associée a une valeur propre strictement négative avec un vecteur propre uniformément minoré. On utilise le fait que t M vérifie aussi la même équation que M, ce qui permet de réappliquer le résultat obtenu sur M pour t M et conclure que n converge exponentiellement vers A en norme L 1 avec poids.

12 On parle de synchronisation lorsque le flux de neurones N(t) oscille. On a considéré deux noyaux K extrêmes : K (s, u) = δ s=0 et K (s, u) = δ s=u/2 Résultats Lorsque K (s, u) = δ s=0 : construction explicite d un très grand nombre de solutions périodiques mettant en évidence l apparition de synchronisations rythmées des décharges des neurones au sein du réseau. Ces solutions sont très instables par rapport au choix de la donnée initiale. Des simulations numériques montrent que ces solutions sont robustes par perturbation des paramètres (si on régularise p, si on rajoute un petit délai..). Lorsque K (s, u) = δ s=u/2 (résultats numériques) des simulations numériques montrent que si la période réfractaire est trop petite, alors la solution tend vers un état stationnaire. Si la période réfractaire est suffisamment grande, les solutions tendent vers une solution périodique qui semble stable.

13 Idée de preuve de la construction explicite de solutions périodiques dans le cas K (s, u) = δ s=0 d Si dt (σ N) 1, alors la conservation de la masse donne l équation à retard suivante sur N 1 = N(t) + σ(n(t)) 0 N(t s)ds. On choisit σ de telle sorte que, lorsque le seuil bouge d (σ N)(t) = 1. dt

14 Introduction: motivations et présentation du modèle Simulations numériques.

15 Introduction: motivations et présentation du modèle Simulations numériques.

16 Introduction: motivations et présentation du modèle Simulations numériques.

17 Introduction: motivations et présentation du modèle Simulations numériques.

18 Introduction: motivations et présentation du modèle Simulations numériques.

19 Modèle taille finie. On prend pour amplitude de stimulation X telle que 1 a X (t) = X(t) + N(t). On suppose que l on a un nombre fini de neurones K. Description de la dynamique pour un neurone. On prend un neurone qui reçoit un signal d entrée X. Si le temps s écoulé depuis la dernière décharge est tel que s σ(x) alors p(s, X) = 0, sinon p(s, X) = 1. Si σ(x) > s, la probabilité de décharge du neurone est nulle, sinon elle est donnée par une loi exponentielle de paramètre 1.

20 Modèle taille finie Description de la dynamique pour un neurone. Tant qu il n y a pas de décharge de neurones X vérifie l équation Au moment de la décharge, au temps t 1 X(v) = X(0)e av. X(t 1 ) = X(0)e at 1 + a/k Pour trouver le temps t 1 On tire un qui vérifie une loi exponentielle de paramètre 1. Soit µ définie par u µ(u) = I [s(0)+v>σ(x(v))] dv. 0 On prend comme temps de décharge du neurone le temps t tel que µ(t) =.

21 Introduction: motivations et présentation du modèle Modèle taille finie

22 Introduction: motivations et présentation du modèle Modèle taille finie

23 Introduction: motivations et présentation du modèle

24 Introduction: motivations et présentation du modèle Simulations lorsque K (s, u) = δ s=u/2

25 Introduction: motivations et présentation du modèle Simulations lorsque K (s, u) = δ s=0

Phénomènes de synchronisation/désynchronisation pour des modèles de. de réseaux de neurones structurés avec fragmentation

Phénomènes de synchronisation/désynchronisation pour des modèles de. de réseaux de neurones structurés avec fragmentation Phénomènes de synchronisation/désynchronisation pour des modèles de réseaux de neurones structurés avec fragmentation IJM, Université Paris-Diderot. 23 janvier 2014 Plan Introduction: motivations et présentation

Plus en détail

Un exemple de problème à résoudre. Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. p.4/27. La démarche de l ingénieur mathématicien

Un exemple de problème à résoudre. Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. p.4/27. La démarche de l ingénieur mathématicien Un exemple de problème à résoudre. Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. Patrick Joly INRIA-Rocquencourt Exemple: la conduction de la chaleur. Soit un domaine de R N (N =,, 3)

Plus en détail

Partie 1 : de la notion de stabilité

Partie 1 : de la notion de stabilité vincent.mahout@insa-toulouse.fr p. 1/21 Théorie de Lyapunov pour les Σ autonomes Partie 1 : de la notion de stabilité Vincent MAHOUT Le coupable...sergei Milkhailovich Lyapunov vincent.mahout@insa-toulouse.fr

Plus en détail

Chapitre 1 : Introduction à la commande optimale

Chapitre 1 : Introduction à la commande optimale Chapitre 1 : Introduction à la commande optimale 1- Objet de la commande optimale Pour introduire la notion de commande optimale, considérons l exemple suivant : Pour arrêter la rotation d un rotor tournant

Plus en détail

Chapitre I : Atome d hydrogène et notion de mécanique quantique

Chapitre I : Atome d hydrogène et notion de mécanique quantique Chapitre I : Atome d hydrogène et notion de mécanique quantique Plan : ********************** II- INTRODUCTION DES NOTIONS FONDAMENTALES DE MECANIQUE QUANTIQUE... 3 1- Rappels sur l atome et présentation

Plus en détail

Séance 2 : Exercices corrigés FONCTIONS CONVEXES

Séance 2 : Exercices corrigés FONCTIONS CONVEXES Mathématiques 2 1 Séance 2 : Exercices corrigés FONCTIONS CONVEXES Question 1 Un circuit électrique : exemple de système non linéaire Montrer que les lois de Kirchhoff (la somme des intensités arrivant

Plus en détail

Contrôle des connaissances du cours «Méthodes de traitement des données» du DEA de Strasbourg. Corrigé

Contrôle des connaissances du cours «Méthodes de traitement des données» du DEA de Strasbourg. Corrigé Contrôle des connaissances du cours «Méthodes de traitement des données» du DEA de Strasbourg. Corrigé Le jeudi 28 janvier 1999 de 10h 30à 12h30 à l Observatoire de Strasbourg. Le contrôle est noté sur

Plus en détail

Devoir surveillé 5 mathématiques

Devoir surveillé 5 mathématiques Devoir surveillé 5 mathématiques BCPST 205-206 Exercice. Soit t un réel strictement positif. On définit la suite ( n N par la donnée de x 0 = t et la relation de récurrence : n N, + =.. (a Soit g la fonction

Plus en détail

METHODE DU PIVOT DE GAUSS

METHODE DU PIVOT DE GAUSS METHODE DU PIVOT DE GAUSS La méthode du pivot de Gauss permet la résolution générale des systèmes d équations linéaires à n équations et p inconnues Elle s utilise notamment pour leur résolution numérique

Plus en détail

Master MASS 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 4

Master MASS 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 4 Master MASS Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 4 Corrigé Dans ces exercices, W désignera toujours un processus de Wiener brownien standard. Soient s et t deux réels positifs. Montrer que

Plus en détail

Statistiques - Ajustement de courbes

Statistiques - Ajustement de courbes Statistiques - Ajustement de courbes 1 Rappels de Statistiques 1.1 Moyenne, variance, écart-type Soit une série statistique : x 1, x 2, x n (n valeurs) Moyenne x = 1 n x i n i=1 Somme des carrés des écarts

Plus en détail

Exercice. dont le dénominateur ne s annule pas. Donc I(r) est bien définie. 2 Posons: u = Ze it r convergence de n 0u n et l égalité

Exercice. dont le dénominateur ne s annule pas. Donc I(r) est bien définie. 2 Posons: u = Ze it r convergence de n 0u n et l égalité Corrigé de la première épreuve de l ENSIETA 96 Exercice f, étant la somme d une série entière de rayon de convergence R, est continue sur le disque ouvert de centre O, et de rayon R. On en déduit que l

Plus en détail

Contrôle stochastique sur un processus de naissance et mort

Contrôle stochastique sur un processus de naissance et mort Contrôle stochastique sur un processus de naissance et mort Equipe-projet TOSCA, INRIA Sophia Antipolis 7 juin 2011 Motivations Mettre en place une théorie du contrôle stochastique pour les processus de

Plus en détail

Analyse Numérique Equations différentielles ordinaires

Analyse Numérique Equations différentielles ordinaires 1 Master Mathématiques et Applications 1ère année Aix-Marseille Université Année 2010-2011 Analyse Numérique Equations différentielles ordinaires Exercice 1 Résoudre les équations différentielles suivantes

Plus en détail

Comprendre la finance stochastique Capitalisation stochastique 1

Comprendre la finance stochastique Capitalisation stochastique 1 Comprendre la finance stochastique Capitalisation stochastique 1 Première session Comprendre la mathématique sousjacente à la finance stochastique Modélisation d actifs boursiers au moyen de mouvements

Plus en détail

Estimation. Intervalle de confiance d une espérance d une loi de Gauss On se place dans le cas où X suit une loi N(m, σ) avec σ connu et m inconnu.

Estimation. Intervalle de confiance d une espérance d une loi de Gauss On se place dans le cas où X suit une loi N(m, σ) avec σ connu et m inconnu. Filière E Denis Pasquignon Résumé du cours :. l échantillonnage Estimation On appelle échantillon aléatoire de taille n la donnée de n variables aléatoires X,..., X n définies sur un espace probabilisé

Plus en détail

TD 3 et 4 : Processus à temps discret et Martingales

TD 3 et 4 : Processus à temps discret et Martingales 2009 - Université Paris VI Master 1 : Introduction au calcul stochastique pour la finance (MM054) TD 3 et 4 : Processus à temps discret et Martingales 1. Questions basiques sur les filtrations 1. Une union

Plus en détail

(exemple texte session 2006)

(exemple texte session 2006) Agrégation externe de mathématiques, session 2007 Épreuve de modélisation, option (exemple texte session 2006) Résumé : On se propose ici de modéliser le trafic routier en identifiant chaque véhicule à

Plus en détail

Epreuve de PHYSIQUE. Filière M P. durée 4 heures I. MECANIQUE : MODELISATION D'UN CABLE DE PRECONTRAINTE

Epreuve de PHYSIQUE. Filière M P. durée 4 heures I. MECANIQUE : MODELISATION D'UN CABLE DE PRECONTRAINTE concours Concours ESTP - ENSM - ECRIN - RCHIMEDE Epreuve de PHYSIQUE Filière M P durée 4 heures I. MECNIQUE : MODELISTION D'UN CBLE DE PRECONTRINTE On étudie successivement un élément mécanique simple,

Plus en détail

Chaînes de Markov (et applications)

Chaînes de Markov (et applications) Chaînes de Markov (et applications) Raphael Lachieze-Rey 25 avril 2016 M1 Paris Descartes. Table des matières 1 Chaînes de Markov homogènes 2 1.1 Eemples et définitions....................... 2 1.2 Loi

Plus en détail

Chapitre 5 ESTIMATION ET INTERVALLES DE CONFIANCE

Chapitre 5 ESTIMATION ET INTERVALLES DE CONFIANCE Thierry Foucart 1 http://foucart.thierry.free.fr Chapitre 5 ESTIMATION ET INTERVALLES DE CONFIANCE 1. DES PROBABILITÉS À LA STATISTIQUE. hypothèse intuitive élaborée à partir d expériences diverses : convergence

Plus en détail

Université Paris-Dauphine Ceremade. Introduction aux méthodes particulaires. François BOLLEY

Université Paris-Dauphine Ceremade. Introduction aux méthodes particulaires. François BOLLEY Université Paris-Dauphine Ceremade o Introduction aux méthodes particulaires o François BOLLEY I - Les équations d Euler incompressibles : modèle macroscopique, particules déterministes II - L équation

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014 Corrigé Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 Commun à tous les candidats Une fabrique de desserts glacés dispose d une chaîne automatisée pour remplir des cônes de

Plus en détail

Oscillationsforcéesdessystèmesàun degrédeliberté

Oscillationsforcéesdessystèmesàun degrédeliberté Chapitre 3 Oscillationsforcéesdessystèmesàun degrédeliberté 3.1 Equation différentielle Rappelons la forme générale de l équation de Lagrange pour les systèmes à un degré de liberté : d L L dt q q + D

Plus en détail

1.2 Notions de conductivité et de conservation

1.2 Notions de conductivité et de conservation Modélisation d un phénomène de diffusion J. Erhel Janvier 2014 1 Phénomène de diffusion voir http://www.breves-de-maths.fr/la-conduction-un-moteur-universel/ 1.1 Exemples de diffusion Le phénomène de diffusion

Plus en détail

Système rénal cours- TD 2.2

Système rénal cours- TD 2.2 Système rénal cours- TD 2.2 2V321 Physique des grandes fonctions des organismes vivants Diffusion : la première loi de Fick Rappel : concentration inhomogène, flux Dans le cours- TD 2.1 nous avons vu que

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat ES/L Amérique du Sud 17 novembre 2014

Corrigé du baccalauréat ES/L Amérique du Sud 17 novembre 2014 Corrigé du baccalauréat ES/L Amérique du Sud 17 novembre 201 A. P. M. E. P. Exercice 1 Commun à tous les candidats Une bibliothèque municipale dispose pour ses usagers de deux types de livres : les livres

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : CALCUL DIFFÉRENTIEL

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : CALCUL DIFFÉRENTIEL Chapitre 15 : FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : CALCUL DIFFÉRENTIEL ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Année 2013/2014 1 Objets du calcul différentiel du premier ordre 2 1.1 Dérivées partielles et gradient..................................

Plus en détail

COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ

COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ Chapitre 8 : COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Année 2015/2016 1 Généralités sur les variables aléatoires réelles 2 1.1 Généralités.............................................

Plus en détail

Des outils pour les suites

Des outils pour les suites Des outils pour les suites Suites arithmético-géométriques Définition : ppelle suite arithmético-géométrique toute suite récurrente de la forme : où a et b sont des nombres réels. Quelques cas particuliers

Plus en détail

Feuille TD n 1 : Calcul approché

Feuille TD n 1 : Calcul approché Feuille TD n : Calcul approché Exercice. Convertir (.) 2 en hexadécimal, octal et décimal. Exercice 2. Proposer une méthode pour éviter la perte de précision dans les calculs suivants :. e x sin(x) cos(x)

Plus en détail

Ondes dans un plasma peu dense, en l absence ou en présence d un champ magnétique stationnaire.

Ondes dans un plasma peu dense, en l absence ou en présence d un champ magnétique stationnaire. Ondes dans un plasma peu dense, en l absence ou en présence d un champ magnétique stationnaire. L équation du mouvement d un électron libre dans l ionosphère soumise aux champs électrique E et magnétique

Plus en détail

Chap.3 Induction : cas d un circuit fixe dans un champ variable

Chap.3 Induction : cas d un circuit fixe dans un champ variable Chap.3 Induction : cas d un circuit fixe dans un champ variable 1. Circulation du champ électrique Loi de Faraday 1.1. Le champ électrique n est pas à circulation conservative Force électromotrice 1.2.

Plus en détail

stochastique Arnaud Debussche 1 and Julien Vovelle 2 Congrès SMAI 2011 Limite diffusive d une équation cinétique

stochastique Arnaud Debussche 1 and Julien Vovelle 2 Congrès SMAI 2011 Limite diffusive d une équation cinétique Limite diffusive d une équation cinétique stochastique Arnaud Debussche 1 and Julien Vovelle 2 Congrès SMAI 2011 1 U. Rennes, ENS Cachan Bretagne 2 U. Lyon 1 Une équation cinétique stochastique Soit (V,

Plus en détail

Calcul déterministe du prix des options asiatiques

Calcul déterministe du prix des options asiatiques Exposé Premia, ENPC, 11 février 2004. Calcul déterministe du prix des options asiatiques François Dubois et Tony Lelièvre 1) Introduction 2) Modélisation mathématique 3) Cas d une volatilité nulle 4) Un

Plus en détail

Introduction à la théorie des probabilités

Introduction à la théorie des probabilités CHAPITRE I Introduction à la théorie des probabilités 1. Rappels sur les espaces probabilisés Les éléments ci-dessous ne sont que brièvement rappelés car ils sont normalement traités dans un cours d intégration.

Plus en détail

Etude théorique d équation d ordre 2

Etude théorique d équation d ordre 2 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 Etude théorique d équation d ordre 2 Eercice 1 [ 01555 ] [Correction] Soit q : R R + une fonction continue non nulle. On se propose de

Plus en détail

Chapitre 4 Equations différentielles couplées

Chapitre 4 Equations différentielles couplées Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2009-2010 Chapitre 4 Equations différentielles couplées 1 Champs de vecteurs et trajectoires : 1.1 Définitions : Définition 1.1 Un champ de vecteurs

Plus en détail

Prélude 7 ERP. Analyse globale du flux. Un exemple élémentaire. Christian van DELFT - Groupe HEC

Prélude 7 ERP. Analyse globale du flux. Un exemple élémentaire. Christian van DELFT - Groupe HEC Prélude 7 ERP Analyse globale du flux Un exemple élémentaire Christian van DELFT - Groupe HEC - 2 - Introduction Objectif pédagogique de l'exercice de présentation du module d analyse globale des flux

Plus en détail

Analyse numérique : Approximation de fonctions

Analyse numérique : Approximation de fonctions Analyse numérique : Approximation de fonctions Pagora 1A Chapitre 3 29 janvier - 1er février 2013 Analyse numérique (Pagora 1A) Approximation de fonctions 29/01/13-1/02/13 1 / 64 Plan 1 Introduction 2

Plus en détail

Multiplicateurs de Lagrange

Multiplicateurs de Lagrange Analyse numérique et optimisation TD5 27/05/204 A. Ern et A. de Bouard Groupes 5 & 2 Multiplicateurs de Lagrange Exercice : optimisation quadratique sous contraintes affines On pose V = R n et on considère

Plus en détail

1. Quelle est la probabilité de tirer quatre boules rouges? 2. Quelle est la probabilité de tirer deux boules rouges et deux boules bleues?

1. Quelle est la probabilité de tirer quatre boules rouges? 2. Quelle est la probabilité de tirer deux boules rouges et deux boules bleues? Problème 1 [6p] On dispose de deux urnes, désignées respectivement par les lettres A et B. L urne A contient 6 boules bleues et 3 rouges. L urne B contient 4 boules bleues et 4 rouges. On tire deux boule

Plus en détail

4.3 Processus de Poisson non-homogène

4.3 Processus de Poisson non-homogène L3 MIS 4.3 Processus de Poisson non-homogène Un processus de Poisson est dit non-homogène lorsque son intensité dépend du temps. Les postulats précédents deviennent : (i) P(N(t+ h) N(t)= N(t)= x)=λ(t)h+

Plus en détail

Cours de mécanique. M13-Oscillateurs

Cours de mécanique. M13-Oscillateurs Cours de mécanique M13-Oscillateurs 1 Introduction Nous étudierons dans ce chapitre en premier lieu l oscillateur harmonique solide-ressort horizontale, nous introduirons donc la force de rappel du ressort

Plus en détail

Étude de cas. Myriam Maumy-Bertrand. 27 septembre IRMA, UMR 7501, Université de Strasbourg

Étude de cas. Myriam Maumy-Bertrand. 27 septembre IRMA, UMR 7501, Université de Strasbourg Étude de cas IRMA, UMR 7501, Université de Strasbourg 27 septembre 2013 Ce chapitre s appuie essentiellement sur le livre : 2 ème partie Théorie de l estimation Sommaire 1 Introduction 2 3 4 5 6 Le problème

Plus en détail

Cours 5: Inférences: Estimation, Echantillonnage et Tests

Cours 5: Inférences: Estimation, Echantillonnage et Tests Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module: Stat inférentielles Cours 5: Inférences:, Echantillonnage et 1 Les divers

Plus en détail

Plan Général du Cours Stabilité des structures

Plan Général du Cours Stabilité des structures 1 Plan Général du Cours Stabilité des structures Définition de la stabilité, bifurcation Système à un degré de liberté Système à nombre fini de ddls Extension au continu (interface fluide,...) Applications

Plus en détail

... quelques éléments

... quelques éléments vincent.mahout@insa-toulouse.fr p. 1/25 Théorie de Lyapunov pour les Σ non linéaires non autonome... quelques éléments Vincent MAHOUT vincent.mahout@insa-toulouse.fr p. 2/25 Où est le problème? Que se

Plus en détail

Analyse en composantes principales en météorologie & en mécanique des fluides

Analyse en composantes principales en météorologie & en mécanique des fluides Analyse en composantes principales en météorologie & en mécanique des fluides O.Pannekoucke Météo-France/ CNRS, CNRM/GAME, URA 357 ISAE Séminaire CPGE 9- Mai 0, oulouse Problématique : pourquoi chercher

Plus en détail

Introduction aux réseaux de neurones pour le traitement automatique des langues

Introduction aux réseaux de neurones pour le traitement automatique des langues Introduction aux réseaux de neurones pour le traitement automatique des langues Matthieu Labeau LIMSI-CNRS 10 Février, 2015 Plan Perceptron Réseau de Neurones Backpropagation Notre problème en pratique

Plus en détail

Méthodes de points intérieurs pour la programmation linéaire

Méthodes de points intérieurs pour la programmation linéaire Cinquième partie Méthodes de points intérieurs pour la programmation linéaire 4 Notions de base Introduction L algorithme du simplexe n est pas un algorithme polynomial pour la programmation linéaire.

Plus en détail

Par hasard, par abole. Tâche 1- Vous tenterez de répondre expérimentalement à la question 1 à l aide d un logiciel de géométrie

Par hasard, par abole. Tâche 1- Vous tenterez de répondre expérimentalement à la question 1 à l aide d un logiciel de géométrie Par hasard, par abole Thèmes. Parabole, probabilités continues. Classe. Terminale S. Logiciels. Logiciel de géométrie dynamique. Tableur. Énoncé Soient a et b deux nombres réels distincts de l intervalle

Plus en détail

PC - Cinématique des fluides

PC - Cinématique des fluides PC - Cinématique des fluides Les lois de la mécanique des fluides sont complexes. Une analyse aérodynamique d un système mécanique réel (voiture, aile d avion...) donne souvent lieu à des simulations numériques

Plus en détail

Statistique : Intervalles de confiance et tests

Statistique : Intervalles de confiance et tests Statistique : Intervalles de confiance et tests Joseph Salmon Septembre 2014 Intervalle de confiance Contexte : on a une estimation ĝ(y 1,..., y n ) d une grandeur g(θ). On veut un intervalle Î autour

Plus en détail

COMMANDE DE PROCESSUS INTRODUCTION À LA COMMANDE DE PROCESSUS DOCUMENT DE SYNTHÈSE

COMMANDE DE PROCESSUS INTRODUCTION À LA COMMANDE DE PROCESSUS DOCUMENT DE SYNTHÈSE COMMANDE DE PROCESSUS INTRODUCTION À LA COMMANDE DE PROCESSUS DOCUMENT DE SYNTHÈSE Ressources pédagogiques : http://cours.espci.fr/cours.php?id=159397 Forum aux questions : https://iadc.info.espci.fr/bin/cpx/mforum

Plus en détail

FICHE MATIERE. Unité d enseignement : Automatique 1

FICHE MATIERE. Unité d enseignement : Automatique 1 FICHE MATIERE Unité d enseignement : Automatique 1 ECUE n 1 : ignaux et ystèmes Linéaires Chapitre 1 Notions de ystèmes Asservis Nombre d heures/chapitre : h Cours intégré ystème d évaluation : Continu

Plus en détail

La question des progressions. Approche interdisciplinaire mathématiques et sciences physiques. L'exemple de la terminale S.

La question des progressions. Approche interdisciplinaire mathématiques et sciences physiques. L'exemple de la terminale S. La question des progressions. Approche interdisciplinaire mathématiques et sciences physiques. L'exemple de la terminale S. Introduction. Extraits des programmes de terminale S. 1. «Il est demandé d introduire

Plus en détail

Variables aléatoires réelles

Variables aléatoires réelles Variables aléatoires réelles Table des matières 1 Généralités sur les variables aléatoires réelles. 3 1.1 Rappels sur les σ-algèbres ou tribus d événements................................. 3 1.2 σ-algèbre

Plus en détail

Chapitre 19. Echantillonnage. Estimation

Chapitre 19. Echantillonnage. Estimation Chapitre 9. Echantillonnage. Estimation Ce chapitre ne peut en aucun cas être étudié si on n a pas d abord étudié le chapitre 6 sur la loi binomiale et le chapitre 8 sur la loi normale. Les différentes

Plus en détail

Chap.1 Diffusion de particules

Chap.1 Diffusion de particules Chap.1 Diffusion de particules 1. Description de la diffusion particulaire 1.1. La diffusion : un phénomène de transport à l échelle microscopique 1.2. Flux de particules Vecteur densité de courant 1.3.

Plus en détail

( ) dx t dt. ( ) B( t) Le principe de la résolution se base sur la diagonalisation de la matrice A ou à défaut sa trigonalisation.

( ) dx t dt. ( ) B( t) Le principe de la résolution se base sur la diagonalisation de la matrice A ou à défaut sa trigonalisation. Equations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants (ou système d équation différentielles linéaires scalaire à coefficients constants du premier ordre) dx t dt B( t) + AX t x

Plus en détail

Chapitre 4: Fonctions génératrices (notions)

Chapitre 4: Fonctions génératrices (notions) Chapitre 4: Fonctions génératrices (notions) 1 Généralités On considère ici le cas particulier des v.a. à valeurs dans l ensemble N des entiers naturels. Ces v.a. interviennent souvent dans les applications.

Plus en détail

Formation à la Modélisation et à l Identification du Comportement Mécanique des Matériaux

Formation à la Modélisation et à l Identification du Comportement Mécanique des Matériaux Formation à la Modélisation et à l Identification du Comportement Mécanique des Matériaux OBJECTIF Il s agit ici de mécanique appliquée aux matériaux : métaux et alliages, polymères, céramiques et composites.

Plus en détail

La valeur positive extrême (ou maximale) prise par l abscisse angulaire est appelée amplitude de l oscillation.

La valeur positive extrême (ou maximale) prise par l abscisse angulaire est appelée amplitude de l oscillation. Terminale S Chapitre 12 Les systèmes mécaniques oscillants. Lycée J-B Schwilgué - SELESTAT I. Exemples de systèmes oscillants. 1. L oscillateur. On appelle oscillateur (ou système oscillant) un système

Plus en détail

Cours 2 Champ électrique PHY332

Cours 2 Champ électrique PHY332 Cours 2 Champ électrique PHY332 1. Rappel Introduction 2. Notion de champ 3. Champ électrique d une charge ponctuelle 4. Distribution de charges 5. Les conducteurs 6. Mouvement d une particule chargée

Plus en détail

CONCOURS ESIM FILIERE MP MATHEMATIQUES 2. + (puisque α n est pas entier) απ α 2 n 2 cos(nx). Maintenant, g est de classe C 1 par morceaux.

CONCOURS ESIM FILIERE MP MATHEMATIQUES 2. + (puisque α n est pas entier) απ α 2 n 2 cos(nx). Maintenant, g est de classe C 1 par morceaux. SESSION CONCOURS ESIM FILIERE MP MATHEMATIQUES Préliminaire - Quand t tend vers, ft) t t t =. Par suite, f est prolongeable par continuité en. f étant d autre part continue / sur ], ], f est intégrable

Plus en détail

G.P. DNS07 Novembre 2012

G.P. DNS07 Novembre 2012 DNS Sujet Isolation thermique d'un tube vaporisateur...1 I.Transfert thermique dans un milieu homogène...1 II.Transferts thermiques pour un tube...2 A.Conduction ou diffusion...2 B.Conducto-convection...3

Plus en détail

Lycée Hoche Versailles. Automatique - Introduction

Lycée Hoche Versailles. Automatique - Introduction Lycée Hoche Versailles Automatique - Introduction AUTOMATIQUE - INTRODUCTION Objectif : Présentation de la discipline, de ses domaines d application, de son but et de son évolution. 1) Définitions L automatique

Plus en détail

COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ

COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ Chapitre 8 : COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Année 2013/2014 1 Généralités sur les variables aléatoires réelles 2 1.1 Généralités.............................................

Plus en détail

Enoncé commun pour les QCM 1 à 4

Enoncé commun pour les QCM 1 à 4 Enoncé commun pour les QCM 1 à 4 La probabilité pour une femme de développer un cancer du sein au cours de la vie est de 0,11. Différents facteurs influencent ce risque ; ainsi, la probabilité est deux

Plus en détail

Fiche de cours 2 - Suites de réels.

Fiche de cours 2 - Suites de réels. Licence de Sciences et Technologies EM1 - Analyse Fiche de cours - Suites de réels. Généralités sur les suites. Définition : Une suite est une fonction u : N R, définie à partir dun certain rang au moins.

Plus en détail

Position et vitesse d une particule quantique. L équation de Schrödinger générale

Position et vitesse d une particule quantique. L équation de Schrödinger générale Position et vitesse d une particule quantique L équation de Schrödinger générale Chapitre 2 Joseph Fourier 1768-1830 William R. Hamilton 1805-1865 La particule libre en mécanique quantique En mécanique

Plus en détail

Simulation numérique, contexte

Simulation numérique, contexte Introduction à la Simulation Numérique Jérémie Gressier Septembre 21 1 / 41 Plan 1 Présentation 2 Différences Finies 3 Intégration d un problème de Cauchy 4 Conclusion 2 / 41 Simulation numérique, contexte

Plus en détail

FICHE DONNAN POTENTIELS DE MEMBRANE. Équilibre de Donnan. est responsable, Dans l exemple : Nombre d osmoles =

FICHE DONNAN POTENTIELS DE MEMBRANE. Équilibre de Donnan. est responsable, Dans l exemple : Nombre d osmoles = Équilibre de Donnan Généralités : Ions responsables de V // Ions qui subissent V Ion responsable : impose le potentiel du signe de sa charge du coté où il est le plus concentré. L ion non responsable s'accumule

Plus en détail

Commande floue adaptative pour une classe de systèmes non linéaires incertains et perturbés

Commande floue adaptative pour une classe de systèmes non linéaires incertains et perturbés Université de Picardie Jules Vernes Amiens-France Laboratoire de Modélisation Informations et Systèmes Ecole Nationale d Ingénieurs de Sfax-Tunisie Unité de Commande Automatique Commande floue adaptative

Plus en détail

Mécanique Chapitre 1 : Cinématique du point matériel

Mécanique Chapitre 1 : Cinématique du point matériel Lycée François Arago Perpignan M.P.S.I. 2012-2013 Mécanique Chapitre 1 : Cinématique du point matériel On se place dans le cadre de la mécanique classique (newtonienne) qui convient très bien pour expliquer

Plus en détail

Schéma d Euler explicite

Schéma d Euler explicite Schéma d Euler explicite Définition Étant donnés un pas de temps t et une suite d instants t n = t + n t n N, le schéma d Euler explicite associé à l équation différentielle du dt = ft, u, où f est une

Plus en détail

Rappels de théorie des probabilités

Rappels de théorie des probabilités Rappels de théorie des probabilités 1. modèle probabiliste. 1.1. Univers, événements. Soit un ensemble non vide. Cet ensemble sera appelé l univers des possibles ou l ensemble des états du monde. Dans

Plus en détail

Séries de fonctions ( ) ( )

Séries de fonctions ( ) ( ) Séries de fonctions Exercice 1. On considère la série de fonctions 1. Etudier la convergence simple de cette série sur [ [. 2. Etudier la convergence uniforme de cette série sur [ ] où ] [. 3. Etudier

Plus en détail

Brevet de technicien supérieur 12 mai 2016 Systèmes numériques

Brevet de technicien supérieur 12 mai 2016 Systèmes numériques Brevet de technicien supérieur 12 mai 216 Systèmes numériques A. P. M. E. P. Exercice 1 8 points On considère un filtre analogique de type passe bas du premier ordre utilisé dans de nombreux modules électroniques.

Plus en détail

Type bac janvier Corrigé

Type bac janvier Corrigé Exercice (Métropole 24) Commun à tous les élèves Type bac janvier 27 - Corrigé Partie A ) L image de par la fonction f est : f () +e. Le point d abscisse sur la courbe C, représentative de la fonction

Plus en détail

Exercice n 114 page 128

Exercice n 114 page 128 Jeudi 28 Février 2013 DM de Maths Exercice n 114 page 128 1) a) Voir papier millimétré 1) b) D après la représentation graphique des premiers termes de la suite (u n ), on peut conjecturer qu elle est

Plus en détail

Equations différentielles stochastiques et applications à la simulation moléculaire

Equations différentielles stochastiques et applications à la simulation moléculaire Equations différentielles stochastiques et applications à la simulation moléculaire Florian Bouguet Ecole Normale Supérieure de Cachan - Antenne de Bretagne Juin 2010 Stage encadré par Frédéric Legoll

Plus en détail

Theory Swiss French (Switzerland) Dynamique non-linéaire dans les circuits électriques (10 points)

Theory Swiss French (Switzerland) Dynamique non-linéaire dans les circuits électriques (10 points) Q2-1 Dynamique non-linéaire dans les circuits électriques (10 points) Veuillez lire les instructions générales situées dans l enveloppe séparée avant de commencer. Introduction Les éléments semi-conducteurs

Plus en détail

( ) ( 1 2 ). 2 ) = 2 ( 1. EXERCICE 2 (CHAPITRE 7 I) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres des matrices suivantes :

( ) ( 1 2 ). 2 ) = 2 ( 1. EXERCICE 2 (CHAPITRE 7 I) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres des matrices suivantes : CHAPITRE DIAGONALISATION D UNE MATRICE CARREE EXERCICE CHAPITRE 7 I) Effectuez le produit : 0 ) ). Comparez le résultat au vecteur ). Qu en déduisez-vous? CORRECTION 0 ) ) = 0 + ) = 4 ) = ). 0 ) ) = ),

Plus en détail

Chap.3 Régimes transitoires

Chap.3 Régimes transitoires Chap.3 Régimes transitoires. Circuit RC série.. Observations expérimentales : charge et décharge du condensateur.. Etablissement de l équation différentielle - Circuit du premier ordre.3. Résolution dans

Plus en détail

THERMODYNAMIQUE-DIFFUSION

THERMODYNAMIQUE-DIFFUSION Spé y 3-4 Devoir n THERMODYNAMIQUE-DIFFUSION On étudie la compression ou la détente d un ga enfermé dans un récipient. Lorsque le bouchon se déplace, le volume V occupé par le ga varie. L atmosphère est

Plus en détail

Concours blanc : ESSEC épreuve 2

Concours blanc : ESSEC épreuve 2 Concours blanc : ESSEC épreuve 2 15 Mars 2013 Tout au long du sujet N désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. Notations : Pour x R, on note x la valeur absolue de x. v 1 Pour tout vecteur V =.

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S (spécialité) Polynésie 9 septembre 2015

Corrigé du baccalauréat S (spécialité) Polynésie 9 septembre 2015 Corrigé du baccalauréat S spécialité) Polynésie 9 septembre 015 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 7 points Partie A 1. Soit u le nombre complexe 1 i. u = 1 + 1) = ; donc u= 1 1 ) i

Plus en détail

EXERCICES Électromagnétisme me 2 Equations de Maxwell - Induction

EXERCICES Électromagnétisme me 2 Equations de Maxwell - Induction EXERCICES Électromagnétisme me Equations de Maxwell - Induction E 1 Densité de charges dans les conducteurs On considère un conducteur ohmique de conductivité γ. Comment évolue la densité de charge globale

Plus en détail

Par Jean-Christophe Yoccoz

Par Jean-Christophe Yoccoz Une erreur féconde du mathématicien Henri Poincaré, Par Jean-Christophe Yoccoz UPJV, Amiens, le 8 février 2012 Préconférence par Véronique Martin, Samuel Petite, Emmanuelle Sebert, Barbara Schapira, Gabriel

Plus en détail

Sujet Asie 2013 EXERCICE 1. [5 pts] Probabilités

Sujet Asie 2013 EXERCICE 1. [5 pts] Probabilités Sujet Asie 203 EXERCICE. [5 pts] Probabilités Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième. Partie A Une grossiste achète des boîtes de thé chez deux fournisseurs. Il achète 80% de

Plus en détail

Corrections. Fig. 1: La cycloïde ; l intervalle t ( π, π] se trouve au centre (gras, bleu)

Corrections. Fig. 1: La cycloïde ; l intervalle t ( π, π] se trouve au centre (gras, bleu) Corrections 1 Paramétrage Cartésien Correction de l exercice 1.1 (La cycloïde) Soit (Γ) la courbe définie par la représentation x(t) = 3(t sin(t)), y(t) = 3(1 cos(t)). 1. x(t) et y(t) sont bien définies

Plus en détail

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2002

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2002 MATGRD EXERCICE 1 (11 points) Les trois parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre. Pour une étude cardio-vasculaire, on effectue une perfusion lente à débit constant d'une solution

Plus en détail

Estimation ARMA. Un processus ARMA est la solution stationnaire de l équation récurrente : θ k Z t k + Z t. k=1. k=1 φ kz k 0 pour z = 1.

Estimation ARMA. Un processus ARMA est la solution stationnaire de l équation récurrente : θ k Z t k + Z t. k=1. k=1 φ kz k 0 pour z = 1. Estimation ARMA Un processus ARMA est la solution stationnaire de l équation récurrente : X t = p φ k X t k + k=1 q θ k Z t k + Z t k=1 où Z t BB(0, σ 2 ) et où φ(z) = 1 + p k=1 φ kz k 0 pour z = 1. Paramètre

Plus en détail

Exercices du chapitre IX avec corrigé succinct

Exercices du chapitre IX avec corrigé succinct Exercices du chapitre IX avec corrigé succinct Exercice IX.1 Ch9-Exercice1 L équation différentielle du premier ordre admet comme solution x IR, y (x) = y(x) x 2, ϕ(x) = Ce x + x 2 + 2x + 2, C IR. A quoi

Plus en détail

Mouvement d un corps dans un potentiel central. Formules de Binet. Mouvement de corps célestes.

Mouvement d un corps dans un potentiel central. Formules de Binet. Mouvement de corps célestes. Département STPI 1 ère année 1 er semestre UF Physique 1 (I1ANPH21) Mouvement d un corps dans un potentiel central. Formules de Binet. Mouvement de corps célestes. B.Lassagne Introduction Nous allons étudier

Plus en détail

Chapitre II Oscillations libres amorties des systèmes à un seul degré

Chapitre II Oscillations libres amorties des systèmes à un seul degré Chapitre II Oscillations libres amorties des systèmes à un seul degré de liberté 1. Introduction : Oscillations libres amortis des mouvements oscillatoires dont l amplitude diminue au cours du temps jusqu

Plus en détail

Programmation linéaire et Méthode du simplexe (en bref)

Programmation linéaire et Méthode du simplexe (en bref) Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines Tahar Z. BOULMEZAOUD boulmeza@math.uvsq.fr Programmation linéaire et Méthode du simplexe (en bref) On appelle programme linéaire un problème d optimisation

Plus en détail