Sur certaines séries entières particulières

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Sur certaines séries entières particulières"

Transcription

1 ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane Pologne) en juillet 997, en l honneur du professeur Schinzel, l auteur a démontré le résultat suivant : µ étant la fonction de Möbius, quand x tend vers par valeurs inférieures, alors que ) µn)x n = o, x on a ) µn)x n = Ω ± x cette notation classique signifie que la limite supérieure du produit x µn)xn est > et la limite inférieure est < ). On va considérer ici, en même temps que la série ci-dessus, d autres séries entières à coefficients réels ayant les mêmes propriétés, et liées aussi à des fonctions arithmétiques classiques. Dans ce qui suit, les lettres n et k représentent des entiers > et la lettre p est utilisée pour représenter les nombres premiers. 2. Nos résultats sont basés sur le théorème suivant : Théorème. Soit a, a 2,... une suite de nombres réels ayant les trois propriétés suivantes : ) La série entière a nx n a pour rayon de convergence ; 2) Quand x tend vers, n x a n = ox); 3) La série de Dirichlet a n/ est convergente pour Re s > et sa somme est une fonction de s prolongeable par une fonction F méromorphe dans un domaine D contenant le demi-plan fermé Re s /2 ayant des pôles 99 Mathematics Subject Classification: Primary A99. [59]

2 6 H. Delange de partie réelle /2, mais pas de pôle réel /2 ni de pôle de partie réelle ce qui est vrai en particulier si ses pôles dans le demi-plan Re s /2 sont les zéros de la fonction ζ). Ces propriétés entraînent que, quand x tend vers, ) a n x n = o et a n x n = Ω ± ). x x On voit facilement que la propriété 2) entraîne que, quand x tend vers, ) a n x n = o x par exemple en remplaçant a n par A n A n, où A n = n k= a k pour n et A = ). Notons que cette propriété a certainement lieu si la série a n/n est convergente, car oait que la convergence d une série u n entraîne que, quand x tend vers, n x nu n = ox). Pour < x <, on peut poser x = e u, avec u >. Quand x tend vers, u tend vers zéro et x u. Le résultat qui reste à démontrer est donc équivalent à ) a n e nu = Ω ± u /2 ) quand u tend vers. Notons que ce résultat entraîne que, quand x tend vers, a n = Ω ± x /2 ). n x En effet, en partant de ce que, pour u >, a n e nu = u e ux Ax) dx, où Ax) = a n, n x on voit facilement que, pour λ >, et lim u lim u u λ u λ a n e nu) Γ λ + ) lim x x λ Ax)) a n e nu) Γ λ + ) lim x λ Ax)). x

3 Séries entières particulières 6 3. La démonstration de ) est basée sur le lemme suivant : Lemme. f étant une fonction réelle définie sur l intervalle [, [, supposons que l intégrale T fx)/xs+ ) dx a pour abscisse de convergence α > et que, pour Re s > α, fx) dx = F s), xs+ où F est une fonction méromorphe dans un domaine contenant le demi-plan fermé Re s α. Si α n est pas un pôle de F, pour tout ε ], α[ on a fx) = Ω ± x α ε ) quand x tend vers. Si α n est pas un pôle de F mais F a des pôles de partie réelle α, on a fx) = Ω ± x α ). Ce lemme résulte des lemmes IV 8 à IV, pages 97 et 98, de []. Ces lemmes sont déduits du lemme IV 7, qui les précède. Celui-ci est un théorème établi par Landau dans [3] c est l analogue pour l intégrale de Mellin de son célèbre théorème, établi aussi dans [3], d après lequel, si une série de Dirichlet à coefficients a une abscisse de convergence σ c finie, σ c est un point singulier de la fonction qu elle représente). Landau indique que c est une amélioration d un théorème de Phragmén. 4. Démonstration de ). Soit Hu) = a ne nu pour u >. Nous devons démontrer que Hu) = Ω ± u /2 ) quand u tend vers zéro. 4.. Notons d abord que le produit ue u/2 Hu), qui est une fonction de u continue sur l intervalle ], [, tend vers zéro quand u tend vers zéro et quand u tend vers l infini. D une part, quand u tend vers zéro, Hu) = o e u ) ) = o u d après ce qu on a remarqué après avoir énoncé le théorème. D autre part, quand u tend vers, comme e u tend vers zéro, Hu)/e u tend vers a. Il existe donc M > tel que ue u/2 Hu) M, c est-à-dire 2) Hu) Mu e u/2 pour tout u > Il résulte de là que l intégrale T us Hu) du est absolument convergente pour Re s >. On va voir qu elle est alors égale à Γ s)f s). Considérons u fixé, avec Re s = σ >. Soit v > fixé. Pour u >, u s Hu + v) = G n u) où G n u) = a n u s e nu+v).

4 62 H. Delange On a G n u) a n e nv u σ e u = G nu). La série a ne nv étant absolument convergente, G nu) est une fonctioommable sur l intervalle, ). On peut donc intégrer terme à terme sur cet intervalle la série G nu). On obtient ainsi u s Hu + v) du = a n u s e nu+v) du, ou, par le changement de variable u = w/n, u s a n Hu + v) du = w s e w nv a n dw = Γ s) e nv. Cette relation vaut pour tout v >. Notons maintenant que, pour u >, et par suite Hu + v) Mu + v) e u+v)/2 Mu e u/2 u s Hu + v) Mu σ 2 e u/2. Comme ceci est une fonctioommable sur l intervalle, ) et comme, quand v tend vers zéro, Hu + v) tend vers Hu), on voit que, quand v tend vers zéro, u s Hu + v) du tend vers u s Hu) du et par suite Γ s) a n/ )e nv tend vers T us Hu) du. Mais, la série a n/ étant convergente, a n/ )e nv tend vers a n/, qui est égale à F s), d après le théorème d Abel d après lequel, si la série n= u n est convergente avec pour somme S, la somme de la série entière n= u nx n, qui est convergente pour x <, tend vers S quand x tend vers par valeurs réelles <. On a donc, pour Re s >, 3) comme on l a annoncé plus haut Maintenant, on peut écrire u s Hu) du = u s Hu) du = Γ s)f s) \ u s Hu) du + u s Hu) du,

5 Séries entières particulières 63 d où, en faisant dans la première intégrale au second membre le changement de variable u = /x, 4) u s Hu) du = x s H/x) dx + u s Hu) du. Il résulte de l inégalité 2) que l intégrale T us Hu) du est convergente pour tout s et, quel que soit σ réel, la convergence est uniforme pour Re s σ. Sa valeur est donc une fonction entière de s. Il en résulte que la fonction F définie dans le domaine D par F s) = Γ s)f s) u s Hu) du est méromorphe dans D et a dans le demi-plan Re s /2 les mêmes pôles que F. Il résulte de 3) et 4) que, pour Re s >, x s H/x) dx = F s) On peut maintenant utiliser le lemme du paragraphe 3. Soit α l abscisse de convergence de l intégrale T x s H/x) dx. On a α puisque l intégrale converge pour Re s >. D autre part, α Θ, où Θ est la borne supérieure des parties réelles des pôles de la fonction F, dont oait qu elle appartient à l intervalle [/2, ]. En effet, l intégrale est une fonction de s holomorphe dans le demi-plan Re s > α et est égale à F s) pour Re s >. Or, quel que soit ε >, F a des pôles de partie réelle > Θ ε. Le point α n est pas un pôle de F puisque cette fonction n a pas de pôle sur le segment [/2, ]. Si α > /2, le lemme montre que, quel que soit ε ], α[, quand x tend vers, En particulier H/x) = Ω ± x /2 ). Si α = /2, le lemme montre que On a donc certainement H/x) = Ω ± x α ε ). H/x) = Ω ± x /2 ). H/x) = Ω ± x /2 ) quand x tend vers, ce qui équivaut à Hu) = Ω ± u /2 ) quand u tend vers zéro. Le théorème est ainsi démontré.

6 64 H. Delange 5. Nous allons maintenant donner des exemples simples de suites satisfaisant aux hypothèses du théorème. Dans chacun de ces exemples, le fait que le rayon de convergence de la série a nx n est égal à est évident. Nous n aurons à vérifier que les propriétés 2) et 3). 5.. Tout d abord, les hypothèses sont évidemment satisfaites par a n = µn). Donc, quand x tend vers, d une part ) µn)x n = o, x d autre part µn)x n = Ω ± x ). Cette dernière relation entraîne que, quand x tend vers, Mx) = Ω ± x /2 ). Ceci est d ailleurs un résultat connu cf. par exemple, [], page 99) Les hypothèses du théorème sont aussi satisfaites par la suite a n = ) n µn). On vérifie aisément, soit directement, soit en remarquant que n ) n µn) est une fonction multiplicative et considérant ses valeurs pour les puissances des nombres premiers, que cette fonction est la convolution µ f où f est la fonction multiplicative) définie par f) = et, pour n >, { 2 si n est une puissance de 2, fn) = dans le cas contraire. La série de Dirichlet )n µn)/ est donc le produit de Dirichlet des séries µn)/ns et fn)/ns. Pour s =, la première est convergente et la seconde absolument convergente. La série )n µn)/n est donc convergente. Pour Re s >, on a ) n µn) = ζs) + k= ) 2 2 ks = ζs) 2s + 2 s. Ceci est une fonction méromorphe dans C, ayant comme pôles dans le demiplan Re s /2 les zéros de la fonction ζ. Le théorème montre que, quand x tend vers, alors que ) ) n µn)x n = o, x on a ) n µn)x n = Ω ± ). x

7 Séries entières particulières 65 En remarquant que µn)x n = ) n µn) x) n, on voit que, quand x tend vers, ) µn)x n = o et + x µn)x n = Ω ± + x ) Les hypothèses du théorème sont encore satisfaites si a n = λn) qn)/ζ/2), où λ est la fonction de Louville et { si n est un carré, qn) = dans le cas contraire. Oait que, pour Re s >, λn) = ζ2s) ζs) = ) µn) ) qn). Il s ensuit que la série λn)/ns est le produit de Dirichlet des séries µn)/ns et qn)/ns. Pour s =, la première est convergente et la seconde absolument convergente. La série λn)/n est donc convergente avec pour somme ). On voit ainsi que la série a n/n est convergente. Pour Re s >, a n = λn) ζ/2) = ζ2s) ζs) ζ/2) ). qn) = ζ2s) ζs) ζ/2) ζ2s) Ceci est une fonction méromorphe dans C ayant comme pôles dans le demiplan Re s /2 les zéros de la fonction ζ. Le théorème montre que, quand x tend vers, et λn) qn) ζ/2) ) x n = o ) x λn) qn) ) x n = Ω ± ), ζ/2) x ce qui entraîne que, quand x tend vers, λn) qn) ) = Ω ± x /2 ). ζ/2) n x

8 66 H. Delange et et Ces relations peuvent se traduire par ) π λn)x n 2ζ/2) = o x x λn)x n n x π 2ζ/2) ) = Ω ± x x λn) x/2 ζ/2) = Ω ±x /2 ) quand x. quand x, Cette dernière relation est proposée comme exercice dans [], page On peut obtenir des informations sur le comportement de la série λn)xn quand x tend vers en considérant a n = ) n λn) + 2 ζ/2) qn). Etant donné X >, on a, pour tout s, n X ) n λn) = λn) λn) n X n X n impair n pair = n X = n X = n X λn) 2 n X n pair λn) 2 m X/2 λn) λn) + 2 s m X/2 λ2m) 2m) s λm) m s. On voit ainsi que la série )n λn)/n est convergente avec pour somme ), de sorte que la série a n/n est convergente, et que, pour Re s >, a n = + 2 s ) ζ2s) ζs) s ζ2s) = ζ2s) + ) 2. ζ/2) ζs) ζ/2) Ceci est encore une fonction méromorphe dans C ayant comme pôles dans le demi-plan Re s /2 les zéros de la fonction ζ.

9 Séries entières particulières 67 Le théorème montre que, quand x tend vers, ) n λn) + ) ) 2 ζ/2) qn) x n = o x = Ω ± + x ), ce qui donne ) n λn)x n + 2) π 2ζ/2) ) = o x x = Ω ± x ). Il en résulte que, quand x tend vers, λn)x n + 2) ) π = o 2ζ/2) + x + x = Ω ± + x ) Les hypothèses du théorème sont satisfaites si a n = ) ωn), où ωn) est le nombre des nombres premiers qui divisent n. Tout d abord, on voit facilement que la fonction n ) ωn) est la convolution µ f où f est la fonction multiplicative déterminée par fp k ) = k pour tout p premier et tout k N. La série )ωn) / est donc le produit de Dirichlet de µn)/ns et fn)/ns. Pour s =, la première est convergente et la seconde est absolument convergente, car, pour Re s = σ >, fp k ) p ks = p σ ) 2. k= La série )ωn) /n est donc convergente avec pour somme ). Pour Re s >, les deux séries sont absolument convergentes et on a Comme ) ωn) = k= µn) fp k ) p ks ) fn) = ζs) = p s ) 2, fn).

10 68 H. Delange on a On vérifie facilement que p s ) 2 = Pour Re s >, les produits ) p 2s fn) = ) p s ) 2. ) p 2s et 2p s ) p s + )p s ) 3. 2p s ) p s + )p s ) 3 sont absolument convergents et on a donc fn) = )) 2p s ) p 2s p s + )p s ) 3 = 2p s ) ζ2s) p s + )p s ) 3 et par suite 5) ) ωn) = ζs)ζ2s) Notons maintenant que, pour Re s = σ >, 2p s p s + )p s ) 3 2pσ + p σ ) 4 2p s ) p s + )p s ) 3. et par suite, quel que soit σ > /3, le produit dans 5) est uniformément convergent pour Re s σ. Soit Φs) sa valeur. Φ est une fonction holomorphe dans le demi-plan Re s > /3 et on voit facilement que Φs) quand Re s = /2. D après 5), pour Re s >, ) ωn) = Φs) ζs)ζ2s). Ceci est une fonction méromorphe dans le demi-plan Re s > /3, dont les pôles dans le demi-plan Re s /2 sont des zéros de la fonction ζ et qui a en particulier pour pôles les zéros de ζ de partie réelle /2. Le théorème montre que, quand x tend vers, ) ) ωn) x n = o x = Ω ± x ),

11 ce qui entraîne que ) ωn) = Ω ± x /2 ) n x Séries entières particulières 69 quand x tend vers l infini Comme dernier exemple considérons a n = Λn), où Λ est la fonction de von Mangoldt. Il résulte immédiatement du théorème des nombres premiers sous la forme ψx) x quand x tend vers que, quand x tend vers, a n = ox). Pour Re s >, a n = n x Λn) = s) ζ ζs) ζs). Ceci est une fonction méromorphe dans C, ayant comme pôles les zéros de ζ. Le théorème montre que, quand x tend vers, ) Λn) )x n = o x ce qui entraîne que, quand x tend vers, En fait, il est connu que = Ω ± x ), ψx) x = Ω ± x /2 ). ψx) x = Ω ± x /2 log log log x), mais c est beaucoup plus difficile à démontrer cf. [2], page ). Les deux premières relations donnaient Λn)x n ) x = o x ) = Ω ± x quand x tend vers. Références [] A. Blanchard, Initiation à la Théorie Analytique des Nombres Premiers, Dunod, 969. [2] A. E. Ingham, The Distribution of Prime Numbers, Cambridge Tracts in Math. and Math. Phys. 3, Cambridge Univ. Press, 932.

12 7 H. Delange [3] E. Landau, Über einen Satz von Tschebyschef, Math. Ann. 6 95), Université de Paris-Sud Mathématique, bt Orsay, France Reçu le et révisé le )

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010 N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES 1 Les énoncés La plupart des phrases que l on rencontre dans un livre

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Calculs préliminaires.

Calculs préliminaires. MINES-PONTS 005. Filière MP. MATHÉMATIQES 1. Corrigé de JL. Lamard jean-louis.lamard@prepas.org) Calculs préliminaires. Notons que si f H alors f)e / est bien intégrable sur R car continue positive et

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Cours de terminale S Suites numériques

Cours de terminale S Suites numériques Cours de terminale S Suites numériques V. B. et S. B. Lycée des EK 13 septembre 2014 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

1 - INTERPOLATION. J-P. Croisille. Semestre S7, master de mathématiques M1, année 2008/2009. Université Paul Verlaine-Metz

1 - INTERPOLATION. J-P. Croisille. Semestre S7, master de mathématiques M1, année 2008/2009. Université Paul Verlaine-Metz 1 - INTERPOLATION J-P. Croisille Université Paul Verlaine-Metz Semestre S7, master de mathématiques M1, année 2008/2009 1- INTRODUCTION Théorie de l interpolation: approximation de f(x) par une fonction

Plus en détail

Théorie et codage de l information

Théorie et codage de l information Théorie et codage de l information Mesure quantitative de l information - Chapitre 2 - Information propre et mutuelle Quantité d information propre d un événement Soit A un événement de probabilité P (A)

Plus en détail

Deuxième devoir: 16 avril h-12h Aucun document autorisé

Deuxième devoir: 16 avril h-12h Aucun document autorisé Université de Nouakchott (Mauritanie) 16 avril 2014 Faculté des Sciences et Techniques, Département de Maths et Informatique (DMI) Master de Mathématiques, spécialité Algèbre, théorie des nombres et Applications

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Primitives Cours maths Terminale S

Primitives Cours maths Terminale S Primitives Cours maths Terminale S Dans ce module est introduite la notion de primitive d une fonction sur un intervalle. On définit cette notion puis on montre qu une fonction admet une infinité de primitives

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S

Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S Dans ce module, introduction d une nouvelle notion qu est la continuité d une fonction en un point. En repartant de la définition et de l illustration graphique

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est

Plus en détail

Chapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :

Chapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique : Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Examen de rattrapage

Examen de rattrapage Université Denis Diderot Paris 7 7 juin 4 Probabilités et Simulations UPS36 Examen de rattrapage durée : 3 heures Les documents et calculatrices ne sont pas autorisés. On prendra soin de bien justifier

Plus en détail

Le raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence Le raisonnement par récurrence Nous notons N l ensemble des entiers naturels : N = {0,,, } Nous dirons naturel au lieu de entier naturel Le principe du raisonnement par récurrence Soit A une partie de

Plus en détail

M2 IAD UE MODE Notes de cours (3)

M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) Jean-Yves Jaffray Patrice Perny 16 mars 2006 ATTITUDE PAR RAPPORT AU RISQUE 1 Attitude par rapport au risque Nousn avons pas encore fait d hypothèse sur la structure de

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01 Eo7 Dérivée d une fonction Vidéo partie. Définition Vidéo partie. Calculs Vidéo partie 3. Etremum local, théorème de Rolle Vidéo partie 4. Théorème des accroissements finis Eercices Fonctions dérivables

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données

Plus en détail

Les séries de Fourier

Les séries de Fourier . Les séries de Fourier Daniel Perrin La raison d être de ce cours est la présence des séries de Fourier au programme de nombreuses sections de BTS (électronique, optique, etc.) et, partant, au programme

Plus en détail

Formules d inclusion-exclusion

Formules d inclusion-exclusion Université de Rouen L1 M.I.EEA 2011 2012 Mathématiques discrètes Formules d inclusion-exclusion Je présente ici une correction détaillée de l Exercice 5 de la Feuille d exercices 1, en reprenant le problème

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

M42. Compléments d analyse (résumé).

M42. Compléments d analyse (résumé). Université d Evry-Val-d Essonne. Année 2008-09 D. Feyel M42. Compléments d analyse (résumé). Table. I. Rappels sur les suites. Limites supérieure et inférieure. II. Topologie élémentaire. III. Fonctions

Plus en détail

Nombres premiers. Comment reconnaître un nombre premier? Mais...

Nombres premiers. Comment reconnaître un nombre premier? Mais... Introduction Nombres premiers Nombres premiers Rutger Noot IRMA Université de Strasbourg et CNRS Le 19 janvier 2011 IREM Strasbourg Definition Un nombre premier est un entier naturel p > 1 ayant exactement

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

Chapitre 6 La dérivation

Chapitre 6 La dérivation Capitre 6 La dérivation A) Nombre dérivé et tangente 1) Tangente en un point à une courbe et nombre dérivé Soit f(x) la fonction dont la courbe est représentée ci-dessus, et prenons deux points A et B

Plus en détail

Formulaire de maths - Analyse dans R n

Formulaire de maths - Analyse dans R n Formulaire de maths - Analyse dans R n Nom Théorème ou formule Espaces vectoriels normés Norme sur E Application qui vérifie les propriétés de : séparation : homogénéité : inégalité triangulaire : Normes

Plus en détail

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint 18 mars 2008 1 Généralités sur les opérateurs 1.1 Définitions Soient H et H deux espaces de Hilbert sur C. Définition 1.1

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t 3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes

Plus en détail

Aire sous une courbe et calcul de primitives

Aire sous une courbe et calcul de primitives Aire sous une courbe et calcul de primitives Le calcul de primitives d une fonction et celui de l aire de la surface bordée par le graphique de cette fonction sont intimement liés. Les exemples qui suivent

Plus en détail

Exercices théoriques

Exercices théoriques École normale supérieure 2008-2009 Département d informatique Algorithmique et Programmation TD n 9 : Programmation Linéaire Avec Solutions Exercices théoriques Rappel : Dual d un programme linéaire cf.

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 009 L Maths (a) Rappelons d abord le résultat suivant : Théorème 0.. Densité de Q dans R. QUESTIONS DE COURS. Preuve. Il nous faut nous montrer que tout réel est

Plus en détail

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2. Opérateurs non bornés: définitions et propriétés élémentaires Soit H un espace de Hilbert et A un opérateur dans H, c est-à-dire, une application linéaire

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Examen 2 Mathématiques L1S1 TD 1104 2015 2016 Université Paris 1

Examen 2 Mathématiques L1S1 TD 1104 2015 2016 Université Paris 1 Examen Mathématiques LS TD 04 05 06 Université Paris Nom : Prénom : Durée : heure. Calculatrice interdite. Aucun document autorisé. Chaque question de la partie QCM vaut un point. Identifiez toutes les

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Fonctions holomorphes

Fonctions holomorphes Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Fonctions holomorphes Christine Laurent-Thiébaut Ceci est le second volet de l étude des fonctions d une variable complexe, faisant suite au chapitre

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

CENTRALE PC 2000 ÉPREUVE DE MATH 2. Première partie

CENTRALE PC 2000 ÉPREUVE DE MATH 2. Première partie CENTRALE PC 2000 ÉPREUVE DE MATH 2 Première partie I. A. 1. La fonction x px kx 2 = x(p kx) présente un maximum pour toute valeur de p au point d abscisse x = p p2 et il vaut 2k 2k. Conclusion : J(f) =

Plus en détail

valeurs dans un espace normé de dimension finie

valeurs dans un espace normé de dimension finie Séries numériques, ou séries à valeurs dans un espace normé de dimension finie Définitions. Dans ce chapitre K représente indifférement le corps des réels R, ou le corps des complexes C. Le symbole E représente

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Pierre Andreoletti IUT d Orléans Laboratoire MAPMO (Bât. de Mathématiques UFR Sciences) - Bureau 126 email: pierre.andreoletti@univ-orleans.fr

Plus en détail

Cahier de vacances - Préparation à la Première S

Cahier de vacances - Préparation à la Première S Cahier de vacances - Préparation à la Première S Ce cahier est destiné à vous permettre d aborder le plus sereinement possible la classe de Première S. Je vous conseille de le travailler pendant les 0

Plus en détail

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret Notes de cours L1 MATH120 Hervé Le Dret 18 octobre 2004 40 Chapitre 3 Vecteurs dans R m Dans ce chapitre, nous allons nous familiariser avec la notion de vecteur du point de vue algébrique. Nous reviendrons

Plus en détail

Une forme générale de la conjecture abc

Une forme générale de la conjecture abc Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Devoir surveillé n 1 : correction

Devoir surveillé n 1 : correction E1A-E1B 013-01 Devoir surveillé n 1 : correction Samedi 8 septembre Durée : 3 heures. La calculatrice est interdite. On attachera une grande importance à la qualité de la rédaction. Les questions du début

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables.

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables. EXAMEN CORRIGE ANALYSE IV 9-6-9 informations: http://cag.epfl.ch sections IN + SC Prénom : Nom : Sciper : Section : Informations () L épreuve a une durée de 3 heures et 45 minutes. () Les feuilles jaunes

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Conjecture de Syracuse

Conjecture de Syracuse Conjecture de Syracuse Énoncé du problème [1] : Soit (U)n la suite définie par : (U)0=N, avec N N* [(U)n]/2 si (U)n est pair. et (U)n+1 = 3(U)n +1 si (U)n est impair. La Conjecture de Syracuse affirme

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

Une borne supérieure pour l entropie topologique d une application rationnelle

Une borne supérieure pour l entropie topologique d une application rationnelle Annals of Mathematics, 161 (2005), 1637 1644 Une borne supérieure pour l entropie topologique d une application rationnelle By Tien-Cuong Dinh and Nessim Sibony Abstract Let be a complex projective manifold

Plus en détail

FICHE DE RÉVISION DU BAC

FICHE DE RÉVISION DU BAC Introduction Pré-requis : Etude de fonctions dérivées logarithmes et exponentielles continuité Plan du cours 1. Intégrales 2. Primitives 1. Intégrales A. Aire sous la courbe Méthode des rectangles : Pour

Plus en détail

Première partie. Deuxième partie

Première partie. Deuxième partie PC 96-97 correction épreuve X97 Première partie. f étant convexe sur l intervalle [t, t 2 ], sa courbe représentative est en dessous la corde joignant les points (t, f(t )) et (t 2, f(t 2 )). Comme f(t

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes UNIVERSITÉ DE CERG Année 0-03 UFR Économie & Gestion Licence d Économie et Gestion MATH0 : Probabilités Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes Généralités Définition Soit (Ω, P(Ω), P)

Plus en détail

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007 Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau

Plus en détail

Suites réelles. 4 Relations de comparaison des suites 9 4.1 Encore du vocabulaire... 9. 5.2 Quelques propriétés... 13

Suites réelles. 4 Relations de comparaison des suites 9 4.1 Encore du vocabulaire... 9. 5.2 Quelques propriétés... 13 Maths PCSI Cours Table des matières Suites réelles 1 Généralités 2 2 Limite d une suite 2 2.1 Convergence d une suite....................... 2 2.2 Deux premiers résultats....................... 3 2.3 Opérations

Plus en détail

UNIFORMITÉ DE LA DISTORTION DE ŚWIA TEK POUR LES FAMILLES COMPACTES DE PRODUITS DE BLASCHKE M.R. HERMAN

UNIFORMITÉ DE LA DISTORTION DE ŚWIA TEK POUR LES FAMILLES COMPACTES DE PRODUITS DE BLASCHKE M.R. HERMAN UNIFORMITÉ DE LA DISTORTION DE ŚWIA TEK POUR LES FAMILLES COMPACTES DE PRODUITS DE BLASCHKE M.R. HERMAN Note du transcripteur : ce document fait suite à Conugaison quasi symétrique des homéomorphismes

Plus en détail

Suites numériques. Sommaire :

Suites numériques. Sommaire : Suites numériques I Activité n o 2 page 295 Sommaire : II Généralités sur les suites numériques III Variations et bornes IV Suites arithmétiques V Suites géométriques VI Suites convergentes VII Représentation

Plus en détail

Fonctions Analytiques

Fonctions Analytiques 5 Chapitre Fonctions Analytiques. Le plan complexe.. Rappels Soit z C, alors!(x,y) IR 2 tel que z = x + iy. On définit le module de z comme z = x 2 + y 2. On peut aussi repérer z par des coordonnées polaires,

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES

Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES O. Lader 2014/2015 Lycée Jean Vilar Spé math terminale ES 2014/2015 1 / 51 Systèmes linéaires Deux exemples de systèmes linéaires à deux équations et deux

Plus en détail

Nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé et tangente Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative

Plus en détail

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k 1. 1. Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment

Plus en détail

Cours d Analyse Réelle 4M003

Cours d Analyse Réelle 4M003 Cours d Analyse Réelle 4M003 Jean SAINT RAYMOND Université Pierre et Marie Curie Avant-propos Ce texte a été rédigé pour servir de support écrit à un cours de Master 1 de l Université Pierre-et-Marie Curie.

Plus en détail

Corrigé de l examen partiel du 19 novembre 2011

Corrigé de l examen partiel du 19 novembre 2011 Université Paris Diderot Langage Mathématique (LM1) Département Sciences Exactes 2011-2012 Corrigé de l examen partiel du 19 novembre 2011 Durée : 3 heures Exercice 1 Dans les expressions suivantes, les

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1 Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1 Cours de Mathématiques 1 Table des matières 1 Un peu de formalisme mathématique 7 1.1 Rudiments de logique........................................

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

Du Calcul d Aire... ...Au Calcul Intégral

Du Calcul d Aire... ...Au Calcul Intégral Du Calcul d Aire......Au Calcul Intégral Objectifs Définir proprement l aire d une surface plane, au moins pour les domaines usuels (limités par des courbes simples) et fournir un moyen de la calculer.

Plus en détail

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels.

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l année 28-29 1 Partiel Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. On suppose a + c = b + d = 1 et a b 1. ( ) a b c d 1. Soient (x 1,x

Plus en détail

Cours de mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire. Jean-Paul Widehem 2009-2010 Lycée Roland Garros

Cours de mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire. Jean-Paul Widehem 2009-2010 Lycée Roland Garros Cours de mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Jean-Paul Widehem 2009-2010 Lycée Roland Garros Table des matières partie 1. Récurrence et suites 1 Chapitre 1. Raisonnement par récurrence

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR. MAM 3, Polytech Lyon. Ionel Sorin CIUPERCA

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR. MAM 3, Polytech Lyon. Ionel Sorin CIUPERCA COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR MAM 3, Polytech Lyon Ionel Sorin CIUPERCA Le cours s adresse en principal à des élèves des écoles d ingénieurs, filière modélisation mathématique. Une partie

Plus en détail

Vidéo partie 1. Logique Vidéo partie 2. Raisonnements Exercices Logique, ensembles, raisonnements

Vidéo partie 1. Logique Vidéo partie 2. Raisonnements Exercices Logique, ensembles, raisonnements Exo7 Logique et raisonnements Vidéo partie 1. Logique Vidéo partie 2. Raisonnements Exercices Logique, ensembles, raisonnements Quelques motivations Il est important d avoir un langage rigoureux. La langue

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Cours de mathématiques Thomas Rey classe de première ES ii Table des matières 1 Les pourcentages 1 1.1 Variation en pourcentage............................... 1 1.1.1 Calcul d une variation............................

Plus en détail

Autour du cardinal d un ensemble de matrices binaires

Autour du cardinal d un ensemble de matrices binaires Autour du cardinal d un ensemble de matrices binaires Adrien REISNER 1 Abstract. We here study a couple of algebraic and analytic properties of certain binary matrices in the spaces M n(r). In particular,

Plus en détail