Des résultats d irrationalité pour deux fonctions particulières

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Des résultats d irrationalité pour deux fonctions particulières"

Transcription

1 Collect. Math. 5, 00, 0 c 00 Uiversitat de Barceloa Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières Richard Choulet 7, Rue du 4 Août, 40 Aveay, Frace richardchoulet@waadoo.fr Received April 4, 000. Revised December 8, 000 Abstract This paper studies irratioality of values take by the fuctios T q defied by T q z= + =0 z /q +/, ad E q such that + E q z= =0 z / k= qk, where q Q ad q >.. Itroductio et pla Soit q C, q >. O pose 0 q =et q = q q si ; de plus o ote q!=0 q.. q qui est le q-aalogue de!, avec la covetio tout au log de cet article que le produit sur u esemble vide d idice est égal à et que la somme sur u esemble vide d idices est ulle, ce qui est cohéret avec 0 q =. Nous ous itéressos à la foctio de Tschakaloff T q : T q z = + =0 à la foctio E q : E q z = + =0 z k= qk ; z q +/ le véritable q-aalogue de l expoetielle e q vérifie e q z = + =0 z q! = E qq z. La foctio de Tschakaloff T q et la foctio E q sot des foctios etières sur C; pour ces foctios, ous démotreros des résultats portat sur des valeurs prises par celles-ci aux élémets o uls d u corps de ombres K. Plusieurs auteurs se sot itéressés à cette questio; l u des premiers résultats est dû à L. Tschakaloff [9: Théorème T: Soit α Q. O suppose que γ> Alors T q α est irratioel. Keywords: Irratioality, q-aalog. MSC000: J7. et

2 Choulet Rappelos la défiitio de γ : Soit q Q tel que q > ; o pose q = a b avec b N, a Z et a et b premiers etre eux. Le réel γ>, est défii, lorsque b, par l a = γ l b; le cas b = sigifie q Z et o pred alors γ =+. Le théorème cité ci-dessus, est étedu par P. Budschuh au cas d u corps quadratique imagiaire [5. D. Duverey [7, [8 démotre esuite que les ombres T q q = + =0 q et T q = e sot pas irratioels quadratiques pour q Z. + q +/ =0 J.P. Bézivi gééralise des résultats précédets das [3. L article est orgaisé de la faço qui suit: La Partie présete l itroductio et le pla. Das la Partie, ous doos des rappels et les otatios utilisées. La Partie 3 doe des résultats d irratioalité relatifs à T q α, E q α pour α K.. Rappels et otatios.. Quelques rappels Soit K u corps de ombres de degré oté d. Pour toute place v de K, o ote K v et Q v, les complétés de K et Q pour la place v et d v =[K v : Q v. Les valeurs absolues sot ormalisées e imposat que la restrictio de v à Q soit la valeur absolue usuelle si v est ue place ifiie et si v est ue place fiie au-dessus du ombre ratioel p, que p v = p. Pour α de K, o a la formule du produit: = w α w d/d w.. Pour ue place v de K et q Q tels que q v,opose µ v = w, q w > d w l q w d v l q v.. Rappelos efi que pour f etière, o ote f R = Max z R fz.

3 Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières 3.. Notatios et pricipe des démostratios Soit K u corps de ombres, v ue place de K et q Q tel que q v >. Nous otos F q la foctio qui suivat le cas est T q ou E q e posat F q z = N a qz ; c est ue foctio etière sur C v. Notre but est de démotrer, sous des hypothèses adéquates, que pour α K, o a F q α / K. Pour cela o raisoe par l absurde; o peut doc trouver λ et µ de K tels que: λf q α+µ =0. O défiit alors la foctio Φ, etière das C v par Φz =λf q αz+µ avec Φ = 0. O défiit égalemet la suite u e posat Φz = N u a qz aisi que la foctio etière ψ et la suite v par: ψz = Φz z = N v a qz. Nous allos établir que la suite v est ue suite récurrete liéaire, e étudiat la suite des détermiats de Kroecker défiie par v 0 v... v v v... v + K = v v +... v E effet, o sait que [ page 69, si K est ul à partir d u certai rag, alors v est ue suite récurrete liéaire. Nous motreros alors que le fait que v soit récurrete liéaire permet d aboutir à ue cotradictio. L idée de travailler directemet sur le détermiat K, qui apparaît das [3, est reprise ici et améliorée partiellemet: - améliorée parce qu o peut l utiliser pour d autres foctios que T q ici E q et pour d autres travaux par exemple études de K-idépedace liéaire, - partiellemet puisqu elle se révèle mois fie das le cas T q. 3. Résultats d irratioalité Cette partie propose d examier l irratioalité des images par chacue des foctios evisagées, d u élémet α o ul d u corps de ombres avec des hypothèses e portat que sur l élémet q de Q. 3.. Eocés des résultats Théorème 3. Soit q Q, K u corps de ombres et v ue place de K telle que q v >. Soit d autre part α K. O suppose µ v < 8 ; alors T qα / K.

4 4 Choulet E particulier, das le cas où K = Q, o obtiet les deux corollaires: Corollaire 3. O suppose q Q et q >. Soit α Q. Lorsque γ> 8 7, alors T qα / Q. Corollaire 3. O suppose q Q et q >. Soit K ue extesio quadratique de Q et α K. Si o a γ> 4 3 alors T qα / K. Ces résultats amélioret ceux de J.P. Bézivi das [3. E effet das le Corollaire 3., la coditio γ> 8 7 est plus fie que γ>8 5.Demême das le Corollaire 3. améliore γ>4. γ> 4 3 D autre part le Corollaire 3. implique que sous les hypothèses idiquées, T q α est pas algébrique de degré d. E particulier ous avos obteu T q q / Q c est-à-dire / Q, q et est pas algébrique de degré d. Le premier résultat cité était cou pour q Z. Efi ue questio ouverte aturelle est de savoir si ces résultats demeuret vrais sous la coditio γ>. Nous doos maiteat les résultats relatifs à la foctio E q ou ce qui reviet au même à e q. E raiso du produit ifii défiissat E q, qui est: E q z = + p= + z q p et qui proviet de la relatio foctioelle E q qz = + ze q z, il y a ue restrictio aturelle sur les valeurs de α. Théorème 3. Soit q Q, K u corps de ombres, v ue place de K telle que q v >. O suppose que α K,α/ q N et que µ v < ; alors E q α / K. Das le cas particulier K = Q et e preat pour place v la place ifiie de Q, o obtiet le résultat suivat: Corollaire 3.3 Soit q Q, q >, α Q et α/ q N. Lorsque γ>, alors E q α / Q. Ce corollaire améliore u peu le résultat cité par P. Budschuh das [6 page 8 qui obteait alors γ> 7 3. Là ecore ue questio aturelle ouverte est de savoir si les résultats demeuret vrais si γ>.

5 Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières Lemmes techiques Das ces lemmes, o a cosidéré ue place v de Q. Lemme 3. Soiet q Q q v, m N, N, δ>0, γ>0 et ω = If q v, q v. Soiet θ ue foctio etière telle que pour tout R>>, l θ v R δ l R l + Ol R, 3. ω et g ue foctio etière vérifiat pour tout R>> g v R γr m g v Rω+γR θ v R, 3. alors l g v R Maxm, δ l l R + Ol R. 3.3 ω Démostratio. Par récurrece immédiate das 3. o a, pour tout N : g v R γ N R Nm ω NN m/ g v Rω N l R l ω N + γ γ k R +km ω k+kk m/ θ v Rω k. O pred R assez grad et o choisit de predre N tel que Rω N <Rω N, i.e. N< l R +. Ceci motre que la foctio R g l v Rω N est borée; d autre ω part la foctio x R mx ω mxx / est maximale e x 0 = l R + l. Il e résulte ω que ce premier terme a so logarithme boré par m l R l ω de la somme qui utilise N cette somme, où N = l R l ω + Ol R. Le deuxième terme est majoré par N multiplié par le plus grad terme de + O. E utilisat la foctio défiie sur [0, N par [ xx x + mxlr + x + m l ω + δ l l R + x l ω + x l γ, ω qui correspod au logarithme épérie du terme gééral o obtiet que le deuxième terme de la somme a so logarithme épérie iférieur à δ l R + Ol R. Le résultat l ω 3.3 e découle alors. Lemme 3. Soiet a C, b C,l N,α,..., α l des complexes o uls. O défiit la foctio θ par le produit ifii: θz = k 0 l { zω k aω k z } α i b i=

6 6 Choulet Pour l =0, o coviet que: θz = k 0 + aωk z b. La foctio θ est ue foctio etière et o a pour R>>: l θ v R l + ɛ a l l R + Ol R 3.5 ω où l o a posé ɛ x =0ou selo que x est ul ou pas. Démostratio. Comme 0 < ω <, o voit facilemet que θ est ue foctio etière; o a clairemet la relatio θωz = θz a + b z l i= z α i d où résulte l existece d ue costate γ>0 telle que pour R>> o ait: θ v R γr l+ɛ a θ v ωr. Nous sommes ici das u cas particulier du Lemme 3. pour lequel g est remplacée par θ, θ par0etm = l + ɛ a, d où 3.5. Lemme 3.3 Soiet a, b, c, des ombres complexes tels que bc 0,q Q et Q ue foctio ratioelle régulière e 0, dot ous otos les pôles α,..., α l. O pose Q = P P. Si Q est ue foctio polyôme, o pred l =0et o supprime les termes das les produits ifiis qui suivet. Soit ψ ue foctio méromorphe das tout C sas pôle à l origie, vérifiat l équatio foctioelle: Nous avos les résultats az + b ψz =cz ψqz+qz. 3.6 i pour q v < et a 0, les pôles de ψ sot das l esemble { α i q k,k 0, i=,..., l, b aq h,h 0 } ; pour a =0, ils sot das { α i α i b aq k,k 0, i=,..., l }. Supposos q k pour tout k Z. Soit la foctio etière θ défiie par le produit ifii: θz = i, k + aqk z b alors la foctio g = ψθ est etière et vérifie l estimatio: qk z α i, 3.7 l g v R l + l q v l R + Ol R; 3.8

7 Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières 7 ii pour q v >, les pôles de ψ sot das l esemble {α i q k+,k 0, i=,..., l}. Soit θ la foctio etière défiie par le produit ifii: θz = i, k z α i q k Alors la foctio g = ψθ est ue foctio etière qui vérifie l estimatio: l g v R l l q v l R + Ol R. 3.0 Démostratio. Cosidéros tout d abord q v <. Par récurrece das 3.6 o obtiet aisémet pour tout N 0: soit ecore N ψz aq k z + b = ψq N N+ z cq k z + N Qq k z k cq m z m= N a b N+ ψz b qk z + =cz N+ q NN+/ ψq N+ z + N m=k+ N Qq k zb N k cz k q kk / aq m z + b 3. N m=k+ a b qm z +. La covergece des produits ifiis et le fait que ψ soit borée au voisiage de zéro doe: ψz a b qk z + = b cz kq Qq k kk / z b m=k+ a b qm z +. Les pôles de ψ sot doc des α i avec k 0eti {,,..., l} qui provieet de q k Qq k z et des b où k 0 das le cas où a est pas ul; lorsque a est ul, seule la aq k première famille iterviet. La foctio g = θ ψ est etière et vérifie: az + b gz θz gqz = cz θz + az b l i= z α i + Qz soit ecore gz = b cz l i= z α i gqz+ θzqz az + b.

8 8 Choulet O déduit qu existe γ > 0 tel que pour tout R assez grad, o ait avec = Max 0, d P d P ɛ a : Le Lemme 3. appliqué à g doe g v R γr l+ g v R q v +γr θ v R. l g v R Maxl + ɛ a,l+ l l R + Ol R, ω d où lerésultat aocé 3.8. Examios maiteat le cas q v >. Remplaçat z par 3., o obtiet soit ecore ψz N c q k+ z = ψ z N q N+ N cz N+ q ψz = ψ z N N+N+/ q N+ N z Q q k+ z Q q k+ a q k+ z + b N m=k+ a q k+ z + b c q m+ z cz N k z q N+ k m= das la relatio a q m z + b k q N+N+/ k+k+/ m= a q m z + b. Les pôles de ψ sot doc des α i q k+ pour k 0. O défiit alors θ par 3.9. La foctio etière θ satisfait le Lemme 3. de sorte que: l θ v R l l q v l R + Ol R. Cosidéros g = θ ψ; la foctio g est etière et vérifie: c z gz q θz = a z g z q + b q z θ z Q q q ou ecore c z q gz = a z l q + b z z z g θzq. qα i q q i= Doc existe γ>0 tel que pour R>>0, o ait avec m = Max 0, d P d P : g v R γr l+ɛ a g v R q v + γr m θ v R.

9 Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières 9 Le Lemme 3. appliqué à g doe c est-à-dire la formule 3.0. l g v R Maxl, l + ɛ a l l R + Ol R ω Lemme 3.4 Soit fz = N w z ue série etière de rayo de covergece R 0. O suppose que f = φ φ avec: i φ est ue foctio etière pour laquelle existe δ>0 : l φ v R δ l R + Ol R, pour tout R>>; ii φ est défii par φ z = = z a avec la suite a v N croissate et vérifiat l a v = β+ β où β>0 et β N est borée. O cosidère la suite des détermiats de Kroecker K costruite sur la suite w cofer.. Alors pour βδ 3 4,oa pour 3 4 <βδ 3, viet [ δβ 3β K v exp 3 + O 6 3. [ 4δβ 9β K v exp 3 + O pour 3 <βδ,oa [ K v exp 3 6δ 3 + O. 3.4 Démostratio. Pour m 0, soit la foctio f m telle que: f m z = m k= z fz = + a m m b h,m z h fz. h= f m a pour pôles les a h où h m +;f m z s écrit aussi f m z = φ z + k=m+ z a k = + m b h,m z h h= k 0 w k z k = h 0 w m,h z h, où w m, = mim, h=0 b h,m w h. Il est commode pour alléger les otatios d itroduire l opérateur L m de C N vers lui-même défii par: L m w N = wm, N. Par abus de lagage, ce qu o devrait oter L m w N sera écrit L m w.

10 0 Choulet Nous avos défii L m w comme état le coefficiet de z das le développemet de f m z dot les pôles sot les a h avec h m +. Preos R< a m+ v. Das D0,R, f m a pas de pôle et est holomorphe, doc d après l iégalité de Cauchy: L m w v f m v R R. Examios la majoratio de L m w v ;de f m z = + k=m+ φ z z a k viet d où Or pour z v = R, f m v R = Max z v =R f m v R Mi z v =R φ z v z v a k m+ φ v R k m+ z. v a + k=m+ z a k v + k=m+ z v a k v + k=m+ R. expβk + β k La suite β état borée existe u réel c strictemet positif tel que pour tout o ait c β c doc + k=m+ z a k v + k=m+ R = expβk c h R expβm + h c ou ecore + k=m+ z v a k h R expβm c. expβh R Il est loisible d imposer expβm c exp β c est-à-dire de predre R expβm+ c ; la seule chose qu o doive assurer est que R< a m+ v. Or R R = a m+ v expβm ++β m+ expβm + c expβm ++β m+ = exp c β m+ <. R état aisi choisi, le déomiateur de f m v R est doc mioré par h exp β expβh qui est u réel strictemet positif idépedat de m et de R. Il est aisi prouvé qu existe u réel c > 0 tel que f m v R c φ v R. Soit alors u réel c 3 vérifiat c 3 c +l β. Preos R = expβm c 3 ; o a bie R expβm c exp c 3 exp c expβ l = eβ.

11 Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières D autre part φ vérifiat i, existe u réel c 4 tel que: Reveos alors à L m w v : L m w v f m v R R l φ v R δl R + c 4 l R. c φ v R R exp { δβm c 3 βm c 3 +c 4 βm c 3 +lc } Lm w v exp { δβ m βm + c 3 + βmc 4 δc 3 +δc 3 c 3 c 4 +lc }. Pour m, il existe c 5 > 0 telle que: Aisi, pour m : c 3 + βmc 4 δc 3 +δc 3 c 3 c 4 +lc c 5. L m w v expδβ m βm + c O choisit pour chaque etier k {0,,,..., } u etier m k k. Or ous avos e faisat des combiaisos liéaires sur les coloes du détermiat K : Doc: w 0 L m w... L m w w L m w... L m w + K = w L m w +... L m w K v σ S + L mσi w i+σi v où S + désige l esemble des permutatios de {0,,,..., }. Ue première idée cosiste à se doer le réel θ, 0 < θ etθ < 3 βδ ; cosidéros la suite [θk k N et preos m k =[θk. O a bie m k k. Comme m k = θk + γ k où <γ k 0, o obtiet: L mσi w i+σi v exp {δβ θσi+γ σi } β i + σi θσi+γσi + c5 i + σi [ L mσi w i+σi v exp δβ θ βθ i βθ iσi+o. Le miimum de U σ = iσi pour σ de S + est obteu avec la bijectio σ telle que σ i = i. E effet il suffit de démotrer que le miimum est obteu pour ue

12 Choulet permutatio strictemet décroissate. Soit 0 i 0 <j 0,etσ réalisat le miimum. Soit alors σ qui vérifie σi =σ i pour tout i qui est i i 0 i j 0, σi 0 =σ j 0 et σj 0 =σ i 0. Écrivat que U σ U σ, o obtiet i 0 j 0 σ j 0 σ i 0 0cequi a pour coséquece que: σ j 0 <σ i 0 et aisi σ est strictemet décroissate et le résultat aocé a lieu. Le miimum cosidéré est doc Il e résulte que { δβ θ 3βθ K v exp 6 } 3 + O. i i = O. δβ θ 3βθ état miimal pour θ = 3 3 4βδ, qui est bie strictemet iférieur à βδ et que l o souhaite iférieur à, o obtiet doc les deux situatios qui suivet. Lorsque βδ 3 4 pour θ = 3 4βδ viet [ K v exp 3 6δ 3 + O et lorsque βδ < 3 4 pour θ = viet [ δβ 3β K v exp 3 + O. 6 La deuxième idée cosiste, e partat de 3.5: L m w v exp { δβ m βm + c 5 }. à majorer δβ m σi i + σi βm σi + c 5 i + σi idépedammet de σ S + avec, pour tout i, m i i. Cela reviet à maximiser δβ m i i + σiβm i = βsσ puisque la somme restate est c 5 + doc u O. Choisissos m i = i pour 0 i [ et mi = [ [ pour <i. O obtiet: [ { S σ = βδi i iσi } { + βδ [ [ } i + σi [ i= S σ =βδ βδ S σ = 8δβ 3 + O R σ 48 + [ iσi [ i= [ + σi+o

13 Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières 3 où R σ = { [ iσi+[ [ i= + σi}. Soit σ 0 S + telle que R σ R σ0 pour tout σ S +. Cosidéros i 0 <j 0 [ et σ défiie par σk =σ0 k pour k distict de i 0 et j 0,etσi 0 =σ 0 j 0 aisi que σj 0 =σ 0 i 0. La coditio R σ R σ0 s écrit i 0 σ 0 j 0 +j 0 σ 0 i 0 i 0 σ 0 i 0 +j 0 σ 0 j 0 de sorte que σ 0 i 0 >σ 0 j 0. Maiteat, supposos que j 0 > [ >i0.lamême méthode doe: i 0 σ 0 j 0 + [ σ0 i 0 i 0 σ 0 i 0 + [ σ0 j 0 soit ecore σ 0 i 0 >σ 0 j 0. Il résulte doc que tous les élémets de l image par σ 0 de [ [ +, sot strictemet iférieures aux images par σ 0 de celles de [0, [. Or σ0 est décroissate sur [0, [ doc la restrictio de σ0 à[0, [ est défiie par σ0 i = i et sa restrictio à[ [ [ +, est ue bijectio vers [0,. Il e résulte d ailleurs que [ + σ 0i = 8 + O. De ce qui précède ous déduisos doc que: i= [ R σ i i O R σ O. La somme S σ vérifie doc aisi: { 8βδ S σ 7 } 3 + O S σ 4βδ O. 4 La comparaiso des réels β4βδ 9 4 et 3 6δ permet de coclure comme cela a été aocé Démostratios des théorèmes Pour démotrer ces résultats, ous allos d abord établir des lemmes qui vot faciliter l expositio. O s itéresse ici à ue valeur absolue q v qu o ote pour simplifier q pour laquelle q >. O repred toutes les otatios itroduites das le.. Par ailleurs o rappelle que Φz =λf q αz+µ = 0 a qu z avec F q z = 0 a qz et u 0 = λ + µ, u = λα. Lemme 3.5 Pour tout R>>, l Φ R l R + Ol R. 3.6 l q

14 4 Choulet Démostratio. Il est commode d itroduire φ telle que φz = c qz 0 où, suivat les cas cités: c q = q +/, c q = Cette foctio satisfait respectivemet à: k= q k. φ q z =+zφz 3.7 φ q z =+zφz. 3.8 L applicatio du Lemme 3. à φ e remarquat que 3.7 et 3.8 coduiset à ue même iégalité: R φ R R φ q qui doe La remarque l φ R l R + Ol R. l q Φ R c u R µ + λ φ α R 0 fourit alors 3.6. O rappelle tout d abord que ous avios posé Φz = 0 a qu z, ψz = Φz z = a qv z, 0 Φz = 0 u z, ψz = 0 v z et pour ce qui cocere cette étude, e fait Φz =µ + λ αz. ψ est etière puisque Φ l est et Φ = 0. Lemme 3.6 La foctio ψ a u rayo de covergece o ul et est méromorphe das C. Démostratio. Pour R>> il est clair que ψr Φ R R l ψ R l R + Ol R. l q doc, d après le Lemme 3.5: Pour établir que le rayo de covergece est o ul, o utilise l iégalité de Cauchy à l ordre et la majoratio du Lemme avec R = q. Le rayo de covergece de

15 Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières 5 0 v z état o ul, so rayo de méromorphie M est doc o ul; prouvos que M =+. A cet effet ous allos d abord établir le lie foctioel etre Φ et ψ. Das le cas de la foctio de Tschakaloff, v 0 = u 0 et pour tout 0 v + = q + v + u + d où: ψz =qz ψqz+ Φz, 3.9 puis z ψ = z q ψz+ Φ z. 3.0 q Das le cas de la foctio q-expoetielle,v 0 = u 0 et pour tout 0 v + = q + v + u + d où: + z ψz =qz ψqz+ Φz, 3. puis + z z ψ = z q q ψz+ Φ z. 3. q Das chacu des cas ci-dessus Φz =µ + λ αz. Si M était fii, o aurait ue cotradictio car le rayo de méromorphie de Φ est ifii et celui de ψ z q est strictemet plus grad que M puisque q >. Lemme 3.7 Les pôles de ψ sot des α q où 0 et ψ est le quotiet g θ de deux foctios etières telles que θz = k 0 α z et l g R δ l R + Ol R où δ>0 q k pour R>>. Démostratio. Le Lemme 3.3 appliqué avec a =0,b =,c = q, l =etα = α pour T q et a =,b =,c = q, l =etα = α pour E q fourit le même résultat: δ = l q. Démostratio des théorèmes Nous allos détailler la démostratio das le cas de la foctio T q et sigaler les poits à modifier pour E q ; ous utilisos ue méthode développée par J.P. Bézivi das [3. Pour cela, supposat que K 0, o va former le logarithme épérie de w K w d w /d et e particulier examier le coefficiet de 3 das u développemet asymptotique de cette quatité. Sous les coditios du théorème, ce coefficiet état strictemet égatif, viet doc lim + l w K w d w /d = ce qui cotredit.. La suite v est doc ue suite récurrete liéaire et la démostratio s achève de maière assez similaire à celle de J.P. Bézivi. Faisos le bila de ce qui est acquis.

16 6 Choulet Pour ue place v telle que q v >, ous avos obteu, à l aide du Lemme 3.4 pour la foctio T q les résultats: δ = l q v et β =l q v qui fourisset { K v exp } 3 l q v 3 + O. Ce résultat est mois bo que celui obteu à l aide d ue méthode particulière par J.P. Bézivi Lemme.3 de [3 sous la forme que ous adoptos das tout ce qui suit { K v exp } l q v 3 + O. Soit ue place w v telle que q w >, oté ecore pour ce qui suit q >. O a l expressio de v à l aide des u k suivate: v = a q u k a k q 3.3 avec la valeur a k q = q. Il existe doc ue costate M kk+/ w idépedate de pour laquelle o a immédiatemet: v M w q +/. 3.4 O déduit e reveat aux otatios iitiales que: K w exp 3 3 l q w +O. 3.5 Avec ue place w telle que q w =, o obtiet K w = exp { O }. 3.6 Reste la situatio d ue place w pour laquelle q w <. Évidemmet T q est pas défiie mais la défiitio des suites u, v etk par les récurreces utilisées à plusieurs reprises reste valable et ψ et Φ sot défiies. Remarquos d abord que 0 u z ayat u rayo de covergece o ul, il e est de même pour 0 v z puisque, à partir d u certai rag 0 : v w c v w + u w où c > 0 est fixé. Ceci permet par récurrece de motrer qu à partir d u certai rag: v w c c 3. 0 v z a doc u rayo de méromorphie M o ul; d après 3.9 et 3. M e saurait être das R + doc M =+. Ceci permet d après le Lemme 3.3 de trouver

17 Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières 7 aisi pour T q : δ =. Le calcul du β du Lemme 3.4 e pose pas de problème l q w puisque a = q α pour lequel l a w = l q w +l α doc β =l q w. Appliquos le Lemme 3.4 à la foctio étudiée. Avec δ = l q doe: { K exp l } q + O. et β =l q cela Supposos K 0. O a alors = w K d w/d. Preos le logarithme épérie: 0= d [ d v l K v + w, q w >, w v + w, q w < d w l K w d w l K w + w, q w = doc compte teu des majoratios obteues précédemmet, o a: 0 d [ ad v l q v + b + c w, q w >, w v w, q w < Ici o a : a =, b = 3 et c = 5 4. Comme q dw/d = w d w l q w d w l K w d w l q w 3 + O. 3.7 o obtiet: d w l q w = d w l q w w, q w < w, q w > doc le coefficiet de d 3 das l iégalité ci-dessus s écrit: { } τ = ad v l q v + b d w l q w d v l q v { + c w, q w > w, q w > d w l q w } τ =a bd v l q v +b c w, q w > d w l q w. Sous la coditio τ<0, il est doc clair que le coefficiet de 3 est strictemet égatif et que l o obtiet ue cotradictio pour assez grad; ceci prouve que K =0à partir d u certai rag. La suite v 0 est doc ue suite récurrete liéaire: o peut doc écrire v = s i= P iɛ i,où les ɛ i sot des élémets disticts et o uls

18 8 Choulet de C, ragés par module croissat, et les P i des polyômes o uls. De la relatio v + = q + v + u +,odéduit doc s i= P i +ɛ + i = s qp i qɛ i + λα +. i= O peut supposer que ɛ s est e module l u des plus grads ɛ i. Par suite, qɛ s est de module strictemet supérieur à ceux des ɛ i. Das la situatio où λ =0, l impossibilité d ue telle égalité est immédiate. Lorsque λ 0, il est impossible que le terme qɛ s apparaisse avec u coefficiet o ul das le membre de droite de l égalité précédete; e effet ɛ s est e module l u des plus grads ɛ i doc qɛ s est de module strictemet supérieur à ceux des ɛ i. Aisi qɛ s état distict des qɛ i pour i s, o déduit que qɛ s = α et que qp s +λα =0. L égalité s écrit alors: s s P i +ɛ + i = qp i qɛ i. i= Ceci est impossible, puisqu il y a das les deux membres u ombre différet de termes de la forme P ɛ, et que la décompositio d ue suite récurrete liéaire comme somme de tels termes avec les ɛ disticts, est uique; cette cotradictio achève doc la démostratio. Cette étude achève la démostratio du Théorèmes 3.; reste doc les corollaires qui s obtieet aisémet d après les remarques qui vot suivre. Reveos [ sur ue coditio suffisate pour avoir τ < 0. Comme: τ = d v l q v a b+b cµv avec a b<0etb c>0, ue coditio suffisate est i= µ v < b a b c. 3.8 Nous obteos ici: µ v < 8. E ce qui cocere les Corollaires 3. et 3., il suffit de remarquer que, lorsque K = Q, α Q et q >, o a d v =et q v = q. D autre part, preat q = q q avec q,q =, les places w distictes de v pour lesquelles q w > sot défiies par les valeurs absolues p-adiques où p premier divise q de sorte que d w =et w v, q w > Aisi, das ce cas: d w l q w = p premier, p divise q l q p =l q. µ v = d v l q v + w v, q w > d w l q w d v l q v = γ γ. La coditio 3.8 est doc équivalete à γ γ < 8 soit γ> 8 7.

19 Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières 9 E ce cocere le Corollaire 3., c est le résultat: pour q Q et q > oa µ v γ γ γ voir [3 page 4, qui permet d écrire que la coditio γ < 8 équivaut à γ> 4 3. E ce qui cocere E q, pour ue place v telle que q v > ous avos les résultats δ = l q v et β =l q v qui fourisset { K v exp } 3 l q v 3 + O. Pour ue place w v la relatio 3.3 avec a k q = aisi que u k 0 = λ + µ, p= qp u = λα doe v q +/ k= + u k q k q kk+/ k. p= q p Ceci assure la même coclusio 3. d après la covergece des séries et produit ifii qui apparaisset. Aisi δ =. L iégalité 3.5 e résulte. l q w Avec ue place w telle que q w =, o obtiet ecore l estimatio 3.6. Pour ue place w telle que q w <, o trouve δ = l q w relatio 3.7 deveat θz = k 0 αq k z +q k z pour le Lemme 3.3. La où α 0, doit être écrite sous la forme z a avec a croissate pour appliquer le Lemme 3.4. O doit distiguer α w =ou o, et das chaque cas, o obtiet β = l q w. Résultet alors: { K w exp } 6 3 l + O q w puis 3.7 avec a = 3, b = 3 et c = 6. Le raisoemet se termie comme pour T q avec la restrictio α/ q N qui apparaît. Le corollaire résulte alors de l applicatio umérique de 3.8. Remerciemets. L auteur remercie vivemet le Referee pour la lecture attetive de so article.

20 0 Choulet Bibliographie. Y. Amice, Les ombres p-adiques, Collectio SUP: Le Mathématicie, No. 4, Presses Uiversitaires de Frace, Paris, J.P. Bézivi, Idépedace liéaire des valeurs des solutios trascedates de certaies équatios foctioelles, Mauscripta Math , J.P. Bézivi, Sur les propriétés arithmétiques d ue foctio etière, Math. Nachr , P. Budschuh, Quelques résultats arithmétiques sur les foctios Thêta de Jacobi, Publicatios mathématiques, Paris VI, Problèmes Diophaties , P. Budschuh, Verschärfug eies arithmetisches Satzes vo Tschakaloff, Portugal. Math , P. Budschuh, Ei Satz über gaze Fuktioe ud Irratioalitätsaussage, Ivet. Math /970, D. Duverey, Propriétés arithmétiques d ue série liée aux foctios Thêta, Acta Arith , D. Duverey, Sommes de deux carrés et irratioalité de valeurs de foxtios Thêta, C.R. Acad. Sci. Sér. I Math , L. Tschakaloff, Arithmetische Eigeschafte des uedliche Reihe + =0 a +/ x,i,math. A. 80 9, 6 74; II, Math. A. 84 9, 00 4.

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1 Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

Séries réelles ou complexes

Séries réelles ou complexes 6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés

Plus en détail

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa

Plus en détail

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3. EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice

Plus en détail

Comportement d'une suite

Comportement d'une suite Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer

Plus en détail

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour

Plus en détail

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de

Plus en détail

Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions

Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

Suites et séries de fonctions

Suites et séries de fonctions [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de

Plus en détail

Les Nombres Parfaits.

Les Nombres Parfaits. Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie

Plus en détail

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9 Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios

Plus en détail

Processus et martingales en temps continu

Processus et martingales en temps continu Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de

Plus en détail

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES 1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **

Plus en détail

Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3

Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3 1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que

Plus en détail

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue

Plus en détail

Statistique descriptive bidimensionnelle

Statistique descriptive bidimensionnelle 1 Statistique descriptive bidimesioelle Statistique descriptive bidimesioelle Résumé Liaisos etre variables quatitatives (corrélatio et uages de poits), qualitatives (cotigece, mosaïque) et de types différets

Plus en détail

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé : Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +

Plus en détail

Processus géométrique généralisé et applications en fiabilité

Processus géométrique généralisé et applications en fiabilité Processus géométrique gééralisé et applicatios e fiabilité Lauret Bordes 1 & Sophie Mercier 2 1,2 Uiversité de Pau et des Pays de l Adour Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applicatios - Pau UMR

Plus en détail

Polynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.

Polynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes. Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités

Plus en détail

II LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009

II LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009 M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted

Plus en détail

Dénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices

Dénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet.

Plus en détail

LES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil.

LES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil. Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la

Plus en détail

4 Approximation des fonctions

4 Approximation des fonctions 4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour

Plus en détail

Deuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES

Deuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES DEUXIEME PARTIE Deuième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES Chapitre. L assurace de capital différé Chapitre 2. Les opératios de retes Chapitre 3. Les assuraces décès Chapitre 4. Les assuraces

Plus en détail

STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES

STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES NON-PAAMÉTIQUES Ecole Cetrale de Paris Arak S. DALALYAN Table des matières 1 Itroductio 5 2 Modèle de desité 7 2.1 Estimatio par istogrammes............................

Plus en détail

2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES

2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 1. Défiitios L'itérêt est l'idemité que doe au propriétaire d'ue somme d'arget celui qui e a joui pedat u certai temps. Divers élémets itervieet das le calcul

Plus en détail

EXERCICES : DÉNOMBREMENT

EXERCICES : DÉNOMBREMENT Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris

Plus en détail

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie

Plus en détail

20. Algorithmique & Mathématiques

20. Algorithmique & Mathématiques L'éditeur L'éditeur permet à l'utilisateur de saisir les liges de codes d'u programme ou de défiir des foctios. Remarque : O peut saisir directemet des istructios das la cosole Scilab, mais il est plus

Plus en détail

UNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4

UNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4 UNVERSTE MONTESQUEU BORDEAUX V Licece 3 ère aée Ecoomie - Gestio Aée uiversitaire 2006-2007 Semestre 2 Prévisios Fiacières Travaux Dirigés - Séaces 4 «Les Critères Complémetaires des Choix d vestissemet»

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce

UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce Aée Uiversitaire 2003 / 2004 Auditoire : Troisième Aée Études Supérieures Commerciales & Scieces Comptables DÉCISIONS FINANCIÈRES Note de cours N 3 Première

Plus en détail

DETERMINANTS. a b et a'

DETERMINANTS. a b et a' 2003 - Gérard Lavau - http://perso.waadoo.fr/lavau/idex.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitemet. Toute diffusio à titre oéreux ou utilisatio

Plus en détail

Chap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers)

Chap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers) Chap. 5 : Les itérêts (Les calculs fiaciers) Das u cotrat de prêt, le prêteur met à la dispositio de l empruteur, à u taux d itérêt doé, ue somme d arget (le capital) qu il devra rembourser à ue certaie

Plus en détail

Contribution à la théorie des entiers friables

Contribution à la théorie des entiers friables UFR STMIA École Doctorale IAE + M Uiversité Heri Poicaré - Nacy I DFD Mathématiques THÈSE présetée pour l obtetio du titre de Docteur de l Uiversité Heri Poicaré, Nacy-I e Mathématiques par Bruo MARTIN

Plus en détail

TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 )

TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 ) RAIRO Operatios Research RAIRO Oper. Res. 34 (2000) 99-129 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 ) Commuiqué par Berard LEMAIRE Résumé. L étude

Plus en détail

Exercices de mathématiques

Exercices de mathématiques MP MP* Thierry DugarDi Marc rezzouk Exercices de mathématiques Cetrale-Supélec, Mies-Pots, École Polytechique et ENS Coceptio et créatio de couverture : Atelier 3+ Duod, 205 5 rue Laromiguière, 75005 Paris

Plus en détail

Probabilités et statistique pour le CAPES

Probabilités et statistique pour le CAPES Probabilités et statistique pour le CAPES Béatrice de Tilière Frédérique Petit 2 3 jui 205. Uiversité Pierre et Marie Curie 2. Uiversité Pierre et Marie Curie 2 Table des matières Modélisatio de phéomèes

Plus en détail

Cours de Statistiques inférentielles

Cours de Statistiques inférentielles Licece 2-S4 SI-MASS Aée 2015 Cours de Statistiques iféretielles Pierre DUSART 2 Chapitre 1 Lois statistiques 1.1 Itroductio Nous allos voir que si ue variable aléatoire suit ue certaie loi, alors ses réalisatios

Plus en détail

Séries numériques. Chap. 02 : cours complet.

Séries numériques. Chap. 02 : cours complet. Séris méris Cha : cors comlt Séris d réls t d comlxs Défiitio : séri d réls o d comlxs Défiitio : séri corgt o dirgt Rmar : iflc ds rmirs trms d séri sr la corgc Théorèm : coditio écssair d corgc Théorèm

Plus en détail

PROMENADE ALÉATOIRE : Chaînes de Markov et martingales

PROMENADE ALÉATOIRE : Chaînes de Markov et martingales PROMENADE ALÉATOIRE : Chaîes de Markov et martigales Thierry Bodieau École Polytechique Paris Départemet de Mathématiques Appliquées thierry.bodieau@polytechique.edu Novembre 2013 2 Table des matières

Plus en détail

Introduction : Mesures et espaces de probabilités

Introduction : Mesures et espaces de probabilités Itroductio : Mesures et espaces de probabilités Référeces : Poly cédric Berardi et Jea Michel Morel. J.-F. Le Gall, Itégratio, Probabilités et Processus Aléatoire J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2, maîtrise-agrégatio,

Plus en détail

Chaînes de Markov. Arthur Charpentier

Chaînes de Markov. Arthur Charpentier Chaîes de Markov Arthur Charpetier École Natioale de la Statistique et d Aalyse de l Iformatio - otes de cours à usage exclusif des étudiats de l ENSAI - - e pas diffuser, e pas citer - Quelques motivatios.

Plus en détail

Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE

Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE A- Gééralités B- Précisio d u estimateur C- Exhaustivité D- iformatio E-estimateur sas biais de variace miimale, estimateur efficace F- Quelques méthode s d estimatio A-

Plus en détail

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps

Plus en détail

Formation d un ester à partir d un acide et d un alcool

Formation d un ester à partir d un acide et d un alcool CHAPITRE 10 RÉACTINS D ESTÉRIFICATIN ET D HYDRLYSE 1 Formatio d u ester à partir d u acide et d u alcool 1. Nomeclature Acide : R C H Alcool : R H Groupe caractéristique ester : C Formule géérale d u ester

Plus en détail

Statistiques appliquées à la gestion Cours d analyse de donnés Master 1

Statistiques appliquées à la gestion Cours d analyse de donnés Master 1 Aalyse des doées Statistiques appliquées à la gestio Cours d aalyse de doés Master F. SEYTE : Maître de coféreces HDR e scieces écoomiques Uiversité de Motpellier I M. TERRAZA : Professeur de scieces écoomiques

Plus en détail

Module 3 : Inversion de matrices

Module 3 : Inversion de matrices Math Stat Module : Iversio de matrices M Module : Iversio de matrices Uité. Défiitio O e défiira l iverse d ue matrice que si est carrée. O appelle iverse de la matrice carrée toute matrice B telle que

Plus en détail

Solutions particulières d une équation différentielle...

Solutions particulières d une équation différentielle... Solutios particulières d ue équatio différetielle......du premier ordre à coefficiets costats O cherche ue solutio particulière de y + ay = f, où a est ue costate réelle et f ue foctio, appelée le secod

Plus en détail

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Les etreprises ot souvet besoi de moyes de fiacemet à court terme : elles ot alors recours aux crédits bacaires (découverts bacaires

Plus en détail

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C. 16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme

Plus en détail

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation 1 / 9 Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Le cycle d exploitatio des etreprises (achats stockage productio stockage vetes) peut etraîer des décalages de trésorerie plus

Plus en détail

Université de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème année. Scoring. Marie Chavent http://www.math.u-bordeaux.fr/ machaven/ 2014-2015

Université de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème année. Scoring. Marie Chavent http://www.math.u-bordeaux.fr/ machaven/ 2014-2015 Uiversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème aée Scorig Marie Chavet http://www.math.u-bordeaux.fr/ machave/ 2014-2015 1 Itroductio L idée géérale est d affecter ue ote (u score) global à u idividu à partir

Plus en détail

capital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...

capital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3... Applicatios des maths Algèbre fiacière 1. Itérêts composés O place u capital C 0 à u taux auel T a pedat aées. Quelle est la valeur fiale C de ce capital? aée capital e fi d'aée 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1

Plus en détail

Consolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe

Consolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe Cosolidatio La société THEOS, qui commercialise des vis, exerce so activité das trois villes : Paris, Nacy et Nice. Le directeur de la société souhaite cosolider les résultats de ses vetes par ville das

Plus en détail

La France, à l écoute des entreprises innovantes, propose le meilleur crédit d impôt recherche d Europe

La France, à l écoute des entreprises innovantes, propose le meilleur crédit d impôt recherche d Europe 1/5 Trois objectifs poursuivis par le gouveremet : > améliorer la compétitivité fiscale de la Frace > péreiser les activités de R&D > faire de la Frace u territoire attractif pour l iovatio Les icitatios

Plus en détail

c. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives

c. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives Calcul des itervalles de cofiace our les EPCV 996-004 - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio e oit das la oulatio totale des méages - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio das ue sous oulatio das les méages

Plus en détail

55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR.

55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. 55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. CHANTAL MENINI 1. U pla possible Les exemples qui vot suivre sot des pistes possibles et e aucu cas ue présetatio exhaustive. De même je ai pas fait ue étude systématique

Plus en détail

Chapitre 3 : Transistor bipolaire à jonction

Chapitre 3 : Transistor bipolaire à jonction Chapitre 3 : Trasistor bipolaire à joctio ELEN075 : Electroique Aalogique ELEN075 : Electroique Aalogique / Trasistor bipolaire U aperçu du chapitre 1. Itroductio 2. Trasistor p e mode actif ormal 3. Courats

Plus en détail

Statistique Numérique et Analyse des Données

Statistique Numérique et Analyse des Données Statistique Numérique et Aalyse des Doées Arak DALALYAN Septembre 2011 Table des matières 1 Élémets de statistique descriptive 9 1.1 Répartitio d ue série umérique uidimesioelle.............. 9 1.2 Statistiques

Plus en détail

Régulation analogique industrielle ESTF- G.Thermique

Régulation analogique industrielle ESTF- G.Thermique Chapitre 5 Stabilité, Rapidité, Précisio et Réglage Stabilité. Défiitio Coditio de stabilité. Critères de stabilité.. Critères algébriques.. Critère graphique ou de revers das le pla de Nyquist Rapidité

Plus en détail

POLITIQUE ECONOMIQUE ET DEVELOPPEMENT

POLITIQUE ECONOMIQUE ET DEVELOPPEMENT POLTQU ONOMQU T DVLOPPMNT TRUTUR DU MAR NATONAL DU AF-AAO T PR AU PRODUTUR MALAN Beïla Beoit osultat PD N 06/008 ellule d Aalyse de Politiques coomiques du R Aée de pulicatio : Avril 009 Résumé e papier

Plus en détail

UV SQ 20. Automne 2006. Responsable d Rémy Garandel ( m.-el. remy.garandel@utbm.fr ) page 1

UV SQ 20. Automne 2006. Responsable d Rémy Garandel ( m.-el. remy.garandel@utbm.fr ) page 1 UV SQ 0 Probabilités Statistiques UV SQ 0 Autome 006 Resposable d Rémy Garadel ( m.-el. remy.garadel@utbm.fr ) page SQ-0 Probabilités - Statistiques Bibliographie: Titre Auteur(s) Editios Localisatio Niveau

Plus en détail

MESURE DE L'INFORMATION

MESURE DE L'INFORMATION MESURE DE L'INFORMATION Marc URO TABLE DES MATIÈRES INTRODUCTION... 3 INCERTITUDE D'UN ÉVÉNEMENT (OU SELF-INFORMATION)... 7 INFORMATION MUTUELLE DE DEUX ÉVÉNEMENTS... 9 ENTROPIE D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE

Plus en détail

Réseaux d ondelettes et réseaux de neurones pour la modélisation statique et dynamique de processus

Réseaux d ondelettes et réseaux de neurones pour la modélisation statique et dynamique de processus Réseaux d odelettes et réseaux de euroes pour la modélisatio statique et dyamique de processus Yacie Oussar To cite this versio: Yacie Oussar. Réseaux d odelettes et réseaux de euroes pour la modélisatio

Plus en détail

PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS J. L. NICOLAS

PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS J. L. NICOLAS PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS ET APPROXIMATIONS DIOPHANTIENNES J. L. NICOLAS Cet article expose sup 3 e quelques iter'f~reces etre les pr'obl~res dloptimisatio e hombres etiers et la th~or-ie

Plus en détail

Université Victor Segalen Bordeaux 2 Institut de Santé Publique, d Épidémiologie et de Développement (ISPED) Campus Numérique SEME

Université Victor Segalen Bordeaux 2 Institut de Santé Publique, d Épidémiologie et de Développement (ISPED) Campus Numérique SEME Uiversité Victor Segale Bordeaux Istitut de Saté Publique, d Épidémiologie et de Développemet (ISPED) Campus Numérique SEME MODULE Pricipaux outils e statistique Versio du 8 août 008 Écrit par : Relu par

Plus en détail

La tarification hospitalière : de l enveloppe globale à la concurrence par comparaison

La tarification hospitalière : de l enveloppe globale à la concurrence par comparaison ANNALES D ÉCONOMIE ET DE STATISTIQUE. N 58 2000 La tarificatio hospitalière : de l eveloppe globale à la cocurrece par comparaiso Michel MOUGEOT * RÉSUMÉ. Cet article cosidère différetes politiques de

Plus en détail

Les algorithmes de tri

Les algorithmes de tri CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS PARIS MEMOIRE POUR L'EXAMEN PROBATOIRE e INFORMATIQUE par Nicolas HERVE Les algorithmes de tri Souteu le mai JURY PRESIDENTE : Mme COSTA Sommaire Itroductio....

Plus en détail

Principes et Méthodes Statistiques

Principes et Méthodes Statistiques Esimag - 2ème aée 0 1 2 3 4 5 6 7 0 5 10 15 x y Pricipes et Méthodes Statistiques Notes de cours Olivier Gaudoi 2 Table des matières 1 Itroductio 7 1.1 Défiitio et domaies d applicatio de la statistique............

Plus en détail

La fibre optique arrive chez vous Devenez acteur de la révolution numérique

La fibre optique arrive chez vous Devenez acteur de la révolution numérique 2 e éditio Edité par l Autorité de régulatio des commuicatios électroiques et des postes RÉPUBLIQUE FRANÇAISE DÉCEMBRE 2010 La fibre optique arrive chez vous Deveez acteur de la révolutio umérique Petit

Plus en détail

Initiation à l analyse factorielle des correspondances

Initiation à l analyse factorielle des correspondances Fiche TD avec le logiciel : tdr620b Iitiatio à l aalyse factorielle des correspodaces A.B. Dufour & M. Royer & J.R. Lobry Das cette fiche, o étudie l Aalyse Factorielle des Correspodaces. Cette techique

Plus en détail

3.1 Différences entre ESX 3.5 et ESXi 3.5 au niveau du réseau. Solution Cette section récapitule les différences entre les deux versions.

3.1 Différences entre ESX 3.5 et ESXi 3.5 au niveau du réseau. Solution Cette section récapitule les différences entre les deux versions. 3 Réseau Le réseau costitue u aspect essetiel d u eviroemet virtuel ESX. Il est doc importat de compredre la techologie, y compris ses différets composats et leur coopératio. Das ce chapitre, ous étudios

Plus en détail

Etude Spéciale SCORING : UN GRAND PAS EN AVANT POUR LE MICROCRÉDIT?

Etude Spéciale SCORING : UN GRAND PAS EN AVANT POUR LE MICROCRÉDIT? Etude Spéciale o. 7 Javier 2003 SCORING : UN GRAND PAS EN AVANT POUR LE MICROCRÉDIT? MARK SCHNEIDER Le CGAP vous ivite à lui faire part de vos commetaires, de vos rapports et de toute demade d evoid autres

Plus en détail

Tempêtes : Etude des dépendances entre les branches Automobile et Incendie à l aide de la théorie des copulas Topic 1 Risk evaluation

Tempêtes : Etude des dépendances entre les branches Automobile et Incendie à l aide de la théorie des copulas Topic 1 Risk evaluation Tempêtes : Etude des dépedaces etre les braches Automobile et Icedie à l aide de la théorie des copulas Topic Risk evaluatio Belguise Olivier Charles Levi ACM Guy Carpeter 34 rue du Wacke 47/53 rue Raspail

Plus en détail

Mécanique non linéaire

Mécanique non linéaire M MN9 Mécaique o liéaire Zhi-Qiag FENG UFR Sciece et Techologies Uiversité d Evry Val d Essoe TABLES DES MATIERES INTRODUCTION Chapitre : CONCEPTS ELEMENTAIRES. Pricipales propriétés des matériaux. Coaissace

Plus en détail

Université Pierre et Marie Curie. Biostatistique PACES - UE4 2013-2014

Université Pierre et Marie Curie. Biostatistique PACES - UE4 2013-2014 Uiversité Pierre et Marie Curie Biostatistique PACES - UE4 2013-2014 Resposables : F. Carrat et A. Mallet Auteurs : F. Carrat, A. Mallet, V. Morice Mise à jour : 21 octobre 2013 Relecture : V. Morice,

Plus en détail

Petit recueil d'énigmes

Petit recueil d'énigmes Petit recueil d'éigmes Patxi RITTER (*) facile (**) mois facile (***) pas facile (****) il faudra de l aide Solutios e rouge. 1) Cryptarithme (**) Trouvez la valeur de A, B et C satisfaisat l équatio suivate.

Plus en détail

Le chef d entreprise développe les services funéraires de l entreprise, en

Le chef d entreprise développe les services funéraires de l entreprise, en Le chef d etreprise développe les services fuéraires de l etreprise, e assurat lui-même tout ou partie des activités de vete et e ecadrat directemet le persoel techique et commercial et d exploitatio.

Plus en détail

Examen final pour Conseiller financier / conseillère financière avec brevet fédéral. Recueil de formules. Auteur: Iwan Brot

Examen final pour Conseiller financier / conseillère financière avec brevet fédéral. Recueil de formules. Auteur: Iwan Brot Exame fial pour Coseiller fiacier / coseillère fiacière avec brevet fédéral Recueil de formules Auteur: Iwa Brot Ce recueil de formules sera mis à dispositio des cadidats, si écessaire. Etat au 1er mars

Plus en détail

Le marché du café peut être segmenté en fonction de deux modes de production principaux : la torréfaction et la fabrication de café soluble.

Le marché du café peut être segmenté en fonction de deux modes de production principaux : la torréfaction et la fabrication de café soluble. II LE MARCHE DU CAFE 1 L attractivité La segmetatio selo le mode de productio Le marché du café peut être segmeté e foctio de deux modes de productio pricipaux : la torréfactio et la fabricatio de café

Plus en détail

La spirale de Théodore bis, et la suite «somme=produit».

La spirale de Théodore bis, et la suite «somme=produit». Etde d e vrite de l spirle de Théodore, dot issce à e site dot les sommes prtielles sot égles x prodits prtiels. Mots clés : spirle de Théodore, théorème de Pythgore, site, série, polyôme. L spirle de

Plus en détail

INTRODUCTION AUX MATRICES ALÉATOIRES. par. Djalil Chafaï

INTRODUCTION AUX MATRICES ALÉATOIRES. par. Djalil Chafaï INTRODUCTION AUX MATRICES ALÉATOIRES par Djalil Chafaï Résumé. E cocevat les mathématiques comme u graphe, où chaque sommet est u domaie, la théorie des probabilités et l algèbre liéaire figuret parmi

Plus en détail

Un nouvel opérateur de fusion adaptatif. A new adaptive operator of fusion. 1. introduction

Un nouvel opérateur de fusion adaptatif. A new adaptive operator of fusion. 1. introduction A ew adaptive operator of fusio par Fraçois DELMOTTE LAMIH, Uiversité de Valeciees et du Haiaut-Cambrésis, Le Mot Houy, BP 3, 5933 Valeciees CEDEX 9 fdelmott@flore.uiv-valeciees.fr résumé et mots clés

Plus en détail

Gérer les applications

Gérer les applications Gérer les applicatios E parcourat les rayos du Widows Phoe Store, vous serez e mesure de compléter les services de base de votre smartphoe à travers plus de 10 000 applicatios. Gratuites ou payates, ces

Plus en détail

RÈGLES ORDINALES : UNE GÉNÉRALISATION DES RÈGLES D'ASSOCIATION

RÈGLES ORDINALES : UNE GÉNÉRALISATION DES RÈGLES D'ASSOCIATION RÈGLES ORDIALES : UE GÉÉRALISATIO DES RÈGLES D'ASSOCIATIO SYLVIE GUILLAUME ALI KHECHAF 2 RÉSUMÉ: La plupart des mesures des règles cocere les variables biaires et écessite pour les autres types de variables

Plus en détail

Chapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES. 2.1 DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2.

Chapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES. 2.1 DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2. Chapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES PLAN DU CHAPITRE 2 2.1 DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2.1 Pla de sodage 2.2.2 Probabilités d iclusio 2.3 SONDAGE

Plus en détail

Renseignements et monitoring. Renseignements commerciaux et de solvabilité sur les entreprises et les particuliers.

Renseignements et monitoring. Renseignements commerciaux et de solvabilité sur les entreprises et les particuliers. Reseigemets et moitorig. Reseigemets commerciaux et de solvabilité sur les etreprises et les particuliers. ENSEMBLE CONTRE LES PERTES. Reseigemets Creditreform. Pour plus de trasparece. Etreteir des rapports

Plus en détail

Échantillonnage et estimation

Échantillonnage et estimation Stage «Nouveaux programmes de Termiale S» - Ho Chi Mih-Ville Novembre 202 Échatilloage et estimatio Partie C - Frédéric Barôme page Échatilloage et estimatio Partie C : Capacités et exercices-types. Rappelos

Plus en détail

LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE

LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE. Exemple troductf (Les élèves qu coasset déà be le prcpe peuvet sauter ce paragraphe) Cosdéros la sute (u ), défe pour tout, par : u u u 0 0 Cette sute est défe

Plus en détail

Terminale S. Terminale S 1 F. Laroche

Terminale S. Terminale S 1 F. Laroche Termiale S Exercices. Rappels et exercices de base 3.. QCM (P. Egel) 3.. QCM, Atilles 005 4. 3. QCM, Liba 009, 3 poits 4. 4. QCM, C. étragers 007. 5. QCM, Frace 007 5 6. 6. QCM, N. Calédoie 007 7. 7. QCM

Plus en détail

MUTUELLE D&O MUTUELLE D&O. Copilote de votre santé. AGECFA-Voyageurs CARCEPT CARCEPT-Prévoyance CRC CRIS CRPB-AFB

MUTUELLE D&O MUTUELLE D&O. Copilote de votre santé. AGECFA-Voyageurs CARCEPT CARCEPT-Prévoyance CRC CRIS CRPB-AFB MUTUELLE D&O MUTUELLE D&O Copilote de votre saté AGECFA-Voyageurs CARCEPT CARCEPT-Prévoyace CRC CRIS CRPB-AFB DOMISSIMO-Assuraces DOMISSIMO-Services FONGECFA-Trasport IPRIAC MUTUELLE D&O OREPA-Prévoyace

Plus en détail