Des résultats d irrationalité pour deux fonctions particulières

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1 Collect. Math. 5, 00, 0 c 00 Uiversitat de Barceloa Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières Richard Choulet 7, Rue du 4 Août, 40 Aveay, Frace Received April 4, 000. Revised December 8, 000 Abstract This paper studies irratioality of values take by the fuctios T q defied by T q z= + =0 z /q +/, ad E q such that + E q z= =0 z / k= qk, where q Q ad q >.. Itroductio et pla Soit q C, q >. O pose 0 q =et q = q q si ; de plus o ote q!=0 q.. q qui est le q-aalogue de!, avec la covetio tout au log de cet article que le produit sur u esemble vide d idice est égal à et que la somme sur u esemble vide d idices est ulle, ce qui est cohéret avec 0 q =. Nous ous itéressos à la foctio de Tschakaloff T q : T q z = + =0 à la foctio E q : E q z = + =0 z k= qk ; z q +/ le véritable q-aalogue de l expoetielle e q vérifie e q z = + =0 z q! = E qq z. La foctio de Tschakaloff T q et la foctio E q sot des foctios etières sur C; pour ces foctios, ous démotreros des résultats portat sur des valeurs prises par celles-ci aux élémets o uls d u corps de ombres K. Plusieurs auteurs se sot itéressés à cette questio; l u des premiers résultats est dû à L. Tschakaloff [9: Théorème T: Soit α Q. O suppose que γ> Alors T q α est irratioel. Keywords: Irratioality, q-aalog. MSC000: J7. et

2 Choulet Rappelos la défiitio de γ : Soit q Q tel que q > ; o pose q = a b avec b N, a Z et a et b premiers etre eux. Le réel γ>, est défii, lorsque b, par l a = γ l b; le cas b = sigifie q Z et o pred alors γ =+. Le théorème cité ci-dessus, est étedu par P. Budschuh au cas d u corps quadratique imagiaire [5. D. Duverey [7, [8 démotre esuite que les ombres T q q = + =0 q et T q = e sot pas irratioels quadratiques pour q Z. + q +/ =0 J.P. Bézivi gééralise des résultats précédets das [3. L article est orgaisé de la faço qui suit: La Partie présete l itroductio et le pla. Das la Partie, ous doos des rappels et les otatios utilisées. La Partie 3 doe des résultats d irratioalité relatifs à T q α, E q α pour α K.. Rappels et otatios.. Quelques rappels Soit K u corps de ombres de degré oté d. Pour toute place v de K, o ote K v et Q v, les complétés de K et Q pour la place v et d v =[K v : Q v. Les valeurs absolues sot ormalisées e imposat que la restrictio de v à Q soit la valeur absolue usuelle si v est ue place ifiie et si v est ue place fiie au-dessus du ombre ratioel p, que p v = p. Pour α de K, o a la formule du produit: = w α w d/d w.. Pour ue place v de K et q Q tels que q v,opose µ v = w, q w > d w l q w d v l q v.. Rappelos efi que pour f etière, o ote f R = Max z R fz.

3 Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières 3.. Notatios et pricipe des démostratios Soit K u corps de ombres, v ue place de K et q Q tel que q v >. Nous otos F q la foctio qui suivat le cas est T q ou E q e posat F q z = N a qz ; c est ue foctio etière sur C v. Notre but est de démotrer, sous des hypothèses adéquates, que pour α K, o a F q α / K. Pour cela o raisoe par l absurde; o peut doc trouver λ et µ de K tels que: λf q α+µ =0. O défiit alors la foctio Φ, etière das C v par Φz =λf q αz+µ avec Φ = 0. O défiit égalemet la suite u e posat Φz = N u a qz aisi que la foctio etière ψ et la suite v par: ψz = Φz z = N v a qz. Nous allos établir que la suite v est ue suite récurrete liéaire, e étudiat la suite des détermiats de Kroecker défiie par v 0 v... v v v... v + K = v v +... v E effet, o sait que [ page 69, si K est ul à partir d u certai rag, alors v est ue suite récurrete liéaire. Nous motreros alors que le fait que v soit récurrete liéaire permet d aboutir à ue cotradictio. L idée de travailler directemet sur le détermiat K, qui apparaît das [3, est reprise ici et améliorée partiellemet: - améliorée parce qu o peut l utiliser pour d autres foctios que T q ici E q et pour d autres travaux par exemple études de K-idépedace liéaire, - partiellemet puisqu elle se révèle mois fie das le cas T q. 3. Résultats d irratioalité Cette partie propose d examier l irratioalité des images par chacue des foctios evisagées, d u élémet α o ul d u corps de ombres avec des hypothèses e portat que sur l élémet q de Q. 3.. Eocés des résultats Théorème 3. Soit q Q, K u corps de ombres et v ue place de K telle que q v >. Soit d autre part α K. O suppose µ v < 8 ; alors T qα / K.

4 4 Choulet E particulier, das le cas où K = Q, o obtiet les deux corollaires: Corollaire 3. O suppose q Q et q >. Soit α Q. Lorsque γ> 8 7, alors T qα / Q. Corollaire 3. O suppose q Q et q >. Soit K ue extesio quadratique de Q et α K. Si o a γ> 4 3 alors T qα / K. Ces résultats amélioret ceux de J.P. Bézivi das [3. E effet das le Corollaire 3., la coditio γ> 8 7 est plus fie que γ>8 5.Demême das le Corollaire 3. améliore γ>4. γ> 4 3 D autre part le Corollaire 3. implique que sous les hypothèses idiquées, T q α est pas algébrique de degré d. E particulier ous avos obteu T q q / Q c est-à-dire / Q, q et est pas algébrique de degré d. Le premier résultat cité était cou pour q Z. Efi ue questio ouverte aturelle est de savoir si ces résultats demeuret vrais sous la coditio γ>. Nous doos maiteat les résultats relatifs à la foctio E q ou ce qui reviet au même à e q. E raiso du produit ifii défiissat E q, qui est: E q z = + p= + z q p et qui proviet de la relatio foctioelle E q qz = + ze q z, il y a ue restrictio aturelle sur les valeurs de α. Théorème 3. Soit q Q, K u corps de ombres, v ue place de K telle que q v >. O suppose que α K,α/ q N et que µ v < ; alors E q α / K. Das le cas particulier K = Q et e preat pour place v la place ifiie de Q, o obtiet le résultat suivat: Corollaire 3.3 Soit q Q, q >, α Q et α/ q N. Lorsque γ>, alors E q α / Q. Ce corollaire améliore u peu le résultat cité par P. Budschuh das [6 page 8 qui obteait alors γ> 7 3. Là ecore ue questio aturelle ouverte est de savoir si les résultats demeuret vrais si γ>.

5 Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières Lemmes techiques Das ces lemmes, o a cosidéré ue place v de Q. Lemme 3. Soiet q Q q v, m N, N, δ>0, γ>0 et ω = If q v, q v. Soiet θ ue foctio etière telle que pour tout R>>, l θ v R δ l R l + Ol R, 3. ω et g ue foctio etière vérifiat pour tout R>> g v R γr m g v Rω+γR θ v R, 3. alors l g v R Maxm, δ l l R + Ol R. 3.3 ω Démostratio. Par récurrece immédiate das 3. o a, pour tout N : g v R γ N R Nm ω NN m/ g v Rω N l R l ω N + γ γ k R +km ω k+kk m/ θ v Rω k. O pred R assez grad et o choisit de predre N tel que Rω N <Rω N, i.e. N< l R +. Ceci motre que la foctio R g l v Rω N est borée; d autre ω part la foctio x R mx ω mxx / est maximale e x 0 = l R + l. Il e résulte ω que ce premier terme a so logarithme boré par m l R l ω de la somme qui utilise N cette somme, où N = l R l ω + Ol R. Le deuxième terme est majoré par N multiplié par le plus grad terme de + O. E utilisat la foctio défiie sur [0, N par [ xx x + mxlr + x + m l ω + δ l l R + x l ω + x l γ, ω qui correspod au logarithme épérie du terme gééral o obtiet que le deuxième terme de la somme a so logarithme épérie iférieur à δ l R + Ol R. Le résultat l ω 3.3 e découle alors. Lemme 3. Soiet a C, b C,l N,α,..., α l des complexes o uls. O défiit la foctio θ par le produit ifii: θz = k 0 l { zω k aω k z } α i b i=

6 6 Choulet Pour l =0, o coviet que: θz = k 0 + aωk z b. La foctio θ est ue foctio etière et o a pour R>>: l θ v R l + ɛ a l l R + Ol R 3.5 ω où l o a posé ɛ x =0ou selo que x est ul ou pas. Démostratio. Comme 0 < ω <, o voit facilemet que θ est ue foctio etière; o a clairemet la relatio θωz = θz a + b z l i= z α i d où résulte l existece d ue costate γ>0 telle que pour R>> o ait: θ v R γr l+ɛ a θ v ωr. Nous sommes ici das u cas particulier du Lemme 3. pour lequel g est remplacée par θ, θ par0etm = l + ɛ a, d où 3.5. Lemme 3.3 Soiet a, b, c, des ombres complexes tels que bc 0,q Q et Q ue foctio ratioelle régulière e 0, dot ous otos les pôles α,..., α l. O pose Q = P P. Si Q est ue foctio polyôme, o pred l =0et o supprime les termes das les produits ifiis qui suivet. Soit ψ ue foctio méromorphe das tout C sas pôle à l origie, vérifiat l équatio foctioelle: Nous avos les résultats az + b ψz =cz ψqz+qz. 3.6 i pour q v < et a 0, les pôles de ψ sot das l esemble { α i q k,k 0, i=,..., l, b aq h,h 0 } ; pour a =0, ils sot das { α i α i b aq k,k 0, i=,..., l }. Supposos q k pour tout k Z. Soit la foctio etière θ défiie par le produit ifii: θz = i, k + aqk z b alors la foctio g = ψθ est etière et vérifie l estimatio: qk z α i, 3.7 l g v R l + l q v l R + Ol R; 3.8

7 Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières 7 ii pour q v >, les pôles de ψ sot das l esemble {α i q k+,k 0, i=,..., l}. Soit θ la foctio etière défiie par le produit ifii: θz = i, k z α i q k Alors la foctio g = ψθ est ue foctio etière qui vérifie l estimatio: l g v R l l q v l R + Ol R. 3.0 Démostratio. Cosidéros tout d abord q v <. Par récurrece das 3.6 o obtiet aisémet pour tout N 0: soit ecore N ψz aq k z + b = ψq N N+ z cq k z + N Qq k z k cq m z m= N a b N+ ψz b qk z + =cz N+ q NN+/ ψq N+ z + N m=k+ N Qq k zb N k cz k q kk / aq m z + b 3. N m=k+ a b qm z +. La covergece des produits ifiis et le fait que ψ soit borée au voisiage de zéro doe: ψz a b qk z + = b cz kq Qq k kk / z b m=k+ a b qm z +. Les pôles de ψ sot doc des α i avec k 0eti {,,..., l} qui provieet de q k Qq k z et des b où k 0 das le cas où a est pas ul; lorsque a est ul, seule la aq k première famille iterviet. La foctio g = θ ψ est etière et vérifie: az + b gz θz gqz = cz θz + az b l i= z α i + Qz soit ecore gz = b cz l i= z α i gqz+ θzqz az + b.

8 8 Choulet O déduit qu existe γ > 0 tel que pour tout R assez grad, o ait avec = Max 0, d P d P ɛ a : Le Lemme 3. appliqué à g doe g v R γr l+ g v R q v +γr θ v R. l g v R Maxl + ɛ a,l+ l l R + Ol R, ω d où lerésultat aocé 3.8. Examios maiteat le cas q v >. Remplaçat z par 3., o obtiet soit ecore ψz N c q k+ z = ψ z N q N+ N cz N+ q ψz = ψ z N N+N+/ q N+ N z Q q k+ z Q q k+ a q k+ z + b N m=k+ a q k+ z + b c q m+ z cz N k z q N+ k m= das la relatio a q m z + b k q N+N+/ k+k+/ m= a q m z + b. Les pôles de ψ sot doc des α i q k+ pour k 0. O défiit alors θ par 3.9. La foctio etière θ satisfait le Lemme 3. de sorte que: l θ v R l l q v l R + Ol R. Cosidéros g = θ ψ; la foctio g est etière et vérifie: c z gz q θz = a z g z q + b q z θ z Q q q ou ecore c z q gz = a z l q + b z z z g θzq. qα i q q i= Doc existe γ>0 tel que pour R>>0, o ait avec m = Max 0, d P d P : g v R γr l+ɛ a g v R q v + γr m θ v R.

9 Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières 9 Le Lemme 3. appliqué à g doe c est-à-dire la formule 3.0. l g v R Maxl, l + ɛ a l l R + Ol R ω Lemme 3.4 Soit fz = N w z ue série etière de rayo de covergece R 0. O suppose que f = φ φ avec: i φ est ue foctio etière pour laquelle existe δ>0 : l φ v R δ l R + Ol R, pour tout R>>; ii φ est défii par φ z = = z a avec la suite a v N croissate et vérifiat l a v = β+ β où β>0 et β N est borée. O cosidère la suite des détermiats de Kroecker K costruite sur la suite w cofer.. Alors pour βδ 3 4,oa pour 3 4 <βδ 3, viet [ δβ 3β K v exp 3 + O 6 3. [ 4δβ 9β K v exp 3 + O pour 3 <βδ,oa [ K v exp 3 6δ 3 + O. 3.4 Démostratio. Pour m 0, soit la foctio f m telle que: f m z = m k= z fz = + a m m b h,m z h fz. h= f m a pour pôles les a h où h m +;f m z s écrit aussi f m z = φ z + k=m+ z a k = + m b h,m z h h= k 0 w k z k = h 0 w m,h z h, où w m, = mim, h=0 b h,m w h. Il est commode pour alléger les otatios d itroduire l opérateur L m de C N vers lui-même défii par: L m w N = wm, N. Par abus de lagage, ce qu o devrait oter L m w N sera écrit L m w.

10 0 Choulet Nous avos défii L m w comme état le coefficiet de z das le développemet de f m z dot les pôles sot les a h avec h m +. Preos R< a m+ v. Das D0,R, f m a pas de pôle et est holomorphe, doc d après l iégalité de Cauchy: L m w v f m v R R. Examios la majoratio de L m w v ;de f m z = + k=m+ φ z z a k viet d où Or pour z v = R, f m v R = Max z v =R f m v R Mi z v =R φ z v z v a k m+ φ v R k m+ z. v a + k=m+ z a k v + k=m+ z v a k v + k=m+ R. expβk + β k La suite β état borée existe u réel c strictemet positif tel que pour tout o ait c β c doc + k=m+ z a k v + k=m+ R = expβk c h R expβm + h c ou ecore + k=m+ z v a k h R expβm c. expβh R Il est loisible d imposer expβm c exp β c est-à-dire de predre R expβm+ c ; la seule chose qu o doive assurer est que R< a m+ v. Or R R = a m+ v expβm ++β m+ expβm + c expβm ++β m+ = exp c β m+ <. R état aisi choisi, le déomiateur de f m v R est doc mioré par h exp β expβh qui est u réel strictemet positif idépedat de m et de R. Il est aisi prouvé qu existe u réel c > 0 tel que f m v R c φ v R. Soit alors u réel c 3 vérifiat c 3 c +l β. Preos R = expβm c 3 ; o a bie R expβm c exp c 3 exp c expβ l = eβ.

11 Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières D autre part φ vérifiat i, existe u réel c 4 tel que: Reveos alors à L m w v : L m w v f m v R R l φ v R δl R + c 4 l R. c φ v R R exp { δβm c 3 βm c 3 +c 4 βm c 3 +lc } Lm w v exp { δβ m βm + c 3 + βmc 4 δc 3 +δc 3 c 3 c 4 +lc }. Pour m, il existe c 5 > 0 telle que: Aisi, pour m : c 3 + βmc 4 δc 3 +δc 3 c 3 c 4 +lc c 5. L m w v expδβ m βm + c O choisit pour chaque etier k {0,,,..., } u etier m k k. Or ous avos e faisat des combiaisos liéaires sur les coloes du détermiat K : Doc: w 0 L m w... L m w w L m w... L m w + K = w L m w +... L m w K v σ S + L mσi w i+σi v où S + désige l esemble des permutatios de {0,,,..., }. Ue première idée cosiste à se doer le réel θ, 0 < θ etθ < 3 βδ ; cosidéros la suite [θk k N et preos m k =[θk. O a bie m k k. Comme m k = θk + γ k où <γ k 0, o obtiet: L mσi w i+σi v exp {δβ θσi+γ σi } β i + σi θσi+γσi + c5 i + σi [ L mσi w i+σi v exp δβ θ βθ i βθ iσi+o. Le miimum de U σ = iσi pour σ de S + est obteu avec la bijectio σ telle que σ i = i. E effet il suffit de démotrer que le miimum est obteu pour ue

12 Choulet permutatio strictemet décroissate. Soit 0 i 0 <j 0,etσ réalisat le miimum. Soit alors σ qui vérifie σi =σ i pour tout i qui est i i 0 i j 0, σi 0 =σ j 0 et σj 0 =σ i 0. Écrivat que U σ U σ, o obtiet i 0 j 0 σ j 0 σ i 0 0cequi a pour coséquece que: σ j 0 <σ i 0 et aisi σ est strictemet décroissate et le résultat aocé a lieu. Le miimum cosidéré est doc Il e résulte que { δβ θ 3βθ K v exp 6 } 3 + O. i i = O. δβ θ 3βθ état miimal pour θ = 3 3 4βδ, qui est bie strictemet iférieur à βδ et que l o souhaite iférieur à, o obtiet doc les deux situatios qui suivet. Lorsque βδ 3 4 pour θ = 3 4βδ viet [ K v exp 3 6δ 3 + O et lorsque βδ < 3 4 pour θ = viet [ δβ 3β K v exp 3 + O. 6 La deuxième idée cosiste, e partat de 3.5: L m w v exp { δβ m βm + c 5 }. à majorer δβ m σi i + σi βm σi + c 5 i + σi idépedammet de σ S + avec, pour tout i, m i i. Cela reviet à maximiser δβ m i i + σiβm i = βsσ puisque la somme restate est c 5 + doc u O. Choisissos m i = i pour 0 i [ et mi = [ [ pour <i. O obtiet: [ { S σ = βδi i iσi } { + βδ [ [ } i + σi [ i= S σ =βδ βδ S σ = 8δβ 3 + O R σ 48 + [ iσi [ i= [ + σi+o

13 Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières 3 où R σ = { [ iσi+[ [ i= + σi}. Soit σ 0 S + telle que R σ R σ0 pour tout σ S +. Cosidéros i 0 <j 0 [ et σ défiie par σk =σ0 k pour k distict de i 0 et j 0,etσi 0 =σ 0 j 0 aisi que σj 0 =σ 0 i 0. La coditio R σ R σ0 s écrit i 0 σ 0 j 0 +j 0 σ 0 i 0 i 0 σ 0 i 0 +j 0 σ 0 j 0 de sorte que σ 0 i 0 >σ 0 j 0. Maiteat, supposos que j 0 > [ >i0.lamême méthode doe: i 0 σ 0 j 0 + [ σ0 i 0 i 0 σ 0 i 0 + [ σ0 j 0 soit ecore σ 0 i 0 >σ 0 j 0. Il résulte doc que tous les élémets de l image par σ 0 de [ [ +, sot strictemet iférieures aux images par σ 0 de celles de [0, [. Or σ0 est décroissate sur [0, [ doc la restrictio de σ0 à[0, [ est défiie par σ0 i = i et sa restrictio à[ [ [ +, est ue bijectio vers [0,. Il e résulte d ailleurs que [ + σ 0i = 8 + O. De ce qui précède ous déduisos doc que: i= [ R σ i i O R σ O. La somme S σ vérifie doc aisi: { 8βδ S σ 7 } 3 + O S σ 4βδ O. 4 La comparaiso des réels β4βδ 9 4 et 3 6δ permet de coclure comme cela a été aocé Démostratios des théorèmes Pour démotrer ces résultats, ous allos d abord établir des lemmes qui vot faciliter l expositio. O s itéresse ici à ue valeur absolue q v qu o ote pour simplifier q pour laquelle q >. O repred toutes les otatios itroduites das le.. Par ailleurs o rappelle que Φz =λf q αz+µ = 0 a qu z avec F q z = 0 a qz et u 0 = λ + µ, u = λα. Lemme 3.5 Pour tout R>>, l Φ R l R + Ol R. 3.6 l q

14 4 Choulet Démostratio. Il est commode d itroduire φ telle que φz = c qz 0 où, suivat les cas cités: c q = q +/, c q = Cette foctio satisfait respectivemet à: k= q k. φ q z =+zφz 3.7 φ q z =+zφz. 3.8 L applicatio du Lemme 3. à φ e remarquat que 3.7 et 3.8 coduiset à ue même iégalité: R φ R R φ q qui doe La remarque l φ R l R + Ol R. l q Φ R c u R µ + λ φ α R 0 fourit alors 3.6. O rappelle tout d abord que ous avios posé Φz = 0 a qu z, ψz = Φz z = a qv z, 0 Φz = 0 u z, ψz = 0 v z et pour ce qui cocere cette étude, e fait Φz =µ + λ αz. ψ est etière puisque Φ l est et Φ = 0. Lemme 3.6 La foctio ψ a u rayo de covergece o ul et est méromorphe das C. Démostratio. Pour R>> il est clair que ψr Φ R R l ψ R l R + Ol R. l q doc, d après le Lemme 3.5: Pour établir que le rayo de covergece est o ul, o utilise l iégalité de Cauchy à l ordre et la majoratio du Lemme avec R = q. Le rayo de covergece de

15 Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières 5 0 v z état o ul, so rayo de méromorphie M est doc o ul; prouvos que M =+. A cet effet ous allos d abord établir le lie foctioel etre Φ et ψ. Das le cas de la foctio de Tschakaloff, v 0 = u 0 et pour tout 0 v + = q + v + u + d où: ψz =qz ψqz+ Φz, 3.9 puis z ψ = z q ψz+ Φ z. 3.0 q Das le cas de la foctio q-expoetielle,v 0 = u 0 et pour tout 0 v + = q + v + u + d où: + z ψz =qz ψqz+ Φz, 3. puis + z z ψ = z q q ψz+ Φ z. 3. q Das chacu des cas ci-dessus Φz =µ + λ αz. Si M était fii, o aurait ue cotradictio car le rayo de méromorphie de Φ est ifii et celui de ψ z q est strictemet plus grad que M puisque q >. Lemme 3.7 Les pôles de ψ sot des α q où 0 et ψ est le quotiet g θ de deux foctios etières telles que θz = k 0 α z et l g R δ l R + Ol R où δ>0 q k pour R>>. Démostratio. Le Lemme 3.3 appliqué avec a =0,b =,c = q, l =etα = α pour T q et a =,b =,c = q, l =etα = α pour E q fourit le même résultat: δ = l q. Démostratio des théorèmes Nous allos détailler la démostratio das le cas de la foctio T q et sigaler les poits à modifier pour E q ; ous utilisos ue méthode développée par J.P. Bézivi das [3. Pour cela, supposat que K 0, o va former le logarithme épérie de w K w d w /d et e particulier examier le coefficiet de 3 das u développemet asymptotique de cette quatité. Sous les coditios du théorème, ce coefficiet état strictemet égatif, viet doc lim + l w K w d w /d = ce qui cotredit.. La suite v est doc ue suite récurrete liéaire et la démostratio s achève de maière assez similaire à celle de J.P. Bézivi. Faisos le bila de ce qui est acquis.

16 6 Choulet Pour ue place v telle que q v >, ous avos obteu, à l aide du Lemme 3.4 pour la foctio T q les résultats: δ = l q v et β =l q v qui fourisset { K v exp } 3 l q v 3 + O. Ce résultat est mois bo que celui obteu à l aide d ue méthode particulière par J.P. Bézivi Lemme.3 de [3 sous la forme que ous adoptos das tout ce qui suit { K v exp } l q v 3 + O. Soit ue place w v telle que q w >, oté ecore pour ce qui suit q >. O a l expressio de v à l aide des u k suivate: v = a q u k a k q 3.3 avec la valeur a k q = q. Il existe doc ue costate M kk+/ w idépedate de pour laquelle o a immédiatemet: v M w q +/. 3.4 O déduit e reveat aux otatios iitiales que: K w exp 3 3 l q w +O. 3.5 Avec ue place w telle que q w =, o obtiet K w = exp { O }. 3.6 Reste la situatio d ue place w pour laquelle q w <. Évidemmet T q est pas défiie mais la défiitio des suites u, v etk par les récurreces utilisées à plusieurs reprises reste valable et ψ et Φ sot défiies. Remarquos d abord que 0 u z ayat u rayo de covergece o ul, il e est de même pour 0 v z puisque, à partir d u certai rag 0 : v w c v w + u w où c > 0 est fixé. Ceci permet par récurrece de motrer qu à partir d u certai rag: v w c c 3. 0 v z a doc u rayo de méromorphie M o ul; d après 3.9 et 3. M e saurait être das R + doc M =+. Ceci permet d après le Lemme 3.3 de trouver

17 Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières 7 aisi pour T q : δ =. Le calcul du β du Lemme 3.4 e pose pas de problème l q w puisque a = q α pour lequel l a w = l q w +l α doc β =l q w. Appliquos le Lemme 3.4 à la foctio étudiée. Avec δ = l q doe: { K exp l } q + O. et β =l q cela Supposos K 0. O a alors = w K d w/d. Preos le logarithme épérie: 0= d [ d v l K v + w, q w >, w v + w, q w < d w l K w d w l K w + w, q w = doc compte teu des majoratios obteues précédemmet, o a: 0 d [ ad v l q v + b + c w, q w >, w v w, q w < Ici o a : a =, b = 3 et c = 5 4. Comme q dw/d = w d w l q w d w l K w d w l q w 3 + O. 3.7 o obtiet: d w l q w = d w l q w w, q w < w, q w > doc le coefficiet de d 3 das l iégalité ci-dessus s écrit: { } τ = ad v l q v + b d w l q w d v l q v { + c w, q w > w, q w > d w l q w } τ =a bd v l q v +b c w, q w > d w l q w. Sous la coditio τ<0, il est doc clair que le coefficiet de 3 est strictemet égatif et que l o obtiet ue cotradictio pour assez grad; ceci prouve que K =0à partir d u certai rag. La suite v 0 est doc ue suite récurrete liéaire: o peut doc écrire v = s i= P iɛ i,où les ɛ i sot des élémets disticts et o uls

18 8 Choulet de C, ragés par module croissat, et les P i des polyômes o uls. De la relatio v + = q + v + u +,odéduit doc s i= P i +ɛ + i = s qp i qɛ i + λα +. i= O peut supposer que ɛ s est e module l u des plus grads ɛ i. Par suite, qɛ s est de module strictemet supérieur à ceux des ɛ i. Das la situatio où λ =0, l impossibilité d ue telle égalité est immédiate. Lorsque λ 0, il est impossible que le terme qɛ s apparaisse avec u coefficiet o ul das le membre de droite de l égalité précédete; e effet ɛ s est e module l u des plus grads ɛ i doc qɛ s est de module strictemet supérieur à ceux des ɛ i. Aisi qɛ s état distict des qɛ i pour i s, o déduit que qɛ s = α et que qp s +λα =0. L égalité s écrit alors: s s P i +ɛ + i = qp i qɛ i. i= Ceci est impossible, puisqu il y a das les deux membres u ombre différet de termes de la forme P ɛ, et que la décompositio d ue suite récurrete liéaire comme somme de tels termes avec les ɛ disticts, est uique; cette cotradictio achève doc la démostratio. Cette étude achève la démostratio du Théorèmes 3.; reste doc les corollaires qui s obtieet aisémet d après les remarques qui vot suivre. Reveos [ sur ue coditio suffisate pour avoir τ < 0. Comme: τ = d v l q v a b+b cµv avec a b<0etb c>0, ue coditio suffisate est i= µ v < b a b c. 3.8 Nous obteos ici: µ v < 8. E ce qui cocere les Corollaires 3. et 3., il suffit de remarquer que, lorsque K = Q, α Q et q >, o a d v =et q v = q. D autre part, preat q = q q avec q,q =, les places w distictes de v pour lesquelles q w > sot défiies par les valeurs absolues p-adiques où p premier divise q de sorte que d w =et w v, q w > Aisi, das ce cas: d w l q w = p premier, p divise q l q p =l q. µ v = d v l q v + w v, q w > d w l q w d v l q v = γ γ. La coditio 3.8 est doc équivalete à γ γ < 8 soit γ> 8 7.

19 Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières 9 E ce cocere le Corollaire 3., c est le résultat: pour q Q et q > oa µ v γ γ γ voir [3 page 4, qui permet d écrire que la coditio γ < 8 équivaut à γ> 4 3. E ce qui cocere E q, pour ue place v telle que q v > ous avos les résultats δ = l q v et β =l q v qui fourisset { K v exp } 3 l q v 3 + O. Pour ue place w v la relatio 3.3 avec a k q = aisi que u k 0 = λ + µ, p= qp u = λα doe v q +/ k= + u k q k q kk+/ k. p= q p Ceci assure la même coclusio 3. d après la covergece des séries et produit ifii qui apparaisset. Aisi δ =. L iégalité 3.5 e résulte. l q w Avec ue place w telle que q w =, o obtiet ecore l estimatio 3.6. Pour ue place w telle que q w <, o trouve δ = l q w relatio 3.7 deveat θz = k 0 αq k z +q k z pour le Lemme 3.3. La où α 0, doit être écrite sous la forme z a avec a croissate pour appliquer le Lemme 3.4. O doit distiguer α w =ou o, et das chaque cas, o obtiet β = l q w. Résultet alors: { K w exp } 6 3 l + O q w puis 3.7 avec a = 3, b = 3 et c = 6. Le raisoemet se termie comme pour T q avec la restrictio α/ q N qui apparaît. Le corollaire résulte alors de l applicatio umérique de 3.8. Remerciemets. L auteur remercie vivemet le Referee pour la lecture attetive de so article.

20 0 Choulet Bibliographie. Y. Amice, Les ombres p-adiques, Collectio SUP: Le Mathématicie, No. 4, Presses Uiversitaires de Frace, Paris, J.P. Bézivi, Idépedace liéaire des valeurs des solutios trascedates de certaies équatios foctioelles, Mauscripta Math , J.P. Bézivi, Sur les propriétés arithmétiques d ue foctio etière, Math. Nachr , P. Budschuh, Quelques résultats arithmétiques sur les foctios Thêta de Jacobi, Publicatios mathématiques, Paris VI, Problèmes Diophaties , P. Budschuh, Verschärfug eies arithmetisches Satzes vo Tschakaloff, Portugal. Math , P. Budschuh, Ei Satz über gaze Fuktioe ud Irratioalitätsaussage, Ivet. Math /970, D. Duverey, Propriétés arithmétiques d ue série liée aux foctios Thêta, Acta Arith , D. Duverey, Sommes de deux carrés et irratioalité de valeurs de foxtios Thêta, C.R. Acad. Sci. Sér. I Math , L. Tschakaloff, Arithmetische Eigeschafte des uedliche Reihe + =0 a +/ x,i,math. A. 80 9, 6 74; II, Math. A. 84 9, 00 4.

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