Modélisation des lois multidimensionnelles par la théorie des copules

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1 Modélisation des lois multidimensionnelles par la théorie des copules Grégoire Mercier jeudi 9 novembre 26

2 Contenu 2 Mesure de dépendance Lien avec les copules 3 Estimation de l information mutuelle Estimation d une probabilité conditionnelle 4 5

3 Les copules Définition Une copule (bidimensionnelle ou 2-copule) est une loi de probabilité sur [, ] 2 dont les marges sont uniformes : C(u, u 2) = Pr(U u, U 2 u 2). C est une fonction qui possède les propriétés suivantes : C est définie sur [, ] [, ] [, ] 2 u [, ], C(u, ) = C(, u) = et C(u, ) = C(, u) = u 3 C est 2-croissante : (u, u 2) [, ] 2 et (v, v 2) [, ] 2, / u v et u 2 v 2 C(u, u 2) + C(v, v 2) C(u, v 2) + C(v, u 2). Théorème de Sklar. Soit F une distribution bidimensionnelle dont les marges sont F et F 2. Alors, F admet une représentation copule : F (x, x 2) = C (F (x ), F 2(x 2)). Cette copule est unique si les marges sont continues.

4 Les copules Les classes de Fréchet Les classes de Fréchet sont les classes des distributions multidimensionnelles avec des marges données Quelques propriétés issues de la classe de Fréchet C (u, u 2) = u u 2 est la copule produit. C + (u, u 2) = min (u, u 2). C (u, u 2) = max (u + u 2, ). (u, u 2) [, ] 2,C (u, u 2) C(u, u 2) C + (u, u 2). C est plus petite que C 2 (C C 2), ssi (u, u 2) [, ] 2, C (u, u 2) C 2(u, u 2). C C C +. C C C +. cf. indépendance La copule est invariante à toute transformation croissante appliquée aux données (ou à U ou U 2).

5 Les copules Un exemple Copule C + (u, u 2 ) Copule C (u, u 2 ) C + C - u u 2 u u 2 Copule C (u, u 2 ) u u 2 u 2 u

6 Les copules Densité Densité d une copule Par dérivation : c(u, u 2) = 2 C u u 2 (u, u 2) Le théorème de Sklar devient, pour les densités : f (x, x 2) = c (F (x ), F 2(x 2)) f (x ) f 2(x 2)

7 Les copules paramétriques Modélisation Beaucoup de copules peuvent être définies!!! Elle peuvent dépendre d un (ou plusieurs) paramètre(s). La copule Gaussienne Elle est définie par C ρ(u, u 2) = Φ ρ Φ (u ), Φ (u 2) où Φ ρ est la distribution normale multivariée de corrélation ρ. Si les marges sont gaussiennes, on retrouve le modèle Gaussien classique...

8 Les copules paramétriques Exemple : Copule Normale ρ = Copule Normale Copule Normale (densite) u u 2 u u 2

9 Les copules paramétriques Exemple : Copule Normale ρ = Copule Normale Copule Normale (densite) u u 2 u u 2

10 Les copules paramétriques Exemple : Copule Normale ρ =.5 Copule Normale Copule Normale (densite) u u 2 u u 2

11 Les copules paramétriques Modélisation Beaucoup de copules peuvent être définies!!! Elle peuvent dépendre d un (ou plusieurs) paramètre(s). Les copules archimédiennes Les copules archimédiennes sont définies à partir d une fonction génératrice ϕ( ) : ( C(u, u 2) = ϕ [, ] [, [, (ϕ(u ) + ϕ(u 2)) avec : ϕ : décroissante avec ϕ() =.

12 Les copules paramétriques Exemple : Copule de Frank Définie à partir de la fonction génératrice ϕ θ (t) = ln e θt, θ e θ R C(u, u 2) = `e θu θ ln + `e! θu 2. e θ Exemple : Copule de Frank θ = Copule de Franck Copule de Franck (densite) u u 2 u u 2

13 Les copules paramétriques Exemple : Copule de Frank Définie à partir de la fonction génératrice ϕ θ (t) = ln e θt, θ e θ R C(u, u 2) = `e θu θ ln + `e! θu 2. e θ Exemple : Copule de Frank θ = Copule de Franck Copule de Franck (densite) u u 2 u u 2

14 Les copules paramétriques Exemple : Copule de Frank Définie à partir de la fonction génératrice ϕ θ (t) = ln e θt, θ e θ R C(u, u 2) = `e θu θ ln + `e! θu 2. e θ Exemple : Copule de Frank θ = 3 Copule de Franck Copule de Franck (densite) u u 2 u u 2

15 Les copules non paramétriques Copule Empirique Une copule empirique peut être estimée à l aide de la méthode de P Deheuvels (cf. estimation d un histogramme en utilisant des statistiques de rang). Considérant N échantillons du couple (x ;l, x 2;l ) <l N, la copule est estimée par n bc N, m = N N NX l= {rl, n, r l,2 m} et sa densité par n bc N, m = N N NX l= {rl, =n, r l,2 =m} où r l, et r l,2 sont les statistiques de rang de {x ;l } l et {x 2;l } l.

16 Les copules non paramétriques Copule Empirique Une copule empirique peut être estimée à l aide de la méthode de P Deheuvels (cf. estimation d un histogramme en utilisant des statistiques de rang). Exemple d une copule empirique : N = u 2 u

17 Contenu Mesure de dépendance Lien avec les copules 2 Mesure de dépendance Lien avec les copules 3 Estimation de l information mutuelle Estimation d une probabilité conditionnelle 4 5

18 Les mesures de dépendances Mesure de dépendance Lien avec les copules τ de Kendall Pour beaucoup de copules, le paramètre θ dépend du τ de Kendall qui est défini comme le taux de concordance moins de taux de discordance de deux variables aléatoires continues de même loi, indépendantes entre-elles. τ = Pr (X X )(X 2 X 2) > Pr (X X )(X 2 X 2) <, avec ( X, X 2) un couple de variables aléatoires de même loi que (X, X 2) et indépendant de (X, X 2). Estimation À partir de N réalisations de (X, X 2), (x ;i, x 2;i ) <i N : P N P N i= j=i+ τ empirique =,ijx 2,ij `N ( 2 si x,i x,j avec x,ij = et x 2,ij = sinon ( si x 2,i x 2,j sinon

19 Les mesures de dépendances Mesure de dépendance Lien avec les copules ϱ de Spearman La corrélation de Spearman est définie par : ϱ = Pr (X X )(X 2 X 2) > Pr (X X )(X 2 X 2) <, avec (X, X 2), ( X, X 2), et (X, X 2) trois copies indépendantes. Elle correspond à la correlation des statistiques de rang entre X et X 2. Estimation À partir de N réalisations de (X, X 2), (x ;i, x 2;i ) <i N : ϱ empirique = 6 NX i= D 2 i N(N 2 ) où D i est la différence entre le rang de x,i et le rang de x 2,i.

20 Les copules Lien avec les données Mesure de dépendance Lien avec les copules τ de Kendall τ = 4 C(u, u 2)dC(u, u 2) [,] 2 = 4 C(u, u 2) C(u, u 2)du du 2 u u 2 [,] 2 2 N 2 NX NX l= k= ` `C l, k N N l k N N. Avec les copules archimédienne Pour toutes les copules archimédiennes,... et celle de Frank D (x) = x τ = + 4 R x Z ϕ(t) ϕ (t) dt = 4 θ ( D(θ)) 6 θ 45 θ3 + t dt, fonction de Debye. e t

21 Les copules Lien avec les données Mesure de dépendance Lien avec les copules ϱ de Spearman ϱ = 2 u u 2dC(u, u 2) 3 [,] 2 = 2 C(u, u 2)du du 2 3 [,] 2 2n n nx i=2 nx Xi q X ` i `Cn, ` j p Cn, ` q n n n n i Cn, ` q p Cn, j n n n n. j=2 p= q= Avec les copules archimédienne Il n y a pas de relation générale,... mais pour la copule de Frank ϱ θ = 2 θ (D(θ) D2(θ)) R avec la fonction de Debye définie par D k N (x) = k x x k t k e t dt.

22 Contenu Estimation de l information mutuelle Estimation d une probabilité conditionnelle 2 Mesure de dépendance Lien avec les copules 3 Estimation de l information mutuelle Estimation d une probabilité conditionnelle 4 5

23 Information mutuelle Estimation de l information mutuelle Estimation d une probabilité conditionnelle L information mutuelle à travers les copules Définition initiale : I(X, X 2) = log f X,X2 (x, x2) f X (x )f X2 (x f X,X 2 (x, x 2)dx dx 2 2) R 2 En utilisant le théorème de Sklar et l expression de la densité de la copule f X,X 2 (x, x 2) = c (F (x ), F 2(x 2) f X (x )f X2 (x 2), on obtient [,] 2 c(u, u 2) log c(u, u 2)du du 2 L information mutuelle entre deux variables aléatoire X et X 2 correspond à l entropie de la copule

24 Information mutuelle Modèle paramétrique Estimation de l information mutuelle Estimation d une probabilité conditionnelle Avec la copule de Marchal-Olkin s Copule définie par C(u, u 2) = min u θ u 2, u u θ 2, θ [, ]. Qui correspond à la dépendance entre deux images RADARSAT (mode F5 et F2). Copule de Marchal-Olkin Copule de Marchal-Olkin Copule de Marchal-Olkin u u 2 u u 2 θ =. θ =.5 θ = u 2 u

25 Information mutuelle Modèle paramétrique Estimation de l information mutuelle Estimation d une probabilité conditionnelle Avec la copule de Marchal-Olkin s Copule définie par C(u, u 2) = min u θ u 2, u u θ 2, θ [, ]. Qui correspond à la dépendance entre deux images RADARSAT (mode F5 et F2). Densité C(u, u 2) est dérivable partout sauf en u = u 2. La densité de la copule de Marchal-Olkin est définie par c(u, u 2) = 2 C u u 2 (u, u 2) = ( ( θ)u θ if u 2 < u, ( θ)u θ 2 if u < u 2.

26 Information mutuelle Modèle paramétrique Estimation de l information mutuelle Estimation d une probabilité conditionnelle Avec la copule de Marchal-Olkin s Copule définie par C(u, u 2) = min u θ u 2, u u θ 2, θ [, ]. Qui correspond à la dépendance entre deux images RADARSAT (mode F5 et F2). Estimation des paramètres Le τ de Kendall s exprime par : τ = 4 C(u, u 2)dC(u, u 2) = θ 2 θ. [,] 2

27 Information mutuelle Modèle paramétrique Estimation de l information mutuelle Estimation d une probabilité conditionnelle Avec la copule de Marchal-Olkin s Copule définie par C(u, u 2) = min u θ u 2, u u θ 2, θ [, ]. Qui correspond à la dépendance entre deux images RADARSAT (mode F5 et F2). Information Mutuelle I(X, X 2) = log f X,X2 (x, x2) f X (x )f X2 (x f X,X 2 (x, x 2)dx dx 2, 2) R 2 = 2 θ θ log ( θ) 2 θ 2 θ + θ 2 (2 θ). 2

28 Information mutuelle Modèle paramétrique Estimation de l information mutuelle Estimation d une probabilité conditionnelle Illustration c CNES RADARSAT F5 RADARSAT F2

29 Information mutuelle Modèle paramétrique Estimation de l information mutuelle Estimation d une probabilité conditionnelle Illustration c CNES Estimation à partir d histogramme, 4s de cumulants,.5s d une copule 767s En utilisant une fenêtre de taille 7 7.

30 Les copules conditionnelles Estimation de l information mutuelle Estimation d une probabilité conditionnelle Probabilité conditionnelle Pr (X 2 x 2 X = x ) = Pr (U 2 u 2 U = u ) = C u (u, u 2) = C 2 (u, u 2) En utilisant le changement de variable : u i = F Xi (x i ) Regression quantile La régression quantile s exprime (à l aide de copules) par : q = F X2 X (x, x 2) = Pr (X 2 x 2 X = x ) = C 2 (F X (x ), F X2 (x 2)) La régression quantile à base de copule a donc pour expression ou encore u 2 = C 2 2 (u, q) x 2= F X 2 C 2 2 (F X (x ), q).

31 Les copules conditionnelles Estimation de l information mutuelle Estimation d une probabilité conditionnelle Application Détection de changements avec des données hétérogènes Détection de changements en ligne classique f (x) f 2(x) x 3 x 2 x x x x 2 x 3 Qui peut être résolue en utilisant la distance de Kullback-Leibler entre les distributions Z K(X, X 2) = K(X X 2) + K(X 2 X ) K(X 2 X ) = log f X (x) f X2 (x) f X (x)dx R

32 Les copules conditionnelles Estimation de l information mutuelle Estimation d une probabilité conditionnelle Application Détection de changements avec des données hétérogènes Détection de changements entre observations x 3 x 2 x x x x 2 x 3 f X (x) f Y (y) y 3 y 2 y y y y 2 Dans laquelle, X et Y doivent être comparables. y 3

33 Les copules conditionnelles Détection de changements entre données hétérogènes Estimation de l information mutuelle Estimation d une probabilité conditionnelle avant après vérité terrain c CNES

34 Les copules conditionnelles Détection de changements entre données hétérogènes Estimation de l information mutuelle Estimation d une probabilité conditionnelle courbe COR (a) K(X, X 2 ) sur une fenêtre (b) K(X, X 2 ) sur une fenêtre 35 35

35 Contenu 2 Mesure de dépendance Lien avec les copules 3 Estimation de l information mutuelle Estimation d une probabilité conditionnelle 4 5

36 Les copules multidimensionnelles Principe immédiat, mais modélisation délicate La dépendance en nd n est pas un ensemble de dépendance en 2D. À partir des copules archimédiennes, C(u,..., u n) = ϕ ϕ(u ) + + ϕ(u n) À partir de copules de copules, C(u, u 2, u 3) = C 2 C3(u, u 3) u 3, «C23(u2, u3) u 3 u 3 Peu de références bibliographiques dans le cas multidimensionnel.

37 Contenu 2 Mesure de dépendance Lien avec les copules 3 Estimation de l information mutuelle Estimation d une probabilité conditionnelle 4 5

38 Référence C. Genest and J. MacKay, The Joy of Copulas : Bivariate distribution with uniform marginals, The American Statistician, vol. 4, pages , 986. C. Genest and J.-C. Boies, Detecting dependence with Kendall plots, The American Statistician, vol. 57, no. 4, Nov. 23. R. B. Nelsen, An to Copulas, ser. Lectures Notes in Statistics. New York : Springer Verlag, 999, vol. 39. H. Joe, Multivariate models and Dependence concepts, ser. Monographs on Statistics and Applied Probability. Chapman & Hall / CRC, 2, vol. 73. G. Mercier, Mesures de dépendance entre images RSO, GET / ENST Bretagne, Tech. Rep. RR-253-ITI, 25, mercierg. G. Mercier, G. Moser and B. Serpico, Conditional Copula for Change Detection on Heterogeneous Data, GET / ENST Bretagne, Tech. Rep. RR-264-ITI, 26, mercierg.

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