Equations structurées avec fragmentations et phénomènes de synchronis. synchronisation pour des réseaux de neurones COLLOQUE EDP-NORMANDIE - CAEN 2013

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Equations structurées avec fragmentations et phénomènes de synchronis. synchronisation pour des réseaux de neurones COLLOQUE EDP-NORMANDIE - CAEN 2013"

Transcription

1 Equations structurées avec fragmentations et phénomènes de synchronisation pour des réseaux de neurones 24 octobre 2013

2 Plan Introduction: motivations et présentation du modèle Introduction : motivations et présentation du modèle. Cas des réseaux faiblement interconnectés. Cas des réseaux fortement interconnectés.

3 Introduction Les neurones sont des cellules nerveuses excitables spécialisées dans la communication intercellulaire. En particulier les neurones assurent la réception des informations, des signaux en provenance de l environnement ou de l intérieur même du corps humain, le traitement des informations, la transmission d informations à d autres neurones ou bien aux cellules musculaires.

4 Introduction: motivations et pre sentation du mode le Cas des re seaux faiblement interconnecte s (σ 0 petit). Cas des re seaux plus fortement interconnecte s. Introduction Formation de ve ritables re seaux apparition de phe nome nes de synchronisation de de charges de neurones plus ou moins rythme es avec une fre quence plus ou moins grande jouent un ro le important dans les fonctions motrices, perceptives et cognitives de l e tre humain. Khashayar Pakdaman, Benoı t Perthame, Delphine Salort Equations structure es avec fragmentations et phe nome nes de synchronis

5 Introduction Objectif Etudier d un point de vue théorique, via un nouveau modèle proposé par K. Pakdaman, les mécanismes sous-jacents aux phénomènes de synchronisation/désynchronisation de décharges de neurones en fonction de la force des interconnexions qui lient les neurones entre eux. Plusieurs modèles d EDP classiques existent afin d étudier les phénomènes de synchronisation 1. Le modèle de Wilson-Cowan. La quantité étudiée porte sur la proportion de neurones excitateurs et inhibiteurs qui déchargent au cours du temps. Ces modèles font intervenir des équations de type intégro-différentielles. 2. Le modèle Integrate and Fire qui utilise des équations de Fokker-Planck et où la dynamique du réseau est décrite à travers le potentiel de membrane des neurones (Brunel, Cáceres, Carillo, Hakim, Perthame...). 3. Les modèles de Kuramoto qui permettent de décrire la dynamique d oscillateurs couplés entre eux ( Acebron, Bonilla, Bertini, Giacomin, Lucon, Pakdaman, Pellegrin, Perez, Ritort, Spigler...) Modèle étudié Dynamique des neurones décrite par le temps écoulé depuis leur dernière décharge. Modèle fait apparaître des équations structurées en âge avec fragmentation.

6 Modèle choisi Hypothèses sur le réseau Tous les neurones sont excitateurs Ils ont une activité spontanée: même sans stimulation extérieure, les neurones ont une activité qui persiste Les interconnexions entre les neurones sont supposées homogènes : à chaque temps t, tous les neurones sont soumis à la même amplitude de stimulation La dynamique des neurones est décrite via le temps écoulé depuis leur dernière décharge la longueur de leur période réfractaire qui peut varier en fonction de l amplitude de stimulation qu ils reçoivent.

7 Choix du modèle: Equation structurée en âge avec fragmentation Equation structurée en âge avec fragmentation n(s, t) n(s, t) p(s, N(t))n(s, t) = K (s, u)p(u, N(t))n(u, t)du, t s 0 + N(t) := n(s = 0, t) = p(s, N(t)) n(s, t)ds 0 n(s, t): densité de neurones au temps t telle que le temps écoulé depuis la dernière décharge est s. N(t) : flux de neurones qui déchargent au temps t identifié à l amplitude de stimulation globale p(s, u) permet de mesurer la proportion de neurones d âge s qui déchargent avec une amplitude de stimulation u. K (s, u): mesure positive permettant de donner la proportion de neurones ayant déchargé à l âge u et qui reviennent à l âge s. Equations avec fragmentation beaucoup étudiées: Calvez, Canizo, Caceres, Doumic, Gabriel, Laurençot, Lenuzza, Mischler, Mouthon, Perthame...

8 Choix du modèle: Equation structurée en âge Hypothèses faites sur K On suppose que pour tout âge u, l ensemble des neurones qui déchargent à cet âge u reviennent tous à un âge antérieur u K (s, u)ds = 1 et K (s, u) 0 si u > s. 0 On suppose que plus l âge u d un neurone est grand, plus sa période réfractaire est petite. On définit s f (s, u) := K (x, u)dx, x=0 et on suppose que Φ(s, u) := uf (s, u) 0. On suppose que la densité de neurones qui déchargent à l âge u et reviennent à un âge proche de u n est pas trop grand: il existe 0 θ < 1 tel que pour tout u 0, + u Φ(s, u)ds = u sk (s, u)ds θ. 0 0

9 Trois exemples typiques de choix de mesure K. K (s, u) = δ s=0 : tous les neurones qui déchargent reviennent à l âge 0 quelque soit l âge où ils ont déchargé. C est le modèle le plus simple. K (s, u) = δ s=f (u) : lorsqu un neurone décharge à l âge u, il revient à un âge s fixé ne dépendant que de u et ceci quelque soit le neurone du réseau. Permet de tenir compte de la fatigue du seuil. K (s, u) non concentrée en un dirac : sur l ensemble des neurones qui déchargent à un certain âge u, tous ne reviennent pas au même âge s mais se répartissent sur toute une tranche d âge.

10 Résultat. Lorsque les interconnexions sont suffisamment faibles, les neurones tendent vers un état totalement désynchronisé. Les états totalement désynchronisés correspondent aux états stationnaires de l équation structurée en âge convergence exponentielle en norme L 1 de la solution avec poids vers l état stationnaire si σ L et la période réfractaire sont assez petites. Idée de preuve. Si les interconnections sont suffisamment faibles, on a existence et unicité de l état stationnaire (Krein-Rutman) On montre la convergence exponentielle en norme L 1 de la solution avec poids vers l état stationnaire pour des réseaux sans interconnections (équation linéaire) Par perturbation, on en déduit convergence exponentielle pour des réseaux faiblement interconnectés.

11 Idée de la preuve. Plusieurs méthodes permettent d arriver à la convergence exponentielle vers un état stationnaire dans le cas d équations structurées avec fragmentations (voir par exemple Caniso, Caceres, Mischler). Difficultés. Noyau K qui est peu régulier La fonction p s annule Stratégie. Reprend celle de Laurençot et Perthame Montre d abord un résultat de convergence exponentielle pour x M(t, x) = (n(s, t) A(s))ds. 0 M(t, x) a l avantage de vérifier une équation dont l équation adjointe de l équation stationnaire associée a une valeur propre strictement négative avec un vecteur propre uniformément minoré. On utilise le fait que t M vérifie aussi la même équation que M, ce qui permet de réappliquer le résultat obtenu sur M pour t M et conclure que n converge exponentiellement vers A en norme L 1 avec poids.

12 On parle de synchronisation lorsque le flux de neurones N(t) oscille. On a considéré deux noyaux K extrêmes : K (s, u) = δ s=0 et K (s, u) = δ s=u/2 Résultats Lorsque K (s, u) = δ s=0 : construction explicite d un très grand nombre de solutions périodiques mettant en évidence l apparition de synchronisations rythmées des décharges des neurones au sein du réseau. Ces solutions sont très instables par rapport au choix de la donnée initiale. Des simulations numériques montrent que ces solutions sont robustes par perturbation des paramètres (si on régularise p, si on rajoute un petit délai..). Lorsque K (s, u) = δ s=u/2 (résultats numériques) des simulations numériques montrent que si la période réfractaire est trop petite, alors la solution tend vers un état stationnaire. Si la période réfractaire est suffisamment grande, les solutions tendent vers une solution périodique qui semble stable.

13 Idée de preuve de la construction explicite de solutions périodiques dans le cas K (s, u) = δ s=0 d Si dt (σ N) 1, alors la conservation de la masse donne l équation à retard suivante sur N 1 = N(t) + σ(n(t)) 0 N(t s)ds. On choisit σ de telle sorte que, lorsque le seuil bouge d (σ N)(t) = 1. dt

14 Introduction: motivations et présentation du modèle Simulations numériques.

15 Introduction: motivations et présentation du modèle Simulations numériques.

16 Introduction: motivations et présentation du modèle Simulations numériques.

17 Introduction: motivations et présentation du modèle Simulations numériques.

18 Introduction: motivations et présentation du modèle Simulations numériques.

19 Modèle taille finie. On prend pour amplitude de stimulation X telle que 1 a X (t) = X(t) + N(t). On suppose que l on a un nombre fini de neurones K. Description de la dynamique pour un neurone. On prend un neurone qui reçoit un signal d entrée X. Si le temps s écoulé depuis la dernière décharge est tel que s σ(x) alors p(s, X) = 0, sinon p(s, X) = 1. Si σ(x) > s, la probabilité de décharge du neurone est nulle, sinon elle est donnée par une loi exponentielle de paramètre 1.

20 Modèle taille finie Description de la dynamique pour un neurone. Tant qu il n y a pas de décharge de neurones X vérifie l équation Au moment de la décharge, au temps t 1 X(v) = X(0)e av. X(t 1 ) = X(0)e at 1 + a/k Pour trouver le temps t 1 On tire un qui vérifie une loi exponentielle de paramètre 1. Soit µ définie par u µ(u) = I [s(0)+v>σ(x(v))] dv. 0 On prend comme temps de décharge du neurone le temps t tel que µ(t) =.

21 Introduction: motivations et présentation du modèle Modèle taille finie

22 Introduction: motivations et présentation du modèle Modèle taille finie

23 Introduction: motivations et présentation du modèle

24 Introduction: motivations et présentation du modèle Simulations lorsque K (s, u) = δ s=u/2

25 Introduction: motivations et présentation du modèle Simulations lorsque K (s, u) = δ s=0

Quand le bruit est à l origine de comportements périodiques

Quand le bruit est à l origine de comportements périodiques 1/17 Quand le bruit est à l origine de comportements périodiques Christophe Poquet Université Paris Dauphine, CEREMADE 28 juin 2014 En collaboration avec G.Giacomin, K.Pakdaman et X.Pellegrin (Paris 7).

Plus en détail

Intégrale stochastique

Intégrale stochastique Intégrale stochastique Plan L intégrale stochastique générale Intégrale de Wiener Exemples Processus d Itô Formule d Itô Formule de Black & Scholes Le processus B est un mouvement Brownien et { Ft B,t

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2 BTS Mécanique et Automatismes Industriels Équations différentielles d ordre, Année scolaire 005 006 . Définition Notation Dans tout ce paragraphe, y désigne une fonction de la variable réelle x. On suppose

Plus en détail

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions Systèmes différentiels Cours de YV, L3 Maths, Dauphine, 2012-2013 Plan du cours. Le cours a pour but de répondre aux questions suivantes : - quand une équation différentielle a-t-elle une unique solution

Plus en détail

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images.

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. On se place dans un espace vectoriel E de dimension finie n, muni d une base B = ( e 1,..., e n ). f désignera un endomorphisme de E 1 et A la matrice de f dans la

Plus en détail

Probabilités III Introduction à l évaluation d options

Probabilités III Introduction à l évaluation d options Probabilités III Introduction à l évaluation d options Jacques Printems Promotion 2012 2013 1 Modèle à temps discret 2 Introduction aux modèles en temps continu Limite du modèle binomial lorsque N + Un

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

MATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA

MATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA MATHS FINANCIERES Mireille.Bossy@sophia.inria.fr Projet OMEGA Sophia Antipolis, septembre 2004 1. Introduction : la valorisation de contrats optionnels Options d achat et de vente : Call et Put Une option

Plus en détail

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES. CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures) CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un

Plus en détail

Exercices théoriques

Exercices théoriques École normale supérieure 2008-2009 Département d informatique Algorithmique et Programmation TD n 9 : Programmation Linéaire Avec Solutions Exercices théoriques Rappel : Dual d un programme linéaire cf.

Plus en détail

Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option B : Calcul Scientifique

Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option B : Calcul Scientifique Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option (Public2014-B1) Résumé : On présente un exemple de système de deux espèces en compétition dans un environnement périodique.

Plus en détail

Une approche pour un contrôle non-linéaire temps réel

Une approche pour un contrôle non-linéaire temps réel Une approche pour un contrôle non-linéaire temps réel L. Mathelin 1 L. Pastur 1,2 O. Le Maître 1 1 LIMSI - CNRS Orsay 2 Université Paris-Sud 11 Orsay GdR Contrôle des décollements 25 Nov. 2009 Orléans

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Modélisation de petits systèmes biophysiques Dynamique des algorithmes de recherche

Modélisation de petits systèmes biophysiques Dynamique des algorithmes de recherche Modélisation de petits systèmes biophysiques Dynamique des algorithmes de recherche Habilitation à Diriger des Recherches Simona Cocco Laboratoire Physique Statistique ENS, Paris (Laboratoire de Dynamique

Plus en détail

Circuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance

Circuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance Chapitre 5 Circuits RL et RC Ce chapitre présente les deux autres éléments linéaires des circuits électriques : l inductance et la capacitance. On verra le comportement de ces deux éléments, et ensuite

Plus en détail

Lois de probabilité à densité Loi normale

Lois de probabilité à densité Loi normale DERNIÈRE IMPRESSIN LE 31 mars 2015 à 14:11 Lois de probabilité à densité Loi normale Table des matières 1 Lois à densité 2 1.1 Introduction................................ 2 1.2 Densité de probabilité

Plus en détail

Séries de Fourier. T f (x) exp 2iπn x T dx, n Z. T/2 f (x) cos ( ) f (x) dx a n (f) = 2 T. f (x) cos 2πn x )

Séries de Fourier. T f (x) exp 2iπn x T dx, n Z. T/2 f (x) cos ( ) f (x) dx a n (f) = 2 T. f (x) cos 2πn x ) Séries de Fourier Les séries de Fourier constituent un outil fondamental de la théorie du signal. Il donne lieu à des prolongements et des extensions nombreux. Les séries de Fourier permettent à la fois

Plus en détail

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes Clément Dombry, Laboratoire de Mathématiques de Besançon, Université de Franche-Comté. C.Dombry (Université

Plus en détail

Chapitre 7. Circuits Magnétiques et Inductance. 7.1 Introduction. 7.1.1 Production d un champ magnétique

Chapitre 7. Circuits Magnétiques et Inductance. 7.1 Introduction. 7.1.1 Production d un champ magnétique Chapitre 7 Circuits Magnétiques et Inductance 7.1 Introduction 7.1.1 Production d un champ magnétique Si on considère un conducteur cylindrique droit dans lequel circule un courant I (figure 7.1). Ce courant

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires 1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013

Plus en détail

2 ème PARTIE : FONCTIONNEMENT DU SYSTEME NERVEUX

2 ème PARTIE : FONCTIONNEMENT DU SYSTEME NERVEUX 2 ème PARTIE : FONCTIONNEMENT DU SYSTEME NERVEUX INTRODUCTION cliquez : UNE ANIMATION POUR COMPRENDRE LE ROLE DES MUSCLES DANS LA MOUVEMENT Je ne donne pas de réponse à la 4/ car c'est votre hypothèse

Plus en détail

La Volatilité Locale

La Volatilité Locale La Volatilité Locale Bertrand TAVIN Université Paris 1 - Panthéon Sorbonne 26 mai 2010 Résumé Dans cette courte note nous introduisons le concept de volatilité locale et les modèles de pricing basés sur

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Synapses non obligatoires :

Synapses non obligatoires : Synapses non obligatoires : Un seul PA arrivant en zone présynaptique ne peut déclencher un PA en zone post- synaptique - Un PA génère un potentiel post synaptique excitateur (PPSE) dure 15 msec; Si un

Plus en détail

Modèle classique Extensions Modèle multi-branches. Théorie de la ruine. Esterina Masiello (ISFA)

Modèle classique Extensions Modèle multi-branches. Théorie de la ruine. Esterina Masiello (ISFA) Esterina Masiello Institut de Science Financière et d Assurances Université Lyon 1 Premières Journées Actuarielles de Strasbourg 6-7 octobre 2010 En résumé... Modèle classique de la théorie de la ruine

Plus en détail

Jeux à somme nulle : le cas fini

Jeux à somme nulle : le cas fini CHAPITRE 2 Jeux à somme nulle : le cas fini Les jeux à somme nulle sont les jeux à deux joueurs où la somme des fonctions de paiement est nulle. Dans ce type d interaction stratégique, les intérêts des

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

Une application de méthodes inverses en astrophysique : l'analyse de l'histoire de la formation d'étoiles dans les galaxies

Une application de méthodes inverses en astrophysique : l'analyse de l'histoire de la formation d'étoiles dans les galaxies Une application de méthodes inverses en astrophysique : l'analyse de l'histoire de la formation d'étoiles dans les galaxies Ariane Lançon (Observatoire de Strasbourg) en collaboration avec: Jean-Luc Vergely,

Plus en détail

-ii- APPLICATION DES PROPRIETES DE RESONANCE

-ii- APPLICATION DES PROPRIETES DE RESONANCE -ii- APPLICATION DES PROPRIETES DE RESONANCE Michel ZANCA, CHU Montpellier Signification de la résonance et relation de Larmor ω eff = 2 π ν eff = γ B eff La RMN détecte très précisément la fréquence ν

Plus en détail

Le principe de moindre action

Le principe de moindre action Le principe de moindre action F. Hérau Laboratoire de Mathématiques Université de Reims Fete de la science novembre 2008 Définition Principe de moindre action : en physique, hypothèse selon laquelle la

Plus en détail

Finance, Navier-Stokes, et la calibration

Finance, Navier-Stokes, et la calibration Finance, Navier-Stokes, et la calibration non linéarités en finance 1 1 www.crimere.com/blog Avril 2013 Lignes directrices Non-linéarités en Finance 1 Non-linéarités en Finance Les équations de Fokker-Planck

Plus en détail

Simulation d un système d assurance automobile

Simulation d un système d assurance automobile Simulation d un système d assurance automobile DESSOUT / PLESEL / DACHI Plan 1 Introduction... 2 Méthodes et outils utilisés... 2.1 Chaines de Markov... 2.2 Méthode de Monte Carlo... 2.3 Méthode de rejet...

Plus en détail

Bases neurophysiologiques des états de veille et de sommeil

Bases neurophysiologiques des états de veille et de sommeil Bases neurophysiologiques des états de veille et de sommeil Yves DAUVILLIERS Département de Physiologie Neurologie CHU Montpellier Objectifs du cours Décrire l organisation normale du sommeil sur les 24

Plus en détail

Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing

Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing Tony FEVRIER Aujourd hui! Table des matières 1 Equations aux dérivées partielles et modélisation Equation différentielle et modélisation

Plus en détail

Méthodes numériques pour la finance

Méthodes numériques pour la finance Méthodes numériques pour la finance Olivier Guibé 1 mars 010 Table des matières 1 Les outils de modélisation pour les options 1.1 Options............................................... 1. Modèle du marché

Plus en détail

Séquence maladie: insuffisance cardiaque. Mieux connaître l insuffisance cardiaque Vivre avec un DAI

Séquence maladie: insuffisance cardiaque. Mieux connaître l insuffisance cardiaque Vivre avec un DAI Séquence maladie: insuffisance cardiaque Mieux connaître l insuffisance cardiaque Vivre avec un DAI Janvier 2012 Finalité de l atelier: Présentation de la séance Cette séance a pour buts de vous permettre

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) - MATHEMATIQUES 8 : EQUATIONS DIFFERENTIELLES - COURS + ENONCE EXERCICE - Olivier

Plus en détail

Document d implémentation - Logiciel ModAFi. Jonathan ANJOU - Maud EYZAT - Kévin NAVARRO

Document d implémentation - Logiciel ModAFi. Jonathan ANJOU - Maud EYZAT - Kévin NAVARRO - Jonathan ANJOU - Maud EYZAT - Kévin NAVARRO Grenoble, 11 juin 2012 Table des matières 1 Avant-propos 3 2 Présentation de l architecture du logiciel 3 2.1 Core..........................................

Plus en détail

ANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION. Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique

ANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION. Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique 1 ANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique G. ALLAIRE 28 Janvier 2014 CHAPITRE I Analyse numérique: amphis 1 à 12. Optimisation: amphis

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer

Plus en détail

Table des matières. Introduction Générale 5

Table des matières. Introduction Générale 5 Table des matières Introduction Générale 5 1 Généralités et rappels 16 1.1 Rappels... 16 1.1.1 Introduction... 16 1.1.2 Notion de stabilité...... 17 1.1.3 Stabilité globale et stabilité locale... 17 1.1.4

Plus en détail

LES AUTOMATES. Automate

LES AUTOMATES. Automate 1.1 Généralités 1 AUTOMATES SYNCHRONES LES AUTOMATES On appelle automate un opérateur séquentiel dont l'état et les sorties futurs sont fonction des entrées et de l'état présent de l'automate (Figure 1).

Plus en détail

Simulations de Monte Carlo

Simulations de Monte Carlo Simulations de Monte Carlo 2 février 261 CNAM GFN 26 Gestion d actifs et des risques Gréory Taillard GFN 26 Gestion d actifs et des risques 2 Biblioraphie Hayat, Sere, Patrice Poncet et Roland Portait,

Plus en détail

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives.

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives. L G L G Prof. Éric J.M.DELHEZ ANALYSE MATHÉMATIQUE ÉALUATION FORMATIE Novembre 211 Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d Analyse Mathématique.

Plus en détail

Le modèle de Black et Scholes

Le modèle de Black et Scholes Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un

Plus en détail

Cabinet Privé de Formation. www.softway-tunisie.com

Cabinet Privé de Formation. www.softway-tunisie.com Cabinet Privé de Formation www.softway-tunisie.com 9 DT 240 360 00 360 320 280 36 390 540 540 6 260 6 6 8 6 66 56 48 56 48 48 48 48 560 650 560 560 620 72 760 700 760 66 66 66 66 66 4 4 4 66 72 75 80 72

Plus en détail

ESSEC. Cours «Management bancaire» Séance 3 Le risque de crédit Le scoring

ESSEC. Cours «Management bancaire» Séance 3 Le risque de crédit Le scoring ESSEC Cours «Management bancaire» Séance 3 Le risque de crédit Le scoring Les méthodes d évaluation du risque de crédit pour les PME et les ménages Caractéristiques Comme les montants des crédits et des

Plus en détail

Prédire le transport turbulent dans les tokamaks: l'approche gyrocinétique

Prédire le transport turbulent dans les tokamaks: l'approche gyrocinétique Prédire le transport turbulent dans les tokamaks: l'approche gyrocinétique Yanick Sarazin Remerciements: V. Grandgirard, G. Dif-Pradalier, X. Garbet, Ph. Ghendrih, P. Angelino Association Euratom-CEA,

Plus en détail

Prévention et gestion des risques naturels et environnementaux

Prévention et gestion des risques naturels et environnementaux Prévention et gestion des risques naturels et environnementaux Risque et assurance : quelques éléments théoriques Ecole des Ponts - Le 6 Avril 01 Jacques Pelletan 1 Théorie du risque et pérennité de l

Plus en détail

COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES

COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES CHAPITRE 13 COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES Dans tout le chapitre, (Ω, P) désignera un espace probabilisé fini. 1 Couple de variables aléatoires Définition 13.1 On appelle couple de variables aléatoires

Plus en détail

Vision par ordinateur : Un tour d horizon. Adrien Bartoli LASMEA CNRS/UBP Clermont-Ferrand

Vision par ordinateur : Un tour d horizon. Adrien Bartoli LASMEA CNRS/UBP Clermont-Ferrand Vision par ordinateur : Un tour d horizon Adrien Bartoli LASMEA CNRS/UBP Clermont-Ferrand Séance II : Panoramas en environnement déformable Panoramas en environnement rigide Représentation minimale d un

Plus en détail

de calibration Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation d

de calibration Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation d Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation de quelques problèmes de calibration Plan de la présentation 1. Présentation de quelques modèles à calibrer 1a. Reconstruction d une courbe

Plus en détail

Professeur Eva PEBAY-PEYROULA

Professeur Eva PEBAY-PEYROULA 3-1 : Physique Chapitre 8 : Le noyau et les réactions nucléaires Professeur Eva PEBAY-PEYROULA Année universitaire 2010/2011 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés. Finalité du chapitre

Plus en détail

MATHEMATIQUES Option Economique

MATHEMATIQUES Option Economique Concours EDHEC 9 Classes Préparatoires MATHEMATIQUES Option Economique La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour

Plus en détail

Les correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées.

Les correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées. Les correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées. 1 Ce sujet aborde le phénomène d instabilité dans des systèmes dynamiques

Plus en détail

OPTIMISATION SOMMEIL

OPTIMISATION SOMMEIL OPTIMISATION DU SOMMEIL Copyright 2009 Bio.Form.Gym Tout droits réservés pour tous pays Table des matières Introduction...3 Les 8 bénéfices du sommeil...3 Objectifs...3 Possibilités...4 Résultats...4 Explications...4

Plus en détail

LES NEURONES : APPROCHES

LES NEURONES : APPROCHES LES NEURONES : APPROCHES STRUCTURELLE ET FONCTIONNELLE I Généralités Un neurone est une cellule dite «excitable» qui est la brique élémentaire du systèm nerveux. Ces cellules possèdent deux propriétés

Plus en détail

Estimation du Quantile conditionnel par les Réseaux de neurones à fonction radiale de base

Estimation du Quantile conditionnel par les Réseaux de neurones à fonction radiale de base Estimation du Quantile conditionnel par les Réseaux de neurones à fonction radiale de base M.A. Knefati 1 & A. Oulidi 2 & P.Chauvet 1 & M. Delecroix 3 1 LUNAM Université, Université Catholique de l Ouest,

Plus en détail

TEPZZ 568448A_T EP 2 568 448 A1 (19) (11) EP 2 568 448 A1 (12) DEMANDE DE BREVET EUROPEEN. (51) Int Cl.: G07F 7/08 (2006.01) G06K 19/077 (2006.

TEPZZ 568448A_T EP 2 568 448 A1 (19) (11) EP 2 568 448 A1 (12) DEMANDE DE BREVET EUROPEEN. (51) Int Cl.: G07F 7/08 (2006.01) G06K 19/077 (2006. (19) TEPZZ 68448A_T (11) EP 2 68 448 A1 (12) DEMANDE DE BREVET EUROPEEN (43) Date de publication: 13.03.2013 Bulletin 2013/11 (1) Int Cl.: G07F 7/08 (2006.01) G06K 19/077 (2006.01) (21) Numéro de dépôt:

Plus en détail

Galiléo. Galiléo : le système européen de positionnement par satellite

Galiléo. Galiléo : le système européen de positionnement par satellite Galiléo Voici quelques informations sur une situation concrète où le caractère relatif du temps est à prendre en compte. Plutôt que sur le système américain GPS, pourquoi ne pas travailler autour du système

Plus en détail

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée

Plus en détail

Mathématiques et Océanographie

Mathématiques et Océanographie Mathématiques et Océanographie Anne-Laure Dalibard Département de mathématiques et applications École normale supérieure 20 avril 2011 Journées Académiques de l IREM de Nantes Plan Présentation rapide

Plus en détail

Une interface graphique de modélisation basée sur le formalisme de Forrester

Une interface graphique de modélisation basée sur le formalisme de Forrester Une interface graphique de modélisation basée sur le formalisme de Forrester un plugin de modélisation GVLE Patrick Chabrier INRA (Institut National de la Recherche Agronomique) (INRA) Stage Forrester

Plus en détail

Modélisation multi-agents - Agents réactifs

Modélisation multi-agents - Agents réactifs Modélisation multi-agents - Agents réactifs Syma cursus CSI / SCIA Julien Saunier - julien.saunier@ifsttar.fr Sources www-lih.univlehavre.fr/~olivier/enseignement/masterrecherche/cours/ support/algofourmis.pdf

Plus en détail

ECRICOME 2004. Voie Eco. 1 1 + x. f (x) dx n N, u n = 1. 0 xn f (x) dx

ECRICOME 2004. Voie Eco. 1 1 + x. f (x) dx n N, u n = 1. 0 xn f (x) dx ECRICOME 2004 Voie Eco 1 EXERCICE 1 EXERCICE Soient f la fonction numérique de la variable réelle définie par : x R, f (x = 1 2 et (u n la suite de nombres réels déterminée par : { u 0 = 1 f (x dx 0 n

Plus en détail

Production des Services d Assurance non-vie selon le SCN 2008

Production des Services d Assurance non-vie selon le SCN 2008 REPUBLIQUE DU CAMEROUN Paix - Travail Patrie ---------- INSTITUT NATIONAL DE LA STATISTIQUE ---------- REPUBLIC OF CAMEROON Peace - Work Fatherland ---------- NATIONAL INSTITUTE OF STATISTICS ----------

Plus en détail

Direction des Études et Synthèses Économiques Département des Comptes Nationaux Division des Comptes Trimestriels

Direction des Études et Synthèses Économiques Département des Comptes Nationaux Division des Comptes Trimestriels Etab=MK3, Timbre=G430, TimbreDansAdresse=Vrai, Version=W2000/Charte7, VersionTravail=W2000/Charte7 Direction des Études et Synthèses Économiques Département des Comptes Nationaux Division des Comptes Trimestriels

Plus en détail

TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires

TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires I ) Ecrire l'expression analytique des signaux représentés sur les figures suivantes à l'aide de signaux particuliers. Dans le cas du signal y(t) trouver

Plus en détail

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement

Plus en détail

Relation entre deux variables : estimation de la corrélation linéaire

Relation entre deux variables : estimation de la corrélation linéaire CHAPITRE 3 Relation entre deux variables : estimation de la corrélation linéaire Parmi les analyses statistiques descriptives, l une d entre elles est particulièrement utilisée pour mettre en évidence

Plus en détail

Finance, Navier-Stokes, et la calibration

Finance, Navier-Stokes, et la calibration Finance, Navier-Stokes, et la calibration non linéarités en finance 1 1 www.crimere.com/blog Juin 2013 Lignes directrices Transport Optimal - Rappels 1 Transport Optimal - Rappels 2 3 4 Transport Optimal

Plus en détail

Les mathématiques de la finance Université d été de Sourdun Olivier Bardou olivier.bardou@gdfsuez.com 28 août 2012 De quoi allons nous parler? des principales hypothèses de modélisation des marchés, des

Plus en détail

M1107 : Initiation à la mesure du signal. T_MesSig

M1107 : Initiation à la mesure du signal. T_MesSig 1/81 M1107 : Initiation à la mesure du signal T_MesSig Frédéric PAYAN IUT Nice Côte d Azur - Département R&T Université de Nice Sophia Antipolis frederic.payan@unice.fr 15 octobre 2014 2/81 Curriculum

Plus en détail

Neurologiques gq Centrales EMPR LE NORMANDY GRANVILLE

Neurologiques gq Centrales EMPR LE NORMANDY GRANVILLE La Marche dans les Affections Neurologiques gq Centrales S Injeyan JL Isambert Y Bebin S Le Doze M Cano P Fages W Loisel La Marche Fonction complexe Organisée hiérarchiquement au niveau spinal Contrôlée

Plus en détail

3ème séance de Mécanique des fluides. Rappels sur les premières séances Aujourd hui : le modèle du fluide parfait. 2 Écoulements potentiels

3ème séance de Mécanique des fluides. Rappels sur les premières séances Aujourd hui : le modèle du fluide parfait. 2 Écoulements potentiels 3ème séance de Mécanique des fluides Rappels sur les premières séances Aujourd hui : le modèle du fluide parfait 1 Généralités 1.1 Introduction 1.2 Équation d Euler 1.3 Premier théorème de Bernoulli 1.4

Plus en détail

Direction des Études et Synthèses Économiques Département des Comptes Nationaux Division des Comptes Trimestriels

Direction des Études et Synthèses Économiques Département des Comptes Nationaux Division des Comptes Trimestriels Etab=MK3, Timbre=G430, TimbreDansAdresse=Vrai, Version=W2000/Charte7, VersionTravail=W2000/Charte7 Direction des Études et Synthèses Économiques Département des Comptes Nationaux Division des Comptes Trimestriels

Plus en détail

véhicule hybride (première

véhicule hybride (première La motorisation d un véhicule hybride (première HERVÉ DISCOURS [1] La cherté et la raréfaction du pétrole ainsi que la sensibilisation du public à l impact de son exploitation sur l environnement conduisent

Plus en détail

1. La fonction de consommation keynésienne

1. La fonction de consommation keynésienne Rappels de cours Aix- Marseille Université - Faculté des Sciences Economiques Licence EM 1ère année - 2ème semestre Travaux dirigés de Macroéconomie Karine CONSTANT Gilles DE TRUCHIS 1. La fonction de

Plus en détail

Statistique en grande dimension pour la génomique Projets 2014-2015 L. Jacob, F. Picard, N. Pustelnik, V. Viallon

Statistique en grande dimension pour la génomique Projets 2014-2015 L. Jacob, F. Picard, N. Pustelnik, V. Viallon Statistique en grande dimension pour la génomique Projets 2014-2015 L. Jacob, F. Picard, N. Pustelnik, V. Viallon Table des matières 1 Graph Kernels for Molecular Structure-Activity Relationship Analysis

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

Du kev au GeV : La température à l assaut de la matière. E. Suraud, Univ. P. Sabatier, Toulouse

Du kev au GeV : La température à l assaut de la matière. E. Suraud, Univ. P. Sabatier, Toulouse Du kev au GeV : La température à l assaut de la matière E. Suraud, Univ. P. Sabatier, Toulouse La température, source de «désordre» ou source «d ordre»? Plan Température source de «désordre» Température

Plus en détail

Value at Risk. CNAM GFN 206 Gestion d actifs et des risques. Grégory Taillard. 27 février & 13 mars 20061

Value at Risk. CNAM GFN 206 Gestion d actifs et des risques. Grégory Taillard. 27 février & 13 mars 20061 Value at Risk 27 février & 13 mars 20061 CNAM Gréory Taillard CNAM Master Finance de marché et estion de capitaux 2 Value at Risk Biblioraphie Jorion, Philippe, «Value at Risk: The New Benchmark for Manain

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

HORLOGE ET MONTRE IN SITU : MÉCANIQUE 2

HORLOGE ET MONTRE IN SITU : MÉCANIQUE 2 IN SITU : MÉCANIQUE 2 HORLOGE ET MONTRE Réalisation : Toni Marin CNDP, le Département d Enseignement de la Generalitat de Catalunnya, 2000 Durée : 04 min 12 s Le film démarre par un historique chronologique

Plus en détail

LE PERP retraite et protection

LE PERP retraite et protection LE PERP retraite et protection Benoit Rama http://www.imaf.fr Le PERP (Plan d Épargne Retraite Populaire) est une mesure d encouragement à la préparation de la retraite destinée aux salariés. Il copie

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Estimation et modélisation de dépendance dans des modèles de survie bivariés en présence de censure

Estimation et modélisation de dépendance dans des modèles de survie bivariés en présence de censure Estimation et modélisation de dépendance dans des modèles de survie bivariés en présence de censure Svetlana Gribkova, Olivier Lopez Laboratoire de Statistique Théorique et Appliquée, Paris 6 4 Mars 2014

Plus en détail

Modèle de stockage et exposition à un risque alimentaire

Modèle de stockage et exposition à un risque alimentaire Modèle de stockage et exposition à un risque alimentaire Séminaire Paris XIII Hong Kong University of Science and Technology Paris, le 14 juin 2006 Plan de la présentation Contexte Première approche pour

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Prix d options européennes

Prix d options européennes Page n 1. Prix d options européennes Une société française tient sa comptabilité en euros et signe un contrat avec une entreprise américaine qu elle devra payer en dollars à la livraison. Entre aujourd

Plus en détail

Mathématiques I. Recueil d exercices #2. Analyse II

Mathématiques I. Recueil d exercices #2. Analyse II FACULTE DES SCIENCES ECONOMIQUES ET SOCIALES Sections des sciences économiques et des hautes études commerciales Mathématiques I Cours du professeur D. Royer Recueil d exercices #2 Analyse II Semestre

Plus en détail

Vers une dynamique de coordination collective : la synchronisation des applaudissements

Vers une dynamique de coordination collective : la synchronisation des applaudissements Vers une dynamique de coordination collective : la synchronisation des applaudissements Jonathan Platkiewicz sous la direction de Paul Bourgine Centre de Recherche en Epistémologie Appliquée Remerciements

Plus en détail

CHAPITRE CP1 C Conversion électromagnétique statique

CHAPITRE CP1 C Conversion électromagnétique statique PSI Brizeux Ch. CP1: Conversion électromagnétique statique 1 CHAPITRE CP1 C Conversion électromagnétique statique Les sources d énergie, naturelles ou industrielles, se trouvent sous deux formes : thermique

Plus en détail

Athénée Royal de Pepinster. Electrotechnique. La diode à jonction

Athénée Royal de Pepinster. Electrotechnique. La diode à jonction La diode à jonction I Introduction La diode est le semi-conducteur de base. Son fonctionnement est assimilable à celui d un interrupteur qui ne laisse passer le courant que dans un seul sens. C est la

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail